5.3实际问题与一元一次方程（分层作业，19大题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 5.3 实际问题与一元一次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 销售问题 题型04 比赛积分问题 题型05 数字问题 题型06 和差倍分问题 题型07 行程问题 题型08 古代问题 题型09 年龄问题 题型10 方案选择问题 题型11 几何问题 题型12 电费水费问题 B组 能力进阶 题型01 日历问题 题型02 图表信息问题 题型03 调配问题 题型04 利息问题 题型05 其它问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 根据方程的解探究可能性 配套问题题型01 1．某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排天生产桌腿，可列方程（    ） A． B． C． D． 2．某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装_________套． 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 4．几个人共同种一批树苗，如果每人种12棵，则剩下5棵树苗；如果每人种14棵，则缺7棵树苗，求参与种树的人数和这批树苗的数量． 5．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，设有x名工人生产螺母，剩下的工人生产螺钉． (1)每天可生产螺母 个、螺钉 个；（用含x的代数式表示） (2)若1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉与螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 工程问题题型02 1．学校图书室整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做4h，则下列所列方程中正确的是（   ） A． + ×12=1 B． + ×8=1 C． ×12=1 D． ×8=1 2．（25-26七年级上·湖北·月考）某工厂有一批零件需要加工生产，并且还匀速接收新送来的同类零件．如果安排2名师傅和15名徒弟加工，需要10小时完成（将原有的零件和10小时新接收的零件刚好加工完）；如果安排3名师傅和12名徒弟加工，需要8小时完成；已知一名师傅的工作效率相当于6名徒弟的工作效率之和．如果只安排徒弟加工，需要5小时内完成，则至少需要安排________名徒弟加工． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件．则乙工厂单独生产这批礼品需要几天？ 4．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20%，第二组超额15%完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，求本月原计划第二组生产零件的个数． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）王师傅加工一批零件，第一天完成的个数是零件总数的，如果再加工45个，就可以完成这批零件的一半，这批零件共有多少个？ 销售问题题型03 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）某商场以每台1800元的相同价格售出两台不同型号的录像机，其中一台盈利20%，另一台亏损20%．问这两台录像机售出后是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．不能确定 2．（25-26九年级下·陕西西安·学情自测）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 3．夕夕计划买一台电脑，它的原价比夕夕的预算多1000元，现此商品打八折促销，刚好比预算少200元，求夕夕的预算是多少元． 4．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的七折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低20元销售8件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某购物网站上一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过120件的部分 3.5元/件 超过120件不超过300件的部分 3.2元/件 超过300件的部分 3.0元/件 (1)“双十一”期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴（即累计总金额每满300减50元）． ①若购买120件时，所花费用为______元； ②“双十一”期间，王老师购买这种小礼品花了335元，求王老师购买了这种小礼品多少件？ (2)若“双十二”期间不能使用购物津贴，王老师和李老师各自单独购买这种小礼品共400件，其中王老师的购买数量大于李老师的购买数量，她们一共花费1336元，请问王老师和李老师各购买这种小礼品多少件？ 比赛积分问题题型04 1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 2．（24-25七年级上·河北邯郸·月考）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______； （2）______． 3．一次足球比赛共赛15场，胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，某中学足球队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得19分，则这个足球队共平几场？ 4．为发展校园篮球运动，我市城区三校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多80元，两套队服与6个篮球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服送一个篮球：乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折． (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若我市城区三校联合购买．100套队服和120个篮球，你认为到哪家商场购买比较合算？ 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计： 队伍 胜场数 平场数 负场数 总积分 A队 3 1 1 15 B队 2 3 0 14 C队 2 0 3 11 D队 1 1 3 E队 2 3 0 14 F队 0 2 3 7 (1)胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分； (2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数； (3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场． 数字问题题型05 1．这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”图①，是世界上最早的“幻方”，图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·青海海东·月考）一个两位数，十位上的数比个位上的数大2，个位上的数与十位上的数的和为8，这个两位数是______． 3．在数学活动课上，王老师介绍说有人建议向火星发射如图1的图案．它叫幻方，幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．在如图1所示的幻方中，9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9每一横行、每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等．在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则该幻方右上角的“x”所表示的数等于______． 4．有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 5．把100分成两个数的和，使第一个数加3，与第二个数减3的结果相等．这两个数分别是多少？ 和差倍分问题题型06 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是（     ） A．18cm B．17cm C．16cm D．15cm 3．（25-26七年级上·期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等． （1）前4个台阶上数的和是______， （2）第5个台阶上的数x是______， （3）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数为______． 4．某校为创建“书香校园”，现有图书册，计划创建大小图书角共个．其中每个小图书角需图书册，大图书角所需图书比小图书角的倍少册．问该校创建的大小图书角各多少个？ 5．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）新村果园里有苹果树270棵，比桃树的多30棵，新村果园里有桃树多少棵?（用方程解） 行程问题题型07 1．（25-26七年级上·宁夏固原·期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用．若船速为，水速为，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距，根据题意，可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 2．渔夫在静水中的划船速度是5km/h，水流速度是3km/h．现在逆水行舟，一阵风把他的帽子吹落在水中，他没有发现，继续向前划行，等他发觉时人与帽子相距2.5km．从帽子丢失到渔夫发觉经过了________h． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 4．（24-25七年级上·北京·期末）长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻手表显示信息分别如图1和图2所示．小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远1.2公里，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 5．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 古代问题题型08 1．（25-26上·上海·期末）《算法统宗》里记载了一道百僧百馒头的题目：有大、小和尚共100个，大和尚一人吃3个馒头，小和尚3人吃一个馒头，总共吃了100个馒头，问大和尚、小和尚各有几个？如果设大和尚有x个，那么方程应该列为（    ） A． B． C． D． 2．“曹冲称象”是流传很广的故事．按照他的方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工的体重均为60kg，设每块条形石重xkg，则下列选项中，正确的是（   ） A．根据题意，得 B．根据题意，得 C．该象的质量是2580kg D．每块条形石重130kg 3．（2025·河北邯郸·模拟）明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中给出这样一道题：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（明代时，1斤两）．若用方程解答这道题，设共有个客人，则的值为_____． 4．《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 5．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 年龄问题题型09 1．今年儿子8岁，父亲40岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 2．今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，则妹妹今年______岁． 3．（24-25上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 4．丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 5．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 方案选择问题题型10 1．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 2．全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，计划租用________条船． 3．某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有______名． 4．某学校组织学生春游，如果租用若干辆座的客车，则有个人没有座位，如果租用同数量的座的客车，则多出辆，其余车恰好坐满．已知租用座的客车日租金为每辆车元，座的客车日租金为元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？ 5．（25-26七年级上·河南·期末）初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 几何问题题型11 1．有一块棱长为4cm的正方体铜块，要将它熔化后铸成一块长4cm、宽2cm的长方体铜块．铸成后的长方体铜块的高为（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 2．小红把长的铁丝分成两段，分别做成两个正方形．如果两个正方形的边长比是，那么这两个正方形的边长分别是________． 3．（24-25·上海·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高，其中盛有一定量的水，液面高度为．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为，高为．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为___________． 4．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 5．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 电费水费问题题型12 1．（24-25七年级·期末）某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨元；当超过4吨时，超过部分每吨元．某月甲、乙两户共缴水费元，用水量之比是，甲、乙两户所缴的水费相差________元． 3．为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ ：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元 4．为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表： 北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 供水 类型 阶梯 户年用水量 （立方米） 水价 其中 水费 水资源费 污水处理费 自来水 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量． 5．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）某用户想月所缴水费控制在20元至30元之间，则该用户的月用水量应该如何控制？ （3）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的代数式表示该用户月所缴水费． 日历问题题型01 1．王明和李丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的湿地公园玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，王明家乘坐的是起步4公里10元，以后每公里收1.2元，李丽家乘坐的起步3公里8元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到公园，付款后王明发现自己付的车费比李丽少了1元，则两家住地离公园的路程是（    ） A．20公里 B．21公里 C．22公里 D．25公里 2．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 活动一图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数． (1)移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则_____，_____； (2)移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则_____，_____；（用含的代数式表示） 活动二移动平行四边形框，选取月历中的9个数，将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则_____，______； (4)若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则_____（用含的代数式表示）． 3．（25-26七年级上·期末）元旦期间，七年级（3）班同学去某新能源汽车厂研学，顺便慰问节假日期间还工作在岗位上的某车间职工，给他们带去了一些礼品，如果每人3件，则剩下7件，如果每人4件，则还少15件，请应用一元一次方程解答下列问题． (1)求该车间一共有多少名职工？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1500个螺钉或2500个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 4．（25-26七年级上·质检）如图，在2026年1月的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个日期数分别是多少？如果不能，请说明理由． 5．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 图表信息问题题型02 1．某校七年级组织学生安全知识问答活动，此活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了甲、乙、丙三名同学的得分情况，则另一位参赛选手丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 14 6 64 A．32 B．42 C．52 D．62 2．某班全体学生进行了一次投篮练习，每人投球10个，每投进1个球得1分．得分的部分情况如下表所示： 得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 1 已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有________人． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·质检）我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 4．（24-25七年级下·北京·期末）某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 5．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 调配问题题型03 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 2．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是_______________ 3．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 4．（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 5．某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 利息问题题型04 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为__________元． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·月考）冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16000元转存为三年定期存款，预计到期收益为1320元，则此时三年定期存款的年利率是_______． 3．小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． (1)求每套运动服的进价？ (2)运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ (3)最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为，求3年后取出的本息和为多少元？ 4．（24-25下·黑龙江·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 5．（24-25下·上海·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 其它问题题型05 1．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）七（1）班的同学参加植树活动，以下是该班级第2小组两位同学的对话，请根据对话内容求第2小组参与植树的人数． 4．（2025·安徽宣城·一模）近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建快充桩与普充桩共计个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加，其中快充桩增加，普充桩增加，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？ 5．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口、温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为(整个接水的过程不计热量损失)． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于 温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯600的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为___________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯550的水，如果接水的时间一共是30秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求丙同学接温水的时间． 动点问题题型01 1．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（    ） A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣4 2．数轴上点和点表示的数分别是和，点到两点的距离之和为，则点表示的数是（　　） A． B．或 C． D．或 3．（25-26七年级·学情诊断）在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26七年级上·四川眉山·期中）数轴上有两点A、B，分别对应的数是5，，有一动点C在此数轴上运动，且使，则C点对应的数是_____． 5．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）已知数轴上A，B两点对应的数分别为和6，点P为数轴上一动点，对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数_____； (2)若点P在原点的左侧，且到点A，B的距离之和为16，求x的值； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 根据方程的解探究可能性题型02 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了360亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和10，动点P从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动． (1)动点P从点B运动到点C，一共需要______秒； (2)当点P运动t秒时，点P在数轴上对应的数为．______；（用含t的代数式表示） (3)经过多长时间，点Q能够追上点P？ (4)在整个运动过程中，P、Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 表示4与1差的绝对值，也可理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【理解应用】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离为__________； （2）数轴上表示和的两点A和B之间的距离表示为__________；如果A和B之间的距离表示为3，那么x为__________； （3）数轴上两点对应数分别为和4，M为数轴上一点，对应数为x．若M点到C点，D点距离和为，求x的值； 【拓展延伸】 （4）数轴上三点表示的数分别，若点E以（1单位/秒）的速度向左运动，同时，点F和点G分别以（3单位/秒）和（4单位/秒）的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点F与点G之间的距离表示为，点E与点F之间的距离表示为．请问：是否存在一个常数m使得的值不随着时间t的变化而改变？若存在，请求出m和这个不变化的值：若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）将偶数2，4，6，8，10，……按下表方式排列．请观察表格，根据表格规律回答问题： 若记表示第m行第n个数，则表示第2行第5个数是22，记为． (1)________； (2)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于102？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (3)用含m，n的式子表示________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 实际问题与一元一次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 销售问题 题型04 比赛积分问题 题型05 数字问题 题型06 和差倍分问题 题型07 行程问题 题型08 古代问题 题型09 年龄问题 题型10 方案选择问题 题型11 几何问题 题型12 电费水费问题 B组 能力进阶 题型01 日历问题 题型02 图表信息问题 题型03 调配问题 题型04 利息问题 题型05 其它问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 根据方程的解探究可能性 配套问题题型01 1．某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排天生产桌腿，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设应安排天生产桌腿，则安排天生产桌面，根据“每天能生产720个桌腿或者120张桌面，而每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套”，列出方程即可． 【详解】解：设应安排天生产桌腿，则安排天生产桌面， 根据题意，可列方程为． 故选：D． 2．某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装_________套． 【答案】240 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设一共能加工服装套，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设一共能加工服装套， 根据题意可得， 解得， ∴一共能加工服装240套． 故答案为：240． 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 【答案】用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设用张制盒身，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张制盒身． （张） 答：用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒． 4．几个人共同种一批树苗，如果每人种12棵，则剩下5棵树苗；如果每人种14棵，则缺7棵树苗，求参与种树的人数和这批树苗的数量． 【答案】有6人参与种树，树苗共77棵． 【分析】设参与种树的有人，再根据两种分配方式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设参与种树的有人， 由题意得：， ， ， ， 当时，（棵）， 答：有6人参与种树，树苗共77棵． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 5．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，设有x名工人生产螺母，剩下的工人生产螺钉． (1)每天可生产螺母 个、螺钉 个；（用含x的代数式表示） (2)若1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉与螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)2000x，1200（22-x） (2)应安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺钉． 【分析】（1）设分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉，根据题意列式即可得； （2）由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉， ∴每天可生产螺母2000x个， 每天可生产螺钉1200（22-x）个， 故答案为：2000x，1200（22-x）； （2）解：依题意得：2000x=2×1200（22-x）， 解得：x=12， 则22-x=10， 答：应安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺钉． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 工程问题题型02 1．学校图书室整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做4h，则下列所列方程中正确的是（   ） A． + ×12=1 B． + ×8=1 C． ×12=1 D． ×8=1 【答案】B 【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8小时的工作=全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程． 【详解】解：设应先安排x人工作， 根据题意得： + =1， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用-工程问题，正确理解题意，找到正确的等量关系是解题的关键． 2．（25-26七年级上·湖北·月考）某工厂有一批零件需要加工生产，并且还匀速接收新送来的同类零件．如果安排2名师傅和15名徒弟加工，需要10小时完成（将原有的零件和10小时新接收的零件刚好加工完）；如果安排3名师傅和12名徒弟加工，需要8小时完成；已知一名师傅的工作效率相当于6名徒弟的工作效率之和．如果只安排徒弟加工，需要5小时内完成，则至少需要安排________名徒弟加工． 【答案】 39 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设初始零件总量为，每小时新接收零件量为，一名徒弟的工作效率为，则一名师傅的工作效率为. 根据两种加工方案列出方程，解出 , . 再计算只安排徒弟在5小时内加工的总零件量，所需徒弟数满足，解得． 【详解】解：设初始零件总量为，每小时新接收零件量为，一名徒弟的工作效率为，则一名师傅的工作效率为． 由第一种方案的总效率为，工作10小时，加工总量为 ， 则， 整理得：①； 由第二种方案的总效率为，工作8小时，加工总量为， 则， 整理得：②； 即， 解得：， 代入②得：， 只安排徒弟加工5小时，则总需加工零件量为初始零件加上5个小时新接收零件：， 设需名徒弟，则， 解得：； 故答案为：39． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件．则乙工厂单独生产这批礼品需要几天？ 【答案】乙工厂单独生产这批礼品需要10天 【分析】设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，利用公式：生产总量生产时间生产效率，列出方程，求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙工厂单独生产需要x天，则甲工厂单独生产需要天， ， 解得， 答：乙工厂单独生产这批礼品需要10天． 4．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20%，第二组超额15%完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，求本月原计划第二组生产零件的个数． 【答案】360个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设本月原计划第二组生产个零件，则第一组生产个零件，根据两组超额生产数量之和为118列方程，解方程即可． 【详解】解：设本月原计划第二组生产个零件，则第一组生产个零件， 根据题意，得， 解得． 答：本月原计划第二组生产360个零件． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）王师傅加工一批零件，第一天完成的个数是零件总数的，如果再加工45个，就可以完成这批零件的一半，这批零件共有多少个？ 【答案】150个 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，设这批零件共有x个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这批零件共有x个， 则， 解得：， 答：这批零件共有 150 个． 销售问题题型03 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）某商场以每台1800元的相同价格售出两台不同型号的录像机，其中一台盈利20%，另一台亏损20%．问这两台录像机售出后是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及百分数的实际应用，涉及商品销售中的盈亏问题．通过设未知数，利用售价与进价、利润率之间的关系，构建方程求解，进而判断两台录像机售出后的盈亏情况． 【详解】解：设其中一台成本价是元，根据题意，得，解得， 设另一台的成本价是元，根据题意，得，解得， 总的成本价为：，总的售出价为：， ∴， 这两台录像机售出后是亏损的． 故选：B． 2．（25-26九年级下·陕西西安·学情自测）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 【答案】4500 【分析】设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克，根据总收购费用为元列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克， 根据题意得，， 解得：， 答：这次收购了千克梨． 3．夕夕计划买一台电脑，它的原价比夕夕的预算多1000元，现此商品打八折促销，刚好比预算少200元，求夕夕的预算是多少元． 【答案】5000元 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设夕夕的预算是x元，则电脑的原价为元，根据“此商品打八折促销，刚好比预算少200元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设夕夕的预算是x元，根据题意，得 ， 解得， 答：夕夕的预算是5000元． 4．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的七折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低20元销售8件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是160元． 【分析】设这种服装每件的标价是元，可得：，即可解得这种服装每件的标价是160元． 【详解】解：设这种服装每件的标价是元， 根据题意得：， 解得， 答：这种服装每件的标价是160元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程进行求解． 5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某购物网站上一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过120件的部分 3.5元/件 超过120件不超过300件的部分 3.2元/件 超过300件的部分 3.0元/件 (1)“双十一”期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴（即累计总金额每满300减50元）． ①若购买120件时，所花费用为______元； ②“双十一”期间，王老师购买这种小礼品花了335元，求王老师购买了这种小礼品多少件？ (2)若“双十二”期间不能使用购物津贴，王老师和李老师各自单独购买这种小礼品共400件，其中王老师的购买数量大于李老师的购买数量，她们一共花费1336元，请问王老师和李老师各购买这种小礼品多少件？ 【答案】(1)①370，②件 (2)王老师购买320件，李老师购买小礼品80件 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确根据题意列出方程并解答是解决本题的关键． （1）根据销售量与单价进行计算即可； （2）先确定王老师购物总价，即可得到购买小礼物数量不足120件，然后计算解题； （3）设李老师购买x件，则王老师购买件，分三种情形分别构建方程解决问题即可． 【详解】（1）①解：（元）， 使用津贴后为（元）， 故答案为：370； ②由题知王老师花费了335元，由于满300减50元，则王老师的购物总价为385元， ， 王老师购物不超过120件， 王老师购买小礼品的件数为：（件）； （2）解：设李老师购买了件小礼品，则王老师购买了件小礼品， （ⅰ）当李老师购买小礼品不超过120件，王老师超过120件不超过300件时， ， 解得：，不满足题意，舍去； （ⅱ）当李老师购买小礼品不超过120件，王老师超过300件时， ， 解得，符合题意， 李老师购买小礼品80件，王老师购买320件； （ⅲ）当王老师和李老师购买小礼品都超过120件不超过300件时， ，方程无解； 综上所述：王老师购买320件，李老师购买小礼品80件． 比赛积分问题题型04 1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】B 【分析】设这个队胜场，则负场，根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个队胜场，则负场，根据题意得， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·月考）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______； （2）______． 【答案】 两人共投中了30个 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据列出的方程补充信息即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：两人共投中了30个， 故答案为：两人共投中了30个； （2）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：10． 3．一次足球比赛共赛15场，胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，某中学足球队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得19分，则这个足球队共平几场？ 【答案】3 【分析】设这个足球负了x场，则胜了2x场，平了（15-x-2x）场，根据胜的场数的得分+平的场数的得分=19，列方程求出其解即可． 【详解】解：设这个足球队负了x场，则胜了2x场，平了（15-x-2x）场，根据题意得： 2×2x+1×(15-x-2x)=19, 解得，x=4, 15-x-2x=15-4-8=3, 答：这个足球队共平3场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解决问题的关键. 4．为发展校园篮球运动，我市城区三校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多80元，两套队服与6个篮球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服送一个篮球：乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折． (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若我市城区三校联合购买．100套队服和120个篮球，你认为到哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)每套队服120元，每个篮球40元； (2)在乙商场购买比较合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设每个篮球的定价是x元，则每套队服是元，根据“两套队服与6个篮球的费用相等”列出方程，解方程即可； （2）根据甲、乙两商场的优惠方案分别求得在两个商场购买所需要的费用，然后通过比较得到结论：在乙商场购买比较合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的定价是x元，则每套队服是元， 根据题意得， 解得， ∴． 答：每套队服120元，每个篮球40元； （2）在乙商场购买比较合算，理由如下： 到甲商场购买所花的费用为：（元）， 到乙商场购买所花的费用为：（元）；， 因为， 所以在乙商场购买比较合算． 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计： 队伍 胜场数 平场数 负场数 总积分 A队 3 1 1 15 B队 2 3 0 14 C队 2 0 3 11 D队 1 1 3 E队 2 3 0 14 F队 0 2 3 7 (1)胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分； (2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数； (3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场． 【答案】(1)4；2；1；9 (2)G队总分至少是17分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），此时G队的胜场数为3场； (3)此次联赛共有8场平场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设胜一场得x分，则平一场得分，负一场得分，再根据A队的积分情况建立方程求解即可； （2）根据表格中的数据和（1）所求可得A队6场比赛最少要积16分，那么G队的积分至少为17分，设G队胜了m场，则G队负了场，平了场，据此建立方程求解即可； （3）可求出一共要进行21场比赛，设这21场比赛中有a场胜负场（分出胜负），则有场平场，每个胜负场中两个球队共积5分，每个平场中两个球队共积4分，根据总积分为97分建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场得x分，则平一场得分，负一场得分， 由题意得，， 解得， ∴，， ∴胜一场得4分，平一场得2分，负一场得1分， ∴表格中D队的总积分是分； （2）解：∵A队比赛了5场已经积15分，而A队剩下的那场比赛最少还要积1分， ∴A队6场比赛最少要积16分， ∵G队要取得总分第一名（不存在并列情况）， ∴其他6个队伍的总积分要尽可能的低， ∵除去A，G两队外，其他5个队伍的积分都有可能低于16分， ∴G队的积分一定要超过A队的积分， ∴G队最少要积17分； 设G队胜了m场，则G队负了场，平了场， ∴G队积分， 当时，解得， 答：G队总分至少是17分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），此时G队的胜场数为3场； （3）解：∵比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场）， ∴每个队伍都要与其他6个队伍之间比赛一场， 又∵相同两个队之间的比赛只算一场， ∴一共要进行场比赛， 设这21场比赛中有a场胜负场（分出胜负），则有场平场， ∵球队胜一场积4分，负一场积1分，平一场积2分， ∴每个胜负场中的两个球队共积分，每个平场中的两个球队共积分， ∴， 解得， ∴， 答：此次联赛共有8场平场． 数字问题题型05 1．这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”图①，是世界上最早的“幻方”，图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设左上角的数字为，根据“九宫格”的特点列出一元一次方程，求得的值，进而求得的值，即可求解． 【详解】如图， 依题意可得：， 解得， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（25-26七年级上·青海海东·月考）一个两位数，十位上的数比个位上的数大2，个位上的数与十位上的数的和为8，这个两位数是______． 【答案】53 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出十位和个位数字，进而得出方程是解题关键． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为，根据条件列出方程求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为， 根据题意得，， 解得， ∴， ∴这个两位数是53． 故答案为：53． 3．在数学活动课上，王老师介绍说有人建议向火星发射如图1的图案．它叫幻方，幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．在如图1所示的幻方中，9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9每一横行、每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等．在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则该幻方右上角的“x”所表示的数等于______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第二行的第二个数字为b，则第二行第三个数为，第三行第一个数为，根据第三行及第三列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第二行的第二个数字为b，则第二行第三个数为，第三行第一个数为，如图2所示． 根据题意得：， 解得：， 该幻方右上角的“x”所表示的数等于， 故答案为：． 4．有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【答案】57 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设原来的两位数为，根据“这两个三位数相差414”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数为，根据题意得： 解得：， 答：原来的两位数为57． 5．把100分成两个数的和，使第一个数加3，与第二个数减3的结果相等．这两个数分别是多少？ 【答案】47；53. 【分析】设第一个数为x，这第二个数是（100﹣x），根据“第一个数加3与第二个数减3的结果相等”，列方程求解． 【详解】解：设第一个数为x，这第二个数是（100﹣x）， 由题意得，x+3＝100﹣x﹣3， 解得：x＝47． 所以100﹣x＝100﹣47＝53． 答：第一个数为47，这第二个数是53． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程. 和差倍分问题题型06 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 根据等量关系：乙队调动后的人数甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设应从乙队调x人到甲队， 此时甲队有人，乙队有（）人， 根据题意可得：． 故选：C． 2．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是（     ） A．18cm B．17cm C．16cm D．15cm 【答案】D 【分析】设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据直尺的长度列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm， 根据题意，得：2x×4-1=2x+2×2x+3， 解得：x=2， 经检验：x=2，是方程的解，并符合题意， ∴直尺的长度是8x-1=8×2-1=15(cm)． 故选：D ． 【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法与步骤，抓住图形直尺的长度不变列方程是解题关键． 3．（25-26七年级上·期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等． （1）前4个台阶上数的和是______， （2）第5个台阶上的数x是______， （3）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了数字类变换规律，一元一次方程的应用，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数字每4个一循环． （1）将前4个数字相加可得； （2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可； （3）根据“台阶上的数是每4个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为． 【详解】解：（）由题意，得． 故前4个台阶上的数的和是3． 故答案为：3； （2）由题意，得， 所以， 故第5个台阶上的数x是． 故答案为：； （3）解：由题意知，第个台阶上的数为， 第个台阶上的数为， 第个台阶上的数为， ∴台阶上的数每4个一循环：，，1，9，，，1，9，… 数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .， 所以数“1”所在的台阶数为． 故答案为：． 4．某校为创建“书香校园”，现有图书册，计划创建大小图书角共个．其中每个小图书角需图书册，大图书角所需图书比小图书角的倍少册．问该校创建的大小图书角各多少个？ 【答案】创建小图书角个，则创建大图书角个 【分析】根据题意设创建小图书角x个，则创建大图书角(30-x)个，进而表示出总的用书量，即可得出等式求出答案. 【详解】解：设创建小图书角x个，则创建大图书角(30-x)个，根据题意得： 160x+(160×2-80)(30-x)=5600， 解得：x=20， ∴30-x=30-20=10. 答：该校创建的小图书角有20个，大图书角10个. 故答案为创建小图书角个，则创建大图书角个. 【点睛】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题，找出等量关系是解题的关键. 5．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）新村果园里有苹果树270棵，比桃树的多30棵，新村果园里有桃树多少棵?（用方程解） 【答案】320棵 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键； 设新村果园里有桃树x棵，则苹果树有棵，根据新村果园里有苹果树270棵即可列出方程，再求解即可. 【详解】解：设新村果园里有桃树x棵，则苹果树有棵， 根据题意可得：， 解得：， 答：新村果园里有桃树320棵. 行程问题题型07 1．（25-26七年级上·宁夏固原·期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用．若船速为，水速为，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距，根据题意，可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，根据顺流和逆流的速度计算，顺流速度为船速加水速，逆流速度为船速减水速，顺流时间比逆流时间少3小时，列出方程． 【详解】解：设港和港相距， 顺流速度：， 逆流速度：， ∵顺流时间比逆流时间少， ∴， 故选：A． 2．渔夫在静水中的划船速度是5km/h，水流速度是3km/h．现在逆水行舟，一阵风把他的帽子吹落在水中，他没有发现，继续向前划行，等他发觉时人与帽子相距2.5km．从帽子丢失到渔夫发觉经过了________h． 【答案】0.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据小船逆水速度与帽子速度表示出两者行驶的路程，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设从帽子丢失到渔夫发觉经过了． 根据题意，得， 解得． 故从帽子丢失到渔夫发觉经过了0.5h． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 【答案】小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设小明出发分钟可以追上妈妈，根据题意列方程，求得小明出发分钟可以追上妈妈，此时妈妈步行了分钟，再根据妈妈步行到火车站需要30分钟，即可得出答案． 【详解】解：设小明出发分钟可以追上妈妈， 由题意得：， 解得：， 即小明出发分钟可以追上妈妈， 此时妈妈步行了分钟， 分钟，即妈妈步行到火车站需要30分钟， 因为20分钟30分钟， 所以小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 4．（24-25七年级上·北京·期末）长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻手表显示信息分别如图1和图2所示．小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远1.2公里，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 【答案】小健步行的平均速度为80米/分，平均步长为米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．直接利用小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设小健步行的平均速度为x米/分． 根据题意得， 解得， 小健一共步行（步），其平均步长为（米）． 答：小健步行的平均速度为80米/分，平均步长为米． 5．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)4； (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论． （1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为8和在相遇之后距离为8，求出即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． 即运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为， 故答案为：4；． （2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了， ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和6， ∴A、B的距离为， 若在相遇之前距离为8，则 ， 解得：． 若在相遇之后距离为8，则 ， 解得：． 综上所述：t的值为或． 古代问题题型08 1．（25-26上·上海·期末）《算法统宗》里记载了一道百僧百馒头的题目：有大、小和尚共100个，大和尚一人吃3个馒头，小和尚3人吃一个馒头，总共吃了100个馒头，问大和尚、小和尚各有几个？如果设大和尚有x个，那么方程应该列为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设大和尚有x个，则小和尚有个，根据题意可得大和尚共吃个馒头，小和尚共吃个馒头，据此列方程即可． 【详解】解：设大和尚有x个，则小和尚有个， 由题意得，， 故选：A． 2．“曹冲称象”是流传很广的故事．按照他的方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工的体重均为60kg，设每块条形石重xkg，则下列选项中，正确的是（   ） A．根据题意，得 B．根据题意，得 C．该象的质量是2580kg D．每块条形石重130kg 【答案】C 【分析】利用题意找出等量关系，列出一元一次方程，并解方程在解题过程中即可判断并得出结论． 【详解】解：根据题意可得方程： 则错误； 解上面的方程得：， 故错误； 大象的质量是，故正确 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 3．（2025·河北邯郸·模拟）明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中给出这样一道题：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（明代时，1斤两）．若用方程解答这道题，设共有个客人，则的值为_____． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．根据银子数相等列方程即可． 【详解】解：设共有个客人， 根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 4．《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元． 【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】解：设学生人数为x人，由题意得： ， 解得：， ∴该书的单价为（元）， 答：学生人数为7人，该书的单价为53元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 5．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 年龄问题题型09 1．今年儿子8岁，父亲40岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别得出a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁，然后再根据题意：a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁， ∵a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程． 2．今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，则妹妹今年______岁． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设妹妹今年岁，则今年哥哥的年龄是岁，根据4年前，哥哥的年龄是妹妹年龄的4倍建立方程求解即可． 【详解】设妹妹今年岁，则今年哥哥的年龄是岁，根据题意得， 解得： 答：妹妹今年岁， 故答案为：． 3．（24-25上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【答案】年后，小郑的年龄是妈妈的一半 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解题的关键．设年后，小郑的年龄是妈妈的一半，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 4．丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 【答案】丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁 【分析】本道题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握是解答本题的关键．设丢番图的年龄为岁，由此得出他的每个阶段的经历的年数列出等量关系即可解答． 【详解】解：设丢番图去世时的年龄是岁． 根据题意，得， 解得， （岁）， 答：丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁． 5．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 方案选择问题题型10 1．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 2．全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，计划租用________条船． 【答案】5 【分析】设计划租用x条船，根据两种租船方式的人数相同列出方程求解即可． 【详解】解：设计划租用x条船， 由题意得， ∴， 解得， ∴计划租用5条船， 故答案为；5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 3．某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有______名． 【答案】 【分析】设原计划用车辆，根据题意参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划用车辆，依题意有 ， 解得， ． 故参加秋游的学生一共有名． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 4．某学校组织学生春游，如果租用若干辆座的客车，则有个人没有座位，如果租用同数量的座的客车，则多出辆，其余车恰好坐满．已知租用座的客车日租金为每辆车元，座的客车日租金为元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？ 【答案】租座的客车更合算，租辆． 【分析】本题是一道方案设计题，等量关系为：总人数＝坐45座客车人数＋15＝坐60座客车人数；据此列方程先求出两种车数；再分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】租座的客车辆，根据题意得： 解得： 所以租座的客车租金应为：元 租座的客车租金应为元 所以租座的客车更合算，租辆． 【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键应弄清题意，根据学生数找到最简单的等量关系；通过计算租金找出最省钱的方式． 5．（25-26七年级上·河南·期末）初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 【答案】 第一次购买12千克，第二次购买36千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先根据题意说明（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克，再设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意列出方程，并求出解即可． 【详解】解：∵，且第二次购买数量多于第一次， ∴（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克， 设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意，得 ， 解得，． 所以（1）班学生第一次购买12千克，第二次购买36千克． 几何问题题型11 1．有一块棱长为4cm的正方体铜块，要将它熔化后铸成一块长4cm、宽2cm的长方体铜块．铸成后的长方体铜块的高为（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，利用长方体与正方体的体积相等列方程即可解决问题． 【详解】解：设铸成的铜块的高为． 则， 解得． 故铸成的铜块的高为． 故选：． 2．小红把长的铁丝分成两段，分别做成两个正方形．如果两个正方形的边长比是，那么这两个正方形的边长分别是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意设出未知数列方程求解即可，解题的关键是读懂题意列出方程． 【详解】解：设这两个正方形中小正方形的边长为， 则大正方形的边长为， 根据题意，得， 解得， 所以，， 即这两个正方形的边长分别为，． 故答案为：，． 3．（24-25·上海·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高，其中盛有一定量的水，液面高度为．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为，高为．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，圆柱体积的计算，先分别求出当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面高度，竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度，然后相减即可． 【详解】解：容器内液体的体积为：， 圆柱体的体积为：， 当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面的高度为： ， 设竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度为， ， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【答案】这个大长方形的面积是． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这个大长方形的面积是，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个大长方形的面积是， ， 解得：． 答：这个大长方形的面积是． 5．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 电费水费问题题型12 1．（24-25七年级·期末）某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨元；当超过4吨时，超过部分每吨元．某月甲、乙两户共缴水费元，用水量之比是，甲、乙两户所缴的水费相差________元． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据水费元列出方程，解方程求出甲、乙两户的用水量，即可求出应缴水费，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两户用水量分别为吨、吨，依题意得： ， 整理得：， 解得：， ∴甲、乙两户用水量分别为吨、吨， ∴甲用户应缴水费（元）， 乙用户应缴水费（元）， ∴甲、乙两户所缴的水费相差： （元）， 故答案为：9． 3．为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ ：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元 【答案】峰电140千瓦时，谷电60千瓦时 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可逐步求解． 根据“付电费元，经测算，比不使用峰谷电节约元”，求不用“峰谷”电表的钱数：（元），所以用电量为：（千瓦时）．设用“峰电”x千瓦时，则“谷电”千瓦时，根据电费列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：（千瓦时）， 设用峰电x千瓦时，则谷电千瓦时， ， ， ， ， （千瓦时）， 答：该家庭当月使用峰电140千瓦时，使用谷电60千瓦时． 4．为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表： 北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 供水 类型 阶梯 户年用水量 （立方米） 水价 其中 水费 水资源费 污水处理费 自来水 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量． 【答案】这户居民2023年的用水量为立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关系，设这户居民2023年的用水量为立方米．判定，再列方程解题即可． 【详解】解：设这户居民2023年的用水量为立方米． ∵，， ∴， ∴． 根据题意列方程，得 ． 解这个方程，得 ． 答：这户居民2023年的用水量为立方米． 5．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）某用户想月所缴水费控制在20元至30元之间，则该用户的月用水量应该如何控制？ （3）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的代数式表示该用户月所缴水费． 【答案】（1）20吨；（2）10～14.4吨之间； （3）①m≤12吨时，所缴水费为2m元， ②12＜m≤18吨时，所缴水费为（2.5m-6）元， ③m＞18吨时，所缴水费为（3m-15）元． 【分析】（1）先求出用12吨水的水费，用18吨水的水费，判断出5月份的用水量在18吨以上，然后根据所缴水费45元列出方程求解即可； （2）求出缴水费20元与30元时的用水量，即可得到用水范围； （3）因为m大小没有明确，所以分①m≤12吨，②12＜m≤18吨，③m＞18吨，三种情况，根据图表的收费标准，列式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）当用水12吨时，缴水费为2×12=24元， 当用水18吨时，缴水费为24+2.5×（18-12）=24+15=39元， ∵45元＞39元， ∴5月份的用水量超过18吨， 设5月份的用水量为x吨，根据题意得， 39+（x-18）×3=45， 解得x=20， ∴该用户5月份的用水量是20吨； （2）根据（1），当所缴水费为20元时，∵20＜24， ∴用水20÷2=10吨， 当所缴水费为30元时，∵24＜30＜39， ∴设用水为x，则24+（x-12）×2.5=30， 解得x=14.4， 所以，该用户的月用水量应该控制在10～14.4吨之间； （3）①m≤12吨时，所缴水费为2m元， ②12＜m≤18吨时，所缴水费为2×12+（m-12）×2.5=（2.5m-6）元， ③m＞18吨时，所缴水费为2×12+2.5×（18-12）+（m-18）×3=（3m-15）元． 【点睛】本题考查了一元一次方程，读懂表格数据，根据取值范围分别进行求解是本题的特点． 日历问题题型01 1．王明和李丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的湿地公园玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，王明家乘坐的是起步4公里10元，以后每公里收1.2元，李丽家乘坐的起步3公里8元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到公园，付款后王明发现自己付的车费比李丽少了1元，则两家住地离公园的路程是（    ） A．20公里 B．21公里 C．22公里 D．25公里 【答案】B 【分析】首先设出未知数，然后用x表示出王明和李丽的打车费用，然后根据题意列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设两家住地离公园的路程为x公里， 王明打车费用为10＋1.2×（x−4）， 李丽打车费用为8＋1.3×（x−3）， 根据题意，得10＋1.2×（x−4）＋1＝8＋1.3×（x−3）， 解得x＝21． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是用未知数x表示出两人乘车所收费用，此题难度不大． 2．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 活动一图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数． (1)移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则_____，_____； (2)移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则_____，_____；（用含的代数式表示） 活动二移动平行四边形框，选取月历中的9个数，将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则_____，______； (4)若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)， (3)， (4) 【分析】（1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： （2）解：由图可知：； 故答案为：； （3）解：∵9个数的和为 ∴每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于 ∴， 设右上角的数字为，则 ∴，即 解得： （4）解：最小的数是，则最大数为， 其他数分别为， ∵9个数的和为 ∴每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于 ∵中间列，中间行和两条斜对角线上的三个数的和的总和是三行之和加中间数的三倍， ∴ ∴ 3．（25-26七年级上·期末）元旦期间，七年级（3）班同学去某新能源汽车厂研学，顺便慰问节假日期间还工作在岗位上的某车间职工，给他们带去了一些礼品，如果每人3件，则剩下7件，如果每人4件，则还少15件，请应用一元一次方程解答下列问题． (1)求该车间一共有多少名职工？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1500个螺钉或2500个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)22名 (2)生产螺钉的工人10名，生产螺母的工人12名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）根据礼品数量不变，由分配情况列方程求职工人数； （2）根据1个螺钉需要配2个螺母，即螺母个数应是螺钉个数的2倍列方程求生产螺钉和螺母的工人人数． 【详解】（1）解：设该车间一共有名职工根据题意，得 ， 解得， 答：该车间一共有名职工． （2）解：设应安排生产螺钉的工人y名，则生产螺母的工人为名，依题意得： 解得， ∴生产螺母的工人为（名） 答：应安排生产螺钉的工人10名，生产螺母的工人12名． 4．（25-26七年级上·质检）如图，在2026年1月的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个日期数分别是多少？如果不能，请说明理由． 【答案】能，三个日期数分别是3、10、17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，注意相邻三行里同一列的三个日期之间相差7． 设中间的数为x，其它两个为与，表示出三个日期数之和，根据三个日期数之和为30，列出方程，如果求出的解符合题意，那么相邻三行里同一列的三个日期数之和能为30，否则不能． 【详解】解：设中间的数为x，其它两个为与， 根据题意得：， 解得， 则，， 观察日历可知这三个数符合题意． 答：能，这三个数分别是3，10，17． 5．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， ， ， ； (2)存在，的值为11，b的值为18，c的值为 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是用含x的代数式表示a，b， （1）根据日历中数字的规律填空即可； （2）结合（1）求出，，，由，得，解出x的值可得答案． 【详解】（1）解：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 故答案为：，；，；，； （2）解：存在这样的x，使得，理由如下： 根据题意，，，， ， ， 解得， 经检验，符合题意，此时，，， 的值为11，b的值为18，c的值为． 图表信息问题题型02 1．某校七年级组织学生安全知识问答活动，此活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了甲、乙、丙三名同学的得分情况，则另一位参赛选手丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 14 6 64 A．32 B．42 C．52 D．62 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．由记录表格可知，答对一道题得分，答错一道题扣分，设答对道题，则得分，逐一对选项求解，根据为正整数，即可得到答案． 【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分， 由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分， 丙同学得分也符合； 设答对道题，则答错道题， 得分，且为正整数， A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，符合题意； D、，解得：，不符合题意； 故选：C． 2．某班全体学生进行了一次投篮练习，每人投球10个，每投进1个球得1分．得分的部分情况如下表所示： 得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 1 已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有________人． 【答案】43 【分析】本题考查的一元一次方程实际应用的球赛积分问题，解题的关键是找准等量关系． 通过设未知数，根据两种不同的计算投中总球数的方式列出方程，进而求出总人数． 【详解】解：设有人参加测验， 由上表看出，至少投进个球的有人，投进不到个球的有人，投中的总球数， 即等于进球数不到个的人的进球数加上至少投进个球的人的进球数， 为； 也等于进球数不到个的人的进球数加上至少投进个球的人的进球数， 为 由此可得方程， 解得 故共有人参加测验． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·质检）我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 【答案】300 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握每种口罩的总价和单价与数量的关系列代数 式，三种口罩的总价元列方程，是解答本题的关键． 根据m包A种口罩，B，C两种口罩各包，总价列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同． 得， 解得， 答：m的值为300． 4．（24-25七年级下·北京·期末）某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 5．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得，且长方形和正方形的纸板比为，即可求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张，根据（1）②的方法列出方程，可得，则长方形有40张，正方形27张，即可求解． 【详解】（1）解：①依题意，． ②当时， 由题可列方程：， 解得：，即图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． 此时最多可以做图3的无盖纸盒：（个）． （2）解：方法一：由（1）可知，13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，此时2张纸板按图1方法裁剪，1张纸板按图2方法裁剪，得4张长方形和3张正方形，可以再做一个纸盒，共最多做出13个纸盒； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张， 由题可列方程：， 解之得：，为了保证最多，则按图1方法共20张，按图2方法共9张， 此时长方形有40张，正方形27张， 可以做：；即最多可以做13个纸盒． 调配问题题型03 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是，根据“从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人”，可列出关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是， 根据题意得，， 解得， 即甲队原有工人数是22， 故选：B． 2．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是_______________ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 3．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】应调往甲处17人，应调往乙处3人． 【分析】分别设出调往甲处和乙处的人数，根据“在甲处的人数为在乙处的人数的2倍”列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设应调往甲处人，则应调往乙处人， 由题意列出方程：， 解得（人），则（人）． 答：应调往甲处17人，应调往乙处3人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意找出数量关系列出方程是解决本题的关键． 4．（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 5．某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 【答案】(1)工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； (2)工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题． （1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“1个A零件和2个B零件配成一套”，列方程求解即可得到结果； （2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 得（名）， 答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； （2）调动前每天总获利为：（元）， 设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件， 则调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 利息问题题型04 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为__________元． 【答案】50 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A商品每千克的售价为x元，根据毛利率为列方程求解即可． 【详解】解：设A商品每千克的售价为x元， 根据题意，得， 解得， 答：A商品每千克的售价为50元， 故答案为：50． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·月考）冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16000元转存为三年定期存款，预计到期收益为1320元，则此时三年定期存款的年利率是_______． 【答案】2.75% 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利息计算公式是关键；根据利息计算公式，利息本金年利率时间，代入已知数据求解年利率． 【详解】解：设年利率为， 由题意得：． 所以， 解得， 即年利率为． 故答案为：． 3．小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． (1)求每套运动服的进价？ (2)运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ (3)最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为，求3年后取出的本息和为多少元？ 【答案】(1)每套运动服的进价为125元 (2)小明的爸爸共购进1200套运动服 (3)3年后取出的本息和为15134元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设每套运动服的进价为元，根据打折后每套运动服的售价为140元建立方程，解方程即可得； （2）设小明的爸爸共购进套运动服，根据后一半促销获利5000元建立方程，解方程即可得； （3）根据本息和利润（年利率年限）求解即可得． 【详解】（1）解：设每套运动服的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每套运动服的进价为125元． （2）解：设小明的爸爸共购进套运动服， 由题意得：， 解得， 答：小明的爸爸共购进1200套运动服． （3）解：利润为（元）， 则（元）， 答：3年后取出的本息和为15134元． 4．（24-25下·黑龙江·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． 5．（24-25下·上海·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 其它问题题型05 1．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识．设点对应的数是，则点表示的数是：，点表示的数是：，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设点对应的数是， 数轴上每相邻两点相距一个单位长度， 点表示数位：，点表示的数是：，点表示的数是：， 又点、、、所表示的数分别是、、、，且， ， 解得：， 故选：D． 2．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】6x+14=8x 【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可． 【详解】解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x， 故答案是：6x+14=8x． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）七（1）班的同学参加植树活动，以下是该班级第2小组两位同学的对话，请根据对话内容求第2小组参与植树的人数． 【答案】8人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设第2小组参与植树的有x人，根据树的总棵数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第2小组参与植树的有x人，根据题意得： ， 解得：， 答：第2小组参与植树的有8人， 4．（2025·安徽宣城·一模）近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建快充桩与普充桩共计个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加，其中快充桩增加，普充桩增加，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？ 【答案】设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个，第二季度新建这两种充电桩的总量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个，第二季度新建这两种充电桩的总量为，根据题意得， 解得： ∴新建普充桩（个） 答：设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个 5．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口、温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为(整个接水的过程不计热量损失)． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于 温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯600的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为___________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯550的水，如果接水的时间一共是30秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求丙同学接温水的时间． 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒 (3)丙同学接温水所用时间为秒． 【分析】本题考查了有理数四则运算，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）根据“时间水的体积水的流速”列式计算即可； （2）设乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒，根据“先接温水，再接开水，得到一杯550的水，”列出方程求解，即可解题； （3）设丙同学接温水所用时间为秒，根据“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：（秒）， 故答案为：． （2）解：设乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒， 根据题意得：， 解得， 则（秒）， 答：乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒． （3）解：设丙同学接温水所用时间为秒， 根据题意得：， 解得， 答：丙同学接温水所用时间为秒． 动点问题题型01 1．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（    ） A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据数轴上的点平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加，利用有理数加减法法则计算即可． 【详解】解：根据题意，得0+3-7=-4． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上点的平移和数的大小变化规律． 2．数轴上点和点表示的数分别是和，点到两点的距离之和为，则点表示的数是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离，一元一次方程的应用，掌握其距离的计算方法，有理数的混合运算是解题的关键．根据数轴两点之间距离的计算方法分类讨论即可求解． 【详解】解：∵数轴上点和点表示的数分别是和， ∴之间的距离为， ∴点不可能再之间， ①当点在点左边，设表示的数为， ∴，， ∴，解得，； ②当点在点右边，设表示的数为， ∴，， ∴，解得，； 综上所述，点表示的数是或， 故选：D． 3．（25-26七年级·学情诊断）在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 4．（25-26七年级上·四川眉山·期中）数轴上有两点A、B，分别对应的数是5，，有一动点C在此数轴上运动，且使，则C点对应的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数轴，结合等量关系，列出方程解决问题．设点对应的数为，根据距离公式列出方程，分、、三种情况讨论，解方程并验证． 【详解】解：设点对应的数为，则，．由，得． ①当时，，，故，，方程化为，即，整理得，解得，符合． ②当时，，，故，，方程化为，即，整理得，解得，符合：． ③当时，，，故，，方程化为，即，整理得，解得，不符合，舍去． 故点对应的数为或， 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）已知数轴上A，B两点对应的数分别为和6，点P为数轴上一动点，对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数_____； (2)若点P在原点的左侧，且到点A，B的距离之和为16，求x的值； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)存在，x的值为或7 【分析】本题考查一元一次方程的应用、两点间的距离，熟练根据题意列出方程、分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． （1）根据线段中点的定义进行计算即可； （2）分情况讨论：当点在点的右侧或点在点的左侧时，根据两点间的距离列出方程，解方程即可； （3）分情况讨论，当点P在点A左侧或点P在点A和点B中间或点P在点B右侧时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由于点P为的中点， 则点P对应的数， 故答案为：2； （2）解：当点在点的右侧时， 根据题意得：， 则这种情况不存在； 当点在点的左侧时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，x的值为； （3）解：存在，理由如下： 当点P在点A左侧时，， 解得； 当点P在点A和点B中间时，， 则这种情况不存在； 当点P在点B右侧时，， 解得， 综上所述，x的值为或7． 根据方程的解探究可能性题型02 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了360亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成18亩,一架无人机每小时完成108亩 (2)可以完成，理由： 根据题意，得（亩）， 大于1000亩， 故可以完成． 【分析】（1）设一名工人每小时完成亩,一架无人机每小时亩,根据题意，得，解方程即可． （2）计算完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成亩,一架无人机每小时完成亩, 根据题意，得， 解得， 故． 答：一名工人每小时完成18亩,一架无人机每小时完成108亩． （2）略 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和10，动点P从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动． (1)动点P从点B运动到点C，一共需要______秒； (2)当点P运动t秒时，点P在数轴上对应的数为．______；（用含t的代数式表示） (3)经过多长时间，点Q能够追上点P？ (4)在整个运动过程中，P、Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由路程除以速度可得运动时间； （2）由运动中所对应的数为起点对应的数加上运动路程即可得到答案； （3）由当点Q运动t秒时，点Q在数轴上对应的数为；点P在数轴上对应的数为；结合相遇时，两数相等可得方程，再解方程即可； （4）由两点之间的距离公式可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和10， ∴动点P从点B运动到点C，一共需要（秒）； （2）解：当点P运动t秒时，点P在数轴上对应的数为； （3）解：当点Q运动t秒时，点Q在数轴上对应的数为； ∴， 解得：； ∴经过秒时间，点Q能够追上点P； （4）解：∵P、Q两点之间的距离为2个单位长度， ∴， 整理得：， 解得：或． 经检验：或都符合题意． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3) 能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：略． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 表示4与1差的绝对值，也可理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【理解应用】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离为__________； （2）数轴上表示和的两点A和B之间的距离表示为__________；如果A和B之间的距离表示为3，那么x为__________； （3）数轴上两点对应数分别为和4，M为数轴上一点，对应数为x．若M点到C点，D点距离和为，求x的值； 【拓展延伸】 （4）数轴上三点表示的数分别，若点E以（1单位/秒）的速度向左运动，同时，点F和点G分别以（3单位/秒）和（4单位/秒）的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点F与点G之间的距离表示为，点E与点F之间的距离表示为．请问：是否存在一个常数m使得的值不随着时间t的变化而改变？若存在，请求出m和这个不变化的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）或或；0或；（3）或6；（4）存在，；这个不变化的值为 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，有理数的加减运算，整式的加减运算，正确理解题意、明确数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式表示得，再由题列方程求解即可； （3）首先根据两点间的距离确定M点不在两点之间，再分别讨论M点在点的左边，和M点在点的右边两种情况，并根据距离公式列方程求解即可； （4）首先根据距离公式得出，，再将其代入得出，再令即可得出结论． 【详解】（1）和的两点之间的距离为． （2）数轴上表示和的两点A和B之间的距离表示为， 或或； A和B之间的距离表示为3， ， 或， 解得或． （3）两点对应数分别为和4， 之间的距离为， M点不在两点之间， 当M点在点的左边时，， 解得， 当M点在点的右边时，， 解得． （4）存在，；这个不变化的值为， 已知经过秒后，三点表示的数分别， ， ， ， 当时， 的值不随着时间t的变化而改变， 此时． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）将偶数2，4，6，8，10，……按下表方式排列．请观察表格，根据表格规律回答问题： 若记表示第m行第n个数，则表示第2行第5个数是22，记为． (1)________； (2)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于102？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (3)用含m，n的式子表示________． 【答案】(1)46 (2) 解：所覆盖的4个数之和不能等于102． 理由：设4个阴影格子中的数分别为、2n、、，（n为的整数）， 由题意可得， 解得， 因为n为的整数， 所以所覆盖的4个数之和不能等于102； (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示，一元一次方程的应用， 对于（1），根据第三行的最后一个数，依次增加可得答案； 对于（2），分别设这四个数，再根据和等于102得出方程，求出解，然后判断即可； 对于（3），先表示出第m行第n个数的代数式，再整理即可． 【详解】（1）解：46． 第三行的最后一个数是36，可知第四行的第一个数是38，第五个数是46． 故答案为：46； （2）略 （3）解：． . 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $