2.2 一元二次方程的解法（三）》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，构建“原理-步骤-类型-策略-易错”五级方法体系，强化从代数推理到实际应用的知识迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|选择10/填空10/解答7|零乘积原理应用、四类型因式分解（提公因式/平方差/完全平方/十字相乘）、规范步骤（移项-分解-转化-求解）|以零乘积性质为核心，从基础类型到易错辨析，形成“概念理解-技能训练-规范表达”递进逻辑| |强化提优|选择10/填空10/解答7|含参/几何综合题解法选择、逆向构造方程、整体思想应用|结合实际问题（面积/数字）与综合题型，深化“降次转化”数学思维，培养模型意识与运算能力|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（三）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解因式分解法解方程的本质：若两个因式的积为0，则至少其中一个因式为0（零乘积原理）；能识别适合因式分解法求解的一元二次方程结构，区分因式分解法、配方法、公式法的适用模型。 2.熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对方程左侧因式分解；规范推理 “ A × B=0 → A=0 或 B=0 ” ；能辨析常见错误：不能直接两边除以含未知数的代数式（会丢根）。 3.能快速整理方程，移项使右侧为0，再分解左侧；准确求解分解后得到的两个一次方程；规范书写步骤，检验根，提升简化解方程的运算速度，优先选用简便解法。 4.能用因式分解法快速解简单实际问题列出的一元二次方程（面积、增长率、数字问题）；结合含参题型、几何边长题型，选择最优解法，简化计算。 ) 二．知识梳理 ( （一） 因式分解法解方程依据（零乘积性质） 如果ab=0，那么a=0或b=0。 核心理解： “ 或 ” 表示二者至少一个成立，并非同时成立；一元二次方程分解为两个一次因式乘积等于0，转化为两个一元一次方程求解，实现降次。 （二） 因式分解法标准解题步骤（必考规范） 1.移项：整理方程，使等号右边=0，形式 ： ( )( )=0； 2.分解：把左边多项式因式分解（提公因式、平方差、完全平方）； 3.转化：由A × B=0，得到A=0 或 B=0，得到两个一元一次方程； 4.求解：分别解两个一次方程，得到一元二次方程的两根x 1 、x 2 。 （三） 常用因式分解类型（本节核心） 1.提公因式型：ax 2 +bx=0 → x(ax+b)=0 2.平方差型：a 2 x 2 -b 2 =0 → (ax+b)(ax-b)=0 3.完全平方型：x 2 ± 2ax+a 2 =0 → (x ± a) 2 =0（两个相等实数根） 4.十字相乘型：x 2 +px+q=0，可分解为(x+m)(x+n)=0（m+n=p，mn=q） （四） 解法选择策略（提优重点） 1.优先因式分解法：方程容易移项为 “ 乘积=0 ” 、缺常数项、平方差、完全平方式、简单十字相乘；计算最快。 2.不适合因式分解法：无法分解为整系数一次因式乘积，优先公式法/配方法。 3.本章 四 种解法底层目标一致：降次，把二次方程转化为一次方程。 （五） 高频易错点（重中之重） 1.错误：方程两边直接同除含有未知数的因式，会直接丢失一根； 例：x(x-2)=3(x-2)，不能直接除以x-2，必须移项、提公因式：(x-2)(x-3)=0 2.错误：不等0时套用零乘积性质，只有乘积=0才能拆成两个因式分别为0； 3.书写误区：(x-1)(x-3)=0，不能写成x-1=0 且 x-3=0，必须用或； 4.漏写重根：完全平方分解得到(x-m) 2 =0，要表述为x 1 =x 2 =m（两个相等实数根）。 （六） 拓展提优题型方向 1.基础计算：提公因式、平方差、完全平方、简单十字相乘解方程； 2.易错题：等号两侧含有相同因式，需要移项整体提公因式； 3.逆向题型：已知两根，反向构造一元二次方程； 4.实际应用：面积、数字、传播问题，列方程后优先因式分解快速求解； 5.综合辨析：同一方程，对比因式分解法、公式法、配方法优劣，选择最简解法。 因式分解法是简便快捷的特殊解法，不是万能解法；公式法才是通用解法。考试中若未指定解法，能因式分解优先用因式分解法，节省计算时间、减少根式运算失误。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）解方程最适合用直接提公因式法的是（ ） A.x2-3x+1=0 B.x2-4x=0 C.x2-5=0 D.2x2+3x+1=0 【答案】B 【解析】x2-4x=0可直接提公因式：x(x-4)=0，是因式分解法典型题型。 2.（2025·苏州姑苏期末）若(x-2)(x+3)=0，则方程的根是（ ） A.x=2 B.x=-3 C.x1=2,x2=-3 D.x1=-2,x2=3 【答案】C 【解析】零乘积性质：x-2=0或x+3=0，直接得两根。 3.（2025·泰州姜堰期末）方程x法=x的正确解法是（ ） A.两边除以x得x=1 B.x(x-1)=0得x1=0,x2=1 C.x2-x=1 D.只能用公式法 【答案】B 【解析】严禁直接除未知数，会丢根；移项提公因式是唯一正确做法。 4.（2025·南通通州期末）方程x(x+1)=0的根的情况是（ ） A.只有一个根 B.两个不相等实数根 C.两个相等实数根 D.无实根 【答案】B 【解析】两根：x1=0,x2=-1，不相等。 5.（2025·扬州邗江期末）方程x2-9=0因式分解正确的是（ ） A.(x-3)2=0 B.(x+3)2=0 C.(x-3)(x+3)=0 D.x(x-9)=0 【答案】C 【解析】平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。 6.（2025·镇江丹徒期末）方程(x-1)2=0的根为（ ） A.x=1 B.x1=x2=1 C.x=±1 D.无解 【答案】B 【解析】完全平方型，两个相等实数根，必须规范写重根。 7.（2026·南京鼓楼一模）解方程3x2-6x=0，提取公因式为（ ） A.3x(x-2)=0 B.3(x2-2x)=0 C.x(3x-6)=0 D.3x2(1-2x)=0 【答案】A 【解析】提取最大公因式3x，分解最彻底。 8.（2025·徐州铜山期末）一元二次方程因式分解法的核心依据是（ ） A.若ab>0则a、b同号 B.若ab=0则a=0或b=0 C.完全平方公式 D.平方差公式 【答案】B 【解析】零乘积性质是因式分解法解方程的唯一原理。 9.（2026·常州新北一模）下列解方程过程正确的是（ ） A.x(x-2)=2(x-2)→ x=2 B.x2-4=0 → (x-2)(x+2)=0 → x1=2,x2=-2 C.x2=3x → x=3 D.(x+1)2=4 → x+1=2 【答案】B 【解析】A、C丢根；D漏负根，只有B步骤完整正确。 10．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( ) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 【答案】A 【解析】①若n2－n－1＝1，解得n1＝2，n2＝－1；②若n2－n－1＝－1，n＋2为偶数，解得n＝0；③若n2－n－1≠0，n＋2＝0，解得n＝－2. 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城阜宁期末）方程x(x-5)=0的两根是________。 【答案】x1=0，x2=5 【解析】直接利用零乘积性质求解。 12.（2025·苏州姑苏期末）方程x2-2x=0用因式分解法求解时将左边因式分解后的结果为________。 【答案】x(x-2)=0 【解析】提取公因式x。 13.（2025·泰州姜堰期末）方程x2-16=0的根为________。 【答案】x1=4，x2=-4 【解析】平方差分解：(x+4)(x-4)=0。 14.（2025·南通通州期末）方程(x-6)2=0的根是________。 【答案】x1=x2=6 【解析】重根必须写两个相等实数根。 15.（2025·扬州邗江期末）解方程2x2+4x=0，将左边提取公因式得________。 【答案】2x(x+2)=0 【解析】最大公因式2x。 16.（2025·镇江丹徒期末）若(2x-1)(x+3)=0，则x的值为________。 【答案】x1=，x2=-3 【解析】分别令两个因式为0求解。 17.（2026·南京鼓楼一模）方程x2-3x=0较小的根是________。 【答案】0 【解析】根为0、3，较小根为0。 18.（2025·徐州铜山期末）方程x2-8x+16=0将左边因式分解的结果为________。 【答案】(x-4)2=0 【解析】完全平方公式。 19.（2025·连云港海州期末）解方程x2=7x，移项将左边因式分解得________。 【答案】x(x-7)=0 【解析】移项：x2-7x=0，提公因式。 20.（2026·常州新北一模）方程4x2-9=0将左边因式分解得________。 【答案】(2x+3)(2x-3)=0 【解析】平方差：(2x)2-32。 三．解答题（共60分） 21.因式分解法解方程 （1）x2-16=0； （2）x2-3x=0； （3）x2-4x-5=0； （4）3x2+5x-2=0． 解:（1）x2-16=0，x2=16，x=±4，即x1=4，x2=-4； （2）x2-3x=0，x（x-3）=0，x=0或x-3=0，解得：x1=0，x2=3； （3）x2-4x-5=0，（x-5）（x+1）=0，x-5=0或x+1=0，解得：x1=5，x2=-1； （4）3x2+5x-2=0，（3x-1）（x+2）=0，3x-1=0，x+2=0，解得：x1=，x2=-2． 22.（2025·盐城阜宁期末）解方程：x2-5x=0 (1) 写出因式分解法解方程的第一步操作； (2) 完整因式分解并列出两个一次方程； (3) 写出方程的两个实数根。 解：(1) 第一步：提取公因式，将左侧因式分解。 (2) 分解：x(x-5)=0根据零乘积性质得：x=0 或 x-5=0 (3) 解得：x1=0,x2=5 23.（2025·苏州吴中期末）解方程：x2-4=0 (1) 说明本题适合的因式分解公式； (2) 完成因式分解； (3) 求出方程两根。 解：(1) 适合平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 分解：(x+2)(x-2)=0 (3) x+2=0或x-2=0，x1=-2,x2=2 24．解答下列各题： (1)当x为何值时，x2－10x＋12的值为－13? (2)当x为何值时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等？ 解：(1)由题意，得x2－10x＋12＝－13，∴x2－10x＋25＝0，(x－5)2＝0， ∴x1＝x2＝5，∴当x＝5时，x2－10x＋12的值为－13. (2)由题意，得x2－7x－13＝2x－13，∴x2－9x＝0，∴x(x－9)＝0，∴x1＝0，x2＝9， ∴当x＝0或9时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等． 25.（2026·镇江京口二模）已知等腰三角形的两边长是方程 x2-7x+12=0 的两根 (1) 用因式分解法解该方程； (2) 写出方程的两个根，并写出所有可能的三边长组合； (3) 根据三边关系求出三角形周长。 解：(1) 因式分解：(x-3)(x-4)=0 (2) 方程根：x1=3,x2=4。等腰三角形边长组合：3、3、4 或 4、4、3 (3) 两组均满足三边关系，①周长1：3+3+4=10，②周长2：4+4+3=11 ∴周长为 10或 11 26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长； （3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值． 解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0， ∴a+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，a=3，则a﹣b=4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9=0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3=7； （3）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=﹣2． 27.阅读理解配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1. (1)当x＝________时，代数式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值为________． (2)当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值为________． 分析：－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋________)＋________＝－2(x－1)2＋________． (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是16 m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？(假设墙足够长) 解：(1)1　大　3　(2)1　大　5　1　5　5 (3)设花园与墙垂直的边长为x m，花园的面积为S m2， 则S＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32. 当x＝4时，S取得最大值32. 所以当花园与墙垂直的边长为4 m时，花园的面积最大，最大面积是32 m2. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州吴中二模）解方程x(x-3)=4(x-3)，正确变形是（） A.x=4 B.x(x-3)-4(x-3)=0 →(x-3)(x-4)=0 C.x2-3x=4x-12 D.直接除以x-3 【答案】B 【解析】左右同含因式必须移项提公因式，严禁直接除，避免丢根x=3。 2.（2026·南通崇川二模）方程(x+1)2=3(x+1)的根为（ ） A.x=2 B.x=-1或2 C.x=-1 D.x=-2 【答案】B 【解析】移项：(x+1)(x+1-3)=0 → (x+1)(x-2)=0。 3.（2025·无锡江阴期末）下列解方程会丢根的是（ ） A.移项后因式分解 B.两边同时除以含x的整式 C.用十字相乘分解 D.用平方差分解 【答案】B 【解析】等式两边除以含未知数式子，直接丢失使式子为0的根。 4.（2026·盐城盐都二模）方程x2-5x+6=0十字相乘分解正确的是（ ） A.(x-2)(x-3)=0 B.(x+2)(x+3)=0 C.(x-1)(x-6)=0 D.(x+1)(x+6)=0 【答案】A 【解析】和为-5、积为6，两根2、3。 5.（2026·扬州广陵二模）方程2(x-2)2=x2-4最优解法是（ ） A.公式法 B.配方法 C.因式分解法 D.直接开平方法 【答案】C 【解析】右侧平方差分解，整体移项提公因式最快。 6.（2026·镇江京口二模）若方程x2+ax-12=0可分解为(x-3)(x+4)=0，则a为（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-7 【答案】A 【解析】展开：x2+x-12=0，a=1。 7.（2025·常州武进期末）方程3x2=2x的两根为（ ） A.x1=0,x2= B.x1=0,x2=- C.x1=,x2=- D.只有x= 【答案】A 【解析】移项：x(3x-2)=0。 8.（2026·徐州云龙二模）已知(a+b)2-4(a+b)=0，则a+b的值为（ ） A.0 B.4 C.0或4 D.无解 【答案】C 【解析】整体因式分解：(a+b)(a+b-4)=0。 9.（2025·连云港连云期末）下列方程适合十字相乘法因式分解的是（ ） A.x2-2=0 B.x2-6x+5=0 C.x2+2x+3=0 D.2x2+4=0 【答案】B 【解析】x2-6x+5=(x-1)(x-5)=0。 10．已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( ) A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6 【答案】A 【解析】两式相减，得 (m2＋n2－12)－(m2－5n－6)＝0，∴m2＋n2－12－m2＋5n＋6＝0，∴n2＋5n－6＝0，即(n＋6)(n－1)＝0，∴n1＝－6，n2＝1.把n＝－6代入m2＋n2－12＝0，得m2＝－24，不合题意，舍去；把n＝1代入m2＋n2－12＝0，得m2＝11，即m＝±，∴n＝1. 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州吴中二模）方程(x-4)2=2(x-4)移项分解得________。 【答案】(x-4)(x-6)=0 【解析】(x-4)2-2(x-4)=0 → (x-4)(x-4-2)=0。 12.（2026·南通崇川二模）方程x2-7x+10=0将左边因式分解得________。 【答案】(x-2)(x-5)=0 【解析】十字相乘基础题型。 13.（2025·无锡江阴期末）解方程4x2-16x=0的两根是________。 【答案】x1=0，x2=4 【解析】4x(x-4)=0。 14.（2026·盐城盐都二模）方程x2+3x-4=0的根为________。 【答案】x1=1，x2=-4 【解析】(x+4)(x-1)=0。 15.（2026·扬州广陵二模）方程(2x-3)2-(x+1)2=0将左边用平方差分解为________。 【答案】(3x-2)(x-4)=0 【解析】[(2x-3)+(x+1)][(2x-3)-(x+1)]=0。 16.（2026·镇江京口二模）已知方程两根为0、-6，则方程为________。 【答案】x2+6x=0 【解析】x(x+6)=0。 17.（2025·常州武进期末）方程5x2-10x=0的大根是________。 【答案】2 【解析】根为0、2。 18.（2026·徐州云龙二模）方程x2-12x+36=0的根为________。 【答案】x1=x2=6 【解析】完全平方重根。 19.（2025·连云港连云期末）解方程(x+2)2=2x+4，化简为________。 【答案】(x+2)x=0 【解析】右侧提2：(x+2)2-2(x+2)=0 → (x+2)x=0。 20.（2026·淮安淮阴二模）若x2-9x+k=(x-1)(x-8)，则k=________。 【答案】8 【解析】常数项：-1×(-8)=8。 三．解答题（共60分） 21.用因式分解法解下列方程： (1)4x2－(x－2)2＝0. （2）x2－8x＝9. (3)(y＋)2＝4y＋12. （4）（2x-1）2=-3（2x-1） 解：（1）(2x)2－(x－2)2＝0，(2x＋x－2)(2x－x＋2)＝0，即(3x－2)(x＋2)＝0， ∴3x－2＝0或x＋2＝0，∴x1＝，x2＝－2. （2）x2－8x－9＝0，(x－9)(x＋1)＝0，∴x－9＝0或x＋1＝0，∴x1＝9，x2＝－1. （3）y2＋2y＋3－4y－12＝0，y2－2y－9＝0，(y＋)(y－3)＝0，∴y＋＝0或y－3＝0，∴y1＝－，y2＝3. （4）（2x-1）2=-3（2x-1），（2x-1）2+3（2x-1）=0，（2x-1）（2x-1+3）=0，2x-1=0或2x-1+3=0，x1= ，x2=-1； 22.（2026·南京鼓楼一模）解方程：x(x-2)=3(x-2) (1) 说明本题绝对不能直接两边除以x-2的原因； (2) 移项整理后完成因式分解； (3) 求出方程全部实数根。 解：(1) 两边除以含未知数的整式，会丢失x-2=0这一根，属于典型解题漏洞。 (2) 移项：x(x-2)-3(x-2)=0，提公因式：(x-2)(x-3)=0 (3) x-2=0或x-3=0，x1=2,x2=3。 23.（2026·苏州姑苏二模）解方程：(x+1)2-4(x+1)=0 (1) 把x+1看作整体，提取公因式； (2) 化简得到两个一次因式； (3) 求解方程两根。 解：(1) 整体提公因式(x+1)：(x+1)[(x+1)-4]=0 (2) 化简：(x+1)(x-3)=0， (3) x1=-1,x2=3。 24.（2025·扬州邗江期末）已知两个连续正整数的积为42 (1) 设较小整数为x，用含x的式子表示较大整数； (2) 列出一元二次方程并整理； (3) 用因式分解法求出这两个整数。 解：(1) 较大整数：x+1 (2) 列方程：x(x+1)=42，整理：x2+x-42=0 (3) 因式分解：(x+7)(x-6)=0，解得：x1=6,x2=-7（负整数舍去） ∴两个连续正整数为 6、7。 25．已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)求该三角形的面积． 解：（1）三角形第三条边长是方程的一个根，解方程可得， ，，分两种情况讨论： ①当第三条边长为时，符合三角形三边关系，有两条边长为，此时三角形是等腰三角形； ②当第三条边长为时，符合三角形三边关系，，该三角形是直角三角形． 故该三角形是等腰三角形或直角三角形． （2）①该三角形是等腰三角形时，如下图： 此时，，作交于点，，则，； ②该三角形是直角三角形时，如下图： 此时，，． 综上，该三角形的面积为或．故答案为：或． 26．阅读与思考． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 解:（1）因式分解，得， ∴或； 即：或，解得：，； （2）两边同时平方得：，整理得：；解得：， ∵且，∴∴原方程的解为． 27．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 解：（1）∵，∴，∴或，∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）①∵，∴，∴或， ∴，，∴，∵点在直线上，∴，∴； ②由①可得，∴点在直线上，如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴，∴△AOB为等腰直角三角形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∴，解得：，∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（三）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解因式分解法解方程的本质：若两个因式的积为0，则至少其中一个因式为0（零乘积原理）；能识别适合因式分解法求解的一元二次方程结构，区分因式分解法、配方法、公式法的适用模型。 2.熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对方程左侧因式分解；规范推理 “ A × B=0 → A=0 或 B=0 ” ；能辨析常见错误：不能直接两边除以含未知数的代数式（会丢根）。 3.能快速整理方程，移项使右侧为0，再分解左侧；准确求解分解后得到的两个一次方程；规范书写步骤，检验根，提升简化解方程的运算速度，优先选用简便解法。 4.能用因式分解法快速解简单实际问题列出的一元二次方程（面积、增长率、数字问题）；结合含参题型、几何边长题型，选择最优解法，简化计算。 ) 二．知识梳理 ( （一） 因式分解法解方程依据（零乘积性质） 如果ab=0，那么a=0或b=0。 核心理解： “ 或 ” 表示二者至少一个成立，并非同时成立；一元二次方程分解为两个一次因式乘积等于0，转化为两个一元一次方程求解，实现降次。 （二） 因式分解法标准解题步骤（必考规范） 1.移项：整理方程，使等号右边=0，形式 ： ( )( )=0； 2.分解：把左边多项式因式分解（提公因式、平方差、完全平方）； 3.转化：由A × B=0，得到A=0 或 B=0，得到两个一元一次方程； 4.求解：分别解两个一次方程，得到一元二次方程的两根x 1 、x 2 。 （三） 常用因式分解类型（本节核心） 1.提公因式型：ax 2 +bx=0 → x(ax+b)=0 2.平方差型：a 2 x 2 -b 2 =0 → (ax+b)(ax-b)=0 3.完全平方型：x 2 ± 2ax+a 2 =0 → (x ± a) 2 =0（两个相等实数根） 4.十字相乘型：x 2 +px+q=0，可分解为(x+m)(x+n)=0（m+n=p，mn=q） （四） 解法选择策略（提优重点） 1.优先因式分解法：方程容易移项为 “ 乘积=0 ” 、缺常数项、平方差、完全平方式、简单十字相乘；计算最快。 2.不适合因式分解法：无法分解为整系数一次因式乘积，优先公式法/配方法。 3.本章 四 种解法底层目标一致：降次，把二次方程转化为一次方程。 （五） 高频易错点（重中之重） 1.错误：方程两边直接同除含有未知数的因式，会直接丢失一根； 例：x(x-2)=3(x-2)，不能直接除以x-2，必须移项、提公因式：(x-2)(x-3)=0 2.错误：不等0时套用零乘积性质，只有乘积=0才能拆成两个因式分别为0； 3.书写误区：(x-1)(x-3)=0，不能写成x-1=0 且 x-3=0，必须用或； 4.漏写重根：完全平方分解得到(x-m) 2 =0，要表述为x 1 =x 2 =m（两个相等实数根）。 （六） 拓展提优题型方向 1.基础计算：提公因式、平方差、完全平方、简单十字相乘解方程； 2.易错题：等号两侧含有相同因式，需要移项整体提公因式； 3.逆向题型：已知两根，反向构造一元二次方程； 4.实际应用：面积、数字、传播问题，列方程后优先因式分解快速求解； 5.综合辨析：同一方程，对比因式分解法、公式法、配方法优劣，选择最简解法。 因式分解法是简便快捷的特殊解法，不是万能解法；公式法才是通用解法。考试中若未指定解法，能因式分解优先用因式分解法，节省计算时间、减少根式运算失误。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）解方程最适合用直接提公因式法的是（ ） A.x2-3x+1=0 B.x2-4x=0 C.x2-5=0 D.2x2+3x+1=0 2.（2025·苏州姑苏期末）若(x-2)(x+3)=0，则方程的根是（ ） A.x=2 B.x=-3 C.x1=2,x2=-3 D.x1=-2,x2=3 3.（2025·泰州姜堰期末）方程x法=x的正确解法是（ ） A.两边除以x得x=1 B.x(x-1)=0得x1=0,x2=1 C.x2-x=1 D.只能用公式法 4.（2025·南通通州期末）方程x(x+1)=0的根的情况是（ ） A.只有一个根 B.两个不相等实数根 C.两个相等实数根 D.无实根 5.（2025·扬州邗江期末）方程x2-9=0因式分解正确的是（ ） A.(x-3)2=0 B.(x+3)2=0 C.(x-3)(x+3)=0 D.x(x-9)=0 6.（2025·镇江丹徒期末）方程(x-1)2=0的根为（ ） A.x=1 B.x1=x2=1 C.x=±1 D.无解 7.（2026·南京鼓楼一模）解方程3x2-6x=0，提取公因式为（ ） A.3x(x-2)=0 B.3(x2-2x)=0 C.x(3x-6)=0 D.3x2(1-2x)=0 8.（2025·徐州铜山期末）一元二次方程因式分解法的核心依据是（ ） A.若ab>0则a、b同号 B.若ab=0则a=0或b=0 C.完全平方公式 D.平方差公式 9.（2026·常州新北一模）下列解方程过程正确的是（ ） A.x(x-2)=2(x-2)→ x=2 B.x2-4=0 → (x-2)(x+2)=0 → x1=2,x2=-2 C.x2=3x → x=3 D.(x+1)2=4 → x+1=2 10．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( ) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城阜宁期末）方程x(x-5)=0的两根是________。 12.（2025·苏州姑苏期末）方程x2-2x=0用因式分解法求解时将左边因式分解后的结果为________。 13.（2025·泰州姜堰期末）方程x2-16=0的根为________。 14.（2025·南通通州期末）方程(x-6)2=0的根是________。 15.（2025·扬州邗江期末）解方程2x2+4x=0，将左边提取公因式得________。 16.（2025·镇江丹徒期末）若(2x-1)(x+3)=0，则x的值为________。 17.（2026·南京鼓楼一模）方程x2-3x=0较小的根是________。 18.（2025·徐州铜山期末）方程x2-8x+16=0可将左边因式分解后的结果为________。 19.（2025·连云港海州期末）解方程x2=7x，移项后因式分解得________。 20.（2026·常州新北一模）方程4x2-9=0将左边因式分解后的结果为________。 三．解答题（共60分） 21.因式分解法解方程 （1）x2-16=0； （2）x2-3x=0； （3）x2-4x-5=0； （4）3x2+5x-2=0． 22.（2025·盐城阜宁期末）解方程：x2-5x=0 (1) 写出因式分解法解方程的第一步操作； (2) 完整因式分解并列出两个一次方程； (3) 写出方程的两个实数根。 23.（2025·苏州吴中期末）解方程：x2-4=0 (1) 说明本题适合的因式分解公式； (2) 完成因式分解； (3) 求出方程两根。 24．解答下列各题： (1)当x为何值时，x2－10x＋12的值为－13? (2)当x为何值时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等？ 25.（2026·镇江京口二模）已知等腰三角形的两边长是方程 x2-7x+12=0 的两根 (1) 用因式分解法解该方程； (2) 写出方程的两个根，并写出所有可能的三边长组合； (3) 根据三边关系求出三角形周长。 26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长； （3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值． 27.阅读理解配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1. (1)当x＝________时，代数式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值为________． (2)当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值为________． 分析：－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋________)＋________＝－2(x－1)2＋________． (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是16 m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？(假设墙足够长) B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州吴中二模）解方程x(x-3)=4(x-3)，正确变形是（） A.x=4 B.x(x-3)-4(x-3)=0 →(x-3)(x-4)=0 C.x2-3x=4x-12 D.直接除以x-3 2.（2026·南通崇川二模）方程(x+1)2=3(x+1)的根为（ ） A.x=2 B.x=-1或2 C.x=-1 D.x=-2 3.（2025·无锡江阴期末）下列解方程会丢根的是（ ） A.移项后因式分解 B.两边同时除以含x的整式 C.用十字相乘分解 D.用平方差分解 4.（2026·盐城盐都二模）方程x2-5x+6=0十字相乘分解正确的是（ ） A.(x-2)(x-3)=0 B.(x+2)(x+3)=0 C.(x-1)(x-6)=0 D.(x+1)(x+6)=0 5.（2026·扬州广陵二模）方程2(x-2)2=x2-4最优解法是（ ） A.公式法 B.配方法 C.因式分解法 D.直接开平方法 6.（2026·镇江京口二模）若方程x2+ax-12=0可分解为(x-3)(x+4)=0，则a为（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-7 7.（2025·常州武进期末）方程3x2=2x的两根为（ ） A.x1=0,x2= B.x1=0,x2=- C.x1=,x2=- D.只有x= 8.（2026·徐州云龙二模）已知(a+b)2-4(a+b)=0，则a+b的值为（ ） A.0 B.4 C.0或4 D.无解 9.（2025·连云港连云期末）下列方程适合十字相乘法因式分解的是（ ） A.x2-2=0 B.x2-6x+5=0 C.x2+2x+3=0 D.2x2+4=0 10．已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( ) A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州吴中二模）方程(x-4)2=2(x-4)移项分解得________。 12.（2026·南通崇川二模）方程x2-7x+10=0因式分解为________。 13.（2025·无锡江阴期末）解方程4x2-16x=0的两根是________。 14.（2026·盐城盐都二模）方程x2+3x-4=0的根为________。 15.（2026·扬州广陵二模）方程(2x-3)2-(x+1)2=0用平方差分解为________。 16.（2026·镇江京口二模）已知方程两根为0、-6，则方程为________。 17.（2025·常州武进期末）方程5x2-10x=0的大根是________。 18.（2026·徐州云龙二模）方程x2-12x+36=0的根为________。 19.（2025·连云港连云期末）解方程(x+2)2=2x+4，化简为________。 20.（2026·淮安淮阴二模）若x2-9x+k=(x-1)(x-8)，则k=________。 三．解答题（共60分） 21.用因式分解法解下列方程： (1)4x2－(x－2)2＝0. （2）x2－8x＝9. (3)(y＋)2＝4y＋12. （4）（2x-1）2=-3（2x-1） 22.（2026·南京鼓楼一模）解方程：x(x-2)=3(x-2) (1) 说明本题绝对不能直接两边除以x-2的原因； (2) 移项整理后完成因式分解； (3) 求出方程全部实数根。 23.（2026·苏州姑苏二模）解方程：(x+1)2-4(x+1)=0 (1) 把x+1看作整体，提取公因式； (2) 化简得到两个一次因式； (3) 求解方程两根。 24.（2025·扬州邗江期末）已知两个连续正整数的积为42 (1) 设较小整数为x，用含x的式子表示较大整数； (2) 列出一元二次方程并整理； (3) 用因式分解法求出这两个整数。 25．已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)求该三角形的面积． 26．阅读与思考． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 27．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $