福建省厦门双十中学2026-2027学年高三上学期数学第五次周考试题

周考五答案 1 2 3 4 5 6 7 8 B C 0 B C 9 10 11 12 13 14 ABD ACD BCD 6 [-3,5U{-4} v2 8.B【详解】如图以A为原点，ABAD,A4分别为x,y,z轴建系， 则B(1,0,0),A(0,0,1),D(01,0),AB=(（1,0,0),AA=(0,0,1),AD=(0,1,0) A 则AP=(x,y,z),又C(L1,),AC=(1,l,1) B x+y+z=AP.AC=P.AC cOs AP,AC=3AP cos AP,AC AP cos AP,AC表示AP在AC方向上的投影向量的长度， B 如图当P在G或F时，即当A,O,P共线时，APcos AP,AC取最值， 因oG》内切球半径为则40-s,G≤40 2 2,2 则x+y+z3-53+v5 2,2 故选：B 11.BCD【详解】令-1-x>0,解得x<1, 令log2(1-x)≥0，解得x≤-2，此时f(x)=log2(-1-x), 令l0g2(1-x)<0,解得-2<x<-1,此时f(x)=-log2(-1-x), 令2-1≥0，解得-1≤x≤1，此时f(x)=2x,令2-1<0，解得x>1,此时f(x)=2-2x, 10g2(-1-x),x≤-2 -log2(-1-x),-2<x<-1 则f(x)= 2x,-1≤x≤1 ,如图，作出符合题意的图象， yf(x) 2-2,x>1 2 y-m 因为方程f(x)=m有四个不等的实数解， -2-101 所以f(x)与y=m有四个不同的交点，则m∈(I,2),故A错误， 对于B,令log2(-1-x)=m,解得x=-1-2",令-log2(-1-x)=m,解得x2=-1-2m,令2=m,解得 =1-l0g2m,令2-2=m,解得x4=1-10g2(2-m),则x2+x+x2=(（-1-2)(-1-2"m)+(-1-2")+(-1-2") =1+2m+2m+1-1-2m-1-2m=0,故B正确， 对于C,由己知得考=1-1g2m，x4=1-l0g,(2-m）,则25+25=2：m+2,2-)=2 2 F2m+21,2-m 2+,2=22-m+2m=4 m2-mm2-m）m2-m）2m-m,而25w=2g-,2-0=2:mt2-=2) 2m可2m-m’可得2”+2=25，故C正确， 22 4 对打D自阅整得+文-2*+2*=2+2t 2+22x2+2x22+1 而(x+1(x:2+)x2=2(化x2+x+x2+),因为xx2+x+x2=0,所以(x+)(x2+1)x2=x2=-1-2m, 则+，+：+1（飞，+1）5=-1-2”+1=-2，令gm)=2“,由指数函数性质得gm在4,2)上单调递增， 2525 当m→1时，8侧→分当m→2时，g侧→4 可得g(m)e 》即++(++0到 11 故D正确. 14.【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为(V)=V《(2R)2+h2, 当h≥2R,即点≥1时，)=2R, IV)_V(2R2+2 h ）2 2R 1+ ≥V2, iV) 2R (2R 当且仅当h=2R时，等号成立： 当h<2R,即2迟>1时，y)=h,化-2R+ 2R) (V) h I+ >V2.所以 的最小值为√2 (v） v 15.(1)b+9=4 +2cosA=b2+c2=4+2bccos A, c b bc 其中2 bccosA=b+c2-ad2,所以b2+c2=4+b2+c2-a2，a2=4, 解得a=2, sin4-=2sin(4+B),由正弦定理得g-2sinC, sinB 6 又a=2,所以bsin C=l, 1 1 所以S,Mc=)absinC=)×2x1=l: 2 2 (2)AM为△ABC的中线，a=2,故BM=CM=1, 5m-1放8w-c- 1 ∠BMM=45,故AB-AMs血45-3所以B-M=反， 在△MBM中，由余弦定理得cosS∠BAM=AB+AM2-BM2, 2AB·AM 即AB+AM2-1-V2 化简得AB2+M2=3, 2N2 2 联立AB·AM=√2与AB2+AM2=3得AB=1,AM=V2或AB=V2,AM=1, 若AB=L,AM=√2，此时BM2+AB2=AM2,BM=AB, △ABM为等腰直角三角形： 若AB=√2，AM=1,此时AM2+BM2=AB2,AM=BM, △ABM为等腰直角三角形： 综上，△ABM为等腰直角三角形 16.(1)由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个 绿球)，可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为 C351 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球)的概率为 C4-12 C3351 摸出1个红球和2个绿球的概率为CC_3 C35 1.12.316 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为 35+35+3535 (2)由题可知，X的所有可能取值为1,2,3， P(X=)= -x--g会w-cc-是 C351 则X的分布列为 X 1 2 3 1 P 22 12 35 35 35 故E(X)=1×+2× 2+3× 1281 ×35235' 3535 17.①2-上-1 3 (2) M H B A 文A山解法一：证明：由题可知，1的斜率不为0， 可设1的方程为x=ty+2,M(x,y),N(x2,y2) x=y+2 由 x-上=1可得(32-少2+120+9=0， 3 12t 9 则32-1≠0，y+%=3-?3-' 由题可知B(-1,0),则BM=(x+1,y),BN=(x2+1,y2), BM.BN=(x+1)(x2+1)+yy2=(y,+3)(y2+3)+y2, =(2+1)y+31(y+)+9= 9(2+1362 3-132-+9=0, 所以BM⊥BN, 18.(1)(1)取AB的中点O,取BC的中点P,连接OS,OP,则OP∥AC, 又AC⊥平面SAB,则OP⊥平面SAB, 又OS,ABC平面SAB,则OP⊥OS,OP⊥AB, 所以以O为原点，直线OB,OP,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 在Rt△ABC,由∠ABC=60°，BC=4, 则AB=BCcost60°=2，AC=BCsin60°=2N3,OP=)AC=V3,OA=OB=}AB=1, 在正三角形ASAB中，SA=SB=AB=2,则OS=VSB2-OB2=V5, 所以0(0,0,0)，S0,0,3,D(-3,23,0 又点T满足S7=SD(0<<1), 则S7=SD=(-3,25,-3),则T(-32,25元，-3+5)： 即点T到平面ABC的距离为h=2V3 3 所以校修B-初C的体视为形m=侧写5a-x2x25x25-号 11 32 3=3 (2)连接EF,BT, 由平面ax过直线BT,且E,F∈平面ax,则平面BETF是平面a, 因为AC/I平面a,平面BETFO平面SAC=EF,所以ACIIEF, 结合(1)的空间直角坐标系， 不妨设SE=SA,则SF=SC,0<4≤1， 又S0,03),A(-1,0,0),B(1,0,0),c(-1,25,0）: 则sE=4(-1,0,-5)=(40,-v34,所以E(40,5-54): SF=(-1,25,-3)=(4,234,-3,所以F(4,254,5-34, 所以BE=(-1,0,3-34,BF=（4-l,234,V3-5: m-BE=(-1)x+(5-3μ2=0 设平面α的法向量为m=(x,y,),则 mBF=(-)x+254y+(5-34z=01 令x=V3(1-),则y=0,z=1+4,所以m=(N3-V34,0,1+, 显然i=(0,0,I)是平面ABCD的一条法向量， 又平面ABCD与平面a的夹角为？， 6 。πmi 则co 1+4 *V3 6m同3(1-+0+4 2, 整理得2r-5+2=(2u-u-2)=0,解符u=或A-2(合去)， 即点E,F分别为侧棱SC,SA的中点，且平面aα的法向量为m 又点T满足S7=SD(0<<1), 结合(1)有T(-3元，23，-3+5)， 则B7=(-3-1,23,-V3+5), 又BTc平面a,则m⊥BT, 所以m所-35A535235-352+5=0:解得 2222 所以存在点T(T为SD的三等分点，且靠近S处)，使得平面ABCD与平面x的夹角为 6 结合(1)，在△SMC中有4C=2V5,则EF=4C=V5, 在正三角形ASAB中，有SA=SB=AB=2,则BE= SA 3, 、2 又AC⊥平面SAB,ACIEF,则EF⊥平面SAB, 又BEc平面SAB,则EF⊥BE, 所以比时aBF的面积为5amB服×F-5x5- 21 191)a=1时，=r----2h 因为7e=2x+号（+)2片以70=2+2-0+0-2=0.义0=-0， 所以曲线y=f(x)在点(，f)处的切线方程是y=0. 2因为-2*是+)204_2-2x4)-2x利 2/ -0 x 2-y4 设g()-2x+4-a,则g()在(Q,)）上单调递减、在L+m)上单调递增， 若g()≥0，即a≤8时，则x∈(0，+o),有g(x)≥0，∫'(x)≥0，则f(x)是增函数： 若g0<0,即a>8时，因为g日=8a)-名+a+4>0, 则g(x)有两个零点，记为x,x2,不妨假设x<x2, 则x∈(x,x),有g(x)<0,f()≤0，则f(x)在(，x)上单调递减，不合题意： 所以a的取值范围是(-∞，8]. (3)当a≤8时，由(2)可知，f(x)是增函数，则f(x)在(0+o)上至多一个零点： 当a>8时，由(2)可知，f(x)在(0，x)上单调递增，在(x,x2)上单调递减， 在(x2,+∞)上单调递增.又因为x<1<x2,且f()=0, 所以f(x)>0,f(x)<0. x因为合，f日)日1(a-4加a0,a>o)-日0， 1 所以f(:在。，(，)上各恰有一个零点， 所以f(x)在区间(0,1)，(L,+∞)各恰有一个零点，所以a的取值范围是(8，+∞).厦门双十中学2027届高三数学第五次周考 注意事项: 1.本试卷满分150分,考试时间120分钟 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效, 4.考试结束后,将答题卡交回. 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.设集合A={xlog(x-1)>0},B={x2<4,则( ) A.A=B B.AB=B C.AB=B D.AB 2.若复数z满足z2-2√2z+3=0,则z=( ) A.2 B.2 C.5 D.3 3.已知空间中三个向量AB=(1,2,3),AC=(2,-1,-1),AD=(9,x,-1)共面,则实数x的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 4.已知p:x∈(0,+o),4-a.2+1≤0,q:f(x)=-x2+2在(-o,2)上单调递增,则P是9的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.己知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,PA,PB为圆锥的母线,PO=3,∠AOB=120 ,且二面角P-AB-O 的大小为60,则圆锥的侧面积为( ) A.6 B.12元 C.3√7 D.6√7 6.若f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,f(x)>1,则x<0时,∫(x)的取值范围为( ) A.(-0,1) B.(0,1) C.(1,+0) D.(0,+0) 7.已知函数f(x)=e-e+x,若∫(2m-2)+f(m-1)>2,则m的取值范围是( ) A.(1,+0) c. 8.己知P为棱长为1的正方体ABCD-ABCD的内切球表面一动点,且AP=xAB+yAD+zA4,则x+V+z的 取值范围是( ) 3-√3 3-V33+3 3+3 B 2,2 C.[3,23] ,25 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分) 9.震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的,我国目前使用的震级标准,是国际上通用的里 氏分级表,共分9个等级,其中能量E(单位:焦耳)与里氏震级M的对应关系为lgE=4.8+1.5M,则( ) A.若某次地震的震级不超过2级,则产生的能量低于10焦耳 B.若某次地震的震级超过4级,则产生的能量高于10 焦耳 C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D.3级地震的能量是7级地震的能量的1 1 I0.如图,在矩形AEPC中,AE=√5,EF=2,B为EF的中点,现分别沿AB,BC将 ABE, BCF翻折,使 点E,F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则( ) E B B A.三棱锥P-ABC的体积为V2 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为5 C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为25D.三棱锥P-A8C外接球的体积是1V22严 3 24 log,(-1-x),x<-1 11.已知函数f(x)= 2一+1,x之-1,方程)=m有四个不等的实数解,分别为 x,x2,x,x(x<x2<x3<x4),则( ) A.m∈1,4] B.+=0 C.25+24=2+4 D.分+++e+e(号到 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 2.如图,在四棱柱ABCD-4BCD中,∠BAD=∠BA4=∠DA4=,四边形ABCD是边长为2的麦形 AA=3,O为AC与BD的交点.则AO的长等于 A D 13.若函数f(x)=2+4x-1在(-l,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是 14.在包装设计中,常用长度和宽度描述物体体型.长度1W)定义为物体上最远两点间的距离,宽度t(V)定义为 能夹住物体的两平行平面间的最小距离,即存在一对平行平面,使得物体上的所有点均位于两平面之间(包括平 面上).现有一圆柱,其底面半径R与高h可任意调节,则炉的最小值为 tW) 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)在 ABC中,角A,8,C所对的边分别为a,b,c,满足+=4+2co4,且 c b bc sinA=2sin(A+B). sinB (1)求 ABC的面积; (2)若AM为 ABC的中线,且∠BAM=45 ,判断 ABM的形状. 16.(15分)一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球,这些球除颜色外其他完全相同,现从这 个口袋中一次性地摸出3个球. (I)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率: (2)记摸出的球的颜色种类为X,求X的分布列与期望. 17.(15分)已知双曲线C若若-1a>0b>0)的右焦点为刀,右顶点为40为坐标原点,且24-4-1 (1)求C的方程: (②)过点F的直线I与C的右支交于M,N两点,记C的左顶点为B,证明:BM⊥BN. 18.(17分)如图,四棱锥S-ABCD的底面ABCD为平行四边形, SAB为正三角形,AC⊥平面SAB, ∠ABC=60 ,BC=4,点T满足S7=2SD(0<入<1). 1)若元=号时,求三棱锥B-A7C的体积: (2)若平面过直线BT,且AC//平面,平面与侧棱SC,SA分别交于点E,F.是否存在点T,使得 平面ABCD与平面 的夹角为”?若存在,请说明点T的位置,并求此时ABBF的面积;若不存在,请说明 6 理由. B 1907分)已函数)=是a-)(2a-到h,aeR (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程: (2)若f(x)在定义域内为增函数,求a的取值范围; 3)若(x)在区间(0,),(1,+o)各恰有一个零点,求4的取值范围.