2.2.3直线的一般式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过基础题组、中档综合题与拔高应用题的三级分层设计，覆盖直线一般式方程的核心概念与综合应用，强化从单一运算到复杂情境的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|斜率、截距、平行垂直关系等单一概念|单选题（6题）、填空题（3题），强化运算能力与概念辨析，体现数学思维| |中档|定点问题、截距应用等综合概念|多选题（3题），考查多维度理解与推理意识，发展数学眼光| |拔高|线段相交、三角形中的直线方程等复杂情境|解答题（2题），需建模与规范表达，培养数学语言与应用意识|

数学人教a版选择性必修第一册 2.2.3 直线的一般式方程 同步练习 一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 直线 的斜率和在 轴上的截距分别为（ ） A. B. C. D. 2． 过点 且与直线 平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3． 若直线 与 互相垂直，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4． 直线 恒过定点（ ） A. B. C. D. 5． 若直线 与直线 互相垂直，则 的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6． 已知点 ，，若直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 7． 已知直线 ，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 恒过定点 B. 当 时，直线 的斜率不存在 C. 当 时，直线 的倾斜角为 D. 直线 与直线 可能平行 8． 已知直线 与直线 ，下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 C. 直线 一定过点 D. 当 时， 在两坐标轴上的截距相等 9． 已知直线 （ 不同时为0），下列说法正确的有（ ） A. 当 时，直线 经过坐标原点 B. 当 ， 时，直线 平行于 轴 C. 若直线 与两坐标轴都相交，则一定有 D. 若点 在直线 上，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 10． 若直线 不经过第一象限，则实数 的取值范围是________。 11． 过点 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的一般式方程为________________________。 12． 已知点 ，，则线段 的垂直平分线的一般式方程为________。 四、解答题（本大题共2小题，共37分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（本小题18分） 已知直线 经过点 。 （1）若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，求直线 的方程，并化为一般式； （2）若直线 在 轴、 轴上的截距相等，求直线 的方程，并化为一般式； （3）若直线 与直线 垂直，求直线 的方程，并化为一般式。 14．（本小题19分） 已知 的三个顶点坐标分别为 ，，。 （1）求 边所在直线的一般式方程； （2）求 边上的高 所在直线的一般式方程； （3）若 为 的中点，求 所在直线的一般式方程。 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教a版选择性必修第一册 2.2.3直线的一般式方程 同步练习 一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线2x+3y-6=0的斜率和在y轴上的截距分别为() A2 B影2 c3 09 2.过点P(2,-1)且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程是() A.3x-2y-8=0 B.3x-2y+8=0 C.2x+3y-1=0 D.2x+3y+1=0 3.若直线I:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a 的值为() A.-3 B.1 c.0或号 D.1或3 4.直线心-y+2-3k=0恒过定点() A.(3,2 B.（2,3 数学人教a版选择性必修第一册 C.(-3,2) D.(3,-2) 5.若直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直， 则m的值是() -2 B. C2或 n.2或月 6. 已知点A(2,3,B(-3,2),若直线1过点P(1,1)且与线段AB相 交，则直线！的斜率k的取值范围是() A.k23 3k2 B. 3 C.k≤ 或k≥2 D.以上都不对 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3 分，有选错的得0分) 7.已知直线1：(m-1)x+(2m+1)y-3m-2=0,则下列结论正确的是() A.直线1恒过定点(1,1) B.当m=2时，直线1的斜率不存在 C.当m=0时，直线1的倾斜角为45 D.直线1与直线3x+2y-4=0可能平行 8.己知直线l4:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0,下列说法正 确的是（) 数学人教a版选择性必修第一册 A.若l1l2,则m=2或m=-3 B.若l4k,则m= 3 C.直线1一定过点（-2,0】 D.当m=-1时，l1在两坐标轴上的截距相等 9. 已知直线I:Ax+y+C=0(A,B不同时为0)，下列说法正确的有 () A.当C=0时，直线1经过坐标原点 B.当A=0,B0时，直线1平行于x轴 C.若直线1与两坐标轴都相交，则一定有AB0 D.若点P(x,yo)在直线1上，则Ax+By+C=0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 10.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限，则实数t的取值范围 是 11.过点A(3,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的一般式方 程为 12. 已知点M(1,2),N(3,4),则线段MN的垂直平分线的一般式方 程为 四、解答题（本大题共2小题，共37分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 13.(本小题18分)已知直线1经过点P(2,1)。 (1)若直线1的倾斜角是直线y=3x 3x+2的倾斜角的2倍，求直线1 的方程，并化为一般式： (2)若直线1在x轴、y轴上的截距相等，求直线1的方程，并化 为一般式： 数学人教a版选择性必修第一册 (3)若直线1与直线3x-4y+7=0垂直，求直线1的方程，并化为 一般式。 14.(本小题19分)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4), B(-2,3),C(4,-1)。 (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)求BC边上的高AD所在直线的一般式方程； (3)若E为AC的中点，求BE所在直线的一般式方程。 参考答案与解析 一、单选题 1.【答案】A 【解析】将直线方程2x+3y-6=0化为斜截式： 2 由3y=-2x+6,得y=5x+2。 所以直线的斜率k=子，在y轴上的截距b=2。 故选A。 2.【答案】A 【解析】方法一：点斜式 直线3x2y+5=0化为斜藏式为yx+号， +2,其斜率为 因为所求直线与已知直线平行，所以斜率k号。 又直线过点P(2,1),由点斜式得： 数学人教a版选择性必修第一册 y-1x-2, 整理得：y+1=3, 两边乘2：2y+2=3x-6, 化为一般式：3x-2y-8=0。 方法二：待定系数法 设与3x-2y+5=0平行的直线方程为3x-2y+C=0, 将P(2,-1)代入：3×2-2×(-1)+C=0→6+2+C=0→C=-8。 所以直线方程为3x-2y-8=0。 故选A。 3.【答案】D 【解析】由两直线垂直的充要条件：AA,+BB,=0,得： aa-1)+(1-a)(2a+3)=0, 展开：a2-a+(1-aj(2a+3)=0, 即a2-a+2a+3-2a-3a=0, 合并：-a-2a+3=0, 两边乘-1：a2+2a-3=0, 因式分解：(a+3川a-1)=0, 解得a=1或a=-3。 验证： 。当Q=1时，l1:x=3(平行于y轴)，l2:5y=2(平行于x轴)， 两直线垂直，成立： 数学人教a版选择性必修第一册 。当Q=-3时，1-3x+4y=3,12-4x-3y=2, 因为(-3)×(-4)+4×(-3)=12-12=0，所以垂直，成立。 故选D。 4.【答案】A 【解析】将直线方程x-y+2-3k=0整理为： k(x-3)+(-y+2)=0。 X-3=0 这是过定点的直线系方程，令 -y+2=0, X=3 解得 y=20 所以直线恒过定点(3,2)。 故选A。 5.【答案】C 【解析】由两直线垂直的充要条件：A1A,+BB,=0,得： (m+2)(m-2)+3m(m+2)=0, 提取公因式(m+2: (m+2)[(m-2)+3m]=0, 即(m+2(4m-2)=0, 所以m+2=0或4m-2=0, 解得m=-2或m克》 验证： 数学人教a版选择性必修第一册 。当m=-2时，l-6y+1=0(平行于x轴)，124x-3=0(平行于 y轴)，两直线垂直： 。当m时，x+y*1-0,x+y-3=0, 因为引只号0，所以菲宜。 22 故选C。 6.【答案】C 【解析】直线1过点P(1,1),设其斜率为k,则方程为y-1=k(x1), 即x-y+1-k=0。 直线I与线段AB相交等价于点A、B在直线1的两侧（或其中一 点在直线上)，即： (k·2-3+1-k)(k(-3)-(-2)+1-k)≤0， 化简：(k-2(-4k+3)s0, 即(k-2(4k-3)20, 解得k≤异或k≥2。 也可以用斜率法： kp 3-1=2, k号- 结合图形分析可知，直线1与线段AB相交时，k≤子或k≥2。 故选C。 数学人教a版选择性必修第一册 二、多选题 7.【答案】BCD 【解析】 ●选项A:整理：mx-x+2my+y-3m-2=0, 即m(x+2y-3)+(-x+y-2)=0。 联立 x+2y-3=0① -X+y-2=0②’ ①*②行3y5=0-y月代入②得Xy2-号号》 15 所以直线恒过定点 33,不过(1,1。A错误。 。选项B:当m=时，直线方程为： 小y3×2o, 即x*0y号2=0=x0X= 3。 这是平行于y轴的直线，斜率不存在。B正确。 ·选项C:当m=0时，直线方程为： -x+y-2=0→y=x+2, 斜率k=1,倾斜角为45。C正确。 、选项D:直线3x+2y-4=0的斜率为。 若1与之平行，则 是月2m+10. 即 m-1-3 2m+12, 数学人教a版选择性必修第一册 交叉相乘：2(m-1)=3(2m+1)→2m-2=6m+3→-4m=5→m=. 40 验证截距：当m=子时， 4 乘4：-9x-6y+7=0→9x+6y-7=0。 直线3x+2y-4=0即9x+6y-12=0,两者斜率相同、截距不同， 平行。 所以直线1与直线3x+2y4=0可能平行（当m=4时）。D正 确。 综上，正确答案为BCD。 8.【答案】ABC 【解析】 ·选项A:若4，则品=m m3-2 :(m≠0)， 由 m3得m(m+1=6→m2+m-6=0→(m+3(m-2=0, 解得m=2或m=-3。 当m=2时，l12x+3y+4=0,4:2x+3y-2=0,平行； 当m=-3时，1：2x-2y+4=0→x-y+2=0, -3x+3y-2=0→X-y+3=0,平行。 所以m=2或m=-3。A正确。 数学人教a版选择性必修第一册 。选项B:若11l2,则2m+(m+1)小3=0， 即2m+3m+3-0→5m+3=0宁m=是。B正确。 。选项C:将(-2,0)代入1的方程：2×(-2+(m+1)×0+4=-4+4=0, 恒成立。 所以直线1一定过点(-2,0)。C正确。 。选项D:当m=-1时，11：2x+0y+4=0→x=-2, 这是平行于y轴的直线，在x轴上截距为-2，在y轴上无截 距，截距不相等。D错误。 综上，正确答案为ABC。 9.【答案】ACD 【解析】 ·选项A:当C=0时，方程为Ax+y=0,将原点(0,0)代入显然 成立，所以直线经过坐标原点。A正确。 。选项B:当A=0,B0时，方程为y+C=0,即y=月，这是平 行于x轴的直线（当C=0时就是x轴本身）。 注意：当C=0时，y=0即x轴，不能说”平行于x轴”，应 该说”与x轴平行或重合”。 因为题目没有排除C=0的情况，所以”平行于x轴”的说法不 够严谨。B错误。 ·选项C:若直线1与两坐标轴都相交，则直线既不平行于x轴 也不平行于y轴， 即斜率存在且不为0，所以B0且A0,即AB0。C正确。 数学人教a版选择性必修第一册 。选项D:根据直线方程的定义，点在直线上当且仅当点的坐标满 足直线方程， 即Ax+By+C=0。D正确。 综上，正确答案为ACD。 三、填空题 10. 【答案】 3+w 【解析】直线方程(2t-3)x+y+6=0化为斜截式： y=(3-2t)x-6。 直线在y轴上的截距为6<0，要使直线不经过第一象限，需要斜率 不大于0： 3-2t≤0→t3 所以实数t的取值范围是 3+。 11.【答案】x-y-5=0或2x+3y=0 【解析】分两种情况讨论： 情况一：截距不为0 设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为~a, 由裁距式得直线方程：各+名=1，即xy=a 将A(3,-2)代入：3-(-2)=a→a=5。 所以直线方程为x-y-5=0。 数学人教a版选择性必修第一册 情况二：截距都为0（直线过原点) 设直线方程为y=kx,将A(3,-2)代入： -2=3k→k=. 。 所以直线方程为y=号×，化为一般式：2x+3y=0。 综上，直线的一般式方程为xy-5=0或2x+3y=0。 12.【答案】x+y-5=0 【解析】第一步：求线段MN的中点坐标 设中点为P(xyo),则： X,=143=2,-244=3, 2 所以中点P(2,3)。 第二步：求直线MN的斜率 kw铝号1 第三步：求垂直平分线的斜率 1-1 因为垂直平分线与M垂直，所以斜率k= 第四步：由点斜式写出垂直平分线方程 y-3=-(x-2), 整理得：y=-x+5, 化为一般式：x+y-5=0。 数学人教a版选择性必修第一册 四、解答题 13.【解析】 3 V3 (1)直线y= 3 x+2的斜率为3, 设其倾斜角为α， 则tana= 3 3, 所以a=30°。 设直线1的倾斜角为阝，则B=2a=60°， 所以直线1的斜率k=tan60'=3。 又直线1过点P(2,1),由点斜式得： y-1=3(x-2), 整理得：y=3x-23+1, 化为一般式：3x-y+1-23=0。 (2)分两种情况： 情况一：截距不为0 设直线1在两轴上的截距均为Q(a20),则方程为名+名=1，即 x+y=a。 将P(2,1)代入：2+1=a→a=3。 所以直线方程为x+y-3=0。 情况二：截距都为0（直线过原点) 设直线方程为y=c,将P2,1代入：1-=2k=k=: 所以直线方程为y=x,化为一般式：x-2y=0。 综上，直线1的方程为x+y-3=0或x-2y=0。 数学人教a版选择性必修第一册 (3)直线3x4y+7=0的斜率为k=。 因为直线1与己知直线垂直，所以直线1的斜率k= 3。 又直线1过点P(2,1),由点斜式得： 1=x-2, 两边乘3：3y-3=-4x+8, 化为一般式：4x+3y-11=0。 14.【解析】 (1)已知B(-2,3),C(4,-1),由两点式得BC边所在直线方程： y-3_x-(-2) -1-34-(-2’ 即空名是， 交叉相乘：6(y-3)=-4(x+2), 展开：6y-18=-4x-8, 整理得：4x+6y-10=0, 化简：2x+3y-5=0。 所以BC边所在直线的一般式方程为2x+3y-5=0。 (2)c边的斜率为kx2合-号. 因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC, 数学人教a版选择性必修第一册 因此如产店是 又高AD过点A(1,4),由点斜式得： y-42x-1, 两边乘2：2y-8=3x-3, 化为一般式：3x-2y+5=0。 所以BC边上的高AD所在直线的一般式方程为3x-2y+5=0。 (3)因为E是AC的中点，由中点坐标公式： E的横坐标：x=1+4- 22, E的纵坐标：y= 4+(-1)_3 22 所以 又B(-2,3),由两点式得直线BE的方程： y-3=x--2】 32 化简分母： 3=3-6-.3 22“2’ +2- 222 y-3-x+2 所以方程为：3 9 2 y-3=x+2 即3=9’ 数学人教a版选择性必修第一册 交叉相乘：9(y-3)=-3(x+2), 两边除以3：3(y-3)=-(x+2), 展开：3y-9=-x-2, 化为一般式：x+3y-7=0。 所以BE所在直线的一般式方程为x+3y-7=0。