第二十五章一元二次方程单元测试卷（一）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程单元卷，覆盖全章核心知识，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合数学文化与实际情境，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、一般形式、根的判别式等|如第3题结合系数关系考根，体现推理意识| |填空题|6/18|根的代入、文化趣题、根与系数关系|第13题阿拉伯数学趣题，渗透数学文化| |解答题|8/72|解方程、换元法、实际应用|23-24题工作效率与利润问题，强化模型观念；19题换元法，培养转化思维|

第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（一） 人教版 九年级上册 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 5．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 6．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 8．关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 9．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 第II卷（非选择题） 2、 填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 12．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少_________人？” 14．已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 15．已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是_ _ ． 3、 解答题（17-20题，每题8分，共32分；21-24题，每题10分，共40分） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 18． 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 19．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 20．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 21．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 22．阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 23．某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作． (1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？ (2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？ 24．近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C A B C A B 1．C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2．B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3．D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 4．C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 5．C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 7．B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 8．C 【分析】先利用因式分解法求得方程的两个根，再根据根为整数、m为正整数的条件即可确定m的值． 【详解】解：， ， ，． ∵ 原方程是关于x的一元二次方程，m为正整数， ∴ ． ∵ 两个实数根都是整数，是整数， ∴为整数，m是正整数， ∴或． 9．A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 10．B 【分析】先根据题干给出的系数绝对值递增条件，结合整数性质，对每个选项逐一分析，分别计算验证，判断选项正误. 【详解】选项A：当时，为正整数， 时，满足条件的多项式共个； 时，满足且和为的绝对值组合共组，每组对应个多项式，共个； 时，最小系数绝对值和为， 不存在.总共有个满足条件的多项式，A错误. 选项B：当，取最小值时， 系数绝对值为从小到大排列的个最小正整数， 即， 仅最高次系数符号固定为正，其余系数每个都可取正负， 所有符合条件的多项式相加时，任意次数低于的项，系数正负个数相等，相加和为， 仅剩余最高次项，结果为单项式，B正确. 选项C：对于， 由， 整理得， 由， 得， 故， ∵判别式， 由得， 故，不存在两个实根，C错误. 选项D：∵B正确，故D错误. 11．3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 12．9 【分析】由方程根的定义得到，变形得到，整体代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵根据题意，是方程的一个根， ∴ ，变形得 ， ∵， ∴， 将代入所求代数式 ， ∵， ∴原式． 13．19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 14．没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 15． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，将所求式子通过平方差公式变形，代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的两根分别为，， ∴， ∴． 16．①③④ 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ， ，；                                         （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，．       （3）解：， ， ， ， ， 解得，；     （4）解：， ， ， 或， 解得，． 18．(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 19．(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 20．当时，，原式的值为；当时，，原式的值为 【分析】先对原式因式分解化简，根据二次根式的性质，开方后需要保留绝对值，结合的不同取值去掉绝对值，再解一元二次方程得到的两个根，分别代入化简后的式子计算得到结果 【详解】解： 解一元二次方程得： 当时，，则 ∴ 原式 代入，得： 原式； 当时，，则， 原式 代入，， 原式． 21．(1)证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． (2)的值为． 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【详解】（1）证明略． （2）解： ，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 22． 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 23．(1)甲组单独完成整项工作需要天 (2)该纪念品的售价为元 【分析】（1）根据工作总量工作时间工作效率，设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是，根据工程的完成情况列方程解答即可． （2）根据利润（售价进价）销售量，设该纪念品的售价为元，根据涨价后的销售情况列方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是， 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲组单独完成整项工作需要天； （2）解：设该纪念品的售价为元， 由题意可列方程：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． 答：该纪念品的售价为元． 24．(1)每顶普通帐篷进价元，每顶星空帐篷进价元 (2) 【分析】（1）设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶列方程求解即可； （2）根据普通帐篷总费用为元，星空帐篷数量为顶，新进价为元，由总采购费为12000元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶 列分式方程： 化简得：，解得 经检验，是原方程的解， 因此 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元； （2）解：4月份采购数量： 普通帐篷数量：顶，星空帐篷数量：顶， 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为元，总费用：元； 星空帐篷：数量为顶，新进价为元， 由总采购费为12000元，列方程： 化简整理得： 因为， 所以 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $