4.3 方程解决问题（2）同步练习 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

2025年苏科版七上数学第四章一元一次方程--4.3《方程解决问题2》 【知识梳理】 关于方程结构一般有ab=c与a+b=c两种结构。 1.如行程类关系是：时间×速度=路程，这就是ab=c结构 2.甲乙两个从相距10km的A、B同时出发，两地相向行，直到相遇。 则关系为 ：甲路程+乙路程=总路程，这就是a+b=c结构。 请你尽可能多的举例说明这两种结构 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？ 设车x辆，根据题意，等量关系是 可列出的方程 2．计划铺一条公路，甲单独做需8天完成，乙单独做需12天完成，现在甲先做2天，甲乙再合作x天，共完成整条公路的。 设 ，根据题意，等量关系是 可列出的方程 3．某车间有19名工人，每人每天可生产1200个螺钉或者2000个螺母，2个螺钉与3个螺母配成一套．为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺钉，可列出的方程 4．在250克浓度为40%的盐水中，只要加入（　　）克水，浓度就变成了25%． 设 ，根据题意，等量关系是 可列出的方程 5．一根绳子，围着一棵大树，如果绕10圈则剩3米，如果绕12圈又缺3米，那么绕8圈剩（　　）米． 设 ，根据题意，等量关系是 可列出的方程 6．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和？ 设 ，根据题意，等量关系是 可列出的方程 7．如图，将正方形纸片剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为5cm的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等． 设原正方形纸片的边长为xcm，等量关系是 题意可列方程为　 　 ． 8．如图，学校计划用长16m的篱笆围成一个面积为30m2的长方形菜地，菜地的一边利用墙．设菜地垂直于墙的一边长为xm，可列方程是 　 　 ． 9．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2024次相遇在边 　 　 上．（选填“AB，BC，CD，DA”） 10．如图，若图形的面积为24，则图中x的值为 　 　 ． 11．对于三个不相等的数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值．如：max{﹣1，0，2}＝2．按照这个规定，若max{x，2x，x+3}＝4，则x的值为 　 　 ． 12．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　 　 米． 设 ，根据题意，等量关系是 可列出的方程 13．一学生队伍以4千米/时的速度从学校出发步行前往某地参加劳动．出发半小时后，学校有紧急通知要传给队长，立即派了一名通讯员骑自行车以14千米/时的速度原路去追，该通讯员要用 　 　 小时才能追上学生队伍． 设 ，根据题意，等量关系是 可列出的方程 14．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 　 　 ． 15．探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．d＝|a﹣b|． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若m＝1，n＝﹣2，比较|p﹣m|与|p﹣n|的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 【典型例题】 1．某书店推行储值卡消费，购书达到规定消费金额，可享受相应的折扣优惠如下表： 消费金额 折扣 不超过150元的部分 9折 超过150元但不超过200元的部分 8折 超过200元的部分 7折 例如：购书的消费金额为260元，则采用储值卡消费需付费150×0.9+50×0.8+60×0.7＝217元． （1）若甲购书的消费金额为180元，则采用储值卡消费需付 　 　 元； （2）若乙购书的消费金额为m元（m＞200），则采用储值卡消费需付 　 　 元（用含m的代数式表示）． （3）甲、乙两人购书的消费金额合计300元（甲购书的金额超过乙）．若两人采用储值卡分别消费，则共需付费268元．求甲购书的消费金额为多少元？ 2．某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 120 B 19 1 112 C 18 2 104 （1）观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得 　 　 分，答错1道题得 　 　 分； （2）参赛者D得80分，他答对了几道题？ （3）参赛者E说他得了68分，你认为可能吗？为什么？ 3．某市滴滴快车调整了价格，规定车费由“总里程费+总时长费”两部分构成，具体收费标准如下表：（注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．） 时间段 里程费（元/千米） 时长费（元/分钟） 起步价（元） 06：00﹣10：00 1.80 0.80 14.00 10：00﹣17：00 1.45 0.40 13.00 17：00﹣21：00 1.50 0.80 14.00 21：00﹣06：00 2.15 0.80 14.00 （1）小明07：10乘快车上学，行驶里程5千米，时长10分钟，应付车费　 　 元； （2）小芳17：20乘快车回家，行驶里程1千米，时长15分钟，应付车费　 　 元； （3）小华晚自习后乘快车回家，20：45在学校上车由于道路施工，车辆行驶缓慢，15分钟后选择另外道路，改道后速度是改道前速度的3倍，10分钟后到家，共付了车费37.4元，问从学校到小华家快车行驶了多少千米？（列方程求解） 4．在购买足球赛门票时，设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为60元（总费用＝广告赞助费+门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： （1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为 　 　 ．方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为 　 　 ．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为 　 　 ． （2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【巩固练习】 1．甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程 ． 2.用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为 3．甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则可列出的方程 4．牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 5．某种商品的进价为100元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润16元。设标价为x元，可列方程为 6．如图，数轴上的点A和点B分别表示一7和5，点P是线段AB上一动点．点P从点A出发沿A→B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，C是线段AB的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过6秒）．若点P在运动过程中，当CP＝2时，则运动时间t的值为（　　） A．4 B．2 C．2或4 D．或 7．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用3小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时，已知轮船在静水中的速度为30千米/时，求水流的速度，若设水流的速度为x千米/时，则可列一元一次方程为　 　 ． 8．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A，B两地相距 　 　 千米． 9．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行19km，小明每小时骑行11km，他们完成全部行程所用的时间，小华比小明快30分钟．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为 　 　 ． 10．A、B两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，可列二元一次方程组为　 　 11．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． A．34 B．43 C．50 D．54 【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意列方程组得：， 解得：， ∴18×（2y+6）﹣6xy＝18×（2×3+6）﹣6×（9+3）＝54． ∴阴影部分的面积之和为54． 答：阴影部分的面积之和为54． 故选：D． 7．如图，将正方形纸片剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为5cm的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为xcm，根据题意可列方程为　4x＝5（x﹣4）　 ． 【解答】解：根据题意得：4x＝5（x﹣4）， 故答案为：4x＝5（x﹣4）． 8．如图，学校计划用长16m的篱笆围成一个面积为30m2的长方形菜地，菜地的一边利用墙．设菜地垂直于墙的一边长为xm，可列方程是 　（16﹣2x）x＝30　 ． 【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm，则另一边长为（16﹣2x）， 根据题意得：（16﹣2x）x＝30， 故答案为：（16﹣2x）x＝30． 9．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2024次相遇在边 AB 上．（选填“AB，BC，CD，DA”） 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当a＞b时，分三种情况： 同理，当a≤b时，d＝②　|b﹣a|　 ． 因为（a﹣b）+（b﹣a）＝③　0　 ，所以|a﹣b|＝|b﹣a|． 综上，d＝|a﹣b|． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若m＝1，n＝﹣2，比较|p﹣m|与|p﹣n|的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 【解答】解：（1）当a≤0，b＜0时，d＝|b|﹣|a|＝（﹣b）﹣（﹣a）＝a﹣b， 故①为|b|﹣|a|， 故答案为：|b|﹣|a|， 当a≤b时，同理可得d＝|b﹣a|， 故②为|b﹣a|， 故答案为： ∵（a﹣b）+（b﹣a）＝0， ∴|a﹣b|＝|b﹣a|， 故③为0． 故答案为：0． （2）①相等， 理由：|p﹣m|＝| m|＝||， |p﹣n|＝|n|＝||， ∴|p﹣m|＝|p﹣n|， ②|p﹣m|＝|p﹣1|，|p﹣n|＝|p+2|， 当p＜﹣0.5时，|p﹣1|＞|p+2|， 当p＝﹣0.5时，|p﹣1|＝|p+2|， 当p＞﹣0.5时，|p﹣1|＜|p+2|， （3）设小汽车位置为x，则|x﹣0|＞|x﹣k|且|x﹣0|＜|x﹣3|， 由|x|＞|x﹣k|得x； 由|x|＜|x﹣3|得x， ∴（千米）． 14．某书店推行储值卡消费，购书达到规定消费金额，可享受相应的折扣优惠如下表： 消费金额 折扣 不超过150元的部分 9折 超过150元但不超过200元的部分 8折 超过200元的部分 7折 例如：购书的消费金额为260元，则采用储值卡消费需付费150×0.9+50×0.8+60×0.7＝217元． （1）若甲购书的消费金额为180元，则采用储值卡消费需付 　159　 元； （2）若乙购书的消费金额为m元（m＞200），则采用储值卡消费需付 　（0.7x+35）　 元（用含m的代数式表示）． （3）甲、乙两人购书的消费金额合计300元（甲购书的金额超过乙）．若两人采用储值卡分别消费，则共需付费268元．求甲购书的消费金额为多少元？ 【解答】解：（1）150×0.9+30×0.8＝159（元） 故答案为：159； （2）150×0.9+50×0.8+（m﹣200）×0.7＝（0.7m+35）元， 故答案为：（0.7m+35）； （3）设甲购书的消费金额为x元， 当x≥200时，0.7x+35+0.9（300﹣x）＝268， 解得：x＝185（不合题意，舍去）， 当150＜x＜200时，0.9×150+0.8（x﹣150）+0.9（300﹣x）＝268， 解得：x＝170， 答：甲购书的消费金额为170元． 15．某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 120 B 19 1 112 C 18 2 104 （1）观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得 　6　 分，答错1道题得 　﹣2　 分； （2）参赛者D得80分，他答对了几道题？ （3）参赛者E说他得了68分，你认为可能吗？为什么？ 【解答】解：（1）由A参赛者知：对一题得120÷20＝6（分）， 由B参赛者知：112﹣19×6＝﹣2（分）， 故答案为：答对1道题得 6分，答错1道题得﹣2分； （2）设参赛者D答对了x道题， ∴6x﹣2（20﹣x）＝80， ∴x＝15． 故答案为：答对了15道题． （3）设参赛者E答对了m道题， ∴6m﹣2（20﹣m）＝68， ∴m， ∵m为整数， 故答案为：不可能． 16．2019年7月，某市滴滴快车调整了价格，规定车费由“总里程费+总时长费”两部分构成，具体收费标准如下表：（注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．） 时间段 里程费（元/千米） 时长费（元/分钟） 起步价（元） 06：00﹣10：00 1.80 0.80 14.00 10：00﹣17：00 1.45 0.40 13.00 17：00﹣21：00 1.50 0.80 14.00 21：00﹣06：00 2.15 0.80 14.00 （1）小明07：10乘快车上学，行驶里程5千米，时长10分钟，应付车费　17　 元； （2）小芳17：20乘快车回家，行驶里程1千米，时长15分钟，应付车费　14　 元； （3）小华晚自习后乘快车回家，20：45在学校上车由于道路施工，车辆行驶缓慢，15分钟后选择另外道路，改道后速度是改道前速度的3倍，10分钟后到家，共付了车费37.4元，问从学校到小华家快车行驶了多少千米？（列方程求解） 【解答】解：（1）应付车费＝1.8×5+0.8×10＝17（元）． 故应付车费17元． 故答案为：17； （2）小芳17：20乘快车回家，行驶里程1千米，时长15分钟，应付车费14元． 故答案为：14； （3）设改道前的速度为x千米/时，则改道后的速度为3x千米/时， 根据题意得 25×0.8+1.5（x）+2.15（3x）＝37.4， 解得 x＝12． ∴3x＝36． ∴12363+6＝9（千米）． 答：从学校到小华家快车行驶了9千米． 17．在购买足球赛门票时，设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为60元（总费用＝广告赞助费+门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： （1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为 　60x+10000　 ．方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为 　100x ．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为 　80x+2000　 ． （2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【解答】解：（1）60x+10000，100x，100×100+（x﹣100）×80＝80x+2000（3分） （2）设乙单位购买了a张门票 ①a不超过100， 60（700﹣a）+10000+100a＝58000 解得a＝150（舍去）（2分） ②a超过100， 60（700﹣a）+10000+80a+2000＝58000 解得a＝200 ∴700﹣a＝500 答：甲单位购买门票500张，乙单位购买门票200张（2分） 18．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程（　　） A． B． C． D． 【解答】解：可列方程：． 故选：A． 19．用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（　　） A．x﹣4＝2（x﹣1） B．x+4＝2（x﹣1） C．x﹣4＝2（x+1） D．x+4＝2（x+1） 【解答】解：∵木长x尺， ∴绳长为（x+4）尺， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ∴x+4＝2（x﹣1）， 故选：B． 20．甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设应从乙队调x人到甲队， 此时甲队有（96+x）人，乙队有（72﹣x）人， 根据题意可得：（96+x）＝72﹣x． 故选：C． 21．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 利润为每件（25﹣x）元． 每降价1元，每星期可多卖出5件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出5x件，现在的销量为（100+5x）． 根据题意得：（25﹣x）×（100+5x）＝1500， 故答案为：（25﹣x）×（100+5x）＝1500． 30．如图，若图形的面积为24，则图中x的值为 　4　 ． 【解答】解：根据题意得，（x+1）2﹣12＝24， ∴（x+1）2＝25， ∴x+1＝±5， 解得x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）， ∴图中x的值为4， 故答案为：4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $