6.3.3余角和补角（分层作业，7大题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 6.3.3 余角和补角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个角的余角 题型02 求一个角的补角 题型03 与余角、补角有关的计算 题型04 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型05 找出图形中互余或互补的角 B组 能力进阶 题型 余角和补角·综合应用 C组 思维拔高 题型 余角和补角·创新性问题 求一个角的余角题型01 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南·期末）若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）对于余角有下列三种说法：①角的余角的度数是；②互为余角的两个角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 5．已知，则的余角的度数为__________． 6．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）已知一个角是，则它的余角是_____． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如果，那么的余角为________； 8．（25-26七年级·质检）①比较大小：_____（填“”或“”）． ②一个角是，它的余角是_____． 求一个角的补角题型02 1．（25-26七年级上·期末）已知一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 2．下列结论中不正确的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角． B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，那么． D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度． 3．如图，是直线上一点，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级·期末）一副三角板按如图所示方式摆放，则的补角为（ ） A． B． C． D． 5．已知一个角的补角是，则这个角的度数是________ 6．若，则它的补角大小为___________． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·学情自测）如果与互补，与互补，且，，那么____． 8．（25-26七年级上·云南昭通·期末）如图，是直线上一点，， 则______． 与余角、补角有关的计算题型03 1．一个角的补角为，则这个角的余角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于点O，已知， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的个数有（   ） ①射线与射线表示同一条射线；②互余且相等的两个角都是；③若，，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知，则的余角的度数为_______度，的补角的度数为______度． 5．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的补角的度数是________. 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 7．如图，O是直线上一点，． (1)图中与互余的角是________（写出所有符合条件的角）； (2)若，求的度数． 8．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 同（等）角的余（补）角相等的应用题型04 1．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中与相等（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则 A． B． C． D． 3．如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26七年级上·质检）课堂上，同学们在探究“与”之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是________． 因为， 所以（________） 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 6．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 7．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如上图，若直角三角板的一边放在射线上，则_______； (2)如上图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分，则_______； ②若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系； (3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 8．（25-26七年级上·期末）设，（，），，分别是的角平分线，记．如果互补，或者互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图1，，在内，．分别作、的角平分线，．_____°，，_____一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，有两种情况，如图、图所示，且，是一对“分补角”，求的值； (3)若，当在外部时，和是一对“分补角”，直接写出的度数． 找出图形中互余或互补的角题型05 1．将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 2．如图，点A，O，B在一条直线上，．若，则图中互余的角有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 3．（25-26七年级·质检）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是 （   ） A．与互余 B． C． D．恢复原形后，与互补 4．如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 __． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论_________（填序号） 6．如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 7．（25-26七年级·期末）如图，点A，O，E在同一直线上，，，平分． (1)请写出图中与互补的角为： ， 与互补的角为： ． (2)求的度数，并指出与互余的角． 8．（25-26七年级上·期末）如图，点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)若，写出图1中的余角：_____，的补角：_____； (2)如图2，是的平分线，是的平分线， ①若，求的度数； ②设，直接用含的代数式表示的度数． 余角和补角·综合应用题型 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）一个角的余角是，则这个角的补角的度数是______． 3．（25-26七年级上·河南南阳·联考）人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为．若，则的度数为______． 4．若一个角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为______． 5．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）若，则的余角用度、分、秒的形式表示为______． 6．（25-26七年级上·江苏·月考）如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 7．下列说法中错误的有（    ）． （1）一个锐角的余角比这个角大； （2）一个锐角的补角比这个角大； （3）一个钝角的补角比这个角大； （4）直角没有余角，也没有补角； （5）同角或等角的补角相等； （6）若与互余，与互余，则与也互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级·期末）如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 余角和补角·创新性问题题型 1．如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是_____．（填序号） 2．（25-26七年级·江苏宿迁·期末）定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“余角”；若两个角的和为，则称这两个角互为“补角”． (1)若，则的余角为　　　，补角为　　　； (2)若一个角的补角比它的余角的倍少，求这个角的度数； (3)如图，已知是直角，也是直角，且（）． ①请直接写出图中所有互余的角（除和外）； ②试说明与互补． 3．（25-26七年级上·山西晋城·月考）综合与探究 问题情境： 已知，，都是位于内的射线，与互余． 独立思考： (1)数学活动课上，老师先提出一个问题：如图1，若，求的度数．请解答老师提出的问题． 深入探究： (2)如图2，平分，平分，求的度数． 问题解决： (3)若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 4．定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部． (1)如果，求的度数； (2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________． 5．（24-25七年级上·河南南阳·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 6．（25-26七年级上·期末）【基础感知】 如图1，点为线段上一动点，，若点从点出发向点运动，到达点后，再转向点运动，，如此反复．在点的运动过程中，点运动1个单位长度后到达点，即；再运动2个单位长度后到达点，此时；再运动3个单位长度后到达点，，以此类推． （1）求_____，_____； 【迁移应用】 如图2，点是直线上一点，线段从射线的位置开始绕点向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转，，如此反复．在线段的旋转过程中，从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从旋转角度至，，以此类推． 例如：当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4次旋转到后弹回，即，而恰好与重合． （2）若，，，的位置如图4所示，求的度数； （3）若，且所在的射线平分，在如图5中画出，，，，并求出的值； （4）若且，直接写出所有的取值． 7．定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 8．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.3.3 余角和补角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个角的余角 题型02 求一个角的补角 题型03 与余角、补角有关的计算 题型04 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型05 找出图形中互余或互补的角 B组 能力进阶 题型 余角和补角·综合应用 C组 思维拔高 题型 余角和补角·创新性问题 求一个角的余角题型01 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：B． 2．（24-25七年级上·云南·期末）若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是， 故选：A． 3．下列说法错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，所以，选项说法正确，不符合题意； B、因为，所以，选项说法正确，不符合题意； C、因为，所以，选项说法正确，不符合题意； D、由，不能得出，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）对于余角有下列三种说法：①角的余角的度数是；②互为余角的两个角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的定义和性质，根据余角的定义的性质一一判断即可． 【详解】解：①角的余角的度数是：，故①错误， ②当两个角都是时，它们互余且相等，故②错误， ③同角或等角的余角一定相等，故③正确， 故正确的说法有1种， 故选：A 5．已知，则的余角的度数为__________． 【答案】或60度 【分析】根据互为余角的两个角的和等于计算即可． 【详解】解：， 它的余角． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的知识，熟记互为余角的两个角的和等于是解题的关键． 6．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）已知一个角是，则它的余角是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角，解决本题的关键是熟记互为余角的两个角的和等于． 根据互为余角的两个角的和等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如果，那么的余角为________； 【答案】 【分析】此题考查了余角，根据余角的定义，两个角的和为，因此的余角等于减去． 【详解】∵， ∴的余角． 故答案为：． 8．（25-26七年级·质检）①比较大小：_____（填“”或“”）． ②一个角是，它的余角是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求余角，①比较两个负数的大小，需比较其绝对值，绝对值大的负数反而小；②根据余角的定义，两个角之和为时互为余角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①，， ∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 故答案为：． 求一个角的补角题型02 1．（25-26七年级上·期末）已知一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义． 利用互为补角的两个角的和为进行计算即可． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为， ∴这个角的补角为， 故选：A． 2．下列结论中不正确的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角． B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，那么． D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度． 【答案】A 【分析】此题考查的是对角的性质的理解，根据余角、补角的性质、同角的余角相等的性质进行判断即可． 【详解】解：A、角的补角等于这个角，故原说法错误，符合题意； B、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，故原说法正确，不符合题意； C、若，那么，故原说法正确，不符合题意； D、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，故原说法正确，不符合题意． 故选：A． 3．如图，是直线上一点，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的计算，利用平角的定义可得，然后利用度分秒的进制进行计算即可解答．熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【详解】解：， ． 故选：B． 4．（24-25七年级·期末）一副三角板按如图所示方式摆放，则的补角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角，三角板中的角度计算，由三角板可得，，从而利用角的和差关系求出，然后利用补角的定义进行计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角板可得，， ， 的补角， 故选：． 5．已知一个角的补角是，则这个角的度数是________ 【答案】 【详解】解：由题意，这个角的度数为. 6．若，则它的补角大小为___________． 【答案】 【分析】根据互为补角的两角和为解答即可． 【详解】 的补角大小为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了补角的定义，解题的关键是熟悉互为补角的两角和为． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·学情自测）如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【详解】解：与互补，与互补， ，， ， ， 又， ． 8．（25-26七年级上·云南昭通·期末）如图，是直线上一点，， 则______． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，由题意得，再把代入即可求解， 掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是直线上一点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 与余角、补角有关的计算题型03 1．一个角的补角为，则这个角的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为补角的定义求出此角，然后再根据余角的定义求出答案即可． 【详解】这个角是，180°-138°=42°， 这个角的余角是，90°-42°=48°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了补角和余角，熟练掌握补角和余角的定义是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于点O，已知， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板角的计算，熟知直角三角板的特点是解题的关键．由题意可得：，先根据角的和差求得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，是一副直角三角板， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．下列说法正确的个数有（   ） ①射线与射线表示同一条射线；②互余且相等的两个角都是；③若，，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了射线的表示，余角的定义，等角的补角相等，角度的换算；利用射线的定义，度分秒的换算及余角和补角的定义判定即可． 【详解】解：①射线与射线表示不同的射线，端点不同，故该选项不正确，不符合题意； ②互余且相等的两个角都是．故该选项正确，符合题意； ③若，，则．故该选项正确，符合题意； ④．，故该选项不正确，不符合题意； 所以说法正确的个数是个， 故选：B． 4．已知，则的余角的度数为_______度，的补角的度数为______度． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，求一个角的补角等知识点，熟练掌握互余和互补的定义是解题的关键：两角之和为，则两角互余；两角之和为，则两角互补． 根据互余和互补的定义即可得出答案． 【详解】解：， 的余角， 的补角， 故答案为：，． 5．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的补角的度数是________. 【答案】 【分析】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵OA是表示北偏东63°方向的一条射线，OB是表示南偏东39°12′方向的一条射线， ∴∠AOB=180°-63°-39°12′=77°48′， ∴∠AOB的补角的度数是180°-77°48′=102°12′． 故答案是：102°12′． 【点睛】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题考查与余补角有关的计算，设这个角的度数为，根据余补角的定义，结合题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意，得： ， 解得：； 故这个角的度数为． 7．如图，O是直线上一点，． (1)图中与互余的角是________（写出所有符合条件的角）； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互余的含义可得答案； （2）设，由，，即可得到相对应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知： ∴与互余的角是． 故答案为：． （2）设， ∵， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴的度数为． 【点睛】本题考查互余的含义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练掌握是解决本题的关键． 8．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30 【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数． （2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可； （3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间． 【详解】解：（1）∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∵∠AOC=α＝30°， ∴∠EOC=90°-30°=60°， ∠AOD=180°-30°=150°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°； 故答案为：60，75； （2）当，． 设当射线与射线重合时至少需要t秒， 可得，解得：； 答：当射线与射线重合时至少需要秒； （3）设射线转动的时间为t秒， 由题意得：或或或， 解得：或12或21或30． 答：射线转动的时间为3或12或21或30秒． 【点睛】本题考查平角的定义、角的和差计算与互为补角的应用，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论． 同（等）角的余（补）角相等的应用题型04 1．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中与相等（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的余角相等，补角定义，和平角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、＋＝180°−90°＝90°，互余，故选项A不合题意； B、设的余角为， ∴ ∵ ∴， ∴＝； 故选项B符合题意； C、根据同角的余角相等， ＋＝180°-90°＝90°，互余，故选项C不合题意； D、＋＝180°，互补，故选项D不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了余角和补角、平角定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 2．如图，，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 3．如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由OF平分∠BOC，OG平分∠BOD，∠COD=90°，可得结论①；由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB=180°，可得结论②；由∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°，代入∠AOC-∠BOD可得结论④；由结论④可得∠EOC=∠GOD+45°，代入∠EOG=∠EOC+∠COG可判断结论③． 【详解】解：OF平分∠BOC，则∠BOF=∠COF， OG平分∠BOD，则∠BOG=∠DOG， ∵∠COD=∠COB+∠BOD=90°， ∴（∠COB+∠BOD）=45°， ∴∠FOB+∠BOG=∠FOG=45°，故①正确； OE平分∠AOC，则∠AOE=∠EOC， ∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°， ∴（∠AOC+∠COB）=90°， ∴∠AOE+∠FOB=90°，故②正确； ∵∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°， ∴∠AOC-∠BOD=180°-∠COB-∠BOD=180°-（∠COB+∠BOD）=90°， 故④正确； ∠AOC-∠BOD=90°，则（∠AOC-∠BOD）=45°， ∴∠EOC-∠GOD=45°，∠EOC=∠GOD+45°， ∵∠EOG=∠EOC+∠COG=∠GOD+45°+∠COG=∠COD+45°=135°， 故③错误； 综上所述①②④正确， 故选： B． 【点睛】本题考查了角平分线相关的角的运算，掌握等式的性质是解题关键． 4．（25-26七年级上·质检）课堂上，同学们在探究“与”之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是________． 因为， 所以（________） 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查了同角的余角相等．根据“同角的余角相等”进行判断即可． 【详解】解：因为， ， 所以（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：与互补， 理由如下：， ， ， 与互补． 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据求解即可； （2）由题意可得，再根据互补的定义判断即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）略 6．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及互为补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）略 7．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如上图，若直角三角板的一边放在射线上，则_______； (2)如上图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分，则_______； ②若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系； (3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查的知识点是角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是熟练掌握几何图形中角度计算方法． 根据即可求解； ①由平分可得，由与互补求出，； ②由，可得，代入角度即可求解； 分情况讨论：①在内，根据，，，结合和即可得解；②在外，根据，，即可求解． 【详解】（1）解：由图得：， ，， ， 故答案为：． （2）①解：平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． ②解：依图得：，， ， ， ， ， 即． （3）解：依题得：分两种情况进行讨论： ①在内，如图， 此时 ， ， ， 即， 又， 即， ， ； ②在外，如图： 此时， ， ， ， 又， ， ， ； 综上，的度数为或． 8．（25-26七年级上·期末）设，（，），，分别是的角平分线，记．如果互补，或者互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图1，，在内，．分别作、的角平分线，．_____°，，_____一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，有两种情况，如图、图所示，且，是一对“分补角”，求的值； (3)若，当在外部时，和是一对“分补角”，直接写出的度数． 【答案】(1)60；不是 (2)的值为或 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断是否是“分补角”； （2）分在内部（含与重合）、在内部和在外部三种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （3）分在内部和外部情况，画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是一对“分补角”， （2）∵是一对“分补角”，且平分，平分， ∴， 分三种情况讨论： ①当在内部（含与重合）时，如下图， 此时，即， 则有， ∴， 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； ②当在内部时，如下图， 此时，即， 则有， ∴， 若，互补，即有， ∴，解得，符合题意； 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当在外部时，如图， 则， ∵是一对“分补角”， 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； 若，互补，即有， ∴，解得，符合题意． 综上所述，的值为或； （3）当在外部时； ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴； 综上，的可能值为或． 找出图形中互余或互补的角题型05 1．将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 2．如图，点A，O，B在一条直线上，．若，则图中互余的角有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【详解】根据互余的定义，结合已知条件以及，通过角的和差关系找出所有互余的角． 解：已知点、、在一条直线上， ，， ∵ ， 综上，共有对互余的角． 故选：A ． 【点睛】本题考查了余角的定义，解题关键是根据平角与直角的关系，结合角相等的条件，找出所有和为角的对数． 3．（25-26七年级·质检）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是 （   ） A．与互余 B． C． D．恢复原形后，与互补 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；由可知，则C错误；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴，故C错误，符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 __． 【答案】 【分析】由图形可知，与互补，要求互补的角有且只有两个，是的补角，得到，进而得到，再利用平分，得到，求得，即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， 与互补， 与互补的角有且只有两个， 是的补角， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，培养几何直观的能力，得出与互补是解题前提． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论_________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的定义以及角的分类，角平分线的定义，角度和差的计算，根据题意画出图形，分类讨论，逐项分析判断，即可求解．分类讨论是解题的关键．根据角的定义，数出角的个数，即可判断①，根据图形结合已知将①中的6个角相加，即可判断②，分四种情况分别画出图形，根据角平分线的定义结合图形即可判断③，分三种情况讨论，分别画出图形，即可判断④，即可求解． 【详解】解：图中小于平角的角有：，共有6个，故①正确； ②图中所有小于平角的角之和为 ，故②正确； ③当绕点旋转一周， 如图所示，当在内部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在外部时 ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 综上所述，始终等于，故③正确； ④若，，当绕点旋转一周， 如图所示，当在的内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ 如图所示，当在的外部，在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 如图所示，当、在的外部， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 始终等于或，故④不正确． 故答案为：①②③． 6．如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【答案】与互余的角有；与互补的角 【分析】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是正确“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”． 由得到，以及角平分线得到，即可得到与互余的角；由，，且，即可得到与互补的角． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互余， ∵平分， ∴， ∴与互余； ∵，，且， ∴与互补的角． 7．（25-26七年级·期末）如图，点A，O，E在同一直线上，，，平分． (1)请写出图中与互补的角为： ， 与互补的角为： ． (2)求的度数，并指出与互余的角． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查补角的定义、角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握补角的定义、角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）根据补角的定义及角平分线的定义可进行求解； （2）由题意易得，然后根据问题可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，E在同一直线上， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴与互补，与互补， 故答案为：，． （2）解：∵，平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴与互余的角为． 8．（25-26七年级上·期末）如图，点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)若，写出图1中的余角：_____，的补角：_____； (2)如图2，是的平分线，是的平分线， ①若，求的度数； ②设，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)（或）；（或 (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余和互补的定义，结合已知以及平角解答即可； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②用表示出和，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， 又 ∵， ， ∴图1中的余角：（或），的补角：（或）； 故答案为：（或）；（或）； （2）解：①∵， ， ∵是的角平分线，是的角平分线， ， ； ②∵是的角平分线，是的角平分线， ， ． ∴， ， ． 余角和补角·综合应用题型 1．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握余角的定义，先根据，求出的度数，然后再求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为： ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）一个角的余角是，则这个角的补角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了一个角的余角和补角的计算，熟练掌握余角和补角的计算是解题的关键．根据余角和补角的定义计算，即得答案． 【详解】解：一个角的余角是，则这个角的度数是， 所以这个角的补角的度数是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河南南阳·联考）人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据余角的定义和度分秒的进制进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ， 故答案为：． 4．若一个角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为______． 【答案】或度 【分析】设这个角的度数，根据题意列方程即可解答． 【详解】解：设这个角的度数，根据题意可知， ， 解得：， 这个角的度数为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的定义，一元一次方程与实际问题，掌握余角的定义是解题的关键． 5．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）若，则的余角用度、分、秒的形式表示为______． 【答案】 【分析】本题考查余角定义、角的运算及角度制的换算，根据余角的定义，两个角的和为，因此的余角为减去的值，再将结果转换为度分秒形式． 【详解】解：∵， ∴的余角为， 将转换为度分秒形式：保持不变，， 因此． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏·月考）如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 【答案】(1)和 (2) (3)与；与 【分析】本题考查的知识点是余角和补角，解题关键是熟记如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． （1）根据余角的概念解答即可； （2）先求出，然后求出结果即可； （3）根据补角的概念进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴与互余的角是和， 故答案为：和； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴与互补； ∵， ∴， ∴与互补， 故答案为：与互补；与互补． 7．下列说法中错误的有（    ）． （1）一个锐角的余角比这个角大； （2）一个锐角的补角比这个角大； （3）一个钝角的补角比这个角大； （4）直角没有余角，也没有补角； （5）同角或等角的补角相等； （6）若与互余，与互余，则与也互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角进行解答即可． 【详解】（1）若已知的锐角＞等于45°，则它的余角＜等于45°．错误； （2）锐角的补角是钝角，正确； （3）一个钝角的补角一定是锐角，所以钝角的补角比这个角小，错误； （4）直角有补角，补角为90°，错误； （5）根据补角定义，同角或等角的补角相等，正确； （6）若与互余，与互余，则=，错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是余角和补角，熟知相关定义是解答此题的关键． 8．（24-25七年级·期末）如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：与互补．理由： ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 故与互补． 【分析】本题考查了角平分线有关计算，判断互补，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，补角定义． （1）利用角平分线的定义得出，结合，根据，代入计算即可； （2）先利用角平分线的定义求出，，再根据，即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分．， ∴， ∵， ∴； （2）略 余角和补角·创新性问题题型 1．如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是_____．（填序号） 【答案】或 【分析】本题考查了互为补角的定义，角度和差，线段的定义，根据线段的定义，找出线段的条数即可；首先根据题意画出图形，再根据已知条件得出相关角的度数，根据互为补角的定义找出互补的角即可；根据题意画出图形，设出符合题意的一般角，得出结论即可；根据题意画出图形，数出线段的条数即可；解题的关键是根据题意画出图形． 【详解】直线上以为端点的线段有线段、、、、、，共有条，故①正确； 如图，， 且，把三等分， ∴， ∴， ∴，，，，共对， 故正确； 如图， ∵，， ∴设，， 则， 则以为顶点的所有小于平角的角的为：，，，，，， 则它们之和为：，故不正确； 如图，当时，与点连接的线段有条， 线段上共有个点，线段有： （条），故不正确； 故答案为：． 2．（25-26七年级·江苏宿迁·期末）定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“余角”；若两个角的和为，则称这两个角互为“补角”． (1)若，则的余角为　　　，补角为　　　； (2)若一个角的补角比它的余角的倍少，求这个角的度数； (3)如图，已知是直角，也是直角，且（）． ①请直接写出图中所有互余的角（除和外）； ②试说明与互补． 【答案】(1)； (2) (3)①与；与 ②证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补． 【分析】本题考查余角和补角的概念，角的和差运算，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据余角和补角的概念进行计算即可； （2）设这个角的度数为，由题意可列方程，解方程求出的值即可； （3）①根据余角的定义，进行寻找即可； ②根据补角的定义，结合与都是直角，进行证明即可． 【详解】（1）解：的余角为：； 的补角为：． 故答案为；． （2）解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为， 根据题意，可列方程：， 解得，， ∴这个角的度数为． （3）解：①∵， ∴与互余， ∵， ∴与互余， 故答案为：与；与． ②略 3．（25-26七年级上·山西晋城·月考）综合与探究 问题情境： 已知，，都是位于内的射线，与互余． 独立思考： (1)数学活动课上，老师先提出一个问题：如图1，若，求的度数．请解答老师提出的问题． 深入探究： (2)如图2，平分，平分，求的度数． 问题解决： (3)若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了余角、角平分线的定义、角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由与互余得，根据即可求解； （2）由平分，平分得，，根据，转化为，即可求解； （3）由（1）得，由（2）得，分别计算即可． 【详解】（1）解：与互余， ． ． （2）平分，平分， ，． ， ． （3）如图1，当射线在射线上方时， 由（1）得：， ． 如图2，当射线在射线下方时， 由（2）得： ， ． 综上所述，的度数为或． 4．定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部． (1)如果，求的度数； (2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题结合补角、角平分线的定义、角的和差运算，综合考查几何图形中角度计算问题，，以及代数设元推导角的数量关系． （1）由平角计算，根据“好线”定义确定，再用求； （2）设，用表示、，结合角平分线得到与的表达式，推导数量关系． 【详解】（1）解：∵点在直线上，， ∴． ∴． ∵是的“好线”， ∴被分成的两个角中有一个与互为补角， ∵，且在内部， ∴． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：设，则． 由“好线”定义，的补角为，且在内部，故， ∴． ∵平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． 因此． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·河南南阳·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【答案】问题1：和 问题2： 问题3：或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． 问题1：根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． 问题2：设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． 问题3：利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】解：任务 1（问题 1）：∵，即， ∴与互余； ∵直角三角形中，则， 又∵， ∴与互余； 任务2（问题2）：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 任务3（问题3）：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 6．（25-26七年级上·期末）【基础感知】 如图1，点为线段上一动点，，若点从点出发向点运动，到达点后，再转向点运动，，如此反复．在点的运动过程中，点运动1个单位长度后到达点，即；再运动2个单位长度后到达点，此时；再运动3个单位长度后到达点，，以此类推． （1）求_____，_____； 【迁移应用】 如图2，点是直线上一点，线段从射线的位置开始绕点向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转，，如此反复．在线段的旋转过程中，从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从旋转角度至，，以此类推． 例如：当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4次旋转到后弹回，即，而恰好与重合． （2）若，，，的位置如图4所示，求的度数； （3）若，且所在的射线平分，在如图5中画出，，，，并求出的值； （4）若且，直接写出所有的取值． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4），， 【分析】本题考查点的往返运动问题和射线的往返旋转问题，包括线段的和差计算、角的和差计算、平角的定义等，关键是根据运动/旋转规则确定各点/射线的位置，再结合线段长度计算、角的平分线定义、角的差倍关系建立方程求解． （1）根据点的运动方向和距离，依次确定、的位置，进而计算线段长度； （2）根据角的旋转角度，依次确定、、的位置，利用角的差计算的度数； （3）先确定、、的位置，再分未弹回和已弹回两种情况，结合角平分线的定义建立方程求解； （4）分未弹回和已弹回两种情况，根据建立绝对值方程，求解所有符合条件的； 【详解】（1）解：从向运动3个单位，，故运动3个单位到达点，； 从点向运动4个单位，； 则； 故答案为：，； （2）解：当时，，； ∵第三次旋转，， ∴， ； ； （3）解：， ，，，，未到达； 若即，则， 此时，， 若平分，则，解得，不符合题意，舍去； ∴，即，如图所示，则， ∴，， 平分，， ， ，解得； （4）解：分两种情况讨论： 情况一：即，此时，， ， ，即，解得； 情况二：即，此时， ， ，即， 当时，解得； 当时，解得； 综上，的取值为，，． 7．定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 【答案】(1)和互为垂角 (2) (3)2 【分析】此题考查了互为垂角和余角的概念以及运用，一元一次方程的应用，解题的关键是能准确的从图中找到角之间的数量关系，从而计算出结果． （1）根据垂角定义即可得到答案； （2）设这个锐角的度数为，根据一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍列方程解答； （3）分情况：当时，当时，分别求出和，根据互为垂角列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴和互为垂角； （2）解：设这个锐角的度数为，则，它的垂角是， ， 解得， ∴这个角的度数是； （3）解：当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当t的值为2时，和互为垂角． 8．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $