第三章 代数式（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版七年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 2．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 5．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 6．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 7．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 9．袋鼠喜欢在数轴上跳跃．如图所示，他总是先做两次大的跳跃，然后做三次小的跳跃，然后不断地重复这个过程．袋鼠从0开始跳．在跳跃的过程中，袋鼠会落在哪个数上？（   ） A．82 B．83 C．84 D．85 E．686 10．已知是最大的负整数，是的相反数，与互为倒数，的绝对值是4，则的值为（    ） A．4或 B．6或 C．4或 D．6或 11．定义新运算，例如，则（　　） A． B． C．5049 D．5050 12．在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分，画2条直线，最多能把白纸分成4部分，画3条直线，最多能把白纸分成7部分，当在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成（   ） A．部分 B．部分 C．部分 D．部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若，则_____________． 14．某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 15．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 16．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 17．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 18．如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是： ①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上； ②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方； ③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上． （1）当时，最少的移动次数为__________； （2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示） 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 20．（6分）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 21．（8分）水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 22．（8分）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 23．（8分）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 24．（8分）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 25．（10分）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 26．（12分）阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． (1)请把①②③④所缺的内容补充完整； (2)请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； (3)利用排序不等式解决问题2． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B C B B C B C C C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 14. 15. 184 16. 17. 18. 7 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解：当时， ； ．(3分) （2）解：当，时， ； ．(6分) 20.【详解】（1）解：由图示，摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，… ， ， ， … ∴摆放n张餐桌应放的椅子数为．(3分) （2）解：当时，， 当时，， 当时，．(6分) 21.【详解】（1）解：根据题意可得，（元）， 即应缴水费49元；(3分) （2）解：分两种情况： ①当时，水费为；(4分) ②当时，水费为：；(6分) （3）解：（吨）， 答：小强家十一月的用水量是吨．(8分) 22.【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴；(2分) （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴，(3分) 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴；(5分) （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ，(7分) 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2．(8分) 23.【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：；(3分) （2）解：．(5分) （3）解：原式 ．(8分) 24.【详解】（1）解：∵是奇数式，且当时，， ∴当时，．(2分) （2）解：∵， ∴是偶数式， ∵, ∴是偶数式， ∵, ∴是奇数式， ∵， ∴是偶数式．(5分) （3）解：∵， ∴是奇数式，∴当分别取，2024，，2025时，的和为， ∴．(8分) 25.【详解】（1）解：由得，解得．(1分) （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖：平方米．(4分) （3）解：因为卧室的面积为平方米，且卧室的长为米， ，解得，(5分) ∴铺设地面需要木地板：，(6分) 铺设地面需要地砖：，(7分) A种活动方案所需的费用：(元)， B种活动方案所需的费用：(元)， ，(10分) 所以小明家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用(含材料费及安装费)更低． 26.【详解】（1）解：由题意知，若充电时间为的轿车先充电，则第一辆车完成充电的等候时间为， 第二辆车完成充电的时刻为分钟，两辆车等候的总时间为分钟， ∴， ∵，(2分) ∴，则，即， 要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电， 可猜想出问题1的解决方案为：按充满电所需时间从小到大的顺序安排充电即可．(3分) (2)证明：设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序）， ∴第k辆轿车的等候时间为， 当时，总等候时间为， 由排序不等式可知，反序和乱序和顺序和， ∵是递减序列， 要使S最小，则为递增序列，即为反序和， ∴按充电时间从小到大安排充电，总等候时间最短．(5分) （3）解：先将10辆车的充电时间从小到大排列为：， ∴10辆轿车的充电时间总和为：， ∵充电桩的充电效率均相同，总时间为各充电桩时间之和， ∴同时完成则各桩时间相等， 要使3台充电桩同时完成充电，则每台充电桩的总充电的理想时间为：，(7分) 由问题1的结论可知，每台桩内的轿车需按充电时间的从短到长的顺序充电， ∴P，Q，R桩存在以下情况（先后顺序不计）： ①P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：， R桩的顺序为：； ②P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：； ③P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：，(9分) 对于①：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于②：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于③：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：， ∵，(11分) ∴可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩：．(12分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式化简即可． 【详解】解：由题意得晚上9时温度为． 2．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：50张白纸会有49个间隔，故粘合后长度会减少，则总长度为． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为数字规律探究题，分别观察输出数据的分子分母与输入数据的关系，总结规律即可求解． 【详解】解：设输入数据为，观察表格可得： 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； ……； 因此总结规律：当输入数据为时，输出数据为； ∴将代入公式，得输出数据为． 5．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 6．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 7．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 8．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【分析】根据前面的规律，求解即可； 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 9．袋鼠喜欢在数轴上跳跃．如图所示，他总是先做两次大的跳跃，然后做三次小的跳跃，然后不断地重复这个过程．袋鼠从0开始跳．在跳跃的过程中，袋鼠会落在哪个数上？（   ） A．82 B．83 C．84 D．85 E．686 【答案】C 【分析】根据袋鼠每跳跃一个周期，前进9个单位，然后对各选项逐个分析即可． 【详解】解：由题意知：袋鼠第一次前进了3个单位，第二次前进了3个单位，第三次前进了1个单位，第四次前进了1个单位，第五次前进了1个单位， ∴袋鼠先做两次大的跳跃，然后做三次小的跳跃，一共前进了个单位， A．，不符题意，舍去； B．，不符题意，舍去； C．，则袋鼠先跳跃9个周期，再做一次大的跳跃，符合题意； D．，不符题意，舍去； E．，不符题意，舍去． 10．已知是最大的负整数，是的相反数，与互为倒数，的绝对值是4，则的值为（    ） A．4或 B．6或 C．4或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查负整数、相反数、倒数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关定义． 根据定义确定各字母或式子的值，再分m的两种取值代入代数式计算． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵b是的相反数， ∴； ∵c与d互为倒数， ∴； ∵， ∴或； 当时， ； 当时， ； ∴代数式的值为4或． 故选：C． 11．定义新运算，例如，则（　　） A． B． C．5049 D．5050 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算、代数式求值，根据新定义找到规律即可求解．根据题意得到 ……，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， …… ， ∴ …… …… 故选：C 12．在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分，画2条直线，最多能把白纸分成4部分，画3条直线，最多能把白纸分成7部分，当在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成（   ） A．部分 B．部分 C．部分 D．部分 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探索，关键是通过前几条直线的分块数推导出条直线最多能把平面分成的部分数，再代入计算．据此解答即可． 【详解】解：先分析前几条直线的分块规律： 1条直线：最多分部分； 2条直线：最多分部分； 3条直线：最多分部分； …… 由此可推导出，条直线最多能把平面分成的部分数：， 当时，代入：． 故答案为：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若，则_____________． 【答案】 【分析】由已知方程整理得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴整理得， 将所求代数式变形：， 把代入上式得：． 14．某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】收费分为两部分，3公里以内固定收费8元，超过3公里的部分按每公里1.5元计算，总收费为两部分的和． 【详解】解：∵， ∴总收费由两部分组成：3公里以内收费为8元， 超过3公里的路程为公里，这部分收费为元， 总收费：元． 15．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 【答案】184 【分析】根据表格中的已知数确定数字的变化规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：第一行第一个数是n，第二个数比前一个数大4即为，第二行第一个数比n大2即为，第二行第二个数是的结果， ∴当时，． 16．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 【答案】 【分析】观察已知数的特征，分子均为1，分析分母可得规律，第个数的分母为，据此计算第8个数即可． 【详解】解：观察已知数列： 第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， ... 由此可得，第个数为， 当时， ． 17．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【分析】先根据新的定义可得，，再作为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． 18．如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是： ①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上； ②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方； ③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上． （1）当时，最少的移动次数为__________； （2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示） 【答案】 7 【分析】（1）先将最小的圆盘放在C上，再将中圆盘放在B上，接着把小圆盘放在B上，接着把大圆盘放在C上，接着把小圆盘放在A上，接着把中圆盘放在C上，最后把小圆盘放在C上，据此可得答案； （2）根据题目已知条件分别得出当A柱上有1个圆盘时最少需要移动的次数，当A柱上有2个圆盘时最少移动的次数，从而推出当A柱上有n个圆盘时需要移动的次数． 【详解】解：（1）先将最小的圆盘放在C上，再将中圆盘放在B上，接着把小圆盘放在B上，接着把大圆盘放在C上，接着把小圆盘放在A上，接着把中圆盘放在C上，最后把小圆盘放在C上，故当时，最少的移动次数为7次； （2）当时，先将小圆盘放在B柱上，大圆盘放在C柱上，再将B柱上的小圆盘放在C柱上，故当时，最少的移动次数为3次； 当时，最少的移动次数为； 当时，最少的移动次数为次； 当时，最少的移动次数为次； ……， 以此类推，可知对任意的，最少的移动次数为． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 20．（6分）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【答案】(1) (2)34；42；62 【分析】（1）观察摆放的餐桌和椅子图示，得到摆放1张，2张，3张桌子，…，放的椅子数依次是6，10，14，…从中得到一个规律，那么根据摆放规律，就能表示出摆放n张餐桌，应放的椅子数为，再进一步解答即可． （2）将，10，15，分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由图示，摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，… ， ， ， … ∴摆放n张餐桌应放的椅子数为． （2）解：当时，， 当时，， 当时，． 21．（8分）水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 【答案】(1)49元 (2)①时，水费为；②当时，水费为：； (3)吨 【分析】（1）根据九月份用了16吨水和收费标准进行列式计算即可； （2）分和两种情况进行列式即可； （3）按照收费标准进行列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，（元）， 即应缴水费49元； （2）解：分两种情况： ①当时，水费为； ②当时，水费为：； （3）解：（吨）， 答：小强家十一月的用水量是吨． 22．（8分）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 23．（8分）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干前三个的等式即可求解； （2）根据题干前三个的等式即可求解； （3）根据规律将原式变形为，再由规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 24．（8分）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇数式的定义即可求解； （2）根据奇数式和偶数式的定义对各代数式进行分析判断即可； （3）是奇数式，当分别取，2024，，2025时，的和为，即可得的值． 【详解】（1）解：∵是奇数式，且当时，， ∴当时，． （2）解：∵， ∴是偶数式， ∵, ∴是偶数式， ∵, ∴是奇数式， ∵， ∴是偶数式． （3）解：∵， ∴是奇数式，∴当分别取，2024，，2025时，的和为， ∴． 25．（10分）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【答案】(1)3 (2)木地板总面积：平方米；地砖面积：平方米 (3)选方案A更省钱 【分析】（1）观察图形直接计算即可． （2）准确计算不同区域的面积即可． （3）根据面积和单价计算费用，再比较不同方案的费用高低． 【详解】（1）解：由得，解得． （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖：平方米． （3）解：因为卧室的面积为平方米，且卧室的长为米， ，解得， ∴铺设地面需要木地板：， 铺设地面需要地砖：， A种活动方案所需的费用：(元)， B种活动方案所需的费用：(元)， ， 所以小明家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用(含材料费及安装费)更低． 26．（12分）阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． (1)请把①②③④所缺的内容补充完整； (2)请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； (3)利用排序不等式解决问题2． 【答案】(1)①，②，③<，④将10辆轿车按照充电时间从小到大的顺序安排充电 (2)证明：设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序）， ∴第k辆轿车的等候时间为， 当时，总等候时间为， 由排序不等式可知，反序和乱序和顺序和， ∵是递减序列， 要使S最小，则为递增序列，即为反序和， ∴按充电时间从小到大安排充电，总等候时间最短． (3)解：能安排，可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩： 【分析】（1）先明确两辆车的等候时间构成，据此计算出总时间，再将两种顺序的总时间作差，从而求出结果，根据即可判断出大小关系，最终通过上述结论推导猜想出问题1的求解方案； （2）设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序），通过反序和最小的性质证明出结论； （3）根据（2）证明的结论先将10辆车的充电时间进行排序，计算出充电时间的总和，根据题意得出每台充电桩的总充电的理想时间为，通过枚举法进行对比计算得出最短时间即为优选方案． 【详解】（1）解：由题意知，若充电时间为的轿车先充电，则第一辆车完成充电的等候时间为， 第二辆车完成充电的时刻为分钟，两辆车等候的总时间为分钟， ∴， ∵， ∴，则，即， 要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电， 可猜想出问题1的解决方案为：按充满电所需时间从小到大的顺序安排充电即可． （2）略 （3）解：先将10辆车的充电时间从小到大排列为：， ∴10辆轿车的充电时间总和为：， ∵充电桩的充电效率均相同，总时间为各充电桩时间之和， ∴同时完成则各桩时间相等， 要使3台充电桩同时完成充电，则每台充电桩的总充电的理想时间为：， 由问题1的结论可知，每台桩内的轿车需按充电时间的从短到长的顺序充电， ∴P，Q，R桩存在以下情况（先后顺序不计）： ①P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：， R桩的顺序为：； ②P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：； ③P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：， 对于①：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于②：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于③：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：， ∵， ∴可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 代数式·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 2．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 5．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 6．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 7．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 9．袋鼠喜欢在数轴上跳跃．如图所示，他总是先做两次大的跳跃，然后做三次小的跳跃，然后不断地重复这个过程．袋鼠从0开始跳．在跳跃的过程中，袋鼠会落在哪个数上？（   ） A．82 B．83 C．84 D．85 E．686 10．已知是最大的负整数，是的相反数，与互为倒数，的绝对值是4，则的值为（    ） A．4或 B．6或 C．4或 D．6或 11．定义新运算，例如，则（　　） A． B． C．5049 D．5050 12．在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分，画2条直线，最多能把白纸分成4部分，画3条直线，最多能把白纸分成7部分，当在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成（   ） A．部分 B．部分 C．部分 D．部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若，则_____________． 14．某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 15．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 16．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 17．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 18．如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是： ①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上； ②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方； ③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上． （1）当时，最少的移动次数为__________； （2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示） 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 20．（6分）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 21．（8分）水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 22．（8分）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 23．（8分）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 24．（8分）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 25．（10分）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 26．（12分）阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． (1)请把①②③④所缺的内容补充完整； (2)请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； (3)利用排序不等式解决问题2． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $