第20章二次根式期中专题复习一 2026-2027学年沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式从定义到运算的完整知识链，通过多区期中真题构建概念理解-性质应用-运算提升的递进训练体系，渗透数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的定义|选择1+填空5|聚焦有意义条件判断|概念生成：从定义出发理解根式存在的前提| |二次根式的性质|选择5+填空9（含数轴/几何应用）|侧重最简判断与化简|原理推导：性质应用于形式转化与几何问题| |同类二次根式|选择2+填空3|考查概念辨析|运算基础：为加减运算铺垫同类判断能力| |二次根式的运算|选择3+填空7+解答16（含实际应用）|覆盖计算/有理化/化简求值/高空抛物问题|应用拓展：综合运算解决代数与实际问题，体现数学语言表达|

第20章 二次根式 专题一：二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义 一．选择题 1. (2025年松江区八上期中)若是整数，且有意义，则的值是（ ） A. 1或3 B. 0或1 C. 2或 D. 0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 二．填空题 1.（2025年崇明区九校联考期中）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___． 【答案】x≥﹣． 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】由于二次根式在实数范围内有意义，所以2x+1≥0，即：x≥﹣． 故答案是x≥﹣． 2.（2025年虹口区八上期中）要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：，解得：． 故答案为：． 3.（2025年青浦一中第一学期期中）若二次根式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 解得：， 故答案为：． 4.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 当x__________时，二次根式有意义. 【答案】≤2 【详解】根据二次根式有意义的条件可得：2-x≥0， 解得：x≤2．故答案为≤2． 5.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）若和都有意义，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的定义，求不等式组的解集，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而求出的值，据此计算求解即可． 【详解】解： 和都有意义 且 解得 代入 得，． 故答案为：1． 考点2：二次根式的性质 一．选择题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，掌握概念和性质是解题的关键． 最简二次根式：被开方数不含能开得尽方的数或因式，被开方数不是分数，分母中不含二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意；   故选： B． 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B． 3.（2025年青浦一中第一学期期中）下列各组二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、根号下含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、是最简二次根式，本选项符合题意； C、根号下含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，根号下含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意．∴ 选B． 4.（2025年虹口区八上期中）二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴．故选B． 5. (2025年松江区八上期中)化简二次根式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 二．填空题 1.（2025年崇明区九校联考期中）化简：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，将50分解为，利用的算术平方根为，提取平方因子后化简． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2.（2025年黄浦区八上期中）化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中） 化简：，_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 根据条件和平方根的定义，可知、，将 分解为，并提取平方因子，同时考虑绝对值符号，由于进行绝对值简化即可． 【详解】解： ， 由于， 则、 当、时，、，则， 因此，． 故答案为 ． 4. （2025年青浦一中第一学期期中）当时，二次根式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 5.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 当且时，化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质，由且，可将化简为，然后与合并同类项即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 故答案为：． 6.（2025年虹口区八上期中） 已知，，三个实数在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果是______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和二次根式的性质，根据数轴上的点的位置判断式子的正负，掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 根据实数，，在数轴上的位置可得，，，，根据绝对值和二次根式的性质即可得到化简结果． 【详解】由图可知：，，，， ． 故答案为：． 7.（2025年黄浦区八上期中） 若，化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．根据完全平方公式将根号下式子因式分解，再利用x的取值范围和二次根式的性质，即可化简． 【详解】解： ， ，． 原式 故答案为：． 8.（2025年崇明区九校联考期中）当时，化简：_______． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的化简，绝对值的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．根据x的取值范围，将算术平方根化为绝对值形式，再根据非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并同类项． 【详解】解： ∵， ∴ ． 故答案为：2． 9.（2025年青浦一中第一学期期中） 如图，在面积为正方形中，点在上，且直角三角形的面积为，则的长为_______．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形面积的计算、二次根式的化简，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 先由正方形的面积算出边长，再由直角三角形的面积公式列出等量关系式，即可求得正确答案． 【详解】解：正方形的面积为， ， 的面积：， 即：， ．故答案为：． 专题二：二次根式的运算 考点1：同类二次根式 一．选择题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式的定义．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内数相同．先将化简为，再检查各选项化简结果，比较被开方数是否为3． 【详解】∵ ， A． ，被开方数为30，不符合题意； B． ，被开方数为2，不符合题意； C． ，被开方数为6，不符合题意； D． ，被开方数为3，符合题意； ∴ 与同类的是D，故选：D． 2. （2025年普陀区曹杨二中附属中学期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．利用二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，故选项不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； D. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 二．填空题 1.（2025年崇明区九校联考期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 2.（2025年虹口区八上期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么的值是_____________． 【答案】0 【分析】先根据同类二次根式的定义求出a、b，再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为0． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 3.（2025年青浦一中第一学期期中）若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ， 当时，，，符合题意． 故答案为：4． 考点2：二次根式的运算 一．选择题 1.（2025年普陀区曹杨二中附属中学期中）下列结论中，对于任何实数a、b都成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据二次根式运算的公式条件逐一判断即可． 【详解】∵a≥0，b≥0时，， ∴A不成立； ∵a＞0，b≥0时，， ∴B不成立； ∵a≥0时，， ∴C不成立； ∵， ∴D成立； 故选D． 2.（2025年崇明区九校联考期中）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 3.（2025年青浦一中第一学期期中）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是，故选：C． 二．填空题 1.(2025年松江区八上期中) 写出的一个有理化因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 2.（2025年黄浦区八上期中） 写出的一个有理化因式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 3.（2025年黄浦区八上期中） 关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故答案为：． 4.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中） 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先通过移项，然后系数化为1，求解不等式，并简化表达式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式的解集为：． 5.（2025年虹口区八上期中）不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及移项、合并同类项、系数化为1，也考查了分母有理化，注意当系数为负数时，不等号方向需改变，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）不等式的解是______________ 【答案】 【分析】利用不等式的性质求不等式解集即可. 【详解】 【点睛】本题考查求一元一次不等式的解集，还涉及无理数的比较大小，熟练掌握各个知识点是解题关键. 7.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减运算法则，先化简再合并计算即可． 【详解】解： ． 2.（2025年虹口区八上期中）计算：． 【答案】 【分析】先把除法转换为乘法，再分别计算系数和被开方数，最后化简即可． 【详解】 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式． 3.（2025年崇明区九校联考期中）计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算． 根据二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变计算，再把结果化为最简二次根式． 【详解】解： ． 4.（2025年黄浦区八上期中）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 5.（2025年崇明区九校联考期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的性质化简，再根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 6.（2025年青浦一中第一学期期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 . 7.（2025年崇明区九校联考期中）计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性即可； 【详解】解：原式 8.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，求一个数的立方根；先根据二次根式的性质和立方根的定义化简，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： 9.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可． 【详解】解： ． 10.（2025年虹口区八上期中） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 11.（2025年黄浦区八上期中） 已知，求的值． 【答案】． 【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴． 12.(2025年松江区八上期中) 已知求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是先利用因式分解对原式进行化简，再代入求值． 根据平方差公式、完全平方公式结合分母有理化进行化简，再将代入进行求解即可． 【详解】解： ， 当时， ． 13.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 先对进行分母有理化得，再利用完全平方公式化简，将的值代入所求的化简后的式子，进行计算求解即可． 【详解】解：对进行分母有理化得： 所求表达式化简得：， 由于，则 因此． 答：的值为：． 14.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）先化简，再求值：已知，，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先运用分式的性质结合完全平方公式和平方差公式化简，再运用二次根式的混合运算法则求得，，然后将，整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ∴原式． 15.（2025年青浦一中第一学期期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤进行解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 16. (2025年松江区八上期中)解不等式： 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，注意当系数为负数时，不等号方向需改变，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先移项，再合并同类项，最后系数化为1同时进行分母有理化即可． 【详解】解： ， 解得． 17.（2025年虹口区八上期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： （1）填空：_______； （2）化简，并写出化简过程． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ． 18.（2025年虹口区八上期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【小问1详解】 由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． 【小问2详解】 由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 19.（2025年黄浦区八上期中） 高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． （1）研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） （2）物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）可能造成伤害，理由如下 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【小问1详解】 解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； 【小问2详解】 解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 专题一：二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义 一．选择题 1. (2025年松江区八上期中)若是整数，且有意义，则的值是（ ） A. 1或3 B. 0或1 C. 2或 D. 0或 二．填空题 1.（2025年崇明区九校联考期中）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___． 2.（2025年虹口区八上期中）要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 3.（2025年青浦一中第一学期期中）若二次根式有意义，则的取值范围是_______． 4.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 当x__________时，二次根式有意义. 5.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）若和都有意义，则______． 考点2：二次根式的性质 一．选择题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年青浦一中第一学期期中）下列各组二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4.（2025年虹口区八上期中）二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 5. (2025年松江区八上期中)化简二次根式正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年崇明区九校联考期中）化简：_____________． 2.（2025年黄浦区八上期中）化简：_____． 3.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中） 化简：，_______． 4. （2025年青浦一中第一学期期中）当时，二次根式的值为_______． 5.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 当且时，化简：_______． 6.（2025年虹口区八上期中） 已知，，三个实数在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果是______． 7.（2025年黄浦区八上期中） 若，化简：_____． 8.（2025年崇明区九校联考期中）当时，化简：_______． 9.（2025年青浦一中第一学期期中） 如图，在面积为正方形中，点在上，且直角三角形的面积为，则的长为_______．（用含有的代数式表示） 专题二：二次根式的运算 考点1：同类二次根式 一．选择题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. （2025年普陀区曹杨二中附属中学期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年崇明区九校联考期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________． 2.（2025年虹口区八上期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么的值是_____________． 3.（2025年青浦一中第一学期期中）若最简二次根式与是同类二次根式．则_______． 考点2：二次根式的运算 一．选择题 1.（2025年普陀区曹杨二中附属中学期中）下列结论中，对于任何实数a、b都成立的是（　　） A. B. C. D. 2.（2025年崇明区九校联考期中）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 3.（2025年青浦一中第一学期期中）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.(2025年松江区八上期中) 写出的一个有理化因式：________． 2.（2025年黄浦区八上期中） 写出的一个有理化因式__________． 3.（2025年黄浦区八上期中） 关于的不等式的解集是___________． 4.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中） 不等式的解集为_______． 5.（2025年虹口区八上期中）不等式的解集是______． 6.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）不等式的解是______________ 7.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 三．解答题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）计算： 2.（2025年虹口区八上期中）计算：． 3.（2025年崇明区九校联考期中）计算： 4.（2025年黄浦区八上期中）计算：（）． 5.（2025年崇明区九校联考期中）计算：． 6.（2025年青浦一中第一学期期中）计算： 7.（2025年崇明区九校联考期中）计算： 8.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）计算：． 9.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）计算：． 10.（2025年虹口区八上期中） 先化简，再求值：，其中，． 11.（2025年黄浦区八上期中） 已知，求的值． 12.(2025年松江区八上期中) 已知求的值． 13.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）已知，求的值． 14.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）先化简，再求值：已知，，求的值． 15.（2025年青浦一中第一学期期中）解不等式： 16. (2025年松江区八上期中)解不等式： 17.（2025年虹口区八上期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： （1）填空：_______； （2）化简，并写出化简过程． 18.（2025年虹口区八上期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 19.（2025年黄浦区八上期中） 高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． （1）研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） （2）物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $