6.1.1立体图形与平面图形（分层作业，14大题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 6.1.1 立体图形与平面图形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 常见的几何体 题型02 几何体展开图的认识 题型03 识别正方体的展开图 题型04 从不同的方向看几何体 题型05 几何体的点、棱、面 题型06 正方体相对两个面上的字 题型07 正方体相对两个面上的图案 题型08 几何体及其构成 题型09 截一个几何体 B组 能力进阶 题型01 由展开图计算几何体的面积 题型02 由展开图计算几何体的体积 题型03 与立体图形有关的计算 题型04 由从不同方向看到的图形确定几何体 C组 思维拔高 题型 立体图形与平面图形·创新性问题 常见的几何体题型01 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的分类逐项判断即可．本题主要考查几何图形，牢记几何体的分类是解题的关键． 【详解】A、为球，该选项不符合题意； B、为圆锥，该选项不符合题意； C、为正方体，该选项不符合题意； D、为圆柱，该选项符合题意． 故选：D． 2．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱，其中立体图形有个，平面图形有个，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据平面图形和立体图形的定义，分别统计两类图形的个数，再计算的值即可. 【详解】解：根据定义： 所有点都在同一平面内的图形是平面图形，因此①三角形、②长方形、④圆是平面图形，得； 各部分不在同一平面内的几何图形是立体图形，因此③正方体、⑤圆锥、⑥圆柱是立体图形，得； ． 3．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）中国茶文化源远流长．如图是某品牌茶叶的包装盒，其可视为一个几何体，该几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．正方体 D．六棱柱 【答案】D 【分析】本题考查常见几何体的识别，关键是根据几何体的底面形状与侧面特征判断类型，六棱柱的上下底面为六边形，侧面为矩形；圆柱底面为圆形，球为曲面，正方体底面为正方形． 【详解】解：该茶叶包装盒的上下底面为正六边形，侧面为长方形，符合六棱柱的特征，因此该几何体是六棱柱． 故选：D． 4．将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 【答案】 ②③④ ①⑤⑥ ①③⑤ ④⑥ ② 【分析】(1)根据曲面和没有曲面的特征进行求解即可； (2)根据柱体，锥体和球体的定义进行求解即可． 【详解】(1)按有无曲面分类：有曲面的是②③④，没有曲面的是①⑤⑥， 故答案为：②③④；①⑤⑥； (2)按柱体，锥体，球体分类：柱体的是①③⑤，锥体的是④⑥，球体的是②． 故答案为：①③⑤；④⑥；②． 【点睛】本题主要考查了几何体的分类的有关知识．正确把握相关定义是解题关键． 5．数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体；按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面. 【分析】分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可. 【详解】解：都不正确. 若按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体. 若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面. 【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式与方法. 几何体展开图的认识题型02 1．如图所示的是某个几何体的展开图，该几何体是（     ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【分析】观察展开图组成面，对照各类几何体展开图特征匹配选项． 【详解】解：展开图由个矩形和个三角形组成． 个矩形折叠后围成侧面； 个三角形作为上下底面； 符合这一特征的是三棱柱． 2．（25-26七年级上·北京·期末）如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（　） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．长方体 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的展开与折叠，掌握圆锥展开图的特征是正确判断的关键． 通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：由图知，该几何体的展开图由扇形和圆组成， 则这个几何体是圆锥； 故选：B． 3．如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形，逐一对照选项中的几何体，筛选出符合上述展开图特征的选项即可． 【详解】解：观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形， 选项A是圆锥：圆锥展开图是1个扇形+1个圆，不符合题意； 选项B是三棱柱：三棱柱展开图是3个长方形+2个三角形，不符合题意； 选项C是圆柱：和展开图特征匹配，符合； 选项D是四棱柱（长方体/正方体）：展开图由6个四边形组成，不符合题意． 4．下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字______________ ． 【答案】（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据简单几何体展开图的特征解答即可，会根据展开图确定立体图形是解题的关键． 【详解】解：（1）是三棱柱； （2）是圆柱； （3）是六棱柱； （4）是圆锥． 故答案为：（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥． 5．如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 【答案】(1)5；9 (2) 如图所示（画法不唯一）． (3)135；37 【分析】本题主要考查的是认识立体图形， 能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键． （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （3）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 【详解】（1）解：这个三棱柱有5个面，有条棱， 故答案为：5；9； （2） 略 （3）侧面积为：；    如图所示的几种展开图： 由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是：(条)， 故至少需要剪开的棱的条数是5条， 需剪开棱的棱长的和的最大值为：， 故答案为：135；37 识别正方体的展开图题型03 1．下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项B中的图形不能折叠出正方体， 故选：B． 【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提． 2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的图都不是正方体的表面展开图． 根据正方体展开图的特征作答即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征可知，A同学补画正确． 故选：A． 3．图1是正方体的表面展开图，如果将其合成原来的正方体（图2）时，与点P重合的点应该是_________． 【答案】T和V 【分析】由正方体的平面展开图与正方体的各部分对应情况，通过实际动手操作得出答案即可． 【详解】结合图形可知，围成立方体后Q与S重合，P与T重合，又T与V重合，所以与点P重合的两点应该是T和V． 故答案为：T和V． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，也可以动手操作一下，增强空间想象能力． 4．（25-26七年级上·江西九江·期中）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列图中的______．（填所有符合题意的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了几何体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握简单几何体展开图的性质，从而完成求解． 结合题意，根据简单几何体展开图的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，再剪开一条棱，展开图可能为： 故答案为：①③④． 5．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【答案】（1）①③④； （2）①B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． 【分析】本题考查了正方形展开图． （1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图2折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒B；②画图说明即可． 【详解】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②略 从不同的方向看几何体题型04 1．（25-26七年级上·北京·期末）下列立体图形中，从上面观察得到的图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查从上方观察几何体的形状，关键是掌握常见几何体(棱柱、圆柱、棱锥、长方体)的特征，需要结合几何体的摆放方向判断． 【详解】解：对于选项A：该几何体为三棱柱，其底面为三角形，从上方观察时，看到的图形为三角形，符合题意； 对于选项B：该几何体为圆柱，从上方观察时，看到的图形为圆，不符合题意； 对于选项C：该几何体为四棱锥，从上方观察时，看到的图形为四边形(中间有一个点与四个顶点相连)，不符合题意； 对于选项D：该几何体为长方体，从上方观察时，看到的图形为长方形，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河南焦作·月考）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，解题关键是树立空间观念，准确画图．根据从左面看到的形状进行判断即可． 【详解】解：从左面看到的形状图是 故选：C． 3．如图是由几个相同的小立方体搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．解决本题的关键是熟练掌握三视图的画法. 这个几何体从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，1，据此可画出图形. 【详解】解：∵这个几何体从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，1， ∴这个几何体从左面看到的形状图是： 故选：C． 4．如图是一个由7个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 【答案】 分别从正面、左面、上面观察这个图形，得到的平面图形如图： 【分析】本题考查从正面、左面、上面观察图形，，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉； 从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1；从上面看有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1． 【详解】略 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图2所提供的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的表面积； (3)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体？ 【答案】(1) 解：如图所示： (2) (3)6个 【分析】本题考查简单组合体的从不同方向看得到的平面图形，掌握简单组合体从不同方向看得到的平面图形画法是正确解答的关键． （1）根据简单组合体从不同方向看得到的平面图形的画法即可画出从不同方向看到的平面图形； （2）根据这个组合体从不同方向看得到的平面图形的面积进行计算即可； （3）在从上往下看得到的图形的相应位置标注所能摆放最多的小正方体的个数即可． 【详解】（1）略 （2）解：表面积为； （3）解：如图，从上往下看得到的图形的相应位置标注所能摆放的最多的小正方体的个数，所以最多可以添加（个）． 几何体的点、棱、面题型05 1．（24-25七年级上·广东佛山·联考）四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（   ） A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 【答案】A 【分析】此题考查了认识立体图形，利用n棱柱有个顶点，有条棱，有个面求解即可． 【详解】解：一个四棱柱的顶点个数是8，棱的条数是12，面的个数是6． 故选：A． 2．（24-25七年级·期末）五棱柱有_______个顶点，_____个面，_______条棱，_____个侧面，侧面形状是_______形，底面形状是_______形． 【答案】 10 7 15 5 长方 五边 【分析】本题考查认识立体图形，关键在于熟悉五棱柱的特征．根据五棱柱的特征，填空即可． 【详解】解：五棱柱有10个顶点，7个面，15条棱，5个侧面，侧面形状是长方形，底面形状是五边形． 故答案为：10，7，15，5，长方，五边． 3．已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)六，8，12 (2) (3) 【分析】（1）由n棱柱有条棱，有个顶点，有个面求解可得； （2）棱柱的所有棱长和=6个侧棱长+12个底边长； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 本题考查了n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，侧面积，棱长，熟练掌握基本内涵是解题的关键． 【详解】（1）解：∵此直棱柱有18条棱， ∴由知，此棱柱是六棱柱；这个六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12． （2）解：∵一条侧棱长为，底面各边长都为， ∴棱柱的所有棱长和； 故答案为：． （3）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 4．五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少个顶点？多少条棱？猜测七棱柱的情形并设法验证你的猜测． 【答案】 如图： 三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱； 四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱； 五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱； 六棱柱有8个面，12个顶点，18条棱； 猜想：七棱柱有9个面，14个顶点，21条棱； 观察以上棱柱可得： n棱柱有（n＋2）个面，2n个顶点和3n条棱， 所以七棱柱有9个面，14个顶点，21条棱． 【分析】结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n＋2）个面，2n个顶点和3n条棱． 【详解】略 【点睛】本题考查了棱柱的特征．熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n＋2）个面，2n个顶点和3n条棱． 5．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在的等量关系． （1）如图，通过观察图中几何体，完成下列表格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 五面体 5 8 六面体 8 6 （2）通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：　　　　　． 【实际应用】 （3）足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．如果我们近似地把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程． 【答案】（1）6；5；12 （2）2 （3）正五边形有12块，正六边形有20块 【分析】本题主要考查了欧拉公式以及一元一次方程的应用，正确应用欧拉公式是解题关键． （1）观察几何体，即可完成表格； （2）直接利用欧拉公式求出答案； （3）根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有x块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 五面体 六面体 （2）． 故答案为：2； （3）设正五边形有x块，则正六边形有块， 则，， ， 根据欧拉公式得：， 则， 解得：， 所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块． 正方体相对两个面上的字题型06 1．临近中考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，该正方体展开图的六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”字相对的面上标的字是（   ） A．总 B．发 C．努 D．会 【答案】B 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体的相对面的确定方法：同行隔一个，异行隔一列，进行判断即可．熟练掌握相对面的确定方法，是解题的关键． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴折叠后与“力”相对的是“发”． 故选：B． 2．（2025·河南驻马店·三模）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体的表面展开图不可能出现“田”字形即可判断求解，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图不可能出现“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 故选：． 3．七年级数学老师在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，如图是该正方体展开图的一种，则在原正方体中，与“飞”字所在面相对面上的汉字是________． 【答案】发 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可． 【详解】解：由正方体展开图的特点可得“飞”与“发”相对，“天”与“速”相对，“航”与“展”相对， 故答案为：发． 4．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上的数相等，则的值为______． 【答案】5 【分析】】本题考查正方体相对两个面上的文字，代数式求值，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点以及题意确定、、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“1”是相对面， “”与“2”是相对面， “”与“3”是相对面， ∵相对两个面上的数相等， ∴，，， ∴． 故答案为：5． 5．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是________．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 正方体相对两个面上的图案题型07 1．（26-27七年级上·上海·学情自测）下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体可知有圆点的面与有阴影部分的面是相邻的面，再逐项判断即可． 【详解】解：从原正方体知，带圆点的面与黑色的面是相邻的两个面， A选项：带圆点的面与黑色的面是相对的两个面，不是相邻的，所以图形不是； B、C、D选项：带圆点的面与黑色的面都是相邻的，都是原正方体的展开图． 2．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为（　　） A．－2 B．6 C． D．2 【答案】B 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再求出x、y、z的值，然后代入代数式计算即可得解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “x”与“y”是相对面， “5”与“-5”是相对面， “-4”与“3x-2”是相对面， ∵相对面上所标的两个数互为相反数， ∴3x-2+（-4）=0， x+y=0， 解得x=2，y=-2. ∴2x﹣y=6. 故选B. 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 3．一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 【答案】A 【分析】本题考查正方体的对面问题，掌握相关知识是解决问题的关键．先由三个图显示的邻面能够确定红色的对面是蓝色，黄色和黑色的对面分别是剩余的两个颜色，再由各个面的相对位置关系最终得出答案． 【详解】由图可知： 红色的邻面是黄、黑、绿、白， ∴红的对面是蓝， 黄色的邻面是黑、蓝、红， ∴黄的对面是绿或白， 黑色的邻面是黄、红、蓝， ∴黑的对面是绿或白， 结合三个图形中各个面的相对位置可知， 在第二个图中红色在最前面时，黑色应该在底部，而它的左侧应该是绿色， ∴白对黄，黑对绿． 故选：A． 4．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体形的盒子．折好以后，与“1”相对的面是___________． 【答案】3 【分析】本题考查正方体的相对面，熟练掌握正方体的相对面相隔一个正方形是解题的关键，根据正方体相对的面相隔一个正方形即可得到答案． 【详解】解：∵正方体相对的面相隔一个正方形， ∴“1”相对的面是3， 故答案为：3． 5．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______，最小是_______． 【答案】 46 28 【分析】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把三个正方体的数字1的面放在一起，另外一个数字2和数字1的面放在一起；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把两个正方体写有数字6的面放在一起，把写有数字5的面和写有数字6的面放在一起，然后根据露出的面上的数字求和即可． 【详解】解：∵把每个骰子点数是4的一面放在桌子上， ∴每个骰子朝上的一面的点数为3， 根据题意得：露在外面的数字之和最大值为： ， 最小值为：， 故答案为：46；． 几何体及其构成题型08 1．下列图形属于平面图形的是（） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形，解题的关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形的概念逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、长方体是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； B、球是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； C、圆柱是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； D、三角形是平面图形，此选项符合题意； 故选：D． 2．①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，①④组合符合题意 【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意 故选D 【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了“七巧板”的相关知识．根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为： 4．如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【答案】解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的； 图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的； 图③是由完全相同的四个正方体组合而成的． 【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期中）n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． (2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． (3)从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 【答案】(1) 解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，； (2) ，；，；，；，； (3) 解：选①，10阶长方形的宽长比共有种可能的值； 选②，因为1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，两种不同补法，正好可以补成一个大的正方形，宽长比为1，故“”“ ”…是必然的； 选③，若一个长方形的宽长比为，则它是32阶长方形． 【分析】本题考查了新定义平面图形的规律，解题关键是理解题意，准确画出图形； （1）根据题目给出的方法画出图形即可； （2）由前面n阶长方形的宽长比的规律解答即可； （3）根据n阶长方形的宽长比的规律解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； （3）解：选①，因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是； 3阶长方形的宽长比有四种可能，即是； 4阶长方形的宽长比有八种可能，即是； …… 所以10阶长方形的宽长比共有种可能的值； 选②，略 选③，因为，，，，，，， ， 一个长方形的宽长比为，则它是32阶长方形． 截一个几何体题型09 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【详解】解：由图可得，两个立体图形的棱数分别是12和6， ∴两个立体图形的棱数之差为． 2．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】根据几何体的特点判断解答即可． 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 3．图①是一个正方体，它的平面展开图如图②所示，四边形是用一个平面去截正方体得到的截面．请把截面的四条线段，，，分别画在展开图上，并把缺少的字母补充完整． 【答案】见解析 【分析】由左图可以看出，两点连接，两点连接，点是的中点，两点连接，是的中点，两点连接，据此即可把截面的四条线段，，，分别画在展开图上． 【详解】解：如图所示． 4．如图，左面立体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【答案】 解：截面的线在展开图中，如图 【分析】先补充图中缺少的字母，然后确定四边形的四条边所在的平面，继而即可求解． 【详解】略 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 由展开图计算几何体的面积题型01 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 2．圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为___________． 【答案】10π 【分析】根据已知中圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，代入圆柱侧面积公式，可得答案． 【详解】解：∵圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm， ∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×5=10πcm2， 故答案为：10π． 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的侧面积公式，，直接代入运算即可． 3．已知圆柱的侧面展开图是一个长为、宽为的长方形，则该圆柱的表面积为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了立体图形的展开图，底面圆的周长分和去求表面积，分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：设底面的半径为. 当底面圆的周长为时，则, 解得： 此时该圆柱的表面积= 当底面圆的周长为时，则, 解得： 此时该圆柱的表面积= 综上所述：该圆柱的表面积为：或． 故答案为：或． 4．如图所示的是一个包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称 (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积 【答案】(1)正六棱柱 (2) 【分析】（1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）这个包装盒为正六棱柱． （2）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． 5．（24-25七年级·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 由展开图计算几何体的体积题型02 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的无盖纸盒的容积最大， 故选：． 2．如图所示的是一个长方体形状的包装盒的平面展开图，则这个包装盒的容积是________（包装材料厚度忽略不计）． 【答案】224000 【分析】根据所给的图形，折叠成长方体，再根据长方体的容积公式即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知： 长方体的容积是：； 故答案为：224000． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解决本题的关键是根据展开图确定出长方体的长、宽、高，再根据公式列出算式即可． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 4．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是________，高是________（用含、的代数式表示）． (2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 72 请通过表格中的数据计算：________，________； (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒． ①若为该纸盒制作一长方形盖子，则该长方形的两边长分别是________，________（用含、的代数式表示）； ②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 【答案】(1)：， (2)16， (3)①y，；②5 【分析】本题考查了长方体的展开图，列代数式，整式的加减，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答， ②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． 【详解】（1）这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时， 故答案为：16，； （3）①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：y，， ②由图可知：A与C相对，B与D相对， 由题意得：， 解得， ∴m的值为5． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 （1）如图1，将一张边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为______（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为______（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． （2）兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系 ____________； ②求长方体纸盒的容积． （3）兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？______（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． （4）请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】（1）①；②； （2）①，（答案不唯一）；②； （3）该方案不可行， 故答案为：否； 或，故该方案不可行； （4）答案不唯一，如： 方法一：示意图如下， 折叠成的长方体纸盒容积为； 方法二：示意图如下： 折叠成的长方体纸盒容积为． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，图形的折叠与剪拼，代数式，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． （1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长； ②根据正方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意，以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）①请你写出另一组关键的等量关系， 故答案为：，（答案不唯一）； ②长方形纸片无剩余，长方形中，，， 长方体长为，宽为，高为， 长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）方法一：示意图如下， 由题可知，设，则有， 解得， ， 答：折叠成的长方体纸盒容积为； 方法二：示意图如下： 由题可知，取的中点， ， 设， ， 解得， 故容积为， 答：折叠成的长方体纸盒容积为． 与立体图形有关的计算题型03 1．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为， 由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 2．如图所示的“粮仓”（单位：m）的容积为_____________________（结果保留π）． 【答案】 【分析】根据圆柱和圆锥的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高为，利用圆柱和圆锥的体积公式可得“粮仓”的容积． 【详解】解：由图可知，圆柱和圆锥的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高为， ∴这个“粮仓”的容积． 3．（24-25七年级上·山西太原·月考）有一个硬纸做成的礼品盒（结果保留） (1)做这样一个礼品盒至少要硬纸多少平方厘米？ (2)这个礼品盒的体积是多少？ 【答案】(1)做这样一个礼品盒至少要硬纸平方厘米 (2)这个礼品盒的体积是立方厘米 【分析】本题考查了几何体的表面积和圆柱体的体积，解题的关键是掌握几何体的表面积和圆柱体的体积计算公式． （1）根据几何体的表面积计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （平方厘米）； 答：做这样一个礼品盒至少要硬纸平方厘米． （2）； 答：这个礼品盒的体积是立方厘米． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）“双十二”大促临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为10厘米，宽为6厘米，高为8厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要_________平方厘米纸板： (2)创新实践小组在学习从立体图形到平面图形这节课时，设计如下问题：已知某长方体的长为10，宽为6，高为8，图2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是_________，请你设计一个使外围周长最大的表面展开图，此时的外围周长是_________； (3)该玩具商家在今年“双十二”期间推出两种优惠方案：方案一：每件商品按照标价打九折；方案二：购买10件以内（含10个）不优惠，超过10个的部分按照标价打八折．“阳光”幼儿园共有25个教学班，今年“双十二”准备在该网店给每个班级购买一件搭建区的玩具，标价为200元，选择哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)436 (2)100，124 (3) 选择方案二，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵ ， 故选择方案二． 【分析】本题考查了长方体的表面积，长方体的展开图，图形的周长，有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据（长宽宽高长高）长宽求解即可； （2）将外围的线段加起来即可；要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为10的边剪开，使长为10的边尽可能多的作外围即可； （3）分别将方案一，方案二的总费用算出来，即可得出答案． 【详解】（1）解：长方体包装盒的长为10厘米，宽为6厘米，高为8厘米，其表面积为： （平方厘米） 故答案为：436； （2）解：其周长为：， 外围周长最大的设计图如下： 其周长为：， 故答案为：100，124； （3）解：略． 由从不同方向看到的图形确定几何体题型04 1．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图定义是解题的关键； 根据三视图对选项进行判断即可； 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥， 故选：A 2．（25-26七年级上·河南平项山·月考）一个几何体是由一些大小相同的小立方块组成，从左面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为　　个，最多为　　个（   ） A．3，7 B．4，8 C．5，6 D．5，7 【答案】D 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体．根据从左面看与上面看到的图形，得到搭成这个几何体的小立方块的最小和最多个数即可． 【详解】解：根据从上面看到，这个几何体的底层有4个小正方体， 从左面看到有两层， 第二层最小有1个小正方体，最多有3个小正方体， 所以最小有个小正方体，最多有个小正方体， 故选：D． 3．（24-25上·山东青岛莱西·期末）在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱，仓库管理员将这堆货箱从不同方向看到的图形画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有_________箱．    【答案】10 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，一般从上面看着手，根据“长对正，高平齐，宽相等”求出小正方体的个数． 由图可知，该几何体有3层，由从上面看可得第一层正方体的个数，由从正面看和左面看可得第二层、第三层正方体的个数，相加即可． 【详解】由图可知，该几何体有3层，由从上面看可得第一层正方体的个数为7，由从正面看和左面看可得第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，共10个， 所以这堆正方体小货箱共有10箱． 故答案为：10． 4．（25-26七年级上·福建宁德·质检）如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形． (1)该几何体名称是______； (2)根据图中给的信息，该几何体所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)长方体； (2)棱长的和是；表面积． 【分析】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识． （1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可； （2）根据长方体棱长的和的计算公式和长方体的表面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：这个几何体是长方体， 故答案为：长方体； （2）解：所有棱长的和是； 表面积． 5．（24-25上·山东威海·期中）问题1： 一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体个数． （1）请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）若小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 问题2：用小立方块搭一个几何体，使得它从左面看和从上面看的图形如图所示， 这样的几何体最少要几个立方块．最多要几个立方块？并画出最少时从正面看到的图形． 【答案】问题1：（1）如图所示： （2）； 问题2：最少9个，最多13个， 最少时从正面看到的图有： 【分析】本题考查从不同方面看组合体，根据平面图形还原出立体图形是解决问题的关键． 问题1：（1）由从上面看到的几何体的形状即可得到从左面及上面看几何体的平面图形； （2）由不同方面看组合体得到的立体图形可知，共有13个小正方体，由还原的空间组合体即可得到表面积； 问题2：根据从左面看和从上面看的图形可知，搭建这样的几何体最少9个，最多13个，最少时有9个，作出从正面看到的图形即可得到答案． 【详解】问题1：（1）略 （2）从上面看到的几何体的形状如图所示： 该组合体得到的立体图形共有13个小正方体，如图所示： 则组合体从上到下有4层，具体情况是：最上层1个小正方体，第2层有2个小正方体，第3层有4个小正方体，最底层6个小正方体， ①最上层1个小正方体，能计入几何体表面积的有上面、左面、右面、前面和后面， 小正方体的棱长为， 最上层1个小正方体可计入几何体表面积的面积为； ②第2层有2个小正方体，能计入几何体表面积的有左边小立方体的上面、左面、右面、前面和后面， 小正方体的棱长为， 第2层左边小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第2层有2个小正方体，能计入几何体表面积的有右边小立方体的左面、右面、前面和后面， 小正方体的棱长为， 第2层右边小正方体可计入几何体表面积的面积为； ③第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有上面、左面、右面和前面， 小正方体的棱长为， 第3层左边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有左面、右面和后面， 小正方体的棱长为， 第3层左边后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有左面、右面和前面， 小正方体的棱长为， 第3层右边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有上面、左面、右面和后面， 小正方体的棱长为， 第3层右边后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； ④最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有下面、左面、右面和前面， 小正方体的棱长为， 最底层左边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有左面和后面， 小正方体的棱长为， 第3层左边后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的中间2个小立方体中，前侧的1个小正方体有上面、下面和前面， 小正方体的棱长为， 最底层中间前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的中间2个小立方体中，后侧的1个小正方体有上面、下面、左面和后面， 小正方体的棱长为， 最底层中间后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有下面、右面和前面， 小正方体的棱长为， 最底层右边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有下面、右面和后面， 小正方体的棱长为， 最底层右边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 综上所述，该几何体的表面积为； 问题2：由从左面看和从上面看的图形可知，搭建这样的几何体最少9个，最多13个． 立体图形与平面图形·创新性问题题型 1．由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】题目主要考查立方体的逻辑判断，理解题意是解题关键 设大立方体棱长为n，显然；若，即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有个，大于45，确定或5，除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长宽高为a，b，c，结合题意求解即可 【详解】解：若，即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有个，大于45． ∴或5． 除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体， 设其和长宽高为a，b，c， 则，且， ∴只能是， 即，它的4个面油漆过． 故选：D． 2．（25-26八年级·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 【答案】6 【分析】本题考查图形类规律探究，根据变换方法，确定出每3次变换为一个循环，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，3次变换为一个循环， ∵， ∴按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是6； 故答案为：6． 3．如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为，，则圆柱体的体积为______.    【答案】或 【分析】以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可． 【详解】解：①以为底面周长，为高， 此时圆柱体的底面半径为， ∴圆柱体的体积为， ②以为圆柱体的底面周长，为高， 此时圆柱体的底面半径为， ∴圆柱体的体积为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键． 4．（24-25下·上海·期中）如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是________升．（接头处忽略不计）（取） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的体积，掌握圆的周长及圆柱的体积公式是解题的关键． 设个水桶的底面直径为，则水桶的高为，根据“底面周长十直径=长方形的长”列方程并求解，再由圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解∶设个水桶的底面直径为，则水桶的高．根据题意，得 解得， 升 故答案为： 5．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正八面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，大四面体4个面的中央各留有1个正三角形的空缺面，中间空缺部分还与4个小正四面体各有1个相邻的面，共8个完全相同的正三角形面，所以该柏拉图体的名称是正八面体． 故答案为：正八面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）【综合与实践】：制作长方体纸盒． “鹿鸣学堂”数学兴趣小组的四位同学利用长为a厘米，宽为b厘米的长方形纸板制作长方体纸盒，根据下面四位同学的实践过程，请你完成提出的问题（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)小颖同学： 如图1，若，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．此时，b与c之间的数量关系为 ； (2)小婷同学： 如图2，若，按如图2所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒；为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满．此时，b与c之间的数量关系为 ； (3)小欣同学： 若厘米，在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒；剪去的小正方形的边长c的值按整数依次变化，如下表，计算折成的无盖长方体盒子的容积． 剪去的小正方形的边长/厘米 1 2 3 4 5 6 … 折成的无盖长方体的容积/立方厘米 256 m n … ①表中的m和n的值分别为 和 ； ②观察表格，请你探究并直接写出，当 厘米时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大． (4)小琳同学： 如图3、图4所示，用把长方形分成2个长方形，用长方形可折叠成纸盒的侧面，长方形可剪成纸盒的上，下底面，图3与图4的不同点在于剪切线的位置． 若分别采用图3和图4的制作方案．你认为两种纸盒容积会相等吗？若会，请求出a，b需要满足的条件；若不会，请指出哪种方案制成的纸盒容积大． 【答案】(1) (2) (3)①432；320；②3 (4)两种纸盒容积会相等； 【分析】本题主要考查了几何体的性质与展开图及体积，列代数式，根据高的变化求得对应长和宽的数量关系，是解题的关键． （1）根据正方体边之间的关系列等式即可求得b与c之间的数量关系； （2）根据剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满，列出即可求得答案； （3）①根据长方体容积公式，先找到长、宽、高再求容积即可； ②求出表格中的其他数据，根据表格找到最大值即可； （4）分别求出两种方案得出纸盒容积，然后根据两种纸盒的容积相等，求出a、b间的关系式即可． 【详解】（1）解：∵做成一个无盖的正方体纸盒， ∴， 故； （2）解：∵在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形， ∴剩余长为， ∵剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满， ∴此时的长为 ∴， 故； （3）解：①当时，折成的无盖长方体的容积为，即； 当时，折成的无盖长方体的容积为，即； ②当时，折成的无盖长方体的容积， 当时，折成的无盖长方体的容积为， 当时，折成的无盖长方体的容积为， 填表如下： 剪去的小正方形的边长/厘米 1 2 3 4 5 6 … 折成的无盖长方体的容积/立方厘米 256 392 432 400 320 216 … 观察表格可得：当厘米时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大． （4）解：会相等，需要满足； 采用图3方案：设，则， ∵长方体盒子的底面周长等于的长， ∴， 解得：， 纸盒的容积为：； 采用图4方案：设，则， ∵长方体盒子的底面周长等于的长， ∴， 解得：， 纸盒的容积为：， 若要两种纸盒容积相等，则， ∴， ∴， ∴． 7．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______； A．B． C． D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）； (3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？ (4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点 (4)70 【分析】（1）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，正方体的展开图共有11种，只要对比选项，选出属于这11种的图的选项即可． （2）由平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点解题，选出属于长方体展开图的项即可． （3）依据题意画出图形，然后求出的长，再把A、B、C放在数轴上，利用数轴上两点中点公式进行讨论求解即可； （4）画出图形，依据外围周长的定义计算即可 【详解】（1）解：正方体的所有展开图，如下图所示： 只有B属于这11种中的一个， 故选：B． （2）解：由长方体展开图的特点可知，可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③． （3）解；设运动的时间为t， 如图1所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为4，点C在数轴上表示的数为7， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图2所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为11， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图3所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为11，点C在数轴上表示的数为14， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得（舍去）； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图4所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为10， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图5所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为6，点C在数轴上表示的数为9， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 综上所述，当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点； （4）解：外围周长最大的表面展开图，如下图： 观察展开图可知，外围周长为， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，有理数与数轴，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.1.1 立体图形与平面图形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 常见的几何体 题型02 几何体展开图的认识 题型03 识别正方体的展开图 题型04 从不同的方向看几何体 题型05 几何体的点、棱、面 题型06 正方体相对两个面上的字 题型07 正方体相对两个面上的图案 题型08 几何体及其构成 题型09 截一个几何体 B组 能力进阶 题型01 由展开图计算几何体的面积 题型02 由展开图计算几何体的体积 题型03 与立体图形有关的计算 题型04 由从不同方向看到的图形确定几何体 C组 思维拔高 题型 立体图形与平面图形·创新性问题 常见的几何体题型01 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 2．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱，其中立体图形有个，平面图形有个，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）中国茶文化源远流长．如图是某品牌茶叶的包装盒，其可视为一个几何体，该几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．正方体 D．六棱柱 4．将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 5．数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 几何体展开图的认识题型02 1．如图所示的是某个几何体的展开图，该几何体是（     ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 2．（25-26七年级上·北京·期末）如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（　） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．长方体 3．如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 4．下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字______________ ． 5．如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 识别正方体的展开图题型03 1．下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．图1是正方体的表面展开图，如果将其合成原来的正方体（图2）时，与点P重合的点应该是_________． 4．（25-26七年级上·江西九江·期中）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列图中的______．（填所有符合题意的序号） 5．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 从不同的方向看几何体题型04 1．（25-26七年级上·北京·期末）下列立体图形中，从上面观察得到的图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南焦作·月考）如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 3．如图是由几个相同的小立方体搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一个由7个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图2所提供的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的表面积； (3)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体？ 几何体的点、棱、面题型05 1．（24-25七年级上·广东佛山·联考）四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（   ） A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 2．（24-25七年级·期末）五棱柱有_______个顶点，_____个面，_______条棱，_____个侧面，侧面形状是_______形，底面形状是_______形． 3．已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 4．五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少个顶点？多少条棱？猜测七棱柱的情形并设法验证你的猜测． 5．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在的等量关系． （1）如图，通过观察图中几何体，完成下列表格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 五面体 5 8 六面体 8 6 （2）通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：　　　　　． 【实际应用】 （3）足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．如果我们近似地把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程． 正方体相对两个面上的字题型06 1．临近中考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，该正方体展开图的六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”字相对的面上标的字是（   ） A．总 B．发 C．努 D．会 2．（2025·河南驻马店·三模）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 3．七年级数学老师在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，如图是该正方体展开图的一种，则在原正方体中，与“飞”字所在面相对面上的汉字是________． 4．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上的数相等，则的值为______． 5．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是________．    正方体相对两个面上的图案题型07 1．（26-27七年级上·上海·学情自测）下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为（　　） A．－2 B．6 C． D．2 3．一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 4．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体形的盒子．折好以后，与“1”相对的面是___________． 5．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______，最小是_______． 几何体及其构成题型08 1．下列图形属于平面图形的是（） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 2．①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 4．如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期中）n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． (2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． (3)从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 截一个几何体题型09 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 3．图①是一个正方体，它的平面展开图如图②所示，四边形是用一个平面去截正方体得到的截面．请把截面的四条线段，，，分别画在展开图上，并把缺少的字母补充完整． 4．如图，左面立体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 由展开图计算几何体的面积题型01 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 2．圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为___________． 3．已知圆柱的侧面展开图是一个长为、宽为的长方形，则该圆柱的表面积为____________． 4．如图所示的是一个包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称 (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积 5．（24-25七年级·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 由展开图计算几何体的体积题型02 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 2．如图所示的是一个长方体形状的包装盒的平面展开图，则这个包装盒的容积是________（包装材料厚度忽略不计）． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为______． 4．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是________，高是________（用含、的代数式表示）． (2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 72 请通过表格中的数据计算：________，________； (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒． ①若为该纸盒制作一长方形盖子，则该长方形的两边长分别是________，________（用含、的代数式表示）； ②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 （1）如图1，将一张边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为______（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为______（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． （2）兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系 ____________； ②求长方体纸盒的容积． （3）兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？______（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． （4）请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 与立体图形有关的计算题型03 1．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 2．如图所示的“粮仓”（单位：m）的容积为_____________________（结果保留π）． 3．（24-25七年级上·山西太原·月考）有一个硬纸做成的礼品盒（结果保留） (1)做这样一个礼品盒至少要硬纸多少平方厘米？ (2)这个礼品盒的体积是多少？ 4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）“双十二”大促临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为10厘米，宽为6厘米，高为8厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要_________平方厘米纸板： (2)创新实践小组在学习从立体图形到平面图形这节课时，设计如下问题：已知某长方体的长为10，宽为6，高为8，图2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是_________，请你设计一个使外围周长最大的表面展开图，此时的外围周长是_________； (3)该玩具商家在今年“双十二”期间推出两种优惠方案：方案一：每件商品按照标价打九折；方案二：购买10件以内（含10个）不优惠，超过10个的部分按照标价打八折．“阳光”幼儿园共有25个教学班，今年“双十二”准备在该网店给每个班级购买一件搭建区的玩具，标价为200元，选择哪种方案更优惠？请说明理由． 由从不同方向看到的图形确定几何体题型04 1．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南平项山·月考）一个几何体是由一些大小相同的小立方块组成，从左面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为　　个，最多为　　个（   ） A．3，7 B．4，8 C．5，6 D．5，7 3．（24-25上·山东青岛莱西·期末）在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱，仓库管理员将这堆货箱从不同方向看到的图形画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有_________箱．    4．（25-26七年级上·福建宁德·质检）如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形． (1)该几何体名称是______； (2)根据图中给的信息，该几何体所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 5．（24-25上·山东威海·期中）问题1： 一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体个数． （1）请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）若小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 问题2：用小立方块搭一个几何体，使得它从左面看和从上面看的图形如图所示， 这样的几何体最少要几个立方块．最多要几个立方块？并画出最少时从正面看到的图形． 立体图形与平面图形·创新性问题题型 1．由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 3．如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为，，则圆柱体的体积为______.    4．（24-25下·上海·期中）如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是________升．（接头处忽略不计）（取） 5．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）【综合与实践】：制作长方体纸盒． “鹿鸣学堂”数学兴趣小组的四位同学利用长为a厘米，宽为b厘米的长方形纸板制作长方体纸盒，根据下面四位同学的实践过程，请你完成提出的问题（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)小颖同学： 如图1，若，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．此时，b与c之间的数量关系为 ； (2)小婷同学： 如图2，若，按如图2所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒；为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满．此时，b与c之间的数量关系为 ； (3)小欣同学： 若厘米，在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒；剪去的小正方形的边长c的值按整数依次变化，如下表，计算折成的无盖长方体盒子的容积． 剪去的小正方形的边长/厘米 1 2 3 4 5 6 … 折成的无盖长方体的容积/立方厘米 256 m n … ①表中的m和n的值分别为 和 ； ②观察表格，请你探究并直接写出，当 厘米时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大． (4)小琳同学： 如图3、图4所示，用把长方形分成2个长方形，用长方形可折叠成纸盒的侧面，长方形可剪成纸盒的上，下底面，图3与图4的不同点在于剪切线的位置． 若分别采用图3和图4的制作方案．你认为两种纸盒容积会相等吗？若会，请求出a，b需要满足的条件；若不会，请指出哪种方案制成的纸盒容积大． 7．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______； A．B． C． D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）； (3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？ (4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $