培优专题03 反比例函数实际问题建模题型归纳(专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题03 反比例函数实际问题建模题型归纳 常考题型·精准突破 题型1 压强压力问题 题型2 杠杆问题 题型3 电学问题 题型4 商品销售问题 题型5 容器容积问题 题型6 方案选择问题 题型7 图表信息题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1有理数的加减混合运算 1．如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 2．根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．P关于S的函数关系式为，； B．当时，物体所受的压强是； C．当时，受力面积是； D．压强随着面积的增大而增大． 3．物理学告诉我们这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数关系，可以表示成，如图，一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的，如果正放在桌面上，对桌面的压强是200Pa，则反过来放时，对桌面的压强是_____． 4．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积存在函数关系：（如图所示）．若木板面积为则压强为__________． 5．在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； (3)若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． ◆题型2 杠杆问题 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（   ） A．动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B．当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C．若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力 2．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（    ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 3．如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 4．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况，实验数据记录如下：    则y与x之间的函数关系为______． 5．在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ (1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； (2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． ◆题型3 电学问题 1．电压用U（单位：V）表示，电流用I（单位：A）表示，电阻用R（单位：）表示，已知蓄电池的电压为定值，且满足，当时，，则时，（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 2．为践行“绿色低碳、节能降耗”的校园理念，我校开展“节约一度电”实践活动．已知某型号节能灯泡在恒定总做功（消耗电能）一定的条件下，灯泡的实际功率与发光时间成反比例关系，其函数关系如图所示．当发光时间时，灯泡的实际功率P的值可以为（     ） A．24 B．27 C．45 D．50 3．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（    ） A．经过用电器的电流的差值为 B．两款蓄电池的电压的差值为 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为 4．电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时，求y与x之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过? 5．某款蓄电池在电压一定时，其工作电流与电阻满足反比例函数关系．如图，点P在其函数图象上． (1)求I关于R的函数解析式； (2)若该电池的电阻R的取值范围为，求其工作电流的范围． ◆题型4商品销售问题 1．如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．你当个需要贷款的购房者，购买一套商品房，首付45万，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，所谓等额本金，就是在客户还款的时候，在还款期内把贷款总额进行等分，然后每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．若每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．    (1)求y与x的函数关系式； (2)你购买的商品房的总价是______万元； (3)若你计划每月偿还贷款不超过3000元，则至少需要多少个月还清？ 3．王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金万元，个月还清，且是的反比例函数，其图象如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)求王叔叔购买的商品房的总价； (3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？ ◆题型5 容器容积问题 1．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 2．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（   ） A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是 C．当时， D．当时， 3．如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 5．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． ◆题型6 方案选择问题 1．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 2．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 3．下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 4．如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． ◆题型7 图标信息题 1．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 2．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 时间 5 10 15 20 25 … 水量 18 33 48 a 78 … 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． (1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间x的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的a值； (2)应用：成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数． 3．如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 4．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 时间x/ 5 10 15 20 25 … 水量y/ 17 32 47 62 77 … 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． (1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量与时间的函数关系？请求出该解析式； (2)应用：成年人每天大约需饮水1600，请估算这个水龙头一周（按7天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数．（精确到整数位） 5．小明在课余时间找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表： 镜片度数y/度 … 400 625 800 m … 镜片到光斑的距离x/m … 0.25 0.16 0.125 0.10 … （x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数） 为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象（如图）．    (1)求x与y之间的函数关系式及m的值； (2)假设小亮的近视镜是400度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的； (3)根据图表中的信息，随着x逐渐变大，y的变化趋势是什么？（直接写出结论） (4)如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？写出结论并说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 3．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 4．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 6．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 7．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 8．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 9．武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 10．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 11．家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 12．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 13．如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 14．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 15．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数实际问题建模题型归纳 常考题型·精准突破 题型1 压强压力问题 题型2 杠杆问题 题型3 电学问题 题型4 商品销售问题 题型5 容器容积问题 题型6 方案选择问题 题型7 图表信息题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1有理数的加减混合运算 1．B 2．D 3．300Pa 4．3000 5． 【详解】（1）解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式，压力F固定， ∴各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第5次实验数据的值为66，与前4次的固定值60不符， ∴第5次实验数据（，）明显是错误的； （2）解：p与S满足的函数关系：反比例函数； 由（1）可知，固定压力，根据公式，变形可得， ∴p关于S的函数表达式为； （3）解：当时，， ∴此时接触面受到的压强为． ◆题型2 杠杆问题 1．C 2．C 3．35 4． 5． 【详解】（1）解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系， 设反比例函数为， 将，代入，可得， 故反比例函数为． （2）解：对于反比例函数为， 当时，， 故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为． ◆题型3 电学问题 1．A 2．C 3．B 4． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的关系式为， 根据题意得：该函数图像过点和点， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的关系式为：． （2）解：∵， ∴当时，， 根据题意得：该函数图像过点， ∵温度每上升，电阻增加． 当时，设y与x的关系式为， ∴该函数图像过点， ∴，解得：， ∴当时，y与x的关系式为：； 对于，当时，； 对于，当时，． 答：温度x取值范围是时，电阻不超过． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键． 5． 【详解】（1）解：设，则由图象可得：当时，， ∴， ∴解析式为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴由反比例函数的性质得工作电流的范围为：． ◆题型4商品销售问题 1．C 2． 【详解】（1）解：设， 由图可知：在函数图象上， ∴， ∴； （2）商品房的总价为（万元）； 故答案为：105； （3）万元， 当时，即：， ∴， ∴至少需要200个月还清． 3． 【详解】（1）解：设， 由图象可知：在函数图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴王叔叔贷款总额为：万元， ∴房子总价为：万元； （3）解：万，由题意得： 当时，即：， 解得， ∴至少需要300个月还清． 【点睛】本题考查反比例函数得实际应用．利用待定系数法，求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． ◆题型5 容器容积问题 1．B 2．A 3．如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位 4． 5． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． ◆题型6 方案选择问题 1． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）略 2． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）略 3． 【详解】解：（）画图如下： 由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （）解：①设一次函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴第一次加热过程中与的函数表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得，， ∴， ∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为， 故答案为：，； ②把代入得，， 解得； 把代入得，， ∴； ∵， ∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为， 故答案为：． 4． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． ◆题型7 图标信息题 1． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数； （2）解：当时，是的一次函数， 设解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，；当时， 是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，，解得，， 当时，反例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∵， ∴学生学习解综合题效果显著的持续时间是29.5分钟 2． 【详解】（1）解：，，， 不能准确的反映水量与时间的函数关系， 能准确的反映水量与时间的函数关系， 根据表中数据有， 解得， ； （2）解：（）， 当时，， 当时，， （天）， 答：可供一位成年人饮用天． 3． 【详解】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； （3）略 4． 【详解】（1）解：，，， 不能准确的反映水量与时间的函数关系， 能准确的反映水量与时间的函数关系， 根据表中数据有， 解得， ； （2）解：（）， 当时，， （天）， 答：这个水龙头一周（按7天计）的漏水量可供一位成年人饮用天． 5． 【详解】（1）解：由题意得，设． 将代入，得，故． 将代入，得， 与之间的函数关系式为；； （2）略 （3）解：根据图表中的信息，发现随着x逐渐变大，y的变化趋势是逐渐变小， （4）略 综合攻坚·知能拔高 1．A 2．A 3．D 4．B 5．C 6． 7．20 8． 9．3（答案不唯一） 10．6 11． 【详解】（1）解：将代入，得 ． （2）解：由，得到 ， ∴随着的增大而减小， 当时，；当时，． ∴当时，． 12． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 13． 【详解】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． 14． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 15． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数实际问题建模题型归纳 常考题型·精准突破 题型1 压强压力问题 题型2 杠杆问题 题型3 电学问题 题型4 商品销售问题 题型5 容器容积问题 题型6 方案选择问题 题型7 图表信息题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1有理数的加减混合运算 1．如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 【答案】B 【分析】根据表格数据求出与的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由表格数据可知：，，，， 与成反比例关系，且， 即，故A选项正确； 表示受力面积， ， 函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当时，， 解得，故C选项正确； 当时，， 在第一象限内随的增大而减小， 当时，， 即压强最小为， 故D选项正确． 2．根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．P关于S的函数关系式为，； B．当时，物体所受的压强是； C．当时，受力面积是； D．压强随着面积的增大而增大． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数解析式，再利用函数解析式和函数图象分别进行解答即可． 【详解】解：把代入得到，， ∴P关于S的函数关系式为，， 故A正确； 当时，物体所受的压强是，故B正确； 当时，，解得，即受力面积是；故C正确； ∵， ∴在压力不变的情况下，某物体承受的压强随着面积的增大而减小，故D错误． 故选：D 3．物理学告诉我们这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数关系，可以表示成，如图，一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的，如果正放在桌面上，对桌面的压强是200Pa，则反过来放时，对桌面的压强是_____． 【答案】300Pa 【分析】设圆台的下底面面积为，则上底面面积为，根据可用a表示出F，根据正放与反放的压力相等，利用即可得答案． 【详解】设圆台的下底面面积为，则上底面面积为， ∵圆台正放在桌面上时，对桌面的压强是200Pa， ∴， ∴反过来放时，对桌面的压强． 故答案为：300Pa 【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确表示出F是解题关键． 4．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积存在函数关系：（如图所示）．若木板面积为则压强为__________． 【答案】3000 【分析】先利用待定系数法求出P关于S的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：将代入，得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：3000． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式． 5．在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； (3)若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 【答案】(1)第5次实验数据明显是错误的，理由见解析 (2)反比例函数； (3) 【分析】（1）根据各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值，即可得解； （2）根据每一对值乘积为60，确定是反比例函数，可得函数关系式； （3）将代入解析式，求出对应的p值即可． 【详解】（1）解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式，压力F固定， ∴各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第5次实验数据的值为66，与前4次的固定值60不符， ∴第5次实验数据（，）明显是错误的； （2）解：p与S满足的函数关系：反比例函数； 由（1）可知，固定压力，根据公式，变形可得， ∴p关于S的函数表达式为； （3）解：当时，， ∴此时接触面受到的压强为． ◆题型2 杠杆问题 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（   ） A．动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B．当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C．若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力 【答案】C 【分析】根据杠杆原理公式，代入已知的阻力和阻力臂的数值，推导得到关于的函数表达式，明确函数类型与自变量取值范围． A选项，将推导得到的函数特征和图3的图象特征对比，验证是否一致．B选项，把给定的动力臂数值代入函数表达式，计算对应的动力．C选项，先确定阻力一半的数值，将其作为的上限代入函数，求解对应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D选项，根据反比例函数的增减性，判断动力随动力臂变化的趋势． 【详解】对于A，∵，阻力和阻力臂不变， ∴， 即动力与动力臂成反比例函数关系， 此说法正确，不符合题意； 对于B，由图象知，反比例函数的解析式为， 当动力臂时， 撬动石头需要的力量． 此说法正确，不符合题意； 对于C，当时，，， ∴若动力不超过阻力1000N的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5． 此说法错误，符合题意； 对于D，设动力与动力臂的函数关系式为． 根据反比例函数的性质可知，动力随动力臂的增大而减小， ∴动力臂越长越省力， 此说法正确，不符合题意． 综上，故选C． 2．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（    ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 【答案】C 【分析】根据题意推出动力与动力臂为反比例函数关系，结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：设（），由题意得：， ∴，即，是关于的反比例函数． ∵符合反比例函数定义，∴A选项正确． ∵，反比例函数随增大而减小，∴越长越小，B选项正确． 举例验证C选项：设，当时，；增加变为时，，减少量为；再增加变为时，，减少量约为，减少值不是固定值，因此C选项错误． 由反比例函数性质可知，增大时减小，即动力臂增大，动力明显减小，因此D选项正确． 3．如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 4．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况，实验数据记录如下：    则y与x之间的函数关系为______． 【答案】 【分析】通过表格我们可以得到表格中每组数据相乘为一个定值300，故我们可以猜想y与x之间是成反比例函数的关系，根据表格中的数据求出反比例函数的解析式，再将其余的点带入验证即可. 【详解】解：由表格猜想y与x之间的函数关系为反比例函数 解：设反比例函数解析式为 把x=10，y=30代入得：k=300 ∴ 将其余点带入均符合要求 ∴y与x之间的函数关系式为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质以及解析式的求法，正确的掌握反比例函数的性质是解题的关键. 5．在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ (1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； (2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 【答案】(1)选择反比例函数表示与的关系， (2) 【分析】本题考查反比例函数的判定与解析式求解，反比例函数的实际应用，识别反比例关系是解题关键． （1）根据表格中与的乘积为定值，判定其为反比例函数，代入一组数据求出值，从而确定函数解析式； （2）将代入已求出的反比例函数解析式，计算得出对应的砝码总质量． 【详解】（1）解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系， 设反比例函数为， 将，代入，可得， 故反比例函数为． （2）解：对于反比例函数为， 当时，， 故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为． ◆题型3 电学问题 1．电压用U（单位：V）表示，电流用I（单位：A）表示，电阻用R（单位：）表示，已知蓄电池的电压为定值，且满足，当时，，则时，（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查电压、电流、电阻的关系，解题的关键是先根据已知的电流和电阻值求出定值电压，再利用电压、电流、电阻的关系求出对应电流下的电阻值． 【详解】解：∵ ，当，时 ∴ ∵ 为定值，当时，由变形得 ∴ 故选A． 2．为践行“绿色低碳、节能降耗”的校园理念，我校开展“节约一度电”实践活动．已知某型号节能灯泡在恒定总做功（消耗电能）一定的条件下，灯泡的实际功率与发光时间成反比例关系，其函数关系如图所示．当发光时间时，灯泡的实际功率P的值可以为（     ） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题意，成反比例关系，先求出函数解析式，分别求出 和 时的 值，从而得到 的取值范围，最后对照选项选出可能的值． 【详解】解：由题意可得成反比例关系，可设， 将代入得，，解得， ， ， 在第一象限内随着变大而变小， 当时，，当时，， 当时，， 仅有C选项中符合要求． 3．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（    ） A．经过用电器的电流的差值为 B．两款蓄电池的电压的差值为 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为 【答案】B 【分析】根据反比例函数的实际意义进行排除选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴两款蓄电池的电压的差值为，故B选项正确，A选项错误； 当用电器的电阻都为R时，则有，，电流的差值为，故D选项错误； 假设经过用电器的电流都为，则有，则有，故C选项错误． 4．电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时，求y与x之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过? 【答案】(1)当时，y与x的关系式为：． (2)温度x取值范围是时，电阻不超过． 【分析】（1）设y与x之间的关系式为，把点和点代入求得m的值即可解答； （2）当时，设y与x的关系式为，然后求得解析，然后分别求出时，两函数的函数值即可求解解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的关系式为， 根据题意得：该函数图像过点和点， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的关系式为：． （2）解：∵， ∴当时，， 根据题意得：该函数图像过点， ∵温度每上升，电阻增加． 当时，设y与x的关系式为， ∴该函数图像过点， ∴，解得：， ∴当时，y与x的关系式为：； 对于，当时，； 对于，当时，． 答：温度x取值范围是时，电阻不超过． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键． 5．某款蓄电池在电压一定时，其工作电流与电阻满足反比例函数关系．如图，点P在其函数图象上． (1)求I关于R的函数解析式； (2)若该电池的电阻R的取值范围为，求其工作电流的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把和分别代入求出对应的电流，再根据反比例函数的性质即可求出电流的取值范围． 【详解】（1）解：设，则由图象可得：当时，， ∴， ∴解析式为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴由反比例函数的性质得工作电流的范围为：． ◆题型4商品销售问题 1．如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意可得每个点的横纵坐标的乘积表示总价，根据四件商品的位置可得甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案． 【详解】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量， ∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价， ∵甲在反比例函数图象下方， ∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k， ∵乙，丁在反比例函数图象上， ∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k， ∵丙在反比例函数图象上方， ∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k， ∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙， 故选：C． 2．你当个需要贷款的购房者，购买一套商品房，首付45万，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，所谓等额本金，就是在客户还款的时候，在还款期内把贷款总额进行等分，然后每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．若每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．    (1)求y与x的函数关系式； (2)你购买的商品房的总价是______万元； (3)若你计划每月偿还贷款不超过3000元，则至少需要多少个月还清？ 【答案】(1) (2)105 (3)至少需要200个月还清 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用首付加上贷款进行计算即可； （3）求出时，的取值范围即可． 读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 由图可知：在函数图象上， ∴， ∴； （2）商品房的总价为（万元）； 故答案为：105； （3）万元， 当时，即：， ∴， ∴至少需要200个月还清． 3．王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金万元，个月还清，且是的反比例函数，其图象如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)求王叔叔购买的商品房的总价； (3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？ 【答案】(1) (2)万元 (3)300个月 【分析】（1）设，待定系数法求解析式即可； （2）利用总价等于首付加贷款进行计算即可； （3）求出当时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设， 由图象可知：在函数图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴王叔叔贷款总额为：万元， ∴房子总价为：万元； （3）解：万，由题意得： 当时，即：， 解得， ∴至少需要300个月还清． 【点睛】本题考查反比例函数得实际应用．利用待定系数法，求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． ◆题型5 容器容积问题 1．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】先利用待定系数法得，根据函数的性质并结合端点求出的范围，再逐项判断即可． 【详解】解：设，由图象可知过， ，则， 在第一象限内，随v的增大而减小， 当时，，当时，， ， ． 2．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（   ） A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是 C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，A选项正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，B选项错误； 当时，， 解得：，C选项错误； 当时，， 解得：，D选项错误， 故选：A． 3．如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例关系，掌握反比例关系中的两个变量的积是不等于0的常数是解决问题的关键． 本题中根据题意判断出，由此得到底面积和水的高度成反比例，然后即可求解； 【详解】解：根据表格可得：， ∴底面积和水的高度成反比例， ∴， 故答案为：； 4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 【答案】 【分析】设密度是体积的反比例函数为，把点代入解析式，根据待定系数法求得函数解析式，再将代入函数解析式求解即可． 【详解】解：设密度是体积的反比例函数为， 把点代入，得，解得， ∴， 当时，． 5．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． ◆题型6 方案选择问题 1．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3) 解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）略 2．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【答案】(1)20分钟 (2) (3) 由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）略 3．下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 【答案】（）画图如下： 一次，反比例； （）①，；② 【分析】（）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②分别求出时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：（）画图如下： 由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （）解：①设一次函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴第一次加热过程中与的函数表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得，， ∴， ∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为， 故答案为：，； ②把代入得，， 解得； 把代入得，， ∴； ∵， ∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为， 故答案为：． 4．如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． ◆题型7 图标信息题 1．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 【答案】(1)一次，反比例 (2) (3)29.5分钟 【分析】（1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，求差即可． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数； （2）解：当时，是的一次函数， 设解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，；当时， 是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，，解得，， 当时，反例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∵， ∴学生学习解综合题效果显著的持续时间是29.5分钟 2．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 时间 5 10 15 20 25 … 水量 18 33 48 a 78 … 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． (1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间x的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的a值； (2)应用：成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数． 【答案】(1)能准确的反映水量与时间的函数关系， (2)72天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据表格中数据特点进行分析，即可得到水量与时间的函数关系，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）先算出时间，再将时间代入（1）中与的函数关系式中求解得到一个月的漏水量，进而求出饮用的天数，即可解题． 【详解】（1）解：，，， 不能准确的反映水量与时间的函数关系， 能准确的反映水量与时间的函数关系， 根据表中数据有， 解得， ； （2）解：（）， 当时，， 当时，， （天）， 答：可供一位成年人饮用天． 3．如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； （3）略 4．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 时间x/ 5 10 15 20 25 … 水量y/ 17 32 47 62 77 … 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． (1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量与时间的函数关系？请求出该解析式； (2)应用：成年人每天大约需饮水1600，请估算这个水龙头一周（按7天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数．（精确到整数位） 【答案】(1)能准确的反映水量与时间的函数关系， (2)天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据表格中数据特点进行分析，即可得到水量与时间的函数关系，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）先算出时间，再将时间代入（1）中与的函数关系式中求解得到一周的漏水量，进而求出饮用的天数，即可解题． 【详解】（1）解：，，， 不能准确的反映水量与时间的函数关系， 能准确的反映水量与时间的函数关系， 根据表中数据有， 解得， ； （2）解：（）， 当时，， （天）， 答：这个水龙头一周（按7天计）的漏水量可供一位成年人饮用天． 5．小明在课余时间找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表： 镜片度数y/度 … 400 625 800 m … 镜片到光斑的距离x/m … 0.25 0.16 0.125 0.10 … （x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数） 为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象（如图）．    (1)求x与y之间的函数关系式及m的值； (2)假设小亮的近视镜是400度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的； (3)根据图表中的信息，随着x逐渐变大，y的变化趋势是什么？（直接写出结论） (4)如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？写出结论并说明理由． 【答案】(1)；； (2) 镜片到光斑的距离为， 理由如下： 当时，， 解得， 镜片到光斑的距离为； (3)随着x逐渐变大，y的变化趋势是逐渐变小 (4) 光斑不会存在， 理由如下： 由函数图象可知，当x趋近于无穷大时，y趋近于0，但不会等于0， 当时，光斑不会存在． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式以及图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设，再代入，得出，然后把代入进行计算，即可作答． （2）把代入，进行计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出随着x逐渐变大，y的变化趋势是逐渐变小，即可作答． （4）运用反比例函数的图象性质，当x趋近于无穷大时，y趋近于0，但不会等于0，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，设． 将代入，得，故． 将代入，得， 与之间的函数关系式为；； （2）略 （3）解：根据图表中的信息，发现随着x逐渐变大，y的变化趋势是逐渐变小， （4）略 综合攻坚·知能拔高 1．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 2．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 3．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 4．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 5．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 6．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 7．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，利用待定系数法求出的值，将值代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得， 解得， ， 当时，，解得． 8．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【答案】 【分析】根据题意可知电流与电阻满足反比例函数关系，已知函数图象经过点，将点的横纵坐标分别作为和的值代入公式，即可求出电源电压的值． 【详解】解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 9．武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 10．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【答案】6 【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可． 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴， 解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴， 解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 11．家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，即可得出关于的函数解析式； （2）根据反比例函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ． （2）解：由，得到 ， ∴随着的增大而减小， 当时，；当时，． ∴当时，． 12．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 13．如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【答案】要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL 【详解】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． 14．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 15．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 【答案】(1) (2)当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 【分析】（1）设与之间的关系式为，由函数图象可知点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）把代入反比例函数的解析式即可求出，由反比例函数的性质可知当时，随的增大而减小，可得的最大值为． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $