精品解析：四川绵阳市安州东辰2026年秋初2024级（初三上）数学能力素养调查

2026年秋安州东辰初2024级数学能力素养调查 注意事项： 1．调查问卷分调查卷和反馈卡两部分．调查卷共4页，反馈卡共4页． 2．调查开始前，考生务必将自己姓名、班级填写在反馈卡上，并仔细填涂答题卡上的考号． 3．选择题部分用2B铅笔填涂在反馈卡对应题目标号的位置上，非选择题部分使用黑色签字笔书写在反馈卡对应框内．超出反馈区域书写的答案无效． 4．调查结束后，将反馈卡交回． A卷（共100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 2. 下列函数中① ② ③④，是二次函数的有( ) A. ② B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】依据二次函数的定义回答即可． 【详解】①是一次函数，②是二次函数，③分母中含有自变量不是二次函数，④是二次函数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C. 平面内任意三角形的两边之和大于第三边 D. 在一个装有黄球和白球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【解析】 【详解】解： 选项A，小明买彩票中奖，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合题意； 选项B，任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合题意； 选项C，平面内任意三角形的两边之和大于第三边，是一定发生的必然事件，不符合题意； 选项D，盒子中只有黄球和白球，没有红球，一定不可能摸到红球，是不可能事件，符合题意. 4. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟悉一元二次方程根与判别式的关系，确定系数的取值范围，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，时方程有实数根，求解的范围后取最大整数． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴，即， ∵， ∴的最大整数值为； 故选：C． 5. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 6. 将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键． 先提取二次项系数2，再根据完全平方公式整理即可． 【详解】解：， 故选：D． 7. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 根据题意可得出第二周的票房为，第三周的票房为，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 【详解】增长率为x，则第二周的票房为，第三周的票房为， 所以可列方程为． 故选：B． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再根据根与系数的关系，得到两根之和m和两根之积n，代入得到一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断图象不经过的象限即可． 【详解】解：整理原一元二次方程得 ， ∵两根之和为 ，两根之积为 ， ∴， ， ∴一次函数解析式为 ， ∵一次项系数 ，常数项 ， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 9. 如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数可求河宽的长度． 【详解】解：根据题意可知， ， 米，， （米）． 10. 如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　 　) A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案． 【详解】如图，过，y2＝－x2－1的顶点（0，-1）作平行于x轴的直线与y1＝－x2＋1围成的阴影，同过点（0，-3）作平行于x轴的直线与y2＝－x2－1围成的图形形状相同， 故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形， 因此矩形的面积为4×2=8． 故选A 【点睛】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积． 二、填空题（共6小题，每小题4分．共24分） 11. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和个白球， ∴由简单概率公式可得，解得， ∴白球有6个， 故答案为：6． 12. 若函数的图象上有两点，，若，则______．（填>、<或=） 【答案】 【解析】 【分析】先确定给定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性比较和的大小即可． 【详解】解：函数是二次函数，二次项系数为． 函数图象开口向上，对称轴为直线． 开口向上的二次函数，在对称轴左侧（即时），随的增大而减小． 又． ． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求出的长，进而可知BC的长． 进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，平分，与轴交于点．若点的坐标为，，则的值是__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】过点作x轴的垂线段交x轴于点，根据点的坐标求出，的长，在中根据正切的概念求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：过点作x轴的垂线段交x轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 又∵， ∴， ∴在中，． ∵平分， ∴， ∴． 15. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 16. 如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连结，利用三角形中位线定理可得，，，即得，所以，即可求出，再由可求得，由此即得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵D、E分别为、中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 三、解答题（共4小题，每小题4分，共30分） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 移项得 ， 因式分解得  ， 则 或  ， 解得 ，； 【小问2详解】 解：     . 18. 小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． （1）小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； （2）小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：这个游戏规则不公平． 根据题意列表如下： 小明/小亮 2 3 4 2 2 1 2 4 6 3 −6 6 9 观察图表可知共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0种，乘积是有理数的结果是16种， ，， ， 该游戏规则不公平． 【解析】 【分析】（1）根据卡片是负数情况的可能性除以总情况即可求出卡片上的数字是负数的概率． （2）根据列表法，求出乘积是无理数的情况，即可求出小明和小亮分别胜出的概率，从而判断游戏是否公平． 【小问1详解】 解：负数的卡片的个数是2个，总的卡片是4个， 负数抽取的概率是． 【小问2详解】 略 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【小问1详解】 将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． B卷（50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 21. 如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．连接，设小正方形的边长为1．利用相似三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：连接．设小正方形的边长为1． 则是等腰直角三角形， ， ， ，．， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22. 厂家对某商店供货某品牌羽绒服，按季节价格有波动，原价300元/件，秋冬季定价策略为：一次购买件数不超过20件按原价，超过20件的部分按原价的八折计价；非秋冬季一律6折计价．该商店今年春季囤货该品牌羽绒服件，根据销售情况，冬季又进货件（），其中，恰好满足一元二次方程，则该商店一共需付给厂家进货款______元． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到和的值，再根据不同季节的计价规则分别计算两批进货的货款，最后求和得到总进货款． 【详解】解： 因式分解得 解得，， ∵， ∴，， 春季进货款为元， 冬季进货款为元， 总进货款为元． 23. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】先根据方程有两个实数根确定t的取值范围，再利用根与系数的关系得到和的表达式，将所求式子整理为关于t的二次函数，最后根据二次函数性质求最小值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，化简得， 解得， ∵，是该一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， 展开整理得：， 将，代入得：， ∵二次函数开口向上，对称轴为，且， ∴当时，取得最小值， 将代入得最小值为． 24. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点，，当时，的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形性质求出对角线长及度数，结合旋转性质证明，利用相似比设未知数，通过勾股定理建立方程求出长，最后计算周长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 是矩形对角线的交点 ， 在中，， ， ， ， 由旋转可得，，， ，， ， ， ，， ， ，， 设，则，，， 过点作于点，如图： 在中，，， ，， ， 在中， 解得（舍去）， 的周长为 ． 五、解答题（共3小题，共36分） 25. 已知：关于的一元二次方程，其中是整数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求的值； 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ， ∵是整数，则， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，然后根据是整数确定的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程两个实数根分别为，， ∴，， ∵、是斜边长为的直角三角形两直角边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， ∵是整数， ∴的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，． 26. 如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，当平分四边形的面积时，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 、、、四点共圆， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）四边形对角互补，则四个顶点共圆，利用相似的判定定理证明和相似即可； （2）先证，利用全等性质得出结论，设，则，再求出、、的值，列面积等式解出x即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如下图， 线段绕点D顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ，， ，， ，，， ， 设，则， ，，， ， ，， ，， 平分四边形的面积， ， ， 即， 解得：（负值舍去）， ． 【点睛】双直角考虑共圆，导角找相似，几何面积问题，先“全等+三角比”把多段归成一个变量，再“面积相等”列方程． 27. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或； （3）四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋安州东辰初2024级数学能力素养调查 注意事项： 1．调查问卷分调查卷和反馈卡两部分．调查卷共4页，反馈卡共4页． 2．调查开始前，考生务必将自己姓名、班级填写在反馈卡上，并仔细填涂答题卡上的考号． 3．选择题部分用2B铅笔填涂在反馈卡对应题目标号的位置上，非选择题部分使用黑色签字笔书写在反馈卡对应框内．超出反馈区域书写的答案无效． 4．调查结束后，将反馈卡交回． A卷（共100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 2. 下列函数中① ② ③④，是二次函数的有( ) A. ② B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C. 平面内任意三角形的两边之和大于第三边 D. 在一个装有黄球和白球的盒子里摸球，摸到了红球 4. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 6. 将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 7. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　 　) A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题4分．共24分） 11. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 12. 若函数的图象上有两点，，若，则______．（填>、<或=） 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为______．（结果保留根号） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，平分，与轴交于点．若点的坐标为，，则的值是__________． 15. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 16. 如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为________． 三、解答题（共4小题，每小题4分，共30分） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）计算：． 18. 小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． （1）小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； （2）小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当四边形为正方形时，求线段的长． B卷（50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 21. 如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点的值为_______． 22. 厂家对某商店供货某品牌羽绒服，按季节价格有波动，原价300元/件，秋冬季定价策略为：一次购买件数不超过20件按原价，超过20件的部分按原价的八折计价；非秋冬季一律6折计价．该商店今年春季囤货该品牌羽绒服件，根据销售情况，冬季又进货件（），其中，恰好满足一元二次方程，则该商店一共需付给厂家进货款______元． 23. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________． 24. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点，，当时，的周长为______． 五、解答题（共3小题，共36分） 25. 已知：关于的一元二次方程，其中是整数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求的值； 26. 如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，当平分四边形的面积时，求的长． 27. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $