2.2.2 直线的两点式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“直线的两点式方程”，采用基础-中档-提升三层设计，通过概念辨析、综合应用到问题解决的路径巩固知识，培养数学推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（单选6题）|两点式方程概念、参数意义、命题辨析|通过象限判断、方程表示形式等基础题型，强化概念理解| |中档（多选3题+填空3题）|两点式与截距式综合、几何图形应用|结合菱形边、中点坐标等情境，提升符号运算与几何直观能力| |提升（解答题2题）|面积最值、截距和综合问题|通过含参数的直线方程应用，发展数学建模与逻辑推理能力|

数学人教a版选择性必修第一册 2.2.2 直线的两点式方程 同步分层练习 一、单选题（共6题） 1. 已知直线方程为 ，若直线图像经过第一、三、四象限，则下列参数组合成立的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 1. 经过两点 ，（其中 ，）的直线，下列各式中不能完整表示该直线的是（　　） A. B. C. D. 1. 下列命题正确的是（　　） A. 经过定点 的直线都可以用方程 表示 B. 直线 过点 ，倾斜角为 ，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 来表示 D. 直线 在 轴上的截距为 1. 已知直线 和直线 都过点 ，则过两点 和 的直线方程是（　　） A. B. C. D. 1. 经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或 1. 过点 的直线与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（共3题） 1. 下列关于直线两点式与截距式方程的说法中，正确的有（　　） A. 两点式方程 可以表示任意一条过两个不同点的直线 B. 截距式方程 中，、 分别是直线在 轴、 轴上的截距，且 ， C. 当直线在两坐标轴上的截距均为 时，不能用截距式方程表示 D. 方程 对任意过两点 、 的直线都成立 1. 已知 的三个顶点为 ，，，下列说法正确的有（　　） A. 边 所在直线的两点式方程为 B. 边 上的中点坐标为 C. 过 、 两边中点的直线与 边平行 D. 边 上的高所在直线的斜率为 1. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为 ，则该直线方程可能为（　　） A. B. C. D. 三、填空题（共3题） 1. 直线 经过点 ，且与 轴、 轴分别交于 、 两点。若点 恰为线段 的中点，则直线 的方程为___________。 1. 已知菱形的两条对角线分别位于 轴和 轴上，其长度分别为 和 ，则菱形在第二象限那条边所在直线的截距式方程为___________。 1. 一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，则反射光线所在直线的一般式方程为___________。 四、解答题（共2题） 1. 已知直线 过点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点。求 面积的最小值及此时直线 的方程。 1. 已知线段 的中点为 ，若线段 所在直线在两坐标轴上的截距之和是 ，求 所在直线的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教a版选择性必修第一册 2.2.2 直线的两点式方程 同步分层练习 一、单选题（共6题） 1. 已知直线方程为 ，若直线图像经过第一、三、四象限，则下列参数组合成立的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 1. 经过两点 ，（其中 ，）的直线，下列各式中不能完整表示该直线的是（　　） A. B. C. D. 1. 下列命题正确的是（　　） A. 经过定点 的直线都可以用方程 表示 B. 直线 过点 ，倾斜角为 ，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 来表示 D. 直线 在 轴上的截距为 1. 已知直线 和直线 都过点 ，则过两点 和 的直线方程是（　　） A. B. C. D. 1. 经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或 1. 过点 的直线与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（共3题） 1. 下列关于直线两点式与截距式方程的说法中，正确的有（　　） A. 两点式方程 可以表示任意一条过两个不同点的直线 B. 截距式方程 中，、 分别是直线在 轴、 轴上的截距，且 ， C. 当直线在两坐标轴上的截距均为 时，不能用截距式方程表示 D. 方程 对任意过两点 、 的直线都成立 1. 已知 的三个顶点为 ，，，下列说法正确的有（　　） A. 边 所在直线的两点式方程为 B. 边 上的中点坐标为 C. 过 、 两边中点的直线与 边平行 D. 边 上的高所在直线的斜率为 1. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为 ，则该直线方程可能为（　　） A. B. C. D. 三、填空题（共3题） 1. 直线 经过点 ，且与 轴、 轴分别交于 、 两点。若点 恰为线段 的中点，则直线 的方程为___________。 1. 已知菱形的两条对角线分别位于 轴和 轴上，其长度分别为 和 ，则菱形在第二象限那条边所在直线的截距式方程为___________。 1. 一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，则反射光线所在直线的一般式方程为___________。 四、解答题（共2题） 1. 已知直线 过点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点。求 面积的最小值及此时直线 的方程。 1. 已知线段 的中点为 ，若线段 所在直线在两坐标轴上的截距之和是 ，求 所在直线的方程。 参考答案及详细解析 一、单选题 1. 答案：C 解析： 将直线方程 整理为斜截式：。 直线经过第一、三、四象限，说明： ① 斜率为正，即 ，故 、 异号； ② 纵截距为负，即 ，故 、 同号。 选项 C（）满足上述条件。 2. 答案：A 解析： 两点式方程的分式形式（选项 A、D）要求 且 ，且点 本身无法代入分式方程（分母为零），因此分式形式不能完整表示整条直线（会漏掉点 ）。 选项 B 是两点式的整式变形，对任意过两点的直线都成立；选项 C 是点斜式，在 时成立。因此不能完整表示该直线的是 A。 3. 答案：B 解析： - A 错误：当直线过点 且与 轴垂直时，斜率不存在，无法用点斜式 表示。 - B 正确：直线过点 ，倾斜角为 ，说明直线垂直于 轴，方程为 。 - C 错误：截距相等的直线可能过原点（截距都为 ），此时无法用截距式表示。 - D 错误：令 ，由 得 ，即在 轴上的截距为 ，不是 。 4. 答案：B 解析： 将点 分别代入两条直线方程，得： 这说明点 和 都满足方程 。 由 两点确定一条直线，可知过 、 的直线方程就是 。 5. 答案：B 解析： 分两种情况讨论： ① 截距都为 0 时：直线过原点，设方程为 ，将 代入得 ，方程为 ； ② 截距相等且不为 0 时：设截距式方程为 ，代入点 得 ，解得 ，方程为 。 综上，所求直线方程为 或 。 6. 答案：A 解析： 设直线的截距式方程为 ，其中 。 将点 代入得：。 由基本不等式： 解得 ，当且仅当 ，即 时取等号。 因此 的最小值为 。 二、多选题 1. 答案：BCD 解析： - A 错误：两点式的分式形式不能表示与 轴或 轴平行的直线，也不能表示点 本身。 - B 正确：截距式中 、 分别为横、纵截距，且分母不能为零，故 。 - C 正确：当两截距均为 时，分母为零，截距式不适用。 - D 正确：整式形式不受分母限制，对任意过两点的直线都成立。 2. 答案：ABC 解析： - A 正确：将 、 代入两点式公式即可得该式。 - B 正确：由中点坐标公式， 中点为 。 - C 正确：连接 、 中点的线段是三角形的中位线，与第三边 平行。 - D 错误： 的斜率 ，则 边上高的斜率为其负倒数 ，不是 。 3. 答案：AB 解析： 设直线在 轴截距为 ，在 轴截距为 ，由题意 。 设直线方程为 ，将点 代入得 。 联立 ，将 代入第二式： 对应 或 ，直线方程为 （即 ）或 （即 ）。 因此答案为 AB。 三、填空题 1. 答案： 解析： 设 ，。 由 是 中点，根据中点坐标公式： 解得 ，，即 ，。 由两点式：，整理得 。 2. 答案： 解析： 菱形对角线长分别为 和 ，且分别位于 轴、 轴上，故四个顶点分别为 、。 第二象限的边连接 与 ，代入截距式： 3. 答案： 解析： 作点 关于 轴的对称点 。 由光的反射原理，反射光线所在直线即直线 。 将 和 代入两点式： 整理得一般式：。 四、解答题 1. 答案： 面积的最小值为 ；此时直线 的方程为 解析： 设 ，，其中 ，， 则直线 的截距式方程为 。 将 代入方程，得： 的面积 。 由基本不等式，结合 (1) 式： 因此 ，当且仅当 时取等号，此时 ，。 所以面积最小值为 ，对应直线方程为： 2. 答案： 或 解析： 中点 在直线 上，代入截距式得： 由 (1) 得 ，代入 (2)： 两边同乘 ： 解得 或 。 · 当 时，，直线方程为 ，即 ； · 当 时，，直线方程为 ，即 。 故 所在直线的方程为 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $