2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试高频考点模拟卷.培优卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试高频考点模拟卷.培优卷 考卷信息: 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长，下列说法正确的是（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 3．如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（   ）千米 A． B． C． D． 4．若，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度是（　　） A． B． C． D． 6．黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（    ） A． B． C． D． 7．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．下列几何体中，俯视图是右图所示的两个同心圆的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，点在边上，连接，过点作交于，已知，点是的中点，是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十“端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为______cm（保留根号）． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为______． 14．已知，求________． 15．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 16．如图，在平行四边形中，过B作且交于E，以为对称轴将对称至，，已知，，则________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1) (2) 18．如图，在中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 19．图①，②，③均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中， ______． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使，相似比为______． 20．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为、． (1)在图中标出的中点D； (2)在第三象限内，画出以O为位似中心将放大为原来的两倍，得到； (3)在（2）条件下： ①边上的点在中的对应点P的坐标为______； ②______ 22．如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 23．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n且，满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，求c的最大值． 24．【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3) 如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B C B C D D 11．且 【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且． 故答案为：且． 12． 【详解】解：∵点C恰好是线段的黄金分割点，即，， ，解得：， ∵，不符合题意舍去 ， 故答案为：． 13． 【详解】解：在菱形中， ， 在中， ∵， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴， 在中，， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为中点， ∴． 故答案为：． 14． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 15．/平方厘米 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 16． 【详解】解：∵与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：（只取正值）， 即， ∴， 故答案为：． 17．【详解】（1）解：分解因式，得， ∴或， 解得，． （2）提公因式，得， 移项，得， 提公因式，得， ∴或， 解得，． 18．(1)证明：， ． 是中点， ． 又， ． ． 是中点，， ． ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． （其他方法酌情给分） （2）解：， ． ，，， ∴， ． 由勾股定理可得． ． 19．(1) (2) ①点P即为所要找的点； ②点P即为所要找的点． 相似比为 ①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A关于的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点P即为所要找的点． ∵， ∴相似比为， 故答案为： 20．【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 21．(1)如图所示，点为所求； (2) 如图所示，为所求； （3）解：∵以点为位似中心，在第三象限内将放大到原来的两倍，得到，边上的点， ∴与的位似比为， ①在中的对应点， 故答案为：； ②∵与的位似比为， ∴， 故答案为：． 22．(1)证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 23．【详解】（1）解：，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， ∴是方程的根， ，且， ， ∴是方程的根， 又 ∵，即， ∴和是方程的两个不相等的实数根， ， ． （3）解：， ， ， 又， ， ∴是方程的实数根， 即方程有实数根， ∴判别式， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ∴的最大值为2． 24．【详解】（1）解：由旋转的性质得： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，即为所求； ， 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $