3.2确定圆的条件（分层作业，11大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从理解到运用三级进阶，覆盖确定圆的条件及外接圆知识，通过基础题型、实际应用与高阶思维题实现知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解）|确定圆的条件、圆心、外接圆等基础概念|以选择、填空、尺规作图为主，强化概念辨析与基本技能，培养几何直观| |B组（掌握）|特殊三角形外接圆半径计算、实际应用|结合生活情境（如牧民定居点选址），提升知识迁移能力，体现应用意识| |C组（运用）|外心坐标、最小覆盖圆、分类讨论|融入坐标系与动态问题，发展推理能力与创新意识，适配思维拔高需求|

分层作业 3.2 确定圆的条件 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 确定圆的条件 题型02 确定圆心（尺规作图） 题型03 求能确定的圆的个数 题型04 三角形的外接圆 题型05 判断三角形外接圆的圆心位置 题型06 已知外心的位置判断三角形的形状 B组 能力进阶 题型01 求特殊三角形外接圆的半径 题型02 三角形外接圆的实际应用 C组 思维拔高 题型01 求三角形外心的坐标 题型02 最小覆盖圆问题 题型03 与三角形外接圆有关的分类讨论问题 确定圆的条件题型01 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的两条弧是等弧；⑤直角三角形的外心是斜边的中点．其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】此题考查了等弧、确定一个圆的条件、三角形的外心等知识，根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：①等弧所对的圆心角相等，命题正确； ②经过不在同一条直线上的三个点一定可以作圆，故选原命题错误； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，命题正确； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误； ⑤直角三角形的外心是斜边的中点，命题正确． 综上可知正确的有①③⑤， 故选：C 3．（24-25九年级上·江苏·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 4．嘉淇利用含角和角的一副直角三角板分别拼成如图所示的图形，则____________图中四点共圆．（填“甲”“乙”或“甲和乙”） 【答案】乙 【分析】取中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半分别判断点、、、是否在圆上即可． 【详解】解：甲图中四点不共圆，理由如下： 取中点，连、， ∵， ∴， ∴点、、都在以为圆心，为半径的圆上， ∵为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图中四点不共圆． 乙图中四点共圆，理由如下： 取中点，连、， ∵， ∴， ∴点、、、都在以为圆心，为半径的圆上， ∴乙图中四点共圆． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键． 5．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【答案】 证明：连接，． 分别是的高，为的中点， ， ∴点在以点为圆心的同一圆上． 【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键． 确定圆心（尺规作图）题型02 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·联考）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，连接，则点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得的长，再结合勾股定理求得半径的长． 【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示： 是圆形的金属框的两条弦， 点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由勾股定理可得，，， ， 则， ∴点为线段的中点， 即线段的中垂线过点， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 是线段的中垂线，，， ，， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度． 3．（24-25九年级上·期中）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 4．如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】 解：即为所求．    【分析】直接作出线段的垂直平分线，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确掌握垂直平分线的性质是解题关键． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1) 如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 求能确定的圆的个数题型03 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 2．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，    ②当三点在一直线上时，如图2    分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即， ③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，    分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时， 即n不能是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键． 3．过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 5．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 三角形的外接圆题型04 1．（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明垂直平分，垂直平分，进而得出，，等量代换即可求解． 【详解】解：如图，连接，， E是的外心， ， P，Q分别是，的中点， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故答案为：12． 5．（2025·山东聊城·模拟）在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． (1)如图 1，若，，求的度数； (2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 【答案】(1) (2)菱形， 理由如下：∵点P是的外心， ∴点P是三边垂直平分线的交点， ∴． 由旋转得， ∴， ∴四边形是菱形； (3) 证明：延长至E，使，连接， 根据旋转可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【分析】对于（1），根据旋转的性质得，，可得，再根据周角可知，进而得，即，可得答案； 对于（2），先根据外心的性质得点P是三边垂直平分线的交点，即可，再根据旋转的性质得，然后根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案； 对于（3），延长至E，使，连接，根据旋转可得，根据“边角边”证明，可得，然后说明，接下来根据“边角边”证明，可得答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，三角形的外心的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 判断三角形外接圆的圆心位置题型05 1．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三种三角形的外接圆的圆心的位置是解题的关键． 先明确三角形的外心的定义，再分情况讨论直角、锐角、钝角三角形的外接圆的圆心位置，即可得解． 【详解】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部， 所以A、B、C均错误． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 3．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】此题考查了直角三角形外心的位置．直角三角形的外心是其外接圆的圆心，由于直角三角形的斜边是外接圆的直径，因此外心位于斜边的中点．据此进行判断即可． 【详解】解：在直角三角形中，直角所对的边是斜边．根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此直角三角形的斜边是其外接圆的直径．外心是外接圆的圆心，圆心是直径的中点，故直角三角形的外心是斜边的中点．因此该命题是真命题． 故答案为：真． 5．（25-26七年级·上海·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【答案】(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 已知外心的位置判断三角形的形状题型06 1．（24-25九年级上·浙江·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 2．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【答案】C 【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答； 【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键． 3．三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是_______． 【答案】直角三角形 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形． 【详解】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部； 由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点． 4．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，，D、E分别是、的中点，. （1）如图1，若，求的长度（用含a的代数式表示）； （2）如图2，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接、，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当的外心在三角形的外部时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2a； （2）BD=CE， 理由如下：∵D、E分别是AB，AC的中点，AB=AC， ∴AD=AE， 由旋转变换的性质可知，∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE； （3）0°＜α＜60°或90°＜α＜180°． 【分析】（1）由题意直接根据三角形中位线定理进行分析即可解答； （2）根据题意先证明△DAB≌△EAC，进而根据全等三角形的性质分析即可得到答案； （3）根据题意分∠AEC=90°、∠EAC=90°两种情况求出α，根据三角形的外心的概念进行解答． 【详解】解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，， ∴BC=2DE=2a； （2）略 （3）当△ACE的外心在三角形的外部时，△ACE为钝角三角形， 当∠AEC=90°时，取AC的中点H，连接EH， 则EH=AC=AH， 由题意得，AE=AH， ∴AE=AH=EH， ∴△AEH为等边三角形， ∴∠EAH=60°， ∴当0°＜α＜60°时，△ACE为钝角三角形， 当∠EAC=90°时，α=90°， ∴90°＜α＜180°时，△ACE为钝角三角形， 综上所述：当△ACE的外心在三角形的外部时，0°＜α＜60°或90°＜α＜180°． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质和三角形的外心的概念以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的外接圆圆心的概念、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 求特殊三角形外接圆的半径题型01 1．（25-26九年级上·江西上饶·月考）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 2．已知直角的斜边长为5，则这个三角形的外接圆的半径为_________. 【答案】 【分析】根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边上的中线即可求解． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形， ∴它的外接圆的半径=斜边上的中线， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 4．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，已知△ABC为等腰三角形，AD⊥BC； (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若底边，腰，求△ABC外接圆⊙O的半径． 【答案】(1) 如图所示： 如图是所求作的的外接圆. (2) 【分析】（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，已知AD是BC边上的垂直平分线，再作△ABC的另一边的垂直平分线，它于AD的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆； （2）连接OB，然后根据等腰三角形的性质求得BD，然后勾股定理求得AD,最后利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ∵是等腰三角形，底边，腰， ∴， ∴在中，. 在中，. ∴． 【点睛】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键． 三角形外接圆的实际应用题型02 1．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】根据题意凳子的位置要到三个点的距离相等，那应该是三条垂直平分线的交点，也就是外心． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，也就是放在外心处． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 2．草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得三个放牧点到定居点的距离相等．如果三个放牧点的位置如下图所示，那么如何确定定居点的位置？ 【答案】 解：图形如下． 作法：（1）连接三个放牧点得到， （2）作的垂直平分线， （3）作的垂直平分线，与相交于点， 所以点就是所要求作的点，在点处修建牧民定居点． 【分析】连接三个放牧点构成三角形，然后作任意两边的垂直平分线，根据三角形外心的性质，交点就是到三个放牧点到定居点的距离相等． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，解题的关键是利用三角形的外心到三个顶点的距离相等作图即可． 3．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来． 【答案】 如图所示，即为花坛的位置． 【分析】本题考查的是三角形外接圆的作法； 要使三棵树都在花坛的边上则应使花坛为的外接圆，故只要作出三角形两边垂直平分线的交点即为的外接圆圆心，再以此点为圆心，以此点到点的长度为半径画圆，此圆即为花坛的位置． 解答此题的关键是熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：①分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ②分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ③直线与相交于点，以为圆心，以的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置． 求三角形外心的坐标题型01 1．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，点P为的外接圆的圆心，将绕点O逆时针旋转，点P的对应点P’的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据点的坐标可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，得的外接圆的圆心在斜边的中点处，取的中点，可得，连接，将绕点逆时针旋转90至，作轴于点，轴于点，证明△，得，，进而可求得点的坐标． 【详解】解：如图， 过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形 的外接圆的圆心在斜边的中点处 如图，取的中点， ， 连接，将绕点逆时针旋转90至， 作轴于点，轴于点， ， △ ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形变化—旋转，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心的位置． 3．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为____． 【答案】(1，4) 【分析】如图，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标． 【详解】解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为（1,4）． 故答案为（1,4）． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·质检）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 5．（2025·安徽芜湖·模拟）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)画出绕原点旋转后得到的． (3)请直接写出的外心的坐标． 【答案】(1) 解：如图，为所求． (2) 解：如图，为所求． (3) 【分析】本题考查了三角形的外心，轴对称作图，旋转作图，掌握关于轴对称的点的坐标特点、绕点旋转图象的作图技巧是解答本题的关键． （1）根据题意，由关于轴对称点的性质，纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到三个顶点关于轴对称的点，得到； （2）根据题意，分别将三个顶点与点连接，绕点旋转，旋转后的三角形三个顶点就分别在三条延长线上，取，连接点即为所求． （3）根据三角形外心的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的外心即为边垂直平分线的交点， 边垂直平分线是直线， 边垂直平分线是直线， ∴的外心是． 最小覆盖圆问题题型02 1．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、， 则，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 则， 刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·质检）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为______． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 5．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1) 如图即为所求：    (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 与三角形外接圆有关的分类讨论问题题型03 1．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A．2＋ B． C．2＋或2－ D．4＋2或2－ 【答案】C 【详解】解：由题意可得，如图所示， 存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D， ∴CD=1，OD==， ∴=BC•A1D==； 当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D， ∴CD=1，OD==， ∴=BC•A2D ==， 由上可得，△ABC的面积为或， 故选C． 2．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为_____． 【答案】8﹣4或8+4 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可． 【详解】解：由题意可得， 当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝4，OA1⊥BC于点D， ∴CD＝2， ∴OD＝＝2， ∴A1D＝4﹣2， ∴△ABC的面积＝×4×（4﹣2）＝8﹣4， 当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC， A2D＝4+2 同理可得，△ABC的面积＝8+4， 故答案为：8﹣4或8+4． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 确定圆的条件 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 确定圆的条件 题型02 确定圆心（尺规作图） 题型03 求能确定的圆的个数 题型04 三角形的外接圆 题型05 判断三角形外接圆的圆心位置 题型06 已知外心的位置判断三角形的形状 B组 能力进阶 题型01 求特殊三角形外接圆的半径 题型02 三角形外接圆的实际应用 C组 思维拔高 题型01 求三角形外心的坐标 题型02 最小覆盖圆问题 题型03 与三角形外接圆有关的分类讨论问题 确定圆的条件题型01 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 2．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的两条弧是等弧；⑤直角三角形的外心是斜边的中点．其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（24-25九年级上·江苏·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 4．嘉淇利用含角和角的一副直角三角板分别拼成如图所示的图形，则____________图中四点共圆．（填“甲”“乙”或“甲和乙”） 5．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 确定圆心（尺规作图）题型02 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 2．（25-26九年级上·湖北武汉·联考）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·期中）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____． 4．如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 求能确定的圆的个数题型03 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 4．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 5．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 三角形的外接圆题型04 1．（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为______． 5．（2025·山东聊城·模拟）在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． (1)如图 1，若，，求的度数； (2)若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (3)如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 判断三角形外接圆的圆心位置题型05 1．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（   ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是__________命题．（填“真”或“假”） 5．（25-26七年级·上海·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 已知外心的位置判断三角形的形状题型06 1．（24-25九年级上·浙江·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 3．三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是_______． 4．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 5．如图，在中，，D、E分别是、的中点，. （1）如图1，若，求的长度（用含a的代数式表示）； （2）如图2，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接、，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当的外心在三角形的外部时，请直接写出的取值范围． 求特殊三角形外接圆的半径题型01 1．（25-26九年级上·江西上饶·月考）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 2．已知直角的斜边长为5，则这个三角形的外接圆的半径为_________. 3．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 4．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 5．如图，已知△ABC为等腰三角形，AD⊥BC； (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若底边，腰，求△ABC外接圆⊙O的半径． 三角形外接圆的实际应用题型02 1．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心 2．草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得三个放牧点到定居点的距离相等．如果三个放牧点的位置如下图所示，那么如何确定定居点的位置？ 3．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来． 求三角形外心的坐标题型01 1．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，点P为的外接圆的圆心，将绕点O逆时针旋转，点P的对应点P’的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为____． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·质检）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为______． 5．（2025·安徽芜湖·模拟）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)画出绕原点旋转后得到的． (3)请直接写出的外心的坐标． 最小覆盖圆问题题型02 1．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·质检）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为______． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 5．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 与三角形外接圆有关的分类讨论问题题型03 1．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A．2＋ B． C．2＋或2－ D．4＋2或2－ 2．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为_____． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $