专题06 轴对称之将军饮马最值难点五大题型突破高频考点题型归纳与满分必刷题2026-2027学年八年级数学上册（人教版）

专题06 轴对称之将军饮马最值难点五大题型突破 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】. 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】. 1．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A．B．C．D． 2．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 5．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 6．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 8．如图，在中，为直角，且，若垂直平分，点为直线上的任意一点，当周长最小时，则的度数为_____． 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 9．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 11．如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为______． 12．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点P，使的值最小，则的最小值为____________． 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 13．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 14．如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 15．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 17．如图，中，，，点D为上一定点，点E、F分别为边上的动点，当的周长最小时，则度数（    ） A． B． C． D． 18．如图，四边形中，，点M、N分别是边上的动点，，当的周长最小值时，则的度数是（　　） A．124° B．68° C．60° D．56° 19．如图，在四边形中，，，分别是，边上的动点，，当的周长最小时，的度数是（　　） A．122° B．64° C．62° D．58° 20．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 21．如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称之将军饮马最值难点五大题型突破 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】. 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】. 1．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 2．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路线，掌握两点之间线段最短是解决问题的关键． 结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 【详解】解：A中从地到地路线长为； B中从地到地路线长为； C中从地到地路线长为； D中从地到地路线长为； 综上所述，四条路线中均含有线段，因此比较、、和长度即可确定最短的路线， ， ， 在中，由两点之间线段最短可知， ， 、、和中长度最短， 即从地到地有四条路线，最短， 故选：D． 3．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 4．如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，两点之间线段最短的应用，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据平行线的性质得出内错角相等，证明，得出，然后根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：选项D符合题意，利用如下： 如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，且为定值，此时，值最小， 即此时路径最短， 故选：D． 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 5．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 6．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点， AD⊥BC于点D， ∴S△ABC= =60， ∴AD=12， 设AD与EF的交点为P， ∵EF垂直平分AB， ∴点A，B关于直线EF对称， ∴PA=PB， 此时AD的长为PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为12， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 7．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 如图，连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12， 解得：AD=6（cm）， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 8．如图，在中，为直角，且，若垂直平分，点为直线上的任意一点，当周长最小时，则的度数为_____． 【答案】/30度 【分析】因为是定值，则的周长最小即最小，是的垂直平分线，，所以，当 A， P， C 三点共线时，最小，最小值为的长度，此时 P 为与的交点．根据等边对等角，，而，则的度数． 【详解】解：连接， ∵是定值， ∴的周长最小即最小 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 当 A， P， C 三点共线时，最小，最小值为的长度，此时 P 为与的交点， ∵为直角，且， 则， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，对称求最小值，等边对等角，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 9．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 10．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 11．如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，在上取一点，连接，由线段垂直平分线的性质得，即得，可知当点在上时，的值最小，最小值为的长，又根据等腰三角形的性质可得，进而利用三角形面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点是定点，由两点之间线段最短可知，当点在上时，的值最小，最小值为的长， ∵，点是中点， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 12．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点P，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接、、，可得，当、、三点共线时，最小，即最小，此时过作交的延长线于，过作交于，可求，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接、、， ， ， ， ， 如图，   ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 此时 过作交的延长线于，过作交于， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 同理可证：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的最小值为； 故答案：． 【点睛】本题考查了典型问题：线段和最小，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，掌握典型问题的解法是解题的关键． 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 13．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 14．如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用等腰三角形三线合一性质得出垂直平分，易得，根据垂线段最短确定的最小值为点B到的距离，结合含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，取得最小值，最小值为点B到的距离，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 15．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，P，D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由等积法可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴． 16．如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解． 【详解】解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P， 则， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可知，的最小值为， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， 故选：B． 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 17．如图，中，，，点D为上一定点，点E、F分别为边上的动点，当的周长最小时，则度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作D关于的对称点，D关于的对称点，连接交于E交于F，则此时的周长最小，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，正确的作出图形是解题的关键 【详解】解：作D关于的对称点，D关于的对称点，连接交于E交于F，则，， 则此时的周长最小（三点共线）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 18．如图，四边形中，，点M、N分别是边上的动点，，当的周长最小值时，则的度数是（　　） A．124° B．68° C．60° D．56° 【答案】B 【分析】延长到E使，延长到F，使，连接，则当E、N、M、F四点共线时最小，即此时的周长最小，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】解：延长到E使，延长到F，使，连接 ∵， ∴，， ∴的周长， 故当E、N、M、F四点共线时最小，即此时的周长最小， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．如图，在四边形中，，，分别是，边上的动点，，当的周长最小时，的度数是（　　） A．122° B．64° C．62° D．58° 【答案】B 【分析】延长到E使，延长到F，使，连接交于N，交于M，此时，的周长最小，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】解：延长到E使，延长到F，使，连接交于N，交于M， 此时，的周长最小， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 21．如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最短路径问题，在周长最小时找到点和的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决，作点关于的对称点为，点关于的对称点为，当点共线时，的周长为，此时周长最小为，根据判定是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示： 则当点共线时，的周长为，此时周长最小， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $