2.2.3直线的一般式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修

直线的一般式方程 层级(一)　“四基”落实练 1.直线+=1化成一般式方程为 (　　) A.y=-x+4 B.y=-(x-3) C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12 2.已知直线l经过点P(-1,2),且倾斜角为135°,则直线l的一般式方程为 (　　) A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 3.若ac>0,bc<0,则直线ax+by+c=0不通过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(多选)已知直线l1:x+(a-1)y+1=0,直线l2:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是 (　　) A.l1在x轴上的截距为-1 B.l2过点(0,-1)且可能垂直于x轴 C.若l1∥l2,则a=-1或a=2 D.若l1⊥l2,则a= 5.关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是 (　　) 6.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　　　　.  7.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足　　　　.  8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值. (1)在x轴上的截距为1; (2)斜率为1; (3)经过定点P(-1,-1). 层级(二)　“能力”提升练 9.若点P(3,-4)是直线a1x+b1y+2=0和a2x+b2y+2=0的公共点,则相异两点A(a1,b1)和B(a2,b2)所确定的直线AB的方程是 (　　) A.3x-4y+2=0 B.4x-3y+2=0 C.3x-4y-2=0 D.4x-3y-2=0 10.(多选)已知直线l的一个方向向量为u=,且直线l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是 (　　) A.直线l的倾斜角等于150° B.直线l在x轴上的截距等于 C.直线l与直线x-3y+2=0垂直 D.直线l上不存在与原点距离等于的点 11.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是 (　　) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0 12.已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为　　　　　　　　.  13.已知Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(-1,-2),顶点C在x轴上. (1)求点C的坐标; (2)求斜边上的中线的方程. 14.已知直线l1:x+y+4-3m=0. (1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M; (2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小,求直线l2的方程. 层级(三)　“素养”培优练 15.在平面直角坐标系中,矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列,且点O,P,Q的坐标分别是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),其中t>0. (1)求顶点R的坐标; (2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t). 直线的一般式方程参考答案 层级(一)　“四基”落实练 1.解析:选C　由+=1可得4x+3y=12,即4x+3y-12=0. 2.解析:选B　∵直线l的倾斜角为135°,∴斜率为tan 135°=-1,又直线l过点(-1,2),∴直线的点斜式方程为y-2=-(x+1),一般式方程为x+y-1=0. 3.解析:选D　ax+by+c=0的截距式方程为+=1,因为ac>0,bc<0,所以-<0,->0,即直线在x轴上的截距小于0,在y轴上的截距大于0,故直线不通过第四象限. 4.解析:选AD　对于A,因为直线l1:x+(a-1)y+1=0,令y=0,解得x=-1,所以l1在x轴上的截距为-1,故A正确;对于B,因为直线l2:ax+2y+2=0的斜率k=-,即斜率存在,直线l2不与x轴垂直,故B错误;对于C,若a=2,则直线l1,l2均为x+y+1=0,即两直线重合,不平行,故C错误;对于D,若l1⊥l2,则a+2(a-1)=0,解得a=,故D正确.故选AD. 5.解析:选D　关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的是直线,且直线的斜率为a,在y轴上的截距为-,直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为-1.对于A,直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数,不满足题意,所以排除A;对于B,直线的斜率小于1,它在y轴上的截距大于-1小于零,不满足题意,所以排除B;对于C,直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数,不满足题意,所以排除C;对于D,直线的斜率小于-1,它在y轴上的截距大于零小于1,能满足条件,所以D可能成立.故选D. 6.解析:由2x-3y+12=0知,斜率为,在y轴上的截距为4.根据题意,直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,所以直线l的方程为x-3y+24=0. 答案:x-3y+24=0 7.解析:当2m2+m-3=0时,m=1或m=-;当m2-m=0时,m=0或m=1.要使方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则2m2+m-3,m2-m不能同时为0,∴m≠1. 答案:m≠1 8.解:(1)∵直线过点P'(1,0),∴m2-2m-3=2m-6. 解得m=3或m=1.又∵m=3时,直线l的方程为y=0,不符合题意,∴m=1. (2)由斜率为1,得解得m=. (3)直线过定点P(-1,-1),则-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=或m=-2. 层级(二)　“能力”提升练 9.解析:选A　因为P(3,-4)是直线a1x+b1y+2=0和a2x+b2y+2=0的公共点,所以3a1-4b1+2=0,且3a2-4b2+2=0,所以两点A(a1,b1)和B(a2,b2)都在同一条直线3x-4y+2=0上,故直线AB的方程是3x-4y+2=0. 10.解析:选CD　由已知得直线l的斜率k==-,设其倾斜角为θ,则tan θ=-,所以θ=120°,故A错误;直线l的方程为y+2=-(x-1),即x+y+2-=0,所以它在x轴上的截距等于1-,故B错误;直线x-3y+2=0的斜率为,×(-)=-1,所以两直线垂直,故C正确;原点到直线l的距离d=1->,即直线l上的点与原点的最小距离大于,故l上不存在与原点距离等于的点,故D正确.故选C、D. 11.解析:选C　由x-y+1=0,得A(-1,0).又∵P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,∴P为线段AB中垂线上的点,且B(5,0).PB的倾斜角与PA的倾斜角互补,则斜率互为相反数,故PB的斜率kPB=-1,则方程为y=-(x-5),即x+y-5=0. 12.解析:因为l:mx+y-m+2=0⇒y+2=-m(x-1),即直线l过定点Q(1,-2),斜率为-m,因为kQM==-2,kQN==5,如图所示,所以-m≤-2或-m≥5,解得m≥2或m≤-5. 答案:(-∞,-5]∪[2,+∞) 13.解:(1)∵Rt△ABC的直角顶点B(-1,-2), ∴AB⊥BC,故kAB·kBC=-1.又∵A(-3,0), ∴kAB==-,∴kBC=, ∴直线BC的方程为y+2=(x+1),即x-y-3=0. ∵点C在x轴上,∴由y=0,得x=3,即C(3,0). (2)由(1)得C(3,0),∴AC的中点为(0,0),∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点),直线OB的斜率k=2,∴直线OB的方程为y=2x, 即斜边上的中线的方程为2x-y=0. 14.解:(1)证明:将直线l1的方程化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0, 解方程组解得 故直线l1恒过定点M. (2)由题意可知,直线l2的斜率存在且不为零, 设直线l2的方程为y+2=k,令x=0,可得y=k-2,令y=0,可得x=-1, 由已知可得解得k<0, 所以三角形面积为S=(2-k)=≥=4,当且仅当k=-2时,等号成立,此时直线l2的方程为y+2=-2,即2x+y+4=0. 层级(三)　“素养”培优练 15.解:(1)设顶点R的坐标为(x,y). 由题意知kOP==t,kPQ==-. 易知OP∥QR,PQ∥OR,所以t=,-=, 解得即点R的坐标为(-2t,2). (2)易得S矩形OPQR=|OP|·|OR|=2(1+t2). ①如图1,当1-2t≥0,即0<t≤时,设线段RQ与y轴交于点M,易知直线RQ的方程为y-2=t(x+2t),则点M的坐标为(0,2+2t2), 所以S△OMR=|OM||xR|=2t(1+t2),所以S(t)=S矩形OPQR-S△OMR=2(1-t)(1+t2). ②如图2,当1-2t<0,即t>时,设线段QP与y轴交于点N,易知直线QP的方程为y-t=-(x-1), 则点N的坐标是,所以S(t)=S△OPN=|ON|·xP=. 综上,S(t)= 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $