专题09 椭圆及其性质（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题09 椭圆及其性质参考答案 题型01 椭圆的定义及其标准方程应用 【典例1】【答案】C 【解析】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 【变式1-1】【答案】B 【解析】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 【变式1-2】【答案】C 【解析】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 【变式1-3】【答案】D 【解析】因为椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，故其标准方程为. 由椭圆定义，，得. 又椭圆面积为，由题知，即，解得， 故，， 因此椭圆的标准方程为. 故选：D 题型02 椭圆方程成立的充要条件判定 【典例2】【答案】B 【解析】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-1】【答案】A 【解析】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】【答案】D 【解析】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 【变式2-3】【答案】B 【解析】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 题型03 椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 【典例3】【答案】A 【解析】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【变式3-1】【答案】C 【解析】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 【变式3-2】【答案】B 【解析】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 【变式3-3】【答案】A 【解析】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 题型04 椭圆上两点间距离的最值求解 【典例4】【答案】 【解析】由椭圆的定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式4-1】【答案】 【解析】由题意可得椭圆， 所以， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 【变式4-2】【答案】1 【解析】由题意可知， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为. 故答案为：1 【变式4-3】【答案】 【解析】由，得， 所以， 所以， 所以点到椭圆的一个焦点的最短距离为， 故答案为： 题型05 椭圆上两条线段和与差的最值问题 【典例5】【答案】/ 【解析】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 【变式5-1】【答案】31 【解析】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 【变式5-2】【答案】 【解析】椭圆中，，由椭圆定义得， 则，而， 因此，，即， 所以. 故答案为： 【变式5-3】【答案】/ 【解析】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. 题型06 椭圆离心率的值与取值范围求解 【典例6】【答案】 【解析】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 【变式6-1】【答案】 【解析】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 【变式6-2】【答案】 【解析】延长交椭圆于点，连接，由，可知， 由椭圆的对称性可知，，， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 则，即，解得， 所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为， 则，所以，即， 由得，所以的离心率 【变式6-3】【答案】 【解析】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 题型07 椭圆简单几何性质的综合应用 【典例7】【答案】 【解析】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 【变式7-1】【答案】 【解析】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 【变式7-2】【答案】2， 【解析】设椭圆方程为．因为它与直线只有一个公共点，所以方程组只有一组解，消去，整理得． 所以，化简得． 又焦点为，，所以，联立上式解得，， 所以椭圆的方程为． 若直线的斜率不存在（或为0），则四边形的面积为． 若直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的斜率为． 所以直线的方程为，设，， 联立方程得化简得， 则，， ， 同理可得． 所以． 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以． 综上所述，四边形面积的最大值为2，最小值为． 【变式7-3】【答案】4 【解析】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 题型08 利用椭圆第一定义求轨迹方程 【典例8】【答案】 【解析】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 【变式8-1】【答案】 【解析】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 【变式8-2】【答案】 【解析】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 【变式8-3】【答案】 【解析】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 椭圆及其性质 （题型突破·举一反三） 题型一：椭圆的定义及其标准方程应用 题型二：椭圆方程成立的充要条件判定 题型三：椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 题型四：椭圆上两点间距离的最值求解 题型五：椭圆上两条线段和与差的最值问题 题型六：椭圆离心率的值与取值范围求解 题型七：椭圆简单几何性质的综合应用 题型八：利用椭圆第一定义求轨迹方程 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型01 椭圆的定义及其标准方程应用 【典例1】（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 【变式1-1】（2026·高二·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 【变式1-2】（2026·高二·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 【变式1-3】（2026·高二·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，故其标准方程为. 由椭圆定义，，得. 又椭圆面积为，由题知，即，解得， 故，， 因此椭圆的标准方程为. 故选：D 题型02 椭圆方程成立的充要条件判定 【典例2】（2026·高二·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-1】（2026·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（2026·高二·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【解析】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 【变式2-3】（2026·高二·江西南昌·期末）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 题型03 椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 【典例3】（2026·高三·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【变式3-1】已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【解析】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 【变式3-3】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【解析】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 题型04 椭圆上两点间距离的最值求解 【典例4】（2026·高二·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】由椭圆的定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式4-1】（2026·高二·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由题意可得椭圆， 所以， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 【变式4-2】（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为__________． 【答案】1 【解析】由题意可知， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为. 故答案为：1 【变式4-3】（2026·高二·重庆九龙坡·阶段检测）已知点是椭圆上的点，则点到椭圆的一个焦点的最短距离为_____． 【答案】 【解析】由，得， 所以， 所以， 所以点到椭圆的一个焦点的最短距离为， 故答案为： 题型05 椭圆上两条线段和与差的最值问题 【典例5】（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【解析】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 【变式5-1】已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【解析】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 【变式5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 【答案】 【解析】椭圆中，，由椭圆定义得， 则，而， 因此，，即， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（2026·高三·福建厦门·阶段检测）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________. 【答案】/ 【解析】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. 题型06 椭圆离心率的值与取值范围求解 【典例6】（2026·高二·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 【变式6-1】已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【解析】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 【变式6-2】（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】延长交椭圆于点，连接，由，可知， 由椭圆的对称性可知，，， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 则，即，解得， 所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为， 则，所以，即， 由得，所以的离心率 【变式6-3】（2026·高二·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 题型07 椭圆简单几何性质的综合应用 【典例7】若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 【变式7-1】已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【解析】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 【变式7-2】已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【答案】2， 【解析】设椭圆方程为．因为它与直线只有一个公共点，所以方程组只有一组解，消去，整理得． 所以，化简得． 又焦点为，，所以，联立上式解得，， 所以椭圆的方程为． 若直线的斜率不存在（或为0），则四边形的面积为． 若直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的斜率为． 所以直线的方程为，设，， 联立方程得化简得， 则，， ， 同理可得． 所以． 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以． 综上所述，四边形面积的最大值为2，最小值为． 【变式7-3】（2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【解析】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 题型08 利用椭圆第一定义求轨迹方程 【典例8】设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 【变式8-1】椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 【变式8-2】（2026·高二·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 【变式8-3】（2026·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为______．    【答案】 【解析】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 椭圆及其性质 （题型突破·举一反三） 题型一：椭圆的定义及其标准方程应用 题型二：椭圆方程成立的充要条件判定 题型三：椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 题型四：椭圆上两点间距离的最值求解 题型五：椭圆上两条线段和与差的最值问题 题型六：椭圆离心率的值与取值范围求解 题型七：椭圆简单几何性质的综合应用 题型八：利用椭圆第一定义求轨迹方程 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型01 椭圆的定义及其标准方程应用 【典例1】（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型02 椭圆方程成立的充要条件判定 【典例2】（2026·高二·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2026·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2026·高二·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【变式2-3】（2026·高二·江西南昌·期末）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 【典例3】（2026·高三·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【变式3-3】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 题型04 椭圆上两点间距离的最值求解 【典例4】（2026·高二·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 【变式4-1】（2026·高二·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是___________． 【变式4-2】（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为__________． 【变式4-3】（2026·高二·重庆九龙坡·阶段检测）已知点是椭圆上的点，则点到椭圆的一个焦点的最短距离为_____． 题型05 椭圆上两条线段和与差的最值问题 【典例5】（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【变式5-1】已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【变式5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 【变式5-3】（2026·高三·福建厦门·阶段检测）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________. 题型06 椭圆离心率的值与取值范围求解 【典例6】（2026·高二·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【变式6-1】已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【变式6-2】（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 【变式6-3】（2026·高二·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 题型07 椭圆简单几何性质的综合应用 【典例7】若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【变式7-1】已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【变式7-2】已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【变式7-3】（2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 题型08 利用椭圆第一定义求轨迹方程 【典例8】设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【变式8-1】椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【变式8-2】（2026·高二·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【变式8-3】（2026·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为______．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $