5.2解一元一次方程（分层作业，18大题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 5.2 解一元一次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用移项或合并同类项解一元一次方程 题型02 利用去括号或去分母解一元一次方程 题型03 利用方程解决比例问题 B组 能力进阶 题型01 选用合适的方法解一元一次方程 题型02 一元一次方程的错解问题 题型03 一元一次方程的同解问题 题型04 一元一次方程的遮挡/污染问题 题型05 由两个一元一次方程的解之间的关系求字母 题型06 一元一次方程的整数解问题 题型07 一元一次方程的解与参数无关的问题 题型08 由一元一次方程有解无解情况求字母的值 题型09 整体代入法求一元一次方程的解 题型10 列一元一次方程求值 题型11 与方程的解结合求值 题型12 已知一元一次方程的解求参数 C组 思维拔高 题型01 解含绝对值的一元一次方程 题型02 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型03 利用方程解决数字规律问题 利用移项或合并同类项解一元一次方程题型01 1．解方程移项后正确的是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26七年级·河南洛阳·期中）写出一个解为5，且未知数的系数为2的一元一次方程________． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）若，则的值为___________． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一个方程是一元一次方程，则该方程的解_____． 5．（25-26七年级上·北京·期中）解方程：． 利用去括号或去分母解一元一次方程题型02 1．（24-25七年级上·甘肃武威·月考）下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．将方程的两边同乘________可得到，这种变形叫________，其依据是________________． 3．解方程： 4．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 5．已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解． 利用方程解决比例问题题型03 1．解方程或解比例. ①                      ② 2．（25-26下·上海·期中）求x的值： (1) (2) 选用合适的方法解一元一次方程题型01 1．（24-25七年级上·北京·期末）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 3．整式的值随取值的不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） －3 －2 －1 0 1 2 8 6 4 2 0 －2 A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若关于x的方程（其中a、b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解方程： (1)； (2)． 一元一次方程的错解问题题型02 1．解方程：，步骤如下： ①去括号，得． ②移项，得． ③合并同类项，得． ④系数化为1，得． 经检验，不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 3．小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，则原方程正确的解为_____． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）下面是小红同学解方程的过程： 解：去分母，得       第①步 去括号，得               第②步 移项，得                 第③步 合并同类项，得                    第④步 系数化为1，得                        第⑤步 根据小红的解答过程，回答下列问题： (1)从第________步开始出现错误(填序号)： (2)写出正确解方程的过程． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 一元一次方程的同解问题题型03 1．已知关于x的方程与的解相同，则k的值是（　　） A．﹣10 B．7 C．﹣9 D．8 2．如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 5．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 一元一次方程的遮挡/污染问题题型04 1．（25-26七年级上·吉林长春·月考）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是_____. 3．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）有一个一元一次方程：，其中“”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是______． 4．（24-25七年级·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 5．（24-25上·上海·期中）如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 由两个一元一次方程的解之间的关系求字母题型05 1．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期末）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）已知关于x的方程． （1）若，则代数式的值为_____ （2）已知关于x的方程的解比方程的解小6，则a的值为_____ 4．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求m的值． 一元一次方程的整数解问题题型06 1．（24-25七年级上·四川达州·月考）闹闹遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为23，则满足条件的x值最多有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为______． 4．已知关于x的方程． (1)若是方程的解，则a的值为___________； (2)若方程无解，则a的值为___________； (3)若方程的解是负数，则a的取值范围为___________； (4)若方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为___________． 5．（25-26上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 一元一次方程的解与参数无关的问题题型07 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是2，则的值为（    ） A．15 B．14 C．12 D．10 2．（24-25七年级上·江苏南通·月考）若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么______． 3．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 由一元一次方程有解无解情况求字母的值题型08 1．（24-25八年级下·上海·月考）若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 2．（24-25上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 3．阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为______． 5．若关于x的方程有无数个解，则的值为____． 整体代入法求一元一次方程的解题型09 1．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为___． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 3．（24-25七年级上·山西太原·月考）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为________． 4．解方程：． 列一元一次方程求值题型10 1．如果2(x+3)的值与-24互为相反数，那么x等于（     ） A．9 B．8 C．-9 D．-8 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）当_____________时，代数式与的值相等． 3．如图，是一个的幻方，当空格中填上适当的数后，下列每行每列以及每条对角线上的和都相等，则______. 4．已知代数式与代数式． (1)若两个代数式的值相等，求的值； (2)若代数式的值比代数式的值小5，求的值． 5．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 与方程的解结合求值题型11 1．（25-26七年级·河南信阳·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．7 B．8 C． D． 2．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 4．（25-26七年级上·期末）若是关于的方程的解，则的值为__________． 5．已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 已知一元一次方程的解求参数题型12 1．已知关于x的方程的解为，则a的值为（       ） A．1 B． C． D． 2．若关于x的方程的解是，则m的值是（    ） A．2 B．8 C． D． 3．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）当时，式子的值为3，则（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（2026·福建泉州·期末）关于x的方程的解为，则a的值为________． 5．（25-26七年级上·贵州·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，n为常数，且是该一元一次方程的解，求m和n的值． 解含绝对值的一元一次方程题型01 1．（25-26七年级上·云南昭通·月考）数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．3 2．若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．若，则_______ 4．（25-26上·山东济宁·月考）若，则________． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_________；表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么的值为_________． (3)若，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，求、两点之间的最大距离和最小距离． (4)满足的所有整数之和为_________． 与解一元一次方程有关的新定义问题题型02 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义新运算“”如下：；若，则______． 2．关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”．例如，方程与方程互为“轮换方程”． (1)方程与方程________互为“轮换方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“轮换方程”，求的值； (3)若关于x的方程与其“轮换方程”的解都是整数，且k也为整数，求多项式的值． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中） “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 5．（24-25七年级下·福建·月考）如果两个一元一次方程有唯一解，并且解的积为，我们称这两个一元一次方程互为“倒数解方程”，例如和互为“倒数解方程”． (1)若关于的方程与方程互为“倒数解方程”，则 ______． (2)若关于的一元一次方程与其互为“倒数解方程”的解均为整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解与方程互为“倒数解方程”，求关于的一元一次方程的解． 利用方程解决数字规律问题题型03 1．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：________． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为________；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为_______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.2 解一元一次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用移项或合并同类项解一元一次方程 题型02 利用去括号或去分母解一元一次方程 题型03 利用方程解决比例问题 B组 能力进阶 题型01 选用合适的方法解一元一次方程 题型02 一元一次方程的错解问题 题型03 一元一次方程的同解问题 题型04 一元一次方程的遮挡/污染问题 题型05 由两个一元一次方程的解之间的关系求字母 题型06 一元一次方程的整数解问题 题型07 一元一次方程的解与参数无关的问题 题型08 由一元一次方程有解无解情况求字母的值 题型09 整体代入法求一元一次方程的解 题型10 列一元一次方程求值 题型11 与方程的解结合求值 题型12 已知一元一次方程的解求参数 C组 思维拔高 题型01 解含绝对值的一元一次方程 题型02 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型03 利用方程解决数字规律问题 利用移项或合并同类项解一元一次方程题型01 1．解方程移项后正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据移项要变符号可得： 移项后2x-3x=8+4,故A、B、D选项错误，C选项正确. 故选C. 2．（25-26七年级·河南洛阳·期中）写出一个解为5，且未知数的系数为2的一元一次方程________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据要求构造方程即可. 【详解】解：由题意，可构造方程为（答案不唯一）. 3．（25-26七年级上·江苏·期中）若，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值．根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 故答案为：2或． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一个方程是一元一次方程，则该方程的解_____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义(未知数的次数为1且一次项系数不为，解答思路是先根据一元一次方程的定义求出参数的值，再将代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且． 由，得，即或； 由，得，故． 将代入原方程，得，即． 解方程，得； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·北京·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】解：移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得． 利用去括号或去分母解一元一次方程题型02 1．（24-25七年级上·甘肃武威·月考）下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．根据等式的性质2，A方程的两边都乘以6，B方程的两边都乘以4，C方程的两边都乘以15，D方程的两边都乘以6，去分母后判断即可． 【详解】解：A．由，得，此选项错误； B．由，得，此选项错误； C．由，得，此选项错误； D．由，得，此选项正确； 故选：D． 2．将方程的两边同乘________可得到，这种变形叫________，其依据是________________． 【答案】 12 去分母 等式的性质2 【分析】本题考查解一元一次方程的去分母，根据去分母的步骤及依据进行解答． 【详解】解：将方程的两边同乘12，可得到，这种变形叫去分母，其依据是等式的性质2． 故答案为：12；去分母；等式的性质2 3．解方程： 【答案】−10 【分析】分别按照一元一次方程的解法进行即可，即有去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 【详解】去括号得：2x−4−12x+3=9−9x， 移项得：2x−12x+9x=9+4−3， 合并同类项得：−x=10， 解得：x=−10； 【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则. 4．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握．解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（a为常数）的形式． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 方程可变形为， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：． 5．已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解． 【答案】 【分析】先求出方程的解，将解代入求出m，将m的值代入求得方程的解. 【详解】解方程：，得x=1， ∵方程与有相同的解， ∴将x=1代入，得3（1+m）=m-1， 解得m=-2， 将m=-2代入， 得 2（3+2y）=3（-2-3y） 解得. 【点睛】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键. 利用方程解决比例问题题型03 1．解方程或解比例. ①                      ② 【答案】①； ② 【分析】本题考查了解一元一次方程和解比例，掌握解一元一次方程方法是解题得关键． （1）移项后系数化1即可； （2）利用比例的性质把方程化为 ，系数化1即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， ， 系数化为1得：； （2）， 变形得：， 系数化为1得：． 2．（25-26下·上海·期中）求x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题利用比例的基本性质，即比例的两个内项的乘积等于两个外项的乘积，将给出的比例式转化为一元一次方程，再通过解一元一次方程得到所求的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 选用合适的方法解一元一次方程题型01 1．（24-25七年级上·北京·期末）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．方程可化为，观察表即可求得方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表知，当时，的值为， 所以方程的解为， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键根据表格确定出方程的解即可． 【详解】解：观察表格可知当时，，， ∴， ∴当时， 则关于x的方程的解是， 故选C． 3．整式的值随取值的不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） －3 －2 －1 0 1 2 8 6 4 2 0 －2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解， 将方程变形为，再利用表格中时求得，从而 ，设其等于4得，最后从表格中查找使的值． 【详解】解：∵方程可变形为， 又由表格，当时， 即， ∴， 于是， 设，则， ∴， 从表格中，当时， ∴方程的解为． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若关于x的方程（其中a、b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．由已知方程的解求出与的关系，再代入新方程求解． 【详解】解：∵关于的方程（）的解是， ∴，即， 将代入方程， 得， 即， ∵， ∴两边同时除以，得， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）根据方程的特点得到，得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： ∴方程的解为． 一元一次方程的错解问题题型02 1．解方程：，步骤如下： ①去括号，得． ②移项，得． ③合并同类项，得． ④系数化为1，得． 经检验，不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据解一元一次方程的方法找出错误的过程即可． 【详解】第②步2x从方程右边移到左边时没有变号，错误． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 【详解】解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 3．小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，则原方程正确的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， 正确方程为：， 去分母得：， 解得：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）下面是小红同学解方程的过程： 解：去分母，得       第①步 去括号，得               第②步 移项，得                 第③步 合并同类项，得                    第④步 系数化为1，得                        第⑤步 根据小红的解答过程，回答下列问题： (1)从第________步开始出现错误(填序号)： (2)写出正确解方程的过程． 【答案】(1)②； (2) 解：去分母，得； 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为，得． 【分析】本题考查一元一次方程的解法，关键是掌握去括号的法则：当括号前是负号时，去掉括号后括号内的每一项都要变号． （1）逐一排查小红的解题步骤，重点关注去括号环节的符号变化，确定错误的起始步骤； （2）按照一元一次方程的标准解法流程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步完成正确求解． 【详解】（1）解：观察小红的解答过程，第②步去括号时，对展开，根据去括号法则，应该得到，而小红写成了，符号处理错误，故从第②步开始出现错误； 故答案为：②． （2）略 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2) 解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）略 一元一次方程的同解问题题型03 1．已知关于x的方程与的解相同，则k的值是（　　） A．﹣10 B．7 C．﹣9 D．8 【答案】D 【分析】由可得，然后根据题意可整体代入到方程中，求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵方程与的解相同， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了方程的解和一元一次方程的解法，正确理解题意、灵活应用整体思想是关键． 2．如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法和解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键； 先解出，再把方程的解代入，即可求出k的值． 【详解】解：解方程，得 ． 将代入中，得 ， 解得， 的值是． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得m的值． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴ 解得， 则原一元一次方程为， 解得， ∵两个方程同解， ∴， 解得； （2）解：把，代入， 得：， 即， ∵关于的方程无解， ∴ 解得． 5．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据定义进行判断即可； （2）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 一元一次方程的遮挡/污染问题题型04 1．（25-26七年级上·吉林长春·月考）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握方程的解的定义是解题的关键． 设被污染的常数为，将代入方程，得到关于的方程，从而可求得的值． 【详解】解：设被污染的常数为， ∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得，， 解得， 故被污染的常数是2． 故选：B． 2．方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是_____. 【答案】4 【分析】把x=2代入原方程即可解出▲的值． 【详解】把x=2代入原方程得， 解得：▲处为4． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）有一个一元一次方程：，其中“”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被污染的常数为x，根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：设被污染的常数为x，则方程为． 将代入方程得：，即， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、未知数系数化为1． （1）代入，解方程即可； （2）设常数为y，把代入解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：设常数为y，把代入得：， 解得：． 5．（24-25上·上海·期中）如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第四次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 【答案】(1)0 (2)2 (3)或； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）设第三个数为，根据题意一步步计算，最后得到，解得； （3）假设第一步运算后的四个数为，则根据定义计算结果用代数式表示为，要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大，则，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 第一次运算：，，， ∴第一次运算后四个数为，，0，0； 第二次运算：，，， ∴第二次运算后三个数为，0，0； 第三次运算：，， ∴第三次运算后两个数为0，0； 第四次运算： 则运算结果“”中数为0， 故答案为：0； （2）解：设第三个数为，根据题意得 第一次运算：， 则第一次运算的结果：， 第二次运算：， 第二次运算的结果：，，， 第三次运算：， 第三次运算结果：，， ∴ 解得： ∴第三个数“”为2； （3）解：假设第一步运算后的四个数为，则有： 要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大， 则， 则有①；②；③；④；⑤；⑥ 当①时，求得分别为，则代入得； 当②时，求得分别为，则代入得； 当③时，求得分别为，则代入得； 当④时，求得分别为，则代入得； 而⑤⑥中求得，则肯定不是最大， 经比较得当时，最后结果最大且为， 当然倒叙排列结果是一样的，即， 故答案为：或；． 由两个一元一次方程的解之间的关系求字母题型05 1．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期末）已知关于x的方程的解和方程的解互为相反数，则a的值是（   ） A．6 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出第二个方程的解，根据相反数关系得到第一个方程的解，代入第一个方程求解即可． 【详解】解：∵ 方程 的解为 ， ∴ 方程 的解为 ， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）已知关于x的方程． （1）若，则代数式的值为_____ （2）已知关于x的方程的解比方程的解小6，则a的值为_____ 【答案】 4 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）将代入方程可求出的值，再代入计算即可得； （2）先分别求出两个方程的解，再根据它们的解的关系建立一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）将代入方程得：， 解得， ∴， 故答案为：4． （2）， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． ， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． ∵关于的方程的解比方程的解小6， ∴， 方程两边同乘以2去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 4．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 【答案】 【分析】本题需要先分别求解两个关于的方程，再根据两个方程解的关系列出关于的方程，进而求出的值． 【详解】解：①求解方程 移项可得： 合并同类项得：. ②求解方程 去括号得： 移项可得： 合并同类项得：. ③根据两个方程解的关系列方程求解 已知方程的解比方程的解大 则： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，解题关键是分别求出两个方程的解，再根据解的关系列出关于的方程． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．首先解得第二个方程的解，然后根据倒数的定义将代入第一个方程来求m的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 关于x的方程与方程的解互为倒数，且， 是方程的解， 代入得：， ， ， ， ， 解得：． 一元一次方程的整数解问题题型06 1．（24-25七年级上·四川达州·月考）闹闹遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为23，则满足条件的x值最多有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，根据题意，列出相应的方程并掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 根据题意可知，若输入x，则输出，又分两种情况考虑，大于20，输出答案；否则重新输入，根据题意可建立方程求得结果． 【详解】解：根据题意知，输入x，则直接输出，则 当时，； 当时，； 当时，． ∵x为正整数，因此符合条件的一共有2个数，分别是3，8． 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法． 先求解方程得到，由为整数且为整数，可知是8的约数，且与5之和为偶数以保证为整数，从而找出所有满足条件的值并求和． 【详解】解： ， 去括号得： ， 移项得： ， 即， ∴ ． ∵ 为整数，∴ 为偶数，即为奇数． 又∵ 为整数， ∴ 是8的约数，8的约数中奇数只有．即． 当时，； 当时，． ∴满足条件的值为2和3，和为． 故选D． 3．（25-26七年级·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为______． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 4．已知关于x的方程． (1)若是方程的解，则a的值为___________； (2)若方程无解，则a的值为___________； (3)若方程的解是负数，则a的取值范围为___________； (4)若方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题是含有参数的方程，方程可化为,要根据的取值情况对方程的解进行分类讨论. （1）已知方程的解为，把解代入原方程即可求出a的值； （2）方程无解说明是; （3）方程的解是负数说明; （4）方程有非负整数解说明，且能整除-4 ． 【详解】（1）解：方程可化为, 把代入，， 解之得：， 故答案为：． （2）解：∵方程无解， ∴, ∴， 故答案为：． （3）解：因为方程的解是负数， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：∵方程有非负整数解， ∴，且能整除 ． ∴为，，. ∴的值为，，. 所以整数的所有可能的取值和为. 故答案为：2． 【点睛】本题是含有未知参数的方程，求它的解需要进行分类讨论． 5．（25-26上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，为使m最大，应取最大的、而且是7的倍数的负数，即，进而得解． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为． 一元一次方程的解与参数无关的问题题型07 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是2，则的值为（    ） A．15 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键．先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，，易求a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得 ∵该等式对任意成立， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南通·月考）若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，方程的解；方程去分母，再把方程的解代入整理得，由题意即可求得n的值． 【详解】解：方程两边同乘6，得：； 由于关于的方程，无论为任何数时，它的解总是， 则是的解， 所以， 即； 由于为任何数，则， 解得：； 故答案为：． 3．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 由一元一次方程有解无解情况求字母的值题型08 1．（24-25八年级下·上海·月考）若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据方程无解，可知含的系数为，常数不为，据此求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当，时，方程有无数个解， 当，时，方程无解， 当时，方程有唯一解， 故选：B． 2．（24-25上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．需要对的取值进行分类讨论：和两种情况． 【详解】解：当，时，方程有无数个解； 当，时，方程只有一个解． 综上所述，方程的解只有一个解或无数个解． 故选：C． 3．阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，对进行化简，得，根据该方程无解，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， 约分，得， ∵该方程无解， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．若关于x的方程有无数个解，则的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解、等式的性质，根据方程有无数个解的条件是化简后x的系数和常数项均为0求解即可． 【详解】解：将方程两边同乘6得：， 移项整理得：， ∵方程有无数个解， ∴令x的系数和常数项均为0，得，， 解得：，， 故． 故答案为：3． 整体代入法求一元一次方程的解题型09 1．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为___． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键． 比较两个方程的形式，可知第二个方程中的相当于第一个方程中的，根据第一个方程的解，直接得到，从而求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程为满足， 解得． 故答案为：0． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，进而得到求解，即可解题． 【详解】解：，解为， ， ， ， 即， 有， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山西太原·月考）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解一元一次方程的运用，找出规律，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据题意，设，则原式变形得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 整理得，， 解得，， 故答案为： ． 4．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 利用去括号，移项法解方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 列一元一次方程求值题型10 1．如果2(x+3)的值与-24互为相反数，那么x等于（     ） A．9 B．8 C．-9 D．-8 【答案】A 【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：2（x+3）-24=0， 去括号得：2x+6-24=0， 解得：x=9， 故选：A． 【点睛】此题考查了相反数的含义，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）当_____________时，代数式与的值相等． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴ 解得 故答案为： 3．如图，是一个的幻方，当空格中填上适当的数后，下列每行每列以及每条对角线上的和都相等，则______. 【答案】231 【分析】设出第一行和第二行的未知数，然后根据每行每列以及每条对角线上的和都相等，列出等式，再根据等量代换的方法求解． 【详解】解：设第一行第一列的数为a，第一行第三列的数为b，第二行第一列的数为c，中间数为d，如下： 根据每行、每列以及每条对角线的数字的和都相等可得： ①， ②， ①+②得： ， 去括号得： ， 即 ， ∴， ∴． 故答案为：231． 【点睛】本题考查了幻方，根据每行每列以及每条对角线上的和都相等列式是解题的关键． 4．已知代数式与代数式． (1)若两个代数式的值相等，求的值； (2)若代数式的值比代数式的值小5，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据两个代数式的值相等列方程求解即可； （2）根据“代数式的值比代数式的值小5”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：由题意可得，， 移项，得， 合并同类项，得． 5．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)3， (2)或 (3)和 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）找出表示的点与9表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）分点在小之间和点右侧两种情况解答； （3）先求出A，两点之间距离和连续对折5次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． 【详解】（1）解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； （2）解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ①点在线段上时，， 解得：； ②当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； （3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 与方程的解结合求值题型11 1．（25-26七年级·河南信阳·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义和代数式的整体代入求值，关键是利用方程的解得到关于、的关系式，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， ∴； 故选：C． 2．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】2030 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，把代入，得到，再利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴； ∴； 故答案为：2030 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】把代入原方程求出的值，根据可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·期末）若是关于的方程的解，则的值为__________． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键． 将代入方程中，得到，再通过代数变形求值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ ∴． 故答案为：21． 5．已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值等知识，理解一元一次方程中的“一元”和“一次”的意义是解答本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程，解出a、b； （2）将（1）中a的值代入关于x的方程求出m的值，再将a、b、m的值代入所求等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）把代入方程，得， 解得， 原式． 已知一元一次方程的解求参数题型12 1．已知关于x的方程的解为，则a的值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，将方程的解代入已知方程中求解即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 解得， 故选：B． 2．若关于x的方程的解是，则m的值是（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入方程得出关于的一元一次方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，把方程的解代入方程，可得关于的一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：把代入方程， 得． 解得． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）当时，式子的值为3，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 将代入式子，并令其等于3，解方程求a即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2026·福建泉州·期末）关于x的方程的解为，则a的值为________． 【答案】 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程 得 整理得 移项合并同类项得 解得． 5．（25-26七年级上·贵州·月考）已知关于x的方程是一元一次方程，n为常数，且是该一元一次方程的解，求m和n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此列式求出m的值，再把代入原方程求出n的值即可． 【详解】解：因为关于x的方程是一元一次方程， 所以， 所以， 所以该一元一次方程是． 因为是该方程的解， 所以， 所以． 解含绝对值的一元一次方程题型01 1．（25-26七年级上·云南昭通·月考）数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点的距离问题，解题的关键是根据数轴上两点间距离公式列方程． 根据数轴上两点距离公式，设该点表示的数为，则，解绝对值方程即可得出结果． 【详解】解：设该点表示的数为， 点到点的距离为3， ， 或， 或， 数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是或． 故选：． 2．若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了含有绝对值的一次方程解法，熟练掌握绝对值代数意义是关键． 根据绝对值的代数意义进行分析判断即可． 【详解】解；∵， 或， 则或， ∵关于的方程有三个解， ∴或，即， ∵， ∴， ∴． 此时或，即或或， ∴或或符合题意， ∴． 故选：D． 3．若，则_______ 【答案】或 【分析】利用绝对值的性质去绝对值符号，即可得出答案． 【详解】∵， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值方程，关键是掌握正确去掉绝对值符号． 4．（25-26上·山东济宁·月考）若，则________． 【答案】或6 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的意义，方程可化为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或6． 故答案为：或6． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_________；表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么的值为_________． (3)若，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，求、两点之间的最大距离和最小距离． (4)满足的所有整数之和为_________． 【答案】(1)3；4 (2)1或 (3)A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2 (4)9 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式进行解答即可； （2）根据绝对值的意义，解绝对值方程即可； （3）根据绝对值的意义和数轴上两点之间距离公式进行解答即可； （4）根据所表示的意义，求出满足条件的a的值，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；表示和2两点之间的距离是：； （2）解：∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵，， ∴或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 当，时，则A、B两点间的最小距离是， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2． （4）解：∵表示数轴上表示数a的点到表示和这两个点之间距离之和， 又∵数轴上表示和5的两点之间的距离为：， ∴当数轴上表示数a的点位于与5之间时，， 即当时，， ∴整数a的值为：，，，0，1，2，3，4，5， ∴满足的所有整数之和为： ． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间距离公式． 与解一元一次方程有关的新定义问题题型02 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义新运算“”如下：；若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：3． 2．关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”．例如，方程与方程互为“轮换方程”． (1)方程与方程________互为“轮换方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“轮换方程”，求的值； (3)若关于x的方程与其“轮换方程”的解都是整数，且k也为整数，求多项式的值． 【答案】(1) (2)7 (3)4或64 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，整式加减运算，能够正确理解概念是解题的关键． （1）根据“轮换方程”的定义直接可得答案； （2）根据“轮换方程”得出，求出、的值，直接代入即可得出答案； （3）关于x的方程与其“轮换方程”的解都是整数，且k也为整数，求出，再将代入求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得：方程与方程互为“轮换方程”； （2）解：∵关于的方程与方程互为“轮换方程”， ∴ 解得： ∴； （3）解：关于的方程的“轮换方程”为：， 由方程得：， 由方程得：， ∵关于x的方程与其“轮换方程”的解都是整数，且k也为整数， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述：多项式的值为或． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，列方程即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中） “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的加减计算含乘方的有理数混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据新定义用含x的式子表示出m、n，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 5．（24-25七年级下·福建·月考）如果两个一元一次方程有唯一解，并且解的积为，我们称这两个一元一次方程互为“倒数解方程”，例如和互为“倒数解方程”． (1)若关于的方程与方程互为“倒数解方程”，则 ______． (2)若关于的一元一次方程与其互为“倒数解方程”的解均为整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解与方程互为“倒数解方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解， 理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键． （1）解方程得到和根据“倒数解方程”的定义求出的值； （2）解方程求出，则与方程 互为“倒数解方程”的解为 ，再根据与均为整数得或，由此可得出整数的值； （3）解方程，则方程的解为代入得 ，求出，再将 代入方程得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程， 得： ， 解方程， 得： ， 根据“倒数解方程”的定义得：， 解得： ， 故答案为：； （2）解：解方程， 得：， 的倒数为， ∴与方程互为“倒数解方程”的解为：， 与均为整数， ∴或， 由， 解得： ， 由， 解得： ， 综上所述：整数的值为或； （3）解：解方程， 得： ， 根据“倒数解方程”的定义得：方程的解为：， 将代入，得：， ∴， ∵， ， ∴， 解得：， ∴， 将代入方程，得： ∴， ∴， 整理得：：， ， ． 利用方程解决数字规律问题题型03 1．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律是解此题的关键． 先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律得出答案即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为的方程为： ， 即， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为________；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，，计算可求，由图可知向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：；由，可知，为真分数，则与在同一层，同一分支上的数为，可知第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为，同理可得，第7层的数为，第6层的数为，第5层的数为，由图可知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由图可知，， 解得，； 向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：； ∵， ∴，为真分数， ∴与在同一层，同一分支上的数为， ∴第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第7层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第6层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第5层的数为， 由图可知，， 解得，， ∴， 故答案为：，． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $