2026-2027学年高一上学期数学第一次阶段性检测（全国通用）

**基本信息** 聚焦高一必修一集合、函数与不等式核心内容，通过新定义“单封集”等创新题型，考查抽象能力、推理意识与问题解决能力，适配月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数定义域、一元二次方程根与系数关系|基础巩固，如第4题结合韦达定理考查推理能力| |多选题|3/18|命题否定、基本不等式、函数单调性|能力提升，如第10题正实数最值问题考查数学思维| |填空题|3/15|集合补集、基本不等式、新定义集合最大数|情境创新，第14题“最大数”定义考查抽象能力| |解答题|5/77|集合运算、命题与充分条件、函数奇偶性与不等式、新定义“单封集”|综合应用，如第19题“单封集”探究考查创新意识与逻辑推理|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 原创精品资源 学科网独家享有版权 侵权必究 2026-2027学年高一第一次阶段性检测（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教A版必修一第1,2,3章 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知集合，，则的子集个数是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 5．（本题5分）若，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 6．（本题5分）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（本题5分）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 10．（本题6分）若正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．关于的不等式的解集为，且. 若，则 D．若函数在上单调递增，则的取值范围为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知全集，集合，，则集合________. 13．（本题5分）若，且，则的最小值为___________． 14．（本题5分）以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 16．（本题15分）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 17．（本题15分）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 18．（本题17分）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 19．（本题17分）设集合．如果集合满足：对任意、，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”． (1)判断集合与是否为“单封集”，请直接写出结论． (2)若是“单封集”，且，，求． (3)若是“单封集”，证明：，并求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 原创精品资源 学科网独家享有版权 侵权必究 2026-2027学年高一第一次阶段性检测（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教A版必修一第1,2,3章 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 集合，， 所以，. 2．（本题5分）已知集合，，则的子集个数是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合M与N的交集，再根据交集的元素个数计算子集总数. 【详解】因为，共含有2个元素，因此其子集个数为. 3．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 4．（本题5分）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【答案】B 【详解】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以. 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 5．（本题5分）若，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 【答案】C 【分析】根据函数对称性可得的解析式，由此可得的单调性，再依次判断各个选项即可. 【详解】若，则函数的图象关于对称. 当时，； 当时，， 所以. 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 且的最小值为. 故B，D错误，C正确. 又，所以函数不是奇函数，所以A错误. 6．（本题5分）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 7．（本题5分）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 8．（本题5分）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期性得到函数周期为6，然后利用周期性对已知条件进行化简，找到不等式关系，最后得到，再判断选项即可. 【详解】∵， ∴①，将换成可得 ②，将②式代入到①式， 化简得，将换成，则， 再将换成可得， 即函数的周期为6，∴，， ，∵，， ∴，⑴，又∵， ，⑵，依次回代可以得到 ，同理可得， ∵，⑶，联立⑴⑵⑶得到 ，解得， 又∵，故C正确，D错误， ，∴可能大于0， 也可能不大于0，AB错误. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 【答案】AD 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，D. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项错误； 当时，，所以“”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确； 故选：AD. 10．（本题6分）若正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．关于的不等式的解集为，且. 若，则 D．若函数在上单调递增，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据函数值域不同判断A；根据复合函数定义域的求法判断B；分情况讨论，根据集合间的关系求参数的取值范围，判断C；利用分段函数单调性列不等式组求解可判断D. 【详解】对A：因为函数的值域为，函数的值域为， 所以两个函数不是同一个函数，故A错误； 对B：因为函数的定义域为，所以， 由得，所以函数的定义域为，故B正确； 对C：当时，由得或， 所以或； 当时，无解，所以； 当时，由得，所以. 又，，所以，故C错误； 对D：因为函数在上单调递增， 所以，解得，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知全集，集合，，则集合________. 【答案】 【详解】因为集合， 所以， 又因为,则． 13．（本题5分）若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 14．（本题5分）以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用换元法表示出、，再根据不等式性质，分情况讨论求解. 【详解】令，，，其中， 所以， 令，因此， 若，则，即， 所以，则， 若，则，即， 所以，则， 又， 综上所述，，当且仅当，且时等号成立， 取，，，满足，且， 此时， 因此的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【详解】（1）由，，则或， 则，或； （2）由于，则有，解得. 16．（本题15分）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 17．（本题15分）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，， 故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为, 可得 解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或， 故实数的取值范围为 18．（本题17分）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 19．（本题17分）设集合．如果集合满足：对任意、，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”． (1)判断集合与是否为“单封集”，请直接写出结论． (2)若是“单封集”，且，，求． (3)若是“单封集”，证明：，并求出的值． 【答案】(1)C是；D不是 (2)4050 (3) 【分析】（1）根据定义，验证集合中的元素是否符合定义即可求解， （2）根据得，而可得，即可求解， （3）分析可得以及，可得，利用倒序相加法可求解. 【详解】（1）对于集合： 因为，，所以集合不为“单封集”； 对于集合： 因为，，，，，，， 所以集合为“单封集”. （2）因为集合是“单封集”，且，， 可得， 因为，则，可得， 由集合的互异性可知：，所以. （3）因为具有性质，且， 则，则 且，则， 又因为， 则，可得， 则，即， 可得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $