6.3.2角的比较与运算（分层作业，10大题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 6.3.2 角的比较与运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 角的比较 题型02 角度的四则运算 题型03 与角平分线有关的计算 题型04 与角n等分线有关的计算 题型05 三角板中的角度计算问题 B组 能力进阶 题型01 角中的设元思想 题型02 角中的分类讨论思想 题型03 双角平分线模型 题型04 三角板拼角 C组 思维拔高 题型 角中的动态问题 角的比较题型01 1．若∠A＝40°15′，∠B＝40.15°，则（  ） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 2．比较大小：30°15′______30.15°（填“＞”、“＜”或“=”）． 3．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 4．观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 5．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 角度的四则运算题型02 1．的值是（    ）． A． B． C． D． 2．计算____． 3．（25-26七年级上·宁夏·期末）计算： 4．（24-25七年级上·广西来宾·期末）如图，在同一平面上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北衡水·期中）计算（能简算的简算）： (1) (2) (3) (4) 与角平分线有关的计算题型03 1．如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数． 2．如图，是直线上一点，射线分别平分，则的大小为（　　　） A．120° B．60° C．90° D．150° 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，射线表示北偏东方向，平分，则_____． 4．如图，已知点是直线上任一点，过点O在直线同侧画射线，使．射线和射线分别平分和，求的度数． 5．如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 与角n等分线有关的计算题型04 1．（25-26七年级上·期末）已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 2．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 3．如图所示，五条射线、、、、组成的图形中共有几个角（小于）？如果从点引出条射线（最大角为锐角），能有多少个角（小于）？你能找出规律吗？ 4．如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．    (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．    (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．    三角板中的角度计算问题题型05 1．借助一副三角尺不能画出的角是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东滕州·期末）如图，将一块三角尺的60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为________ 4．如图，将一副三角尺叠放在一起三角尺的三个角是，，，三角尺的三个角是，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 5．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 角中的设元思想题型01 1．如图，已知，且射线平分，则的度数是________． 2．（25-26七年级上·四川德阳·期末）如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 角中的分类讨论思想题型02 1．不用量角器，比较图1和图2中角的大小．（用“＞”连接） 2．已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是（    ） A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75° 3．已知，过点O作射线，若，平分，则______． 4．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 5．（24-25七年级上·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．    (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是” ； (2)点、、在同一直线上， ①在图2中，，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分，求 的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出的值为 　　． 双角平分线模型题型03 1．已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为________． 2．如图，，射线是内部任意一条射线，分别是的平分线，下列叙述正确的是（    ） A．的度数不能确定 B． C． D． 3．（24-25七年级·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 4．（24-25七年级上·山东青岛·月考）如图，已知，，在内画射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数． 5．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 三角板拼角题型04 1．用一副三角板画角，不能画出的角是    (    ) A．15° B．75° C．145° D．165° 2．用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（　　） A． B． C． D． 3．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系． 4．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则____． 5．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 角中的动态问题题型 1．时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 2．从到，钟面上时针走了______度． 3．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 4．已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．      （1）如图（1），若，，逆时针转动到，处． ①若，的转动时间为2，则________； ②若平分，平分，求的值． （2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 5．（25-26七年级上·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.3.2 角的比较与运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 角的比较 题型02 角度的四则运算 题型03 与角平分线有关的计算 题型04 与角n等分线有关的计算 题型05 三角板中的角度计算问题 B组 能力进阶 题型01 角中的设元思想 题型02 角中的分类讨论思想 题型03 双角平分线模型 题型04 三角板拼角 C组 思维拔高 题型 角中的动态问题 角的比较题型01 1．若∠A＝40°15′，∠B＝40.15°，则（  ） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 【答案】A 【分析】将两角统一单位后，再进行比较即可得到答案． 【详解】解： ∴ 故选：A． 【点睛】此题主要考查了角的比较，注意：，． 2．比较大小：30°15′______30.15°（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＞ 【详解】∵30.15°=30°+0.15×60′=30°9′， ∴30°15′＞30°9′. 故答案为＞. 3．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 4．观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 【答案】 解：根据图形可知：； ； ． 【分析】本题主要考查了角的关系，根据图中各个角之间的关系，进行解答即可． 【详解】略 5．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 角度的四则运算题型02 1．的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算，角度值的转化，根据题意进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算____． 【答案】##80度 【分析】本题主要考查了角度的计算，解题的关键是熟练掌握角度间的换算关系进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·宁夏·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了角的运算，掌握度分秒的进率是60成为解题的关键． 先算乘法，再把写成，然后再作加减运算即可． 【详解】解             ． 4．（24-25七年级上·广西来宾·期末）如图，在同一平面上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差计算，需要注意把分化为度，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北衡水·期中）计算（能简算的简算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，度分秒的换算； （1）根据度分秒的加减运算法则计算即可； （2）先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可； （3）将原式化为，再根据乘法分配律计算即可； （4）先将原式化为，再根据乘法分配律逆运算计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 与角平分线有关的计算题型03 1．如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数． 【答案】19°． 【分析】根据OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，可以求得∠AOC、∠AOD的度数，从而可以求得∠COD的度数． 【详解】∵OD平分∠AOB，∠AOB=114°， ∴∠AOD=∠BOD==57°． ∵∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°， ∴∠AOC=． ∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°﹣38°=19°． 2．如图，是直线上一点，射线分别平分，则的大小为（　　　） A．120° B．60° C．90° D．150° 【答案】C 【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解． 【详解】解：∵是直线上一点 ∴ ∵射线分别平分 ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平角及角平分线的概念，正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，射线表示北偏东方向，平分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是方位角、角的计算、角平分线的定义，解题关键是正确理解方位角． 根据方位角，得到，求得的度数，结合角平分线的定义即可得解． 【详解】解：如图，射线表示北偏东方向， ， ， 平分， ． 故答案为：． 4．如图，已知点是直线上任一点，过点O在直线同侧画射线，使．射线和射线分别平分和，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，先求出，根据角平分线的定义得，，再根据即可求解． 【详解】解：因为， 所以     因为平分，平分 所以，     因为         所以         5．如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的运算，利用角的和差得出是解题关键． （1）根据角平分线的性质，数形结合可得答案； （2）根据角平分线的性质，角的和差，数形结合可得答案； （3）根据角的和差，可得，根据角平分线的性质，可得，根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：平分， ， ，， ； （3）解：平分，， ， 由，得， ，， 平分， ， 由角的和差可得． 与角n等分线有关的计算题型04 1．（25-26七年级上·期末）已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 2．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 3．如图所示，五条射线、、、、组成的图形中共有几个角（小于）？如果从点引出条射线（最大角为锐角），能有多少个角（小于）？你能找出规律吗？ 【答案】个，如果引出条射线，有个角；从一点引出条射线，则共有个角． 【分析】由题意找出以OA为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照五条射线角的个数的计算方法即可得到答案． 【详解】引出条射线时，以为始边的角有个，以为始边的角有个，以为始边的角有个， 以为始边的角有个，故当有条射线时共有角：个； 如果引出条射线，有个角； 规律：从一点引出条射线，则共有个角． 【点睛】本题考查了角的个数的计算方法，在数角的个数时，能按一定的顺序计算，理清顺序，发现规律是解题的关键． 4．如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 5．解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．    (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．    (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．    【答案】(1)是 (2)30°，20°或40° (3)或或 【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答； (2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可； (3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1：∵平分， ∴, ∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”． 故答案为：是．    （2）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为． （3）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为．    【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键． 三角板中的角度计算问题题型05 1．借助一副三角尺不能画出的角是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一副三角尺中的已知角为： 再利用已知角的和与差逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解： 一副三角尺中的已知角为： 不能由以上已知角的和差得到，所以不能画出，故符合题意； 由 所以能画出，故不符合题意； 由 所以能画出，故不符合题意； 由 所以能画出，故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是角的和差关系，掌握利用角的和差关系画角是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山东滕州·期末）如图，将一块三角尺的60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，首先求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为________ 【答案】105° 【详解】根据直角三角尺的角度的特征即可求得结果． 由图可得∠AOB=60°+（90°-45°）=105°． 故答案为105° 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直角三角尺的角度的特征，即可完成． 4．如图，将一副三角尺叠放在一起三角尺的三个角是，，，三角尺的三个角是，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中角的计算， （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含的代数式表示出后根据建立关于的方程，解方程求出的值后即可求出的度数； 掌握角的和差倍分的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的度数为； （2）设，则， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∴， ∴的度数为． 5．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 【答案】(1)； (2) ，理由如下， ，， ； (3) 【分析】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）方法同（1）即可得出结果； （3）根据（2）中结果及比例求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3），， ． 角中的设元思想题型01 1．如图，已知，且射线平分，则的度数是________． 【答案】120° 【分析】通过设未知数，利用与的倍数关系，结合角平分线将角分成相等两部分的性质，建立方程求解． 【详解】解：设 射线平分 由图可知：， . 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的和差运算与角平分线的定义，解题关键是通过设未知数，利用角之间的和差关系以及角平分线的性质建立方程，从而求解角的度数． 2．（25-26七年级上·四川德阳·期末）如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的数量关系，本题关键是利用角度的倍数关系与和差关系，通过设未知数消元，简化计算过程，进而求出目标角度差． 【详解】解：设． 由，可得． ，且， ． ， ． ， ． ， ． 故选：B 角中的分类讨论思想题型02 1．不用量角器，比较图1和图2中角的大小．（用“＞”连接） 【答案】∠β＞∠α；∠3＞∠2＞∠1． 【分析】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来． 【详解】解：图1，如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α． 图2，由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1． 【点睛】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小． 2．已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是（    ） A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75° 【答案】D 【分析】可知的值；所引射线有两种情况①在内，此时；②在外，此时． 【详解】解：， ①在外 ②在内 为或 故选D． 【点睛】本题考查了角的和与差．解题的关键在于确定射线的位置． 3．已知，过点O作射线，若，平分，则______． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线定义，角度计算．根据题意分情况讨论列出射线所处位置即可计算本题答案． 【详解】解：在内部时， ，， ， 平分， ， ， 同理可得：在外部时， ，， ， 平分， ， ， 故答案为：或． 4．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解：为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 5．（24-25七年级上·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．    (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是” ； (2)点、、在同一直线上， ①在图2中，，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分，求 的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出的值为 　　． 【答案】(1)是 (2)①或；②27.2或或 【分析】本题主要考查线段的位置与角的数量关系，一元一次方程的应用．理解“新生新”的定义，线段运动的规律，结合图形分析角的和、差、倍、分的数量关系是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示，    ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 当时，如图所示，    同理，， ∴，则． ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图，    ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图，    当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图，    当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图，    当时， ∵， ∴，， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 双角平分线模型题型03 1．已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为________． 【答案】##90度 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，利用角的加减，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，，射线是内部任意一条射线，分别是的平分线，下列叙述正确的是（    ） A．的度数不能确定 B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定义，得到，，数形结合，由确定A错误；根据不一定等于确定B错误；根据角平分线定义得到，，数形结合，由确定C正确；根据不一定等于，确定D错误，从而得到答案． 【详解】解：A、分别是的平分线， ，， ， ， 故的度数不能确定错误，不符合题意； B、分别是的平分线， ，， 射线是内部任意一条射线， 不一定等于， 故错误，不符合题意； C、分别是的平分线， ，， ， ， 故正确，符合题意； D、射线是内部任意一条射线， 不一定等于， 故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角度关系判断，涉及角平分线定义、角的和差倍分关系、角的大小判断等知识，数形结合，准确表示出各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 3．（24-25七年级·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·山东青岛·月考）如图，已知，，在内画射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质等知识点， （1）利用两个角的和进行计算即可； （2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出即可得解； 熟练掌握根据图形直观，得出角的和或差是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2）， ∴， 平分， ， ∵， ． 5．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 【答案】(1)③ (2)是关于边的补线，理由见解答 (3)可以表示为或或或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可； （2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可； （3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部； ②当这个角是直角时，它的补线只有1条； ③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条； 故答案为：③； （2）解：是关于边的补线，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵不与重合， ∴是关于边的补线． （3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为钝角，且在外部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴； 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为锐角，且在外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为直角时，只能在的外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上分析可知：可以表示为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论． 三角板拼角题型04 1．用一副三角板画角，不能画出的角是    (    ) A．15° B．75° C．145° D．165° 【答案】C 【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A．15°的角，60°﹣45°＝15°；故本选项不符合题意； B．75°的角，45°+30°＝75°；故本选项不符合题意； C．145°的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意； D．165°的角，90°+45°+30°＝165°；故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了角的计算．用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数． 2．用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°，再利用角的和差关系一一分析即可得出结论． 【详解】解：三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°， 选项A：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故A项不符合题意； 选项B：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故B项不符合题意； 选项C：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故C项不符合题意； 选项D：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出，故D项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查对角的认识与角的计算的理解和掌握能力．明确三角板内角的度数（一组：、、；一组：、、）是解本题的关键． 3．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系． 【答案】． 【分析】首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小． 【详解】解：∠B=30°，∠E=60°， ∠BAD==90°+30°=120°，∠DCE=90° ∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD． 【点睛】本题考查了角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单． 4．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中的角度求解，推导出是解题的关键． 根据已知求出，再根据求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为： 5．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据图形中角的和差关系进行计算即可； （2）①根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时， 即， 解得． 如图3，当在内部与重合时，即， ， ， 当时， 即， 解得， 故答案为：或． 角中的动态问题题型 1．时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 【答案】157.5 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动，时针每分钟转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【详解】解：在3点45分时，时针所在位置与指向12时的角度为， 分针与指向12时的角度为， 两针角度差为， 由于，故较小夹角为． 故答案为：157.5 2．从到，钟面上时针走了______度． 【答案】 【分析】先计算经过的时长，再根据时针的转动规律计算转动角度，钟面一圈为，时针12小时转一圈． 【详解】解：计算从到经过的时长：时分时分时分小时， ∵ 钟面一圈为，时针12小时转完一圈， ∴ 时针每小时转动的角度为 ， ∴ 时针一共转动的角度为 ． 3．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【分析】求出时时针和分针的位置，计算夹角即可． 【详解】解：分针每分钟转过 ， ∴从8点到8点30分分针转过， 时，分针指向数字6， 钟面被分成12个大格，每格为 ， 时针每小时走1个大格， ∴时针每分钟转动 ， 从8点到8点30分时针转过了， 时，时针位于数字8和9的正中间， 此时时针与分针的夹角为 ． 故选A． 4．已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．      （1）如图（1），若，，逆时针转动到，处． ①若，的转动时间为2，则________； ②若平分，平分，求的值． （2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①40゜；②60゜； （2）∠COM=3∠BON，理由如下： 设∠BOC=，则∠AOB=4，∠AOC=3， ∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t， ∴∠COM=3 -30t=3（ -10t），∠NOB= -10t， ∴∠COM=3∠BON． 【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解； ②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=∠AOB=×120°=60°，即∠M′ON′=60°； （2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解． 【详解】（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s， ∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°， ∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°， ∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°； 故答案为：40°； ②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC， ∴∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC， ∴∠COM′+∠CON′=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×120°=60°， 即∠MON=60°； （2）略． 【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． 5．（25-26七年级上·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $