专题01 一元二次方程十一大题型突破全册高频考点题型归纳与满分必刷题2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程从概念到综合应用的全链条突破，11大题型系统覆盖代数性质与实际应用，注重知识生成逻辑与解题能力递进，培养数学眼光与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与解|3-4题/题型1-2|考查定义辨析、解的特征|从概念生成到解的应用，夯实基础| |解方程|4题/题型3|涵盖直接开平方法等多种解法|体现解法选择的灵活性，培养运算能力| |代数性质|3-4题/题型4-5|判别式应用、根与系数关系|深化方程代数本质，发展推理意识| |实际应用|3-5题/题型6-9|传播、面积、增长率、利润问题|构建数学模型，强化应用意识| |综合创新|3-4题/题型10-11|动点几何、新定义问题|融合几何与代数，提升创新思维|

专题01 一元二次方程十一大题型突破 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型11：新定义综合】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此计算k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【题型02 ：一元二次方程的解】 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 6．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 【题型03：解一元二次方程】 8．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方法： ， ∴，． （2）解：公式法： ， ∴， ∴，． （3）解：因式分解法： ， ∴，． （4）解：移项，平方差公式： ， ， ， 或， ∴，． 9．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ，． （2）解： 或 ，． （3）解： ，． （4）解： 根据题意可知，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 利用公式法解方程得 ，． 10．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，，即， ∴， 解得：，． （2）解： ∴， ， 解得：，． 11．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 12．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 13．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 16．若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 17．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 18．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．−5 B．3 C．−3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系可得，，整体代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：C． 19．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 20．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 21．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 22．今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设该群有人，每人收个红包，总收红包数为，解方程，求正整数解即可． 【详解】解：设该群有人，每人收个红包，列出方程为： 即 解得或（舍去） 因此，该群一共有人， 故选：C． 23．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 24．如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式列出方程． 【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：D． 25．在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 26．如图，已知矩形绿地广场的长，宽分别为，，管理部门计划对绿地进行改造，以提升美观性和实用性． (1)若将矩形绿地长减少，宽增加相同长度，绿地变为正方形，求矩形绿地长、宽的变化长度． (2)若将矩形绿地长和宽同时增加相同的长度，绿地面积达到，求扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了多少米． 【答案】(1)6米 (2)2米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）设矩形绿地长、宽的变化长度为x米，根据矩形绿地长减少，宽增加相同长度列方程求解即可； （2）设矩形绿地长和宽同时增加y米，根据绿地面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：设矩形绿地长、宽的变化长度为x米， 根据题意，得， 解得， 答：矩形绿地长、宽的变化长度为6米； （2）解：设矩形绿地长和宽同时增加y米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了2米． 27．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． (1)求原计划每天摊铺沥青多少米． (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【答案】(1)原计划每天铺设轨道80米 (2)镶上的木质框架的宽为0.2米 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）设原计划每天铺设轨道x米， 根据题意得：， 解得：， 答：原计划每天铺设轨道80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 28．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】(1)； (2)的长度为16米 【分析】（1）由的长为x米，可得边所用隔栏绳，将绳子全长减去，边所用隔栏绳绳长，即可表示出的长度，根据的长度不超过墙的最大可利用长度为24米列出不等式，求解即可； （2）根据表演区的面积为320平方米列出方程，求解并结合（1）中x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 29．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意可得． 30．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“年的年销售量＝年的年销售量×（＋年销售量的平均增长率）”即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 31．电影《731》以侵华日军731部队的细菌战和人体实验为背景，通过影像还原了这段残酷历史，它提醒观众，历史的伤痛不应被遗忘，那些在战争中遭受迫害的生命需要被铭记．某地第一天票房约3000万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达2.4亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，第一天票房为3000万元，三天累计票房为2.4亿元（即24000万元），每天增长率相同为x．累计票房包括第一天、第二天和第三天的票房之和，其中第二天票房为万元，第三天票房为万元，因此列方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 32．某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【答案】(1) (2)，所以该市不能完成目标 【分析】（1）设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程进而取符合题意的解，即可求解； （2）计算2026年机器人产业总产值，与亿元，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得：，解得，（舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． （2）略 33．某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率为； (2)预计该商场7月份投入资金将达到万元 【分析】（1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的投入资金列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根得到增长率； （2）利用增长率计算7月份的投入资金即可． 【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商场投入资金的月平均增长率为； （2）解：由（1）得月平均增长率为， ∴7月份投入资金为：（万元）， 答：预计该商场7月份投入资金将达到万元． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 34．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 35．根据以下素材，探索完成任务． 探索池州霄坑绿茶的日销售利润问题 素材1 霄坑绿茶是安徽省池州市贵池区霄坑村的特产，中国地理标志产品．霄坑绿茶因高海拔导致发芽晚、出茶晚，汲取大自然的灵气与精华，香气高、滋味浓、色泽鲜艳，特别耐泡，是安徽本土较有代表性的高山生态绿茶，深受广大茶友喜爱． 素材2 某款霄坑绿茶的成本价为200元/盒．经销商在销售时发现：周销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决： (1)任务一：求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)任务二：市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为： (2)若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为260元 【分析】（1） 根据函数图象，运用待定系数法即可求解； （2）根据数量关系解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：任务一：设与之间的函数关系式为：， 由题意知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）解：任务二：由题意知：， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为260元． 36．根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务：；任务：元/件 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解； 任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为． 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件． 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 37．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 38．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 39．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： cm， cm；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)存在，当或3 (3)， 【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据题意可直接求解； （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值； （3）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意，得， 解得：，， 当或3时，的面积等于． （3）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，． 40．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 【题型11：新定义综合】 41．定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， 【详解】（1）解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； （2）解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 42．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程十一大题型突破 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型11：新定义综合】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【题型02 ：一元二次方程的解】 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【题型03：解一元二次方程】 8．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 10．解方程： (1)； (2)． 11．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【题型04：一元二次方程根的判别式】 12．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 13．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 16．若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 17．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 18．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．−5 B．3 C．−3 D．5 19．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 20．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 21．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 22．今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 23．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 24．如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 25．在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知矩形绿地广场的长，宽分别为，，管理部门计划对绿地进行改造，以提升美观性和实用性． (1)若将矩形绿地长减少，宽增加相同长度，绿地变为正方形，求矩形绿地长、宽的变化长度． (2)若将矩形绿地长和宽同时增加相同的长度，绿地面积达到，求扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了多少米． 27．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． (1)求原计划每天摊铺沥青多少米． (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 28．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 29．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 30．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 31．电影《731》以侵华日军731部队的细菌战和人体实验为背景，通过影像还原了这段残酷历史，它提醒观众，历史的伤痛不应被遗忘，那些在战争中遭受迫害的生命需要被铭记．某地第一天票房约3000万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达2.4亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 32．某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 33．某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 34．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 35．根据以下素材，探索完成任务． 探索池州霄坑绿茶的日销售利润问题 素材1 霄坑绿茶是安徽省池州市贵池区霄坑村的特产，中国地理标志产品．霄坑绿茶因高海拔导致发芽晚、出茶晚，汲取大自然的灵气与精华，香气高、滋味浓、色泽鲜艳，特别耐泡，是安徽本土较有代表性的高山生态绿茶，深受广大茶友喜爱． 素材2 某款霄坑绿茶的成本价为200元/盒．经销商在销售时发现：周销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决： (1)任务一：求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)任务二：市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 36．根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 37．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 38．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 39．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： cm， cm；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，的长度等于？ 40．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【题型11：新定义综合】 41．定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 42．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $