高一数学上学期第一次月考（北师大版必修第一册第1章预备知识，高效培优）

**基本信息** 聚焦北师大版必修第一册第一章核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查集合、不等式、命题等知识，解答题融入电商营业税等现实情境，注重数学思维与应用能力，适配高一月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算（题2）、命题否定（题1）|基础巩固，考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|基本不等式（题10）、充分必要条件（题11）|能力区分，培养推理意识| |填空题|3/15|集合元素（题12）、不等式参数（题13）|知识应用，发展符号意识| |解答题|5/77|不等式解法（题15）、电商营业税应用（题16）、命题真假判断（题18）|综合探究，体现用数学语言表达现实世界，提升逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第一册第1章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，，且，则（     ） A．-1 B．1 C．2 D．0 5．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 11．下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 13．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 14．已知，，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 16．（15分）某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 17．（15分）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 18．（17分）已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 19．（17分）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第一册第1章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是：，. 2．已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】已知集合，，由集合关系可知是的真子集，即，故. 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以不等式的解集为. 4．已知集合，，且，则（     ） A．-1 B．1 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或， ，此时，不能满足题意； 时，，满足题意， 故. 5．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 7．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 8．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 10．下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 11．下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 13．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 14．已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】将原式子化简后，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．（15分）某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 【答案】 【分析】计算出第二年产品上交的营业税，根据题意得出关于的不等式，解不等式即可得出的最大值． 【详解】由题意，第二年产品年销售量为万件，产品的售价为元， 所以，第二年产品年销售额为万元， 则第二年产品上交的营业税为万元． 由题意可得， 化简得，即，解得． 所以的最大值是． 17．（15分）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可； （2）由交集与空集的概念求解. 【详解】（1）当时，， 又， 所以． （2）由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为． 18．（17分）已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【详解】（1）若p为真，在恒成立，即， 时，，故； （2）若q为真，方程有实根，，解得或， 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得； ②p假q真：，解得； 综上： 19．（17分）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【详解】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C C A D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0或1 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以（3分） 所以不等式的解集为；（6分） （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或.（10分） 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（13分） 16．（15分） 【答案】 【分析】计算出第二年产品上交的营业税，根据题意得出关于的不等式，解不等式即可得出的最大值． 【详解】由题意，第二年产品年销售量为万件，产品的售价为元，（3分） 所以，第二年产品年销售额为万元， 则第二年产品上交的营业税为万元．（9分） 由题意可得， 化简得，即，解得． 所以的最大值是．（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可； （2）由交集与空集的概念求解. 【详解】（1）当时，， 又， 所以．（7分） （2）由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为．（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【详解】（1）若p为真，在恒成立，即， 时，，故；（6分） （2）若q为真，方程有实根，，解得或，（8分） 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得；（10分） ②p假q真：，解得；（13分） 综上：（17分） 19．（17分） 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【详解】（1）∵， ∴，，，（3分） ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25.（7分） （2）∵，∴， ∴，（10分） ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”，（14分） ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $