6.2.1直线、射线、线段（分层作业，8大题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 6.2.1 直线、射线、线段 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线、射线、线段的联系与区别 题型02 画直线、射线、线段 题型03 几何图形与数学语言的转换 题型04 用数学知识解释生活中的常见现象 B组 能力进阶 题型01 直线、射线、线段的数量问题 题型02 直线相交的交点个数问题 题型03 线段的应用 C组 思维拔高 题型 直线、射线、线段·创新性问题 直线、射线、线段的联系与区别题型01 1．下列各图中，表示“射线”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线和线段的联系与区别，深刻理解直线、射线和线段的定义是解题的关键． 根据直线、射线和线段的定义作答即可． 【详解】解：A．表示直线，故本选项不符合题意； B．表示射线，故本选项符合题意； C．表示线段，故本选项不符合题意； D．表示射线，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段有两个端点，射线有一个端点，直线无端点，解答即可， 本题考查了线段，直线，射线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： A.    都是线段，无法相交，不符合题意； B. ，射线向一个方向无限伸展，可以相交，符合题意；     C.     线段，无法相交，不符合题意； D. 射线的方向不对，无法相交，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的4个图中的线段（或直线、射线），能相交的图有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记各概念并准确识图是解题的关键．根据直线、射线、线段的定义对各项分析判断即可． 【详解】解：直线与直线能相交； 射线与直线不能相交； 线段与线段不能相交； 射线与直线不能相交； 则能相交的图有，共1个． 故选：A． 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，点与直线的位置关系，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义和点与直线的位置关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、、，，，，共6条线段，原说法错误，不符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，符合题意； C．射线与射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； D．点不在直线上，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 5．已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．    (1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段） (2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________．用字母表示为_______． (3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______用字母表示为_______． (4)到点距离等于的点所表示的数是多少？ 【答案】(1)直线， 或； (2)射线， ； (3)线段，或； (4)或． 【分析】（）根据直线概念：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹.向两个方向无限延伸； （）根据射线概念：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸； （）根据线段概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点； （）根据绝对值的概念即可求解． 【详解】（1）解：根据概念可知：规定了原点，正方向，单位长度的直线，直线或 故答案为：规定了原点，正方向，单位长度的直线， 或； （2）根据概念可知：射线，， 故答案为：射线， ； （3）根据概念可知：线段，或， 故答案为：线段，或； （4）设这个数为， 由题意得：， 或， 解得：或， ∴到点距离等于的点所表示的数是或． 【点睛】此题考查了直线、射线、数轴，解题的关键是要熟知直线、射线、数轴的概念． 画直线、射线、线段题型02 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知三点、、，作直线，作射线，连接，按上述作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了直线、射线、线段的概念及画法，熟记概念并且能够正确画出是解题的关键． 根据直线，射线，线段定义，依次判断即可． 【详解】解：A．不是射线，故不符合题意； B．符合题意； C．不是射线，不是线段，故不符合题意； D．不是直线，不是射线，不是线段，故不符合题意； 故选B． 2．如图所示，已知：四点A，B，C，D．根据下列语句，画出图形．    (1)画直线，线段． (2)画射线，相交于点O． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直线、射线与线段，解决本题的关键是根据直线、射线与线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，线段； （2）根据射线有一个端点、向一个方向无限延伸，画出射线，，相交于点． 【详解】（1）如图所示，直线，线段即为所求；    （2）如图所示，射线，即为所求．    3．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【答案】(1) 射线如图， (2) 线段和如图， (3) 直线，连接和如图， (4)10，6，1 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的画法和数量，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）根据直线，射线，线段的定义求数量即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1． 4．按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 【答案】(1)P在直线l外； (2)如图1，直线PA即为所求； (3)如图1，射线PB即为所求； (4)7 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据直线的定义即可画直线PA； （3）根据射线的定义即可画射线PB； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数． 【详解】（1）点P与直线l的关系：P在直线l外； 故答案为：P在直线l外； （2）略 （3）略 （4）如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 几何图形与数学语言的转换题型03 1．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到点 B．如图2，点在射线上 C．如图3，直线的延长线与直线的延长线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可． 【详解】解：A. 如图1，延长线段到点，故该选项不正确，不符合题意； B. 如图2，点在直线上，故该选项不正确，不符合题意； C. 如图3，直线与直线相交于点，故该选项不正确，不符合题意； D. 如图4，射线和线段没有交点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（   ） A．O点在直线PQ外 B．O点在直线PQ上 C．O点不能在直线PQ上 D．O点可能在直线PQ上 【答案】D 【分析】根据O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，可得O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外，即可求解． 【详解】解：∵O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm， ∴O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握线段长度之间的关系，为了更好的判断可根据题意动手操作一下更明了． 3．如图，点A在直线l______，点B在直线l______． 【答案】 上 外 【分析】此题考查了点和直线的位置关系，根据点A和点B的位置判断即可． 【详解】解：点A在直线l上，点B在直线l外． 故答案为：上，外． 4．如图， （1）点B在直线AD________，点F在直线________上； （2）点C在直线AD________，点E是直线________和________的交点； （3）经过点C的直线共有________条，它们分别是________． 【答案】 上 BC和AE 外 AE CD 3 直线AC、BC、DC 【分析】根据图形即可直接作出解答． 【详解】解：（1）点B在直线AD上，点F在直线和上， 故答案为：上；和； （2）点C在直线AD外，点E是直线AE和CD的交点， 故答案为：外；AE；CD； （3）经过点C的直线共有三条，它们分别是：直线、、, 故答案为：3；直线、、. 【点睛】解这类题必须分清个元素之间的位置关系，能用规范的语言表达． 5．如图，请用两种方式分别表示图中的两条直线． 【答案】直线或直线；直线或直线 【分析】直线的表示方法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上的两个大写字母表示． 【详解】解：观察图形可知，对于经过点的直线，可用小写字母表示为直线，也可用直线上的两个点表示为直线；对于经过点的直线，可用小写字母表示为直线，也可用直线上的两个点表示为直线． 用数学知识解释生活中的常见现象题型04 1．《红楼梦》第57回有这么一句话，“自古道:‘千里姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：“自古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线段． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段，掌握线段的定义（有两个端点的线）是解题的关键． 2．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：经过两点，有且仅有一条直线， 故选：A 3．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 4．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 【答案】例如，在正常情况下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标；栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线；建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿这根绳就可以砌出直的墙． 【分析】结合实例证明“经过两点有且只有一条直线”即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了“经过两点有且只有一条直线”，熟知定义是解题的关键． 5．（25-26七年级下·广东江门·学情自测）学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置不一定相同，举行运动会前，需要规划不同项目的比赛场地，规划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小，不同运动项目的特点，还要用到数学知识．下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后要举行的田径运动会规划比赛场地，如图为操场跑道示意图，最内侧跑道由两段相等的直道和两段半径相同的半圆形弯道组成，其中直道的长度为，半圆形弯道的半径的长度为，每条跑道宽，在一个标准的跑道内，，，， 等比赛跑道的起点不同，终点相同． (1)施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是 ． (2)请你用含和的式子表示出最内侧跑道的周长． (3)如果终点相同，那么第一条跑道和第四条跑道的起跑线应差多少米？（取3.14，结果保留整数） 【答案】(1)两点确定一条直线 (2) (3) 【分析】（1）根据 “经过两点能且只能作一条直线”，即可求得答案； （2）最内侧跑道的周长=直道的长度半径为的圆的周长； （3）第四条跑道的周长=直道的长度半径为的圆的周长，然后计算第一条跑道和第四条跑道的起跑线的差即可． 【详解】（1）解：施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是两点确定一条直线． （2）解：最内侧跑道的周长； （3）解：第四跑道的周长为， ∴第一条跑道和第四条跑道的起跑线相差 直线、射线、线段的数量问题题型01 1．如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段（   ） A．三条 B．四条 C．五条 D．六条 【答案】D 【分析】由图知，线段有、、、、、． 【详解】解：有图得，图中的线段有：、、、、、，一共条， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段，线段是直线的一部分，可用一个小写字母表示或用两个表示端点的字母表示． 2．（25-26七年级·河南信阳·期末）在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ） A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，难点在于分情况讨论．分4点共线，3点共线和任意3点都不共线三种情况画出图形即可得解． 【详解】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线； 如图2，3点共线时可以确定4条直线； 如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线； 综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条． 故选：D．    3．如图，点，，在直线上，则图中有________条线段，________条射线，有________条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 4．已知线段，在上逐一画点（所画点与、不重合）．当线段上有个点时，共有条线段；当线段上有个点时，共有条线段；当线段上有个点时，共有条线段；直接写出当线段上有个点时，共有线段______条． 【答案】 【分析】根据题意在MN上1个点有1+2=3条线段，2个点可组成1+2+3=6条线段，3个点可组成1+2+3+4=10条线段，进而可得答案． 【详解】解：∵MN上1个点有1+2=3条线段，2个点可组成1+2+3=6条线段，3个点可组成1+2+3+4=10条线段， ∴当在MN上有n个点时，共有线段：（第一项和最后一项的和为,第二项和倒数第二项的和为，然后一共有个） 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，找到规律是解题关键． 5．如图1，已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的右侧），． (1)求图1中所有线段的条数为______条： (2)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段从点D开始以1个单位/秒的速度向左运动，当时间t在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） (3)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段从点C开始以1个单位/秒的速度向右运动，当端点B与D初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点C与端点A初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间t为何值时． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，线段的条数问题： （1）根据两点确定一条线段进行求解即可； （2）当点B恰好与点C重合时，线段所有的点开始都在线段上，当点A恰好与点D重合时，线段所有的点最后都在线段上，据此求解即可； （3）以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，23，21，设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则，解得，当点C与点A初次相遇时，，解得，再分当相遇前， 当相遇后，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有线段共6条线段， 故答案为：6； （2）解：当点B恰好与点C重合时，则，解得； 当点A恰好与点D重合时，则，解得， ∴当时，线段所有的点都在线段上； （3）解：以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，23，21， 设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则，解得， ∴当端点B与D初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为30，36，38，36，此后线段以2个单位长度每秒的速度向左运动， 当点C与点A初次相遇时，，解得， ∴当点C与点A初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为34，40，34，32，此后线段以个单位长度每秒的速度向左运动， 当相遇前，时，则， 解得； 当相遇后，时，则， 解得； 综上所述，或． 直线相交的交点个数问题题型02 1．（25-26七年级上·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题考查了图形类规律，直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴条直线两两相交最多能有个交点． 故选：D． 2．在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（    ） A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个 【答案】D 【分析】本题考查了直线相交问题，分成经过一个交点和不经过一个交点两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：四条直线经过同一个交点，这时只有一个交点，如图所示： 四条直线不经过同一个交点，这时有4个交点，如图所示： 四条直线没有公共交点，两两相交，这时有6个交点，如图所示： 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西太原·月考）平面内四条直线最少有个交点，最多有个交点，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查相交线的交点问题，掌握平行线时交点最少为0，交点最多时，交点个数为是解题的关键． 首先四条直线最少交点当所有直线平行时，交点为0；最多交点当每两条直线有一个交点，无任何两条平行且无三线共点时，为；即可求解的值． 【详解】∵当四条直线全部平行时，无交点， ∴； ∵当每两条直线有一个交点，且无三线共点时，交点最多， ∴； ∴， 故选：A． 4．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【分析】根据直线两两都相交时，交点的个数最多，画图计算即可． 本题考查了直线的相交，熟练掌握两两相交时，交点个数最多是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则最多有18个交点， 故选B． 5．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有___________个交点，4条直线相交最多有___________个交点，……，像这样，8条直线相交最多有___________个交点，n条直线相交最多有___________个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成___________部分，4条直线最多把平面分成___________部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成___________部分，n条直线最多把平面分成___________部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点， … n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分； … n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 线段的应用题型03 1．（25-26七年级上·河北邢台·期中）图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 2．往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】将车与两个车站之前的距离转化成线段，不同的距离表示为不同的线段，用列举法直接求线段数量即可． 【详解】解：设中间两个站分别为C、D， ∵客运站根据两站之间的距离确定票价，距离不相等票价就不同， 又∵有、、、、、，共6条不同的线段， ∴不同的票价共有6种． 故选：C． 【点睛】此题考查线段的数量问题，解题关键是直接使用列举法将所有情况表明出来即可． 3．往返于成都、重庆两地的高铁列车，若中途停靠简阳、内江和永川站，则有（ ）种不同票价，要准备（ ）种车票． A．7、14 B．8、16 C．9、18 D．10、20 【答案】D 【详解】设成都、重庆、简阳、内江和永川站分别为A， B， C， D， E. 根据线段的定义，可知图中线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共10条, ∴有10种不同的票价. ∵车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同， ∴需要准备20种车票. 故选D. 4．已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有______种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要______种不同的车票． 【答案】 42 【分析】本题考查了线段、射线、直线等知识点． 从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以车票数需要乘以2． 若A，B两个城市间有n个站，则第一个站要准备种车票，第二个站台要准备种车票，第三个站台要准备种车票，……，倒数第三个站台要准备2种车票，倒数第二个站台要准备1种车票，它们的和乘以2即可得出答案． 【详解】往返于汕头与广州东的D7150次列车，共制作车票为： （种） 若有n个站点，共制作车票为： （种）． 故答案为：42， 5．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1) 图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 直线、射线、线段·创新性问题题型 1．（25-26七年级·浙江台州·期末）将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 【答案】B 【分析】先根据题目找出块数与刀数的规律，再进行求解即可． 【详解】∵要想切的块数最多，则每一刀都要与所有已切过的刀都相交， ∴每多切刀都与前面刀相交，增加块， ∵圆原本是1块， ∴切12刀，最多能把圆分成（块）， 故选：B． 2．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 【答案】 34 【分析】根据题目定义，长度相等且方向相同的有向线段视为同一条，即统计网格中所有可能的不同有向线段的条数．分类讨论，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为 1， 分类讨论， ①横着算：从左往右长度为1的线段1条，从右往左长度为1的线段1条，共2条； 从左往右长度为2的线段1条，从右往左长度为2的线段1条，共2条； 从左往右长度为3的线段1条，从右往左长度为3的线段1条，共2条； ②竖着算：从上往下长度为1的线段1条，从下往上长度为1的线段1条，共2条； 从上往下长度为2的线段1条，从下往上长度为2的线段1条，共2条； ③斜着算： 的网格，正方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 综上所述，共条． 3．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． (1)请画出连接黑棋A与白棋F的线段． (2)图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 【答案】(1) 画图如下： (2)4条：直线，直线，直线，直线 【分析】本题考查三点共线，画线段，熟练掌握相关定义，数形结合是解题的关键： （1）根据要求，连接即可； （2）根据题意，找到符合题意的直线即可． 【详解】（1）略 （2）解：观察可知，满足“三棋共线”的直线有4条，分别为直线，直线，直线，直线． 4．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 5．（1）探究一，棋型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；… 问题一：5条直线最多可以把平面分割成 　 　个部分； 问题二：m条直线最多可以把平面分割成 　 　个部分（用m的代数式表示）； （2）探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1+1＝2个部分，所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4＝8个部分，… 平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1+1+2+4+6＝14个部分，… 问题三：5个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分； 问题四：n个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分（用n的代数式表示）； 问题五：如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）； （3）探究三，拓展延伸： 问题六：5条直线和1个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分； 问题七：m条直线和n个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分（用m、n的代数式表示）． 【答案】（1）问题一：16；问题二：；（2）问题三：22；问题四：（n2﹣n+2）；问题五：23；（3）问题六：26；问题七： 【分析】（1）问题一：平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5＝16个部分； 问题二：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； （2）问题三：平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，即总共会得到1+1+2+4+6+8＝22个部分； 问题四：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； 问题五：根据问题四中结论列方程求解； （3）问题六：一条直线和一个圆最多将平面分成2+2×1＝4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2＝8部分......五条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5＝26个部分； 问题七：当m＝0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成（n2﹣n+2）个部分；当m≠0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分． 【详解】解：（1）问题一：根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分， 即总共会得到1+1+2+3+4+5＝16个部分， ∴5条直线最多可以把平面分割成16个部分， 故答案为：16； 问题二：根据规律得，m条直线最多可以把平面分割成， 故答案为：； （2）问题三：平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分， 即总共会得到1+1+2+4+6+8＝22个部分； 故答案为：22； 问题四：根据规律得，n个圆最多可以把平面分割成1+1+2+4+…+2（n﹣1）＝（n2﹣n+2）个部分； 故答案为：（n2﹣n+2）； 问题五：根据问题四中结论得：n2﹣n+2＝508， 解得：n1＝23，n2＝﹣22（舍去）， ∴n的值为23； （3）问题六：一条直线和一个圆最多将平面分成2+2×1＝4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2＝8部分......五条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5＝26个部分， 故答案为：26； 问题七：当m＝0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成（n2﹣n+2）个部分； 当m≠0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形类规律的探究及逻辑推理能力，根据已有规律进行归纳推理论证是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.2.1 直线、射线、线段 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线、射线、线段的联系与区别 题型02 画直线、射线、线段 题型03 几何图形与数学语言的转换 题型04 用数学知识解释生活中的常见现象 B组 能力进阶 题型01 直线、射线、线段的数量问题 题型02 直线相交的交点个数问题 题型03 线段的应用 C组 思维拔高 题型 直线、射线、线段·创新性问题 直线、射线、线段的联系与区别题型01 1．下列各图中，表示“射线”的是（  ） A． B． C． D． 2．对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的4个图中的线段（或直线、射线），能相交的图有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 5．已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．    (1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段） (2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________．用字母表示为_______． (3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______用字母表示为_______． (4)到点距离等于的点所表示的数是多少？ 画直线、射线、线段题型02 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知三点、、，作直线，作射线，连接，按上述作图正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知：四点A，B，C，D．根据下列语句，画出图形．    (1)画直线，线段． (2)画射线，相交于点O． 3．在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 4．按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 几何图形与数学语言的转换题型03 1．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到点 B．如图2，点在射线上 C．如图3，直线的延长线与直线的延长线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 2．O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（   ） A．O点在直线PQ外 B．O点在直线PQ上 C．O点不能在直线PQ上 D．O点可能在直线PQ上 3．如图，点A在直线l______，点B在直线l______． 4．如图， （1）点B在直线AD________，点F在直线________上； （2）点C在直线AD________，点E是直线________和________的交点； （3）经过点C的直线共有________条，它们分别是________． 5．如图，请用两种方式分别表示图中的两条直线． 用数学知识解释生活中的常见现象题型04 1．《红楼梦》第57回有这么一句话，“自古道:‘千里姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对 2．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 3．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 4．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 5．（25-26七年级下·广东江门·学情自测）学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置不一定相同，举行运动会前，需要规划不同项目的比赛场地，规划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小，不同运动项目的特点，还要用到数学知识．下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后要举行的田径运动会规划比赛场地，如图为操场跑道示意图，最内侧跑道由两段相等的直道和两段半径相同的半圆形弯道组成，其中直道的长度为，半圆形弯道的半径的长度为，每条跑道宽，在一个标准的跑道内，，，， 等比赛跑道的起点不同，终点相同． (1)施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是 ． (2)请你用含和的式子表示出最内侧跑道的周长． (3)如果终点相同，那么第一条跑道和第四条跑道的起跑线应差多少米？（取3.14，结果保留整数） 直线、射线、线段的数量问题题型01 1．如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段（   ） A．三条 B．四条 C．五条 D．六条 2．（25-26七年级·河南信阳·期末）在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ） A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 3．如图，点，，在直线上，则图中有________条线段，________条射线，有________条直线． 4．已知线段，在上逐一画点（所画点与、不重合）．当线段上有个点时，共有条线段；当线段上有个点时，共有条线段；当线段上有个点时，共有条线段；直接写出当线段上有个点时，共有线段______条． 5．如图1，已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的右侧），． (1)求图1中所有线段的条数为______条： (2)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段从点D开始以1个单位/秒的速度向左运动，当时间t在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） (3)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段从点C开始以1个单位/秒的速度向右运动，当端点B与D初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点C与端点A初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间t为何值时． 直线相交的交点个数问题题型02 1．（25-26七年级上·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（    ） A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个 3．（25-26七年级上·山西太原·月考）平面内四条直线最少有个交点，最多有个交点，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 4．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 5．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有___________个交点，4条直线相交最多有___________个交点，……，像这样，8条直线相交最多有___________个交点，n条直线相交最多有___________个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成___________部分，4条直线最多把平面分成___________部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成___________部分，n条直线最多把平面分成___________部分． 线段的应用题型03 1．（25-26七年级上·河北邢台·期中）图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3．往返于成都、重庆两地的高铁列车，若中途停靠简阳、内江和永川站，则有（ ）种不同票价，要准备（ ）种车票． A．7、14 B．8、16 C．9、18 D．10、20 4．已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有______种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要______种不同的车票． 5．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 直线、射线、线段·创新性问题题型 1．（25-26七年级·浙江台州·期末）将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 2．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 3．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． (1)请画出连接黑棋A与白棋F的线段． (2)图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 4．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 5．（1）探究一，棋型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；… 问题一：5条直线最多可以把平面分割成 　 　个部分； 问题二：m条直线最多可以把平面分割成 　 　个部分（用m的代数式表示）； （2）探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1+1＝2个部分，所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4＝8个部分，… 平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1+1+2+4+6＝14个部分，… 问题三：5个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分； 问题四：n个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分（用n的代数式表示）； 问题五：如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）； （3）探究三，拓展延伸： 问题六：5条直线和1个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分； 问题七：m条直线和n个圆最多可以把平面分割成 　 　个部分（用m、n的代数式表示）． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $