3.1代数式 同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

第一节 代数式 一、思维导图 二、知识梳理 （一）代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、≥、<、≤、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； 2.代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④ 相同式子相乘时，结果需要写成幂的形式，如a×a×a应写作a3； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a2-b2）平方米。 ⑦当“1”与字母相乘时，“1”省略不写；当“-1”与字母相乘时，只需在该字母前加上“-”号。 3.代数式求值 （1）用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 注意： ①代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不变。 ②代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原。 ③若字母的值是负数或带分数，将字母的值代入代数式时，应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变。 （2）整体思想代入法 ①整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 ②根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． （二）单项式 1.单项式的概念：如，，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2） 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数与次数 （1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； ②圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： ①没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； ②不能将数字的指数一同计算． （三）多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 注意（1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 注意（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 （四）整式 单项式与多项式统称为整式。 注意（1）整式可以分为单项式和多项式。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 三、夯实基础 模块一：代数式 【夯实基础】 【知识点一】认识代数式 1.下列各式中，不是代数式的是（  C  ） A． B． C． D． 2.下列式子：①，②，③，④，⑤0，⑥，其中代数式的个数是（  C   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【知识点二】列代数式 1.小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（   A   ） A． B． C． D． 2.一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（  A   ） A． B． C． D． 3.有三个连续自然数，最小的数用字母表示，那么另外两个数表示为（  C   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（  B   ） A． B． C． D． 5.一个正方形的边长是，把这个正方形的边长增加后所得到的正方形的面积是____． 6.某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为____元． 7.用代数式表示下列各数： (1)个位数字是a、十位数字是b（）的两位数； (2)个位数字是a、十位数字是b、百位数字是c（）的三位数． 解：(1) (2) 【拓展提升】 1.观察下面的一列代数式：，，，，，，根据其中的规律，得出第个代数式是(  B  ) A. B. C. D. 2.一桶水连桶重20千克，倒掉一半水后连桶重a千克，那么水重_ _千克，桶重__ _千克． 模块二：代数式的值 【夯实基础】 【知识点一】求代数式的值 1.当时，代数式的值为（  B  ） A．1 B． C． D． 2.若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（  B   ） A．0 B． C．2 D．4 3.若m的相反数是4，则的结果是（ A  ） A．5 B． C．13 D． 4.已知，则的值是____． 5.若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则__6_． 6.在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀叫的次数加30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温（单位：）． (1)用代数式表示该地当时的气温； (2)当蟋蟀叫的次数分别是80，100和120时，该地当时的气温大约是多少？ (1)解：设蟋蟀叫的次数为，则该地当时的气温为； (2)当蟋蟀叫的次数为80,100,120时，该地当时的气温大约分别是，，． 7.国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①________元； ②________元；③___（）__元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ （2）解：当时， ①总费用为（元）； ②总费用为（元）； ③总费用为（元）； ∵， ∴方案③最省钱. 【知识点二】代数式的意义 1.我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的请仔细分析下列赋予意义的例子，其中不正确的是(  D  ) A. 若葡萄的价格是元千克，则元表示买千克葡萄的金额 B. 若表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C. 某校七年级共有个班，每个班有名女生，则表示七年级女生总数 D. 若和分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 举例说明的实际意义：   用a表示正方形的边长，则4a表示该正方形的周长（答案不唯一）  .  3.某书店为了解我国四大名著中西游记与红楼梦的销售情况，对这两本名著的购书情况进行了统计．已知书店本月这两本书的销售目标是元，西游记的售价为元本，红楼梦的售价为元本，本月目前西游记已售出本，红楼梦已售出本，请说出下列每个代数式表示的实际意义： ：   本月目前已售出的《西游记》的销售总额为元    ； 本月目前已售出的《红楼梦》的销售总额与本月目前已售出的《西游记》的销售总额的差值 ； ： 本月这两本书的销售目标是5000元，目前距离销售目标的差额是元   ． 【拓展提升】 1.若则的值为（ D   ） A．3 B．9 C．8 D． 2.已知，，且，则（ D ） A． B．6 C．2或 D．或 3. x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：，，其中m，n，k均为正整数．已知，，那么的值是__15__． 4.为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是_______；___ 或___加密后是． 模块三：整式 【夯实基础】 【知识点一】单项式 1.关于代数式，下列说法正确的是（  B   ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 2.以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（  C   ） A． B． C． D． 3.下列说法正确的是（  D   ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 4.下列说法正确的是（  D  ） A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 5.一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（  C  ） A． B． C． D． 6.单项式的系数是 _____． 【知识点二】多项式 1.下列说法错误的是（  D   ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 2.下列判断中，错误的是（  D   ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 3.在代数式中，一次项系数是______． 4.已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． （1）解：∵，两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数， ∴当时，， ∵两个多项式最高次项的系数互为相反数， ∴这种情况不存在； 当时，，， 综上，，； （2）解：当，时， ． 【知识点三】整式 1.代数式，，，，，，中，整式的个数是（  D   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.关于整式的概念，下列说法中正确的是（ D  ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 3.已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 【拓展提升】 1.活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（  A   ） A． B． C． D． 2.有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（  D   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一节 代数式 一、思维导图 二、知识梳理 （一）代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、≥、<、≤、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； 2.代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④ 相同式子相乘时，结果需要写成幂的形式，如a×a×a应写作a3； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a2-b2）平方米。 ⑦当“1”与字母相乘时，“1”省略不写；当“-1”与字母相乘时，只需在该字母前加上“-”号。 3.代数式求值 （1）用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 注意： ①代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不变。 ②代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原。 ③若字母的值是负数或带分数，将字母的值代入代数式时，应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变。 （2）整体思想代入法 ①整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 ②根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． （二）单项式 1.单项式的概念：如，，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2） 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数与次数 （1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； ②圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： ①没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； ②不能将数字的指数一同计算． （三）多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 注意（1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 注意（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 （四）整式 单项式与多项式统称为整式。 注意（1）整式可以分为单项式和多项式。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 三、夯实基础 模块一：代数式 【夯实基础】 【知识点一】认识代数式 1.下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 2.下列式子：①，②，③，④，⑤0，⑥，其中代数式的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【知识点二】列代数式 1.小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（      ） A． B． C． D． 2.一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 3.有三个连续自然数，最小的数用字母表示，那么另外两个数表示为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 5.一个正方形的边长是，把这个正方形的边长增加后所得到的正方形的面积是 ． 6.某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为 元． 7.用代数式表示下列各数： (1)个位数字是a、十位数字是b（）的两位数； (2)个位数字是a、十位数字是b、百位数字是c（）的三位数． 【拓展提升】 1.观察下面的一列代数式：，，，，，，根据其中的规律，得出第个代数式是(     ) A. B. C. D. 2.一桶水连桶重20千克，倒掉一半水后连桶重a千克，那么水重 千克，桶重 千克． 模块二：代数式的值 【夯实基础】 【知识点一】求代数式的值 1.当时，代数式的值为（    ） A．1 B． C． D． 2.若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A．0 B． C．2 D．4 3.若m的相反数是4，则的结果是（   ） A．5 B． C．13 D． 4.已知，则的值是 ． 5.若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则___． 6.在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀叫的次数加30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温（单位：）． (1)用代数式表示该地当时的气温； (2)当蟋蟀叫的次数分别是80，100和120时，该地当时的气温大约是多少？ 7.国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①_______元； ②____ ___元；③ 元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ 【知识点二】代数式的意义 1.我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的请仔细分析下列赋予意义的例子，其中不正确的是(     ) A. 若葡萄的价格是元千克，则元表示买千克葡萄的金额 B. 若表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C. 某校七年级共有个班，每个班有名女生，则表示七年级女生总数 D. 若和分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 举例说明的实际意义：  .  3.某书店为了解我国四大名著中西游记与红楼梦的销售情况，对这两本名著的购书情况进行了统计．已知书店本月这两本书的销售目标是元，西游记的售价为元本，红楼梦的售价为元本，本月目前西游记已售出本，红楼梦已售出本，请说出下列每个代数式表示的实际意义： ：      ；  ； ：     ． 【拓展提升】 1.若则的值为（    ） A．3 B．9 C．8 D． 2.已知，，且，则（ ） A． B．6 C．2或 D．或 3. x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：，，其中m，n，k均为正整数．已知，，那么的值是____． 4.为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是 _； 加密后是． 模块三：整式 【夯实基础】 【知识点一】单项式 1.关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 2.以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 3.下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 4.下列说法正确的是（    ） A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 5.一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 6.单项式的系数是 _____． 【知识点二】多项式 1.下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 2.下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 3.在代数式中，一次项系数是______． 4.已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【知识点三】整式 1.代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 3.已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【拓展提升】 1.活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ） A． B． C． D． 2.有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $