2026-2027学年人教版九年级数学上册期中测试

期中测试 （全卷三个大题，共27小题，满分100分，考试用时120分钟，考试范围：第25、26、27章） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 3．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 5．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 6．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 7．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 9．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 10．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 11．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 12．已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 13．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 14．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 15．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题(本题共4小题，每小题2分，共8分) 16．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 17．如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 18．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 19．已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 三、解答题(本题共8小题，共62分) 20．（6分）解方程： (1)； (2)． 21．（6分）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 22．（7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 23．（7分）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3) 点在的图象上吗？为什么？ 24．（8分）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 25．（8分）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 27．（12分）已知抛物线经过点，与轴交于点，其顶点为．设是抛物线与轴交点的横坐标，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求代数式的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《期中测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A D C C D D D 题号 11 12 13 14 15 答案 C A C C C 1．C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2．A 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 3．A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 4．A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 5．D 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 6．C 【分析】通过代入点坐标验证、结合比例系数k的符号判断反比例函数的图象性质，逐一判断选项． 【详解】解：对于，比例系数．将代入解析式，得． ∴图象经过点，不经过点，故A错误，C正确． ∵， ∴函数图象位于第一、三象限，故B错误． 当时，随的增大而减小，故D错误． 7．C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 8．D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 9．D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 10．D 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．C 【分析】根据二次函数的图象和性质，判断二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，结合自变量的取值范围，得出对应的取值范围． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数转化为一般式为，，二次函数开口向上， 又∵在的范围内， ∴当时，该函数在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，当时，取得最小值， ∴此时的取值范围是， 当时，该函数在对称轴右侧随的增大而增大， ∵， ∴， ∴此时的取值范围是， ∴当时，的取值范围是． 12．A 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 13．C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 14．C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 15．C 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 16． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 17． 【分析】过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，这一点与原点所连线段，原点与垂足的连线段，这三条线段围成的直角三角形面积是一个定值，即． 【详解】解： 的面积为， ． ． 图象在第二象限， ． ． 18．且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 19． 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 20．(1)， (2)， 【分析】（1）用求根公式直接求解即可； （2）移项之后，用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：由方程的一般形式知， （2）解：原方程可化为， 因式分解得， 所以，或 解得，，． 21．(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 22．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 23．(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 24．(1)三边长分别为，， (2)不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； （2）略 25．(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 26．(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 27．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入中，即可求得； （2）根据二次函数的图象和性质可知与轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴来表示顶点的横坐标，即可求的的面积； （3）根据表示的含义列等式，将两边平方推导高次幂的化简关系． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解得． （2）解：如图， 由（1）知抛物线的表达式为， 将代入中，得， 点， ， 顶点B的横坐标为， ， ． （3）解：是抛物线与轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 答案第1页（共2页） 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