专题03 二次根式及其性质（期中真题汇编，上海专用）八年级数学上学期

专题03 二次根式及其性质 5大高频考点概览 考点01 二次根式的概念 考点02二次根式的双重非负性【期中重难点，压轴小题常客】 考点03 利用二次根式的性质化简（最容易混淆） 考点04 复合二次根式的化简 考点05二次根式简单化简（选择/填空/解答） 地 城 考点01 二次根式的概念 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当______时，有意义． 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）在实数范围内，当___________时，有意义． 6．（25-26八年级上·上海·期中）若，则___________． 7．（25-26八年级上·上海·期中）使得等式成立的的取值范围是__________ 8．（25-26八年级上·上海静安·期中）等式成立的条件是______． 9．（23-24八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 地 城 考点02 二次根式的双重非负性【期中重难点，压轴小题常客】 10．（24-25八年级上·上海·期中）一般地，形如_______（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做_______．强调条件：_______，也就是说二次根式具有双重非负性． 11．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即①______ ；②______ ； （2）______ （3）______ 12．（24-25八年级上·上海浦东·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则________； (2)已知实数满足，求的值； (3)若x，y为实数，且，求的值． 13．（2025八年级上·上海浦东·期末）二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案． 【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如：，． (1)证明：对于任意正实数，，都有． (2)求的最大值，并标明等号成立的条件． 【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了． (3)如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明． (4)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值． 【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理． (5)设，，，都是正数 证明：． 地 城 考点03 利用二次根式的性质化简（最容易混淆） 14．（23-24八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·上海青浦·期中）化简：______． 17．（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 18．（24-25八年级上·上海静安·期末）化简：____________________． 19．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 20．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当且时，化简：_______． 21．（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为_________． 22．（25-26八年级上·上海·期中）若 _____ 23．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 24．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）计算 25．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 26．（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 地 城 考点04 复合二次根式的化简 27．（24-25八年级上·上海宝山·期末）计算： 28．（24-25八年级上·上海·期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 29．（25-26八年级上·上海·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 30．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 31．（24-25八年级上·上海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 32．（24-25八年级上·上海浦东·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 33．（25-26八年级上·上海宝山·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 地 城 考点05 二次根式简单化简（选择/填空/解答） 34．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·上海静安·期中）化简：=______． 39．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简：____________． 40．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知，化简：______． 41．（24-25八年级上·上海静安·期中）化简：_____________ 42．（2025八年级上·上海宝山·期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：______． 43．（24-25八年级上·上海·期中）把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式及其性质 5大高频考点概览 考点01 二次根式的概念 考点02二次根式的双重非负性【期中重难点，压轴小题常客】 考点03 利用二次根式的性质化简（最容易混淆） 考点04 复合二次根式的化简 考点05二次根式简单化简（选择/填空/解答） 地 城 考点01 二次根式的概念 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查平方根的性质．选项A、B、C在满足条件时总是成立，而选项D中，即使左边有意义，右边也可能无意义（当且时），因此变形不一定正确． 【详解】解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当______时，有意义． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 5．（25-26八年级上·上海宝山·期中）在实数范围内，当___________时，有意义． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）若，则___________． 【答案】16 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定的取值范围，进而求出和 的值，最后计算． 本题考查了二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由二次根式的定义，被开方数必须满足非负条件： 且， 即且， 故； 故， 则， 故答案为：16． 7．（25-26八年级上·上海·期中）使得等式成立的的取值范围是__________ 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据被开方数是非负数且分母不为0列式计算即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， 解，得， 解，得， 综上可得． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海静安·期中）等式成立的条件是______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 地 城 考点02 二次根式的双重非负性【期中重难点，压轴小题常客】 10．（24-25八年级上·上海·期中）一般地，形如_______（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做_______．强调条件：_______，也就是说二次根式具有双重非负性． 【答案】 被开方数 a≥0、≥0 【知识点】求二次根式中的参数 【解析】略 11．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即①______ ；②______ ； （2）______ （3）______ 【答案】 a（a≥0） 【知识点】利用二次根式的性质化简 【详解】解：（1）的双重非负性：即①；②； （2）； （3）； 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟记二次根式的性质进行判断． 12．（24-25八年级上·上海浦东·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则________； (2)已知实数满足，求的值； (3)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)5 (3)11或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值； （2）利用二次根式有意义的条件和绝对值的非负性，求出m，n的值，即可得出的值． （3）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值； 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： （2）∵，，， ∴，， 解得，， ∴； （3）∵，，， ∴，， ∴． ∴，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解二次根式的非负性，在中考中经常出现． 13．（2025八年级上·上海浦东·期末）二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案． 【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如：，． (1)证明：对于任意正实数，，都有． (2)求的最大值，并标明等号成立的条件． 【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了． (3)如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明． (4)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值． 【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理． (5)设，，，都是正数 证明：． 【答案】(1) 证明：根据题意得： ， 故． (2)的最大值为，此时． (3)的最小值为，此时， 证明：根据题意得： ，即， ，，，， ，， ， ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为， 此时． (4)当且仅当时，的最小值为． (5) 解：根据题意，；；；；， 将上述各式相加，得：， 故． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得： ， ，， ， 当且仅当时，即时，取等号， 的最大值为． （3）略 （4）根据题意设： ， ，的面积分别是和， 由等高三角形可知：， ， ， ， 当且仅当时，取等号，即的最小值为． （5）略 地 城 考点03 利用二次根式的性质化简（最容易混淆） 14．（23-24八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】根据和化简判断即可． 【详解】解：， 有意义，故选项A错误； ，故选项B，D错误， 故选：C． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 16．（25-26八年级上·上海青浦·期中）化简：______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以，化解解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】12 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 18．（24-25八年级上·上海静安·期末）化简：____________________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 19．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当且时，化简：_______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质，由且，可将化简为，然后与合并同类项即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为_________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据题意得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26八年级上·上海·期中）若 _____ 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据已知条件，得到，将转化为，利用二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【答案】3 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 24．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）计算 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是注意符号的正负；根据二次根式化简的步骤化简即可 【详解】解： ． 25．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 26．（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、求一个数的平方根 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 地 城 考点04 复合二次根式的化简 27．（24-25八年级上·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【详解】解： ． 28．（24-25八年级上·上海·期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·上海·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 30．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 31．（24-25八年级上·上海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【答案】（1），；（2）； 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、复合二次根式的化简 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． 【详解】解：（1）根据题目意思， ∵和, 点的“横负纵变点”为， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）∵2+5=7,2×5=10, ∴； 【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型． 32．（24-25八年级上·上海浦东·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可； （2）仿照题意进行化简即可． 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 33．（25-26八年级上·上海宝山·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、写出直角坐标系中点的坐标、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 地 城 考点05 二次根式简单化简（选择/填空/解答） 34．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 35．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，利用完全平方公式、提公因式进行化简是解题的关键，化简后根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A．是最简二次根式，符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 36．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】根据最简二次根式的定义进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、是最简二次根式，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，难度较小；最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1、被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；2、被开方数不含分母． 37．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的条件进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 38．（25-26八年级上·上海静安·期中）化简：=______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】该题考查了二次根式的性质，由于 ，被开方数 ，平方根有意义．化简时，将根号内的表达式变形，利用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：因为 ，所以 ， ∴， ∵，∴， ∴ 故答案为：． 39．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简：____________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知，化简：______． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·上海静安·期中）化简：_____________ 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到，进而根据二次根式乘除的运算法则和最简二次根式的定义计算即可． 【详解】∵，，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于）、二次根式的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键． 42．（2025八年级上·上海宝山·期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：______． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】将分子和分母同时乘以 ，再运用平方差公式进行化简即可得到结果． 【详解】． 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 43．（24-25八年级上·上海·期中）把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据最简二次根式的定义进行求解各个小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $