2026-2027学年沪教版（五四制）九年级第一学期数学期中模拟卷2（上海专用）

2026-2027学年九年级第一学期数学期中模拟卷2 （上海专用）（解析版） 1．D 【难度】0.85 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答． 【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题； B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题； C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题； D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大． 2．C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 3．D 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有交点，故B错误，不符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故C错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．D 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求位似图形的对应坐标 【分析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作交于点，证明，求出，再由与关于点是位似图形，求出，，根据平移的性质可知，的纵坐标为3，再求横坐标即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， ， 与关于点是位似图形， ，   ，， 在的图象上， ， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，位似的性质是解题的关键． 5．B 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点情况及对称轴即可判断①；根据对称轴得，进而可判断②；根据抛物线与轴的一个交点为，结合对称轴可得另一个交点坐标，进而可判断③；根据抛物线与函数的交点在轴下方，即可判断④；根据点，到对称轴的距离结合抛物线的开口向上，即可判断⑤． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，且与轴负半轴相交， ， 又∵对称轴， ， ∴，故①正确； ②由①得：，则，则②正确； ③根据抛物线与轴的一个交点为，对称轴为可知： 抛物线与轴的另一个交点为：． ∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故③正确； ④∵二次函数图象与轴交点坐标为和， ∴二次函数解析式为， 若方程的两根为和，且， 即二次函数与函数的两个交点横坐标为和，且， 则，故④正确； ⑤点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：． 点到对称轴的距离为：． ∵抛物线开口向上， ∴，故⑤错误， 则结论正确的个数有4个， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 6． 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： 7． 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的根与系数的关系、y=a（x-h）²+k的图象和性质、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】将直线和双曲线表达式联立，得到，从而得到，，根据有交点得出，再将变形为，从而可化为，据此可得最小值． 【详解】解：联立得：， 整理得：， ∴，， ∵有交点， ∴，即 设 = = = = =， ∵，对称轴为 ∴当时，取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．63 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键． 9． 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：设的长度为， 则， 解得：，（舍去）， 故的长度为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 10．或或 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形综合 【分析】本题考查平行四边形的性质及坐标与图形的性质，根据题意画出平面直角坐标系，然后描出，，，的位置，再找第四个顶点坐标即可．解题关键是要分情况讨论． 【详解】解：如图所示， ∴第四个顶点的坐标是或或． 故答案为：或或． 11． 【难度】0.7 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴． 根据开口向上的抛物线的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，比较各点到对称轴的距离即可判断值的大小． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大． ∴． 12．6 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作DE⊥x轴于E，得出DE∥AC，可得，由点D为斜边AB的中点，即可得出,,设A(m，3)，D(m+2，)，代入反比例函数解析式，求出m即可求得k值． 【详解】解：作DE⊥x轴于E，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥AC， ∴, ∴, ∵点D为斜边AB的中点， ∴E是BC的中点，即, ∴DE＝AC＝， 设A(m，3)，则D(m+2，)， ∵反比例函数 的图象过点A、D， ∴k＝3m＝(m+2)×， ∴m＝2， ∴k＝3m＝6， 故填：6． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合,以及相似三角形的性质和平行线分线段成比例，解题关键是将几何关系转化为数量关系，从而求出反比例函数的k值． 13． 4 ，，， 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴，，，， ∴，，，，共4对相似三角形， 故答案为：4；，，，． 14． 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是二次函数定义的熟练掌握． 根据二次函数的定义，最高次数项为次，且系数不为零，列方程求解． 【详解】解：由题意，函数为二次函数，则 的最高次数为，即 ， 解得 ， ∴ ． 又∵二次项系数不能为零，即 ， ∴ ． 因此 ． 故答案为：． 15．/ 【难度】0.12 【知识点】化为最简二次根式、角平分线的性质定理、等边对等角、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图，连接，过作于，证明，可得，设，则，可得，证明，求解：，证明，可得，，，，证明，可得，进一步可得. 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵是中点， ∴在上， ∵矩形， ∴，，，，， ∴， ∵，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 16． 【难度】0.15 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、坐标与图形综合 【分析】由勾股定理可直接得，由于与射线以及轴的正半轴始终相切，可推得圆心在的角平分线上，通过作点关于直线的对称点，进而找到的中点坐标，则必经过点，可求出直线的表达式为，设点坐标为，故．由勾股定理可得：，将的最值问题转化为函数最值问题．通过求此二次函数的最值即可得的最小值． 【详解】解：如图所示，设切轴于点，连接， ∵，∴， ∵与射线以及轴的正半轴始终相切， ∴圆心在的角平分线上． 作点关于直线的对称点， 则， ∴， 则的中点坐标为即， 则必经过点， 设的表达式为，代入得， ， ， ∴直线的表达式为． 设点坐标为， 故． 的半径， 连接，则， 则由勾股定理可得：， 即， 故有最小值27， 此时最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数解析式的确定，中点公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 17． 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作交于点，根据菱形的性质得出，，根据旋转的性质得到推出，，得出，，进而得到三点共线，则有，通过证明求出，再证明得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， 菱形， ，， ， 由旋转的性质得，，，，， ，， ，， ， 三点共线， 菱形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，适合有能力解决几何难题的学生． 18．（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、比例的性质、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先计算零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）设，则，，，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：设，则，，， ∴． 19． （1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）10 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 20．(1) 如图所示， 直线即为所求； (2) 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 【详解】（1）略 （2）由作图可知， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 21．(1)； (2)对称轴：直线，顶点坐标． 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，可得答案； （2）根据（1）的结论得出解析式，化为顶点式，即可求解 【详解】（1）解：由是二次函数，得 且． 解得； （2）解：当时， 这个函数为 ∴对称轴：直线，顶点坐标． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．(1) 证明：在菱形中，对角线、相交于点， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）在菱形中，可得，，，结合，可得，即可证明； （2）证明，得到，可求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍去）， 在中，． 在中，． 23．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质， （1）依据题意，若，抛物线过点，代入计算进而可以得解； （2）依据题意，若，结合抛物线开口向上，从而抛物线与x轴必有一交点在和之间，即有， 再由进而可以得解． 【详解】（1）若，抛物线过点， ∴， 即； （2）由题意，若， 又∵抛物线开口向上，和在抛物线上， ∴抛物线与轴必有一交点在和之间， 又令， ∴或 ∴，即， 又∵抛物线的对称轴为， ∴ ∴． 24．(1) (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而根据对称性求出点B的坐标，再求出直线解析式，过点P作轴交于E，设，则，则，根据进行求解即可； （3）由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为；求出抛物线顶点坐标为，可得顶点与B、C组成的三角形面积为，再由四边形，则顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为，即当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1；当点Q在x轴上方时，只需要满足即可，求出此时点Q的横坐标即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵与x轴的交点为， ∴对称轴为直线， ∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点B， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 过点P作轴交于E，设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值； （3）解：由（2）可知，的面积最大时，点P的横坐标为3， 由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为； ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∴顶点与B、C组成的三角形面积为， 又∵四边形， ∴顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为， ∴当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1； 当点Q在x轴上方时，只需要满足即可， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， ∴此时点Q的横坐标为； 综上所述，符合题意的点Q的横坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中模拟卷2 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 1、 选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列命题中，说法正确的是（    ） A．四条边对应成比例的两个四边形相似 B．四个内角对应相等的两个四边形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 4．如图，的顶点O在原点上，顶点A的坐标为，，点P为OB上一点，且，将向右平移，当点P的对应点落在反比例函数上时，则点P′的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根是，；④若方程的两根为和，且，则；⑤若点，，是函数图象上的三点，则，其中正确的有（   ）个．    A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是_____． 7．若动直线与动双曲线（k为字母常数）相交于两点，则的最小值是__________． 8．图中的两个四边形相似，则______． 9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，若A、P、B三点共线，P为线段的黄金分割点（），量得的长度为，那么的长度为__________．    10．平面直角坐标系中一个平行四边形三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标是________． 11．已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 12．如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点D为斜边AB的中点，AC＝3，BC＝4，若反比例函数y＝的图象过点A、D，则k的值为 ___． 13．如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 14．已知为二次函数，则m的值为________． 15．如图，在矩形中，点在边上，且，是中点，连接，连接交于点，过点作于点，交于点，若，，则的面积为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为______． 17．如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．（1）计算：； （2）已知，求的值． 19．（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 20．如图，在中，点D是边上的一点，．    (1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 21．已知函数是二次函数． (1)求的值： (2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 22．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别在、的延长线上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若于点，，，求的面积． 23．在平面直角坐标系中，和在抛物线上，抛物线的对称轴为． (1)若，求b的值； (2)若，求该抛物线的对称轴t的取值范围． 24．如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值； (3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $