专题06 菱形重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题06 菱形重难点题型汇编 （八大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】.................................................................................5 【题型3 利用等面积法求面积】............................................................................................9 【题型4 添加条件对菱形的判定】.........................................................................................12 【题型5 菱形的判定-证明题】...............................................................................................17 【题型6 菱形的性质与判定综合】.......................................................................................19 【题型7 求菱形中最小值问题】.............................................................................................29 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】...................................................................................32 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，菱形的对角线相交于点，平分交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点D作交延长线于点F，设，表示出，然后表示出，证明出四边形是平行四边形，得到，，表示出，进而利用求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交延长线于点F， 设 ∵平分交于点 ∴ ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 2．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质推出，再结合菱形的性质得，则． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ， 又菱形中，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等边对等角、菱形的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 3．如图，在菱形中，点为对角线上一点，．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据菱形的性质可得，则可证明，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，菱形中，过点作交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形外角的性质，根据菱形的性质可以求出，，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， ， 是的外角， ． 故选：D． 5．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边中线性质，解题的关键是利用菱形的性质得出相关角度关系．先根据菱形的性质求出和的度数，再由和得出，计算出的度数，根据直角三角形斜边上的中线性质，得到，最后得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又菱形的对角线平分一组对角， ， ，， ，即， ， 四边形是菱形， 为中点， 在中，为中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ， 故选：B． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握菱形的性质是解题的关键．首先求出，然后求出，得到即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 8．如图，菱形的对角线交于点O，过点O作于点E，延长交于点F，若，，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的一半长，利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半等于底乘以高）即可求出的长． 【详解】解：∵ 四边形 是菱形， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∵，且 ， ∴，即 为菱形 边上的高， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10．已知菱形中，对角线相交于点O，点E为上一点，连接，，若菱形的周长为20，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，勾股定理等．根据题意可得，，再设，则，继而得到，推出． 【详解】解：∵菱形，周长为20， ∴，，，， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，与交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理求出，进而得到，最后根据菱形的面积等于，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点O， 四边形是菱形， 、， 在中，由勾股定理得， ， ， 菱形的面积为， 故选：C． 【题型3 利用等面积法求面积】 12．如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B． C．64 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可得到，即可解答． 【详解】解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 则菱形的面积为， 故选：B． 13．如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质与面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，可得，，然后利用勾股定理求得，最后利用求出面积即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为：， 故选：B． 14．如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下如图（1），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形面积的计算等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键，矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即，，然后可求得菱形的面积． 【详解】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为，， 而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形沿对角线两次对折的图形， 所以菱形的两条对角线的长分别为，， ． 故选：A． 15．如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为，过点D作于点H，则，进一步求出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵菱形纸片中，， ∴， ∵将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴，， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， 解得， 即菱形的边长为， 过点D作于点H，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：A． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形是菱形， 故选：C． 17．四边形的对角线、相交于点O，且，．要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据已知条件，四边形的对角线互相平分，故为平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项分析即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． A、若添加条件，则平行四边形为菱形，符合题意； B、若添加条件，则平行四边形为矩形，不是菱形，不符合题意； C、若添加条件，则平行四边形不是菱形，不符合题意； D、若添加条件，则平行四边形为矩形，不是菱形，不符合题意； 故选：A． 18．如图，在平行四边形中，，是两条对角线，添加下列条件能判断四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据菱形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，添加不能判断四边形是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，添加，则四边形为矩形，不能判断四边形是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，添加不能判断四边形是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，添加能判断四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 19．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　） A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC 【答案】C 【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、为的中点， ， ， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形此，故选项不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故此选项符合题意； D、， 平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形判定定理分析各选项． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，， 同理可得，，，，，，， ∴且，且， ∴四边形是平行四边形， 当时，如图，则， ∴是菱形， 当时，如图， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴是矩形， 当或时，均不能判定为菱形， ∴可使四边形是菱形的条件是． 【题型5 菱形的判定-证明题】 21．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 22．已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 23．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据“邻边相等的平行四边形是菱形”结合线段垂直平分线的性质即可证明是菱形． 【详解】证明：为对角线上的中点，， 垂直平分， ， ∵四边形是平行四边形， 是菱形． 24．如图，在中，，，，分别为边，的中点，连接并延长到点，使，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】要证明四边形是菱形，需先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等．可利用三角形中位线定理得到线段的平行和数量关系，结合直角三角形的性质推出边相等． 【详解】解：，分别为，的中点， ，． ， ，， 四边形为平行四边形． 在中，， ． ， 是等边三角形， ， ∴四边形为是菱形． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定，解题关键是通过三角形中位线定理得到平行关系，结合直角三角形斜边中线的性质推出邻边相等，从而完成菱形的证明． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 26．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 27．已知，如图，在中，， D是的中点， 连接，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先证明，得证，可判定四边形是平行四边形，结合即可得证． （2）根据，证明是等边三角形，过点C作于点M，根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据菱形的面积定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵中，， D是的中点， ∴ ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵中，， D是的中点，，， ∴，， ∴是等边三角形， 过点C作于点M， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 28．如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，证明，得到，则，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，设，则，再根据勾股定理求出，由菱形的性质得到，，，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点O是对角线的中点，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． 29．如图，已知四边形是平行四边形，点E，F分别在边上，于点G，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，F为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． 又， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：，F为的中点， ． 又，四边形是菱形， ， ∴． ， 在中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． 30．如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【题型7 求菱形中最小值问题】 31．如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键． 32．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 33．如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的最短路线问题，包括菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接交于，以为邻边作平行四边形，则，故，据此计算即可得到答案． 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， 则的最小值为， 故选：A． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 34．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)存在，t的值为6或 【分析】（1）根据时间、速度、路程之间的关系即可求解； （2）①证明四边形为平行四边形，则，设动点的运动时间为秒，则，，列方程并解方程即可求出答案；②证明四边形是矩形，则，据此列方程并解方程即可求出答案； （3）假设在线段上存在一点，使得使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形，分两种情况，画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴； （2）连接，如图所示， 若， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒，则，， ， 解得：，符合题意， 当，满足； ②∵， ∴与之间的距离为， 当时，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ 解得 （3）解：t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 理由如下：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，，如图， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 第二中情况如图， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上可知，t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是能正确建立方程． 35．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以/秒的速度向点运动；同时点从点出发，以/秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出的值为_____； (2)在点，运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先表示出，，，，再根据矩形的性质得到，即可建立方程求解； （2）由菱形的性质得到，则，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由题意得，，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， ， 即， ， ，， ． 36．如图，在四边形中， 动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)当为多少秒时，四边形是矩形； (3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出解出即可得出答案． （2）由矩形的性质得出解出即可得出答案． （3）由菱形的性质可求求出由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）当四边形是平行四边形时， （2）∵在梯形中， ∴当时，四边形是矩形， ∴当时，四边形是矩形． （3）如图，若四边形是菱形，则 在中， 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等，熟练运用方程的思想方法是解此题的关键． 37．如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts．    (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为40cm；面积为80 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【详解】（1）∵在矩形中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形中，， 当时，四边形为矩形， ∴，得， 故当时，四边形为矩形； （2）∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； （3）当时，， 则周长为cm； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 38．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，点E在线段上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段上从点O以2cm/s的速度向点D运动． (1)若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，平行四边形是菱形； (3)求（2）中菱形的面积． 【答案】(1)当t为4秒时，四边形是平行四边形 (2)当AB为时，▱是菱形 (3)96 【分析】（1）若是平行四边形，则，由平行四边形的性质以及则，故有，即可求得t值； （2）若是菱形，则垂直于，即有，故可求； （3）根据四边形是菱形，求得，根据平行四边形的性质得到，可得，列方程求得，可得，于是得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，OB=OD=12cm， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴当t为4秒时，四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形， 则， ∴， ∴； ∴当为时，▱是菱形； （3）∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积＝． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积的计算，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 39．如图，在中，，，．点E从点A出发．沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点G从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E运动的时间是t秒（），过点E作于点F，连接． (1)用含t的式子表示的长度为______； (2)求证：四边形是平行四边形，并求当四边形为菱形时的周长： (3)连接，试判断是否能为，若能，求出相应的t值：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)能， 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形： （1）利用含30度角的直角三角形的性质，列出代数式即可； （2）由题意可知，再根据，即可证四边形为平行四边形，再当为菱形时则， ，进而求出周长； （3）四边形是平行四边形，，，在和中，，，即，进而求出t即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）证明：由题意，得：， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴ ∴ 当平行四边形为菱形时：， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； （3）能，如图： 当时， ∵四边形是平行四边形， ， ． 在和中，， ，即，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 菱形重难点题型汇编 （八大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】.................................................................................2 【题型3 利用等面积法求面积】............................................................................................4【题型4 添加条件对菱形的判定】.........................................................................................5 【题型5 菱形的判定-证明题】...............................................................................................6 【题型6 菱形的性质与判定综合】.........................................................................................7 【题型7 求菱形中最小值问题】.............................................................................................9 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】...................................................................................10 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，菱形的对角线相交于点，平分交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，点为对角线上一点，．若．则（   ） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，过点作交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D．4 7．如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线交于点O，过点O作于点E，延长交于点F，若，，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 9．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 10．已知菱形中，对角线相交于点O，点E为上一点，连接，，若菱形的周长为20，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 11．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【题型3 利用等面积法求面积】 12．如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B． C．64 D． 13．如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D．12 14．如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下如图（1），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 15．如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（    ） A． B． C． D．8 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 17．四边形的对角线、相交于点O，且，．要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平行四边形中，，是两条对角线，添加下列条件能判断四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　） A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC 20．如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 【题型5 菱形的判定-证明题】 21．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 22．已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 23．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 24．如图，在中，，，，分别为边，的中点，连接并延长到点，使，连接，．求证：四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 26．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 27．已知，如图，在中，， D是的中点， 连接，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 28．如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 29．如图，已知四边形是平行四边形，点E，F分别在边上，于点G，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，F为的中点，求的长． 30．如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【题型7 求菱形中最小值问题】 31．如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 32．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 34．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 35．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以/秒的速度向点运动；同时点从点出发，以/秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出的值为_____； (2)在点，运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长； 36．如图，在四边形中， 动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)当为多少秒时，四边形是矩形； (3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 37．如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts．    (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 38．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，点E在线段上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段上从点O以2cm/s的速度向点D运动． (1)若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，平行四边形是菱形； (3)求（2）中菱形的面积． 39．如图，在中，，，．点E从点A出发．沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点G从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E运动的时间是t秒（），过点E作于点F，连接． (1)用含t的式子表示的长度为______； (2)求证：四边形是平行四边形，并求当四边形为菱形时的周长： (3)连接，试判断是否能为，若能，求出相应的t值：若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $