2.2.3直线的一般式方程课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“直线的一般式方程”，分层设计清晰，基础落实与素能提升梯度合理，知识覆盖从单一概念到综合应用，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|直线方程形式转换、斜率与倾斜角关系、平行垂直判定|以选择填空为主，注重概念辨析与基本运算，如直线截距计算、方向向量判断| |素能提升|含参数直线综合应用、欧拉线等几何情境问题|通过解答题深化逻辑推理，结合数学文化情境（如欧拉线）提升应用意识，如直线过定点证明、三角形面积计算|

2.2.3　直线的一般式方程 一、基础落实 1.过点(1,-1)且斜率为的直线l的方程为(　　) A.3x+2y-7=0 B.2x+y-4=0 C.x-2y-3=0 D.x-2y+3=0 2.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°,则m的值为(　　) A.3或2 B.2 C.-3 D.3 3.若ab<0,bc<0,则直线ax+by+c=0不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(多选题)(2025·广西桂林检测)已知直线l:x+y-4=0,则下列结论正确的是(　　) A.点(2,-2)在直线l上 B.直线l在x轴上的截距为4 C.直线l的倾斜角为 D.直线l的一个方向向量为v=(1,1) 5.已知点A(3,-8),B(-7,4),则经过线段AB的中点并且垂直于直线:3x-4y+14=0的直线的方程为(　　) A.4x+3y+14=0 B.3x+4y+14=0 C.3x-4y-14=0 D.4x-3y+14=0 6.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为(　　) A. B.-6 C.- D.6 7.(多选题)已知直线l1:mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列说法正确的有(　　) A.直线l1恒过点(0,-3) B.存在m使得直线l2的倾斜角为90° C.若l1∥l2,则m=2或m=-2 D.不存在实数m使得l1⊥l2 8.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为　　　　　　,一般式方程为　　　　　　　　　　.  9.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　　　　　. 10.(1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程; (2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 二、素能提升 11.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m+n-p等于(　　) A.24 B.20 C.4 D.0 12.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线l的斜率可以为0 B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=- C.直线l恒过点(2,1) D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1 13.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(9,1),B(8,2),C(5,-1),则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.x-2y-6=0 B.2x-y-14=0 C.x+2y-26=0 D.6x+3y-46=0 14.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程为　　　　　　.  15.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有: (1)l1∥l2? (2)l1⊥l2? 16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程. 参考答案 一、基础落实 1.C 解析过点(1,-1)且斜率为的直线l的方程为y-(-1)=(x-1),即x-2y-3=0.故选C. 2.D 解析∵直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°,∴=tan 45°=1,解得m=3或m=2(舍去).故选D. 3.D 解析依题意a,b,c均不为0,所以直线ax+by+c=0可化为y=-x-. 因为ab<0,bc<0,所以->0,->0, 所以直线ax+by+c=0的斜率为正,在y轴上的截距为正,即直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D. 4.BC 解析直线l:x+y-4=0,对于选项A,因为2-2-4=-4≠0,所以点(2,-2)不在直线l上, 故此选项错误; 对于选项B,令y=0,得x=4,则直线l在x轴上的截距为4,故此选项正确; 对于选项C,由直线l:y=-x+4得直线l的斜率k=-1,所以直线l的倾斜角为, 故此选项正确; 对于选项D,若直线l的一个方向向量为v=(1,1),则斜率k=1,不符合题意,故此选项错误. 故选BC. 5.A 解析因为A(3,-8),B(-7,4), 所以线段AB的中点D(-2,-2), 设与直线:3x-4y+14=0垂直的直线的方程为4x+3y+a=0,将点D(-2,-2)的坐标代入可得4×(-2)+3×(-2)+a=0, 解得a=14,所以所求直线的方程为4x+3y+14=0. 故选A. 6.B 解析令y=0,则直线在x轴上的截距为,由题意得=3,解得m=-6. 7.AB 解析对于A,直线l1:mx-y-3=0,令x=0,得y=-3,故直线l1恒过点(0,-3),A正确;对于B,当m=0时,直线l2的方程化为x=-,此时直线的斜率不存在,倾斜角为90°,B正确;对于C,当m=0时,两直线方程分别化为y=-3和x=-,此时两直线不平行,故m≠0.若l1∥l2,则m=,解得m=2或m=-2.当m=-2时,直线l1:2x+y+3=0,直线l2:2x+y+3=0,两直线重合,不合题意,C错误;对于D,当m=0时,两直线方程分别化为y=-3和x=-,此时l1⊥l2,D错误.故选AB. 8.y=x-4　x-y-4=0 解析因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=tan 60°=,所以斜截式方程为y=x-4,化为一般式,得x-y-4=0. 9.x-3y+24=0 解析由2x-3y+12=0,知该直线的斜率为,在y轴上的截距为4.根据题意,得直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,故直线l的方程为x-3y+24=0. 10.解(1)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠1). ∵直线l经过点(1,2),∴将点(1,2)的坐标代入直线方程得3×1+4×2+m=0,解得m=-11. ∴直线l的方程为3x+4y-11=0. (2)设直线l的斜率为kl. ∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,∴kl·(-2)=-1,解得kl=.又直线l经过点A(2,1), ∴直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0. 二、素能提升 11.D 解析由两直线垂直得m·2+4×(-5)=0,解得m=10,所以原直线方程mx+4y-2=0可写为10x+4y-2=0,又因为垂足(1,p)的坐标同时满足两直线方程,所以解得 所以m+n-p=10-12+2=0,故选D. 12.BD 解析当m=0时,直线l的方程化为x=1,此时斜率不存在.当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A错误;因为直线l与y轴的夹角为30°,所以直线l的倾斜角为60°或120°.因为直线l的斜率为,所以=tan 60°==tan 120°=-,解得m=或m=-,故B正确;直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0,所以直线l过定点(1,1),故C错误;当m=0时,直线l的方程化为x=1,此时直线在y轴上的截距不存在.当m≠0时,令x=0,得y=;令y=0,得x=1-m.由题意得=1-m,解得m=±1,故D正确.故选BD. 13.B 解析∵△ABC的顶点为A(9,1),B(8,2),C(5,-1), ∴△ABC的重心为G.∵直线AB的斜率kAB=-1,直线BC的斜率kBC=1, ∴kAB·kBC=-1,∴AB⊥BC,∴△ABC的外心为AC的中点D(7,0), ∴△ABC的欧拉线方程为, 即2x-y-14=0.故选B. 14.2x+3y+4=0 解析由条件得易知两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)都在直线2x+3y+4=0上,即2x+3y+4=0为所求. 15.解(1)由题意可得,(m+2)(2m-1)-6(m+3)=0,且-5(m+3)-(-5)(2m-1)≠0,解得m=-.故当m=-时,l1∥l2. (2)由题意,得6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-.故当m=-1或m=-时,l1⊥l2. 16.(1)证明直线l的方程可化为k(x+2)-(y-1)=0,令解得所以无论k取何值,直线l总经过定点(-2,1). (2)解当k≠0时,令y=0,x=-; 令x=0,y=1+2k.因为直线l不经过第四象限, 所以解得k>0. 当k=0时,直线l的方程化为y=1,显然符合题意, 故k的取值范围是[0,+∞). (3)解由题意可知k≠0.由直线l的方程得点A(-,0),B(0,1+2k). 依题意得解得k>0. 因为△AOB的面积S=·|OA|·|OB|=·-·|1+2k|=(4k++4)=4,解得k=,所以直线l的方程为x-2y+4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $