4.3.2 第2课时 余角和补角-【学海风暴】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第2课时余角和补角 要点提园 1.余角：如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角（简称至余），也说其中一个角是另一个 角的余角 数学语言：如果∠1十∠2=90°，就说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的命角，或∠1与∠2 互余，如右图。 2.补角：如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角（简称至补），也说其中一个角是另一个 角的补角。 数学语言：如果∠3+∠4=180°，就说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，成∠3 与∠4互补，如右图. 课内基础练 5.已知∠a的余角是它的2倍，则∠a的度数 知识点① 余角和补角及其性质 为 1.已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1 变式题已知∠3是它补角的一半，则∠3 =∠3，则∠2与∠4的关系为 的度数为 A.互余 B.互补 6.一个角的补角比这个角的余角的3倍少 C.相等 D.以上都不对 20°，求这个角的度数. 2.如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD =90°，那么下列说法错误的是 A.∠1与∠2相等 B.∠AOE与∠2互余 C.∠AOD与∠1互补 0 D.∠AOE与∠COD互余 第2题图 知识点②余角和补角的有关计算 3.(2024兰州)若∠A=80°，则∠A的补角是 ( A.100° B.80 C.40 D.10° 7.(教材变式)如下图，∠AOB与∠BOD互为 变式题已知一个角的度数是6243'，则它 余角，OB是∠AOC的平分线，∠AOB= 的余角的度数是 25°.求∠COD的度数 4.(2024一2025衡阳衡东月考)如果锐角a的 余角是48°，那么锐角α的补角是( A.132° B.42 C.48 D.138 变式题如果锐角3的补角是140°，那么锐 角B的余角是 ( A.38° B.48° C.50° D.52 106 七年级数学X划版 已课外拓展练 (2)若∠BOC=4∠BOD,OE平分∠AOC, 8.已知∠a与∠B互补，∠a与∠y互余，且∠3 求∠AOE的度数. =4∠y,则∠a的度数为 ( A.30° B.45° C.60 D.90 9.如图，O为直线AB上一点.若∠AOC=a, ∠BOC=B,则B的余角可表示为 点u+ 1 B. A0 B C.t(a-8 D.28 第9题图 变式题若∠a和∠B互余，则下列式子中 已核心素养练 表示∠α的补角的是 ( 12.几何直观如图，已知点O在直线AB上， ①180°-∠a:②∠a+2∠g:③2∠a+∠3； 作射线OC,点D在平面内，且∠BOD与 ④∠3+90. ∠AOC互余. A.①②④ B.①②③ (1)若∠AOC:∠BOD=4:5,则∠BOD C.①③④ D.②③④ 的度数为 10.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α (2)若∠AOC=a(0°<a≤45)，ON平分 与∠B之间有什么关系（选填“互余”“互补” ∠COD,补全图形，求∠AON的度数（用含 或“相等”)？请说明你判断的依据 a的式子表示). 0 ① 图② 图④ 备用图 第10题图 (1)如图①，∠a与∠3 ,依据： (2)如图②，∠a与∠3 ,依据： (3)如图③，∠a与∠3 ,依据： (4)如图④，∠a与∠3 ,依据： 11.（2025长沙雨花区期末改编)如下图， ∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与 ∠BOD互为余角， (1)若∠B0D=20°25'，求 ∠BOC的大小， 上册第4章第2课时余角和补角 1.C2.D3.A变式题27174.D变式题C 5.30°变式题60 6.解：设这个角的度数为&，则它的补角为180°-a,余角为90 根据题意，得180-a■3(90-a)一20°，解得=35 故这个角的度数是35. 7.解：因为0B是∠AOC的平分线，∠AOB=25, 所以∠AOC=2∠AOB=50. 又因为∠AOB与∠BOD互余， 所以∠AOD=90°， 所以∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-50°=40. 8.C9.C变式题A 10.(1)互余∠a+∠9=180°-90°=90 (2)相等司角的余角相等 (3)相等 等角的补角相等 (4)互补∠a+∠B-180 11.解：因为∠AOC与∠B0C互为补角，∠B0C与∠BOD互为余 角，所以∠AOC+∠BOC=180°，.∠BOC+∠BOD=90 (1)因为∠B0D=2025',所以∠B0℃=90°-2025=69°35 (②国为∠B0C=A∠B0D,所以∠B0C+号∠BOC=90, 所以∠B0C=72°，所以∠A0C=180°-72=103. 又因为0E平分∠AOC,所以∠AOE=号∠A0C=5 12.解：1)50 (2)因为∠BOD与∠AOC互余，所以∠BOD十∠AOC= 90.分两种情况讨论： ①当点D在∠BOC内时， 在0<a≤45的条件下，补全图形如图①所示， 则∠C0D=180°-90°=90.因为ON平分∠C0D,所以 ∠C0N=45,所以∠A0N=a十45°： 用② ②当点D在∠BO℃外时， 在0<≤45的条件下，补全图形如图②所示， 则∠B0D=903-x,所以∠A0D=180°-(90°-a)=90°+ a,所以∠C0D=90°十2a. 因为ON平分∠COD,所以∠CON=45°+a, 所以，∠AON=45 综上所述，∠AON的度数为a十45°或45° 思想方法专题线段长度和角度 计算中的数学思想 1,解：设AD=xcm. 因为D是线段AB的中点 所以AD=BD=xcm,AB=2AD=2xcm. 因为点C在AB的延长线上，BC=3BD, 所以BC-3xcm,所以CD一DB十BC-4xcm. 因为E是线段CD的中点，所以CE=DE=2xcm, 所以AE=AD十DE=3z=10,解得x=碧 断以AC=5x5X号-学m. 186 七年级数学XJ版 2.解：因为OD平分∠AOB,∠AOD=15°， 所以∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15 因为，∠AOC=120°，所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=90° 又因为∠COE=2∠BOE,∠BOE+∠EOC=∠BOC=90° 所以3∠BOE=90°，解得∠BOE=30°， 所以，∠DOE=∠DOB十∠BOE=15°+30°=45° 3.解：(1)设CB=x 因为AB=6,CD=8,所以AD=AB十CD-CB=14-x. 因为线段CB的长等于线段AD的一半， 所以E=子14-x),解得x=兰故线段CB的长为兰 (2)设CB=y,则AD=14-y,AC=6-y,BD=8- 因为E,F分别为线段AC,BD的中点， 所以AE=26-y),FD=2(8-y),所以EF=AD-AE -D-14-y6-0-28-》-7 故线段EF的长为T. 4.解：(1)70 (2)因为AB⊥BD,所以∠ABD=90 因为∠ABC=50°，所以∠DBC=∠ABD-∠ABC=40° 因为∠EBD=45°，所以∠EBC=∠EBD-∠DBC=5° 5.解：(1)因为DC=4BD,所以BC=5BD. 因为BC=15,所以BD=3. 因为AB=12,所以AD=AB十BD=15, (2)因为AB=2BD,DC=4BD,所以DC=2AB 又因为AB+DC=36,所以AB=12,DC=24, 所以BD=6,所以AC=AB+BD+DC=42. 因为E是AC的中点， 所以AE=子AC=1,所以E=AE-AB=9。 6.解：(1)70 (2)分以下两种情况讨论： ①如图①，当射线OE在AB上方时，∠BOE+∠COE= ∠20C.图为∠B0E-号∠c0E,∠80C-40, 所以子∠C0E+∠C0E=40°，所以∠C0E=24 ②如图②，当射线OE在AB下方时，∠COE-∠BOE ∠B0C.因为∠BOE=2∠C0E,∠B0C=40, 3 所以∠00E-号∠c0E=40,所以∠c0E=120 综上所述，∠C0E的度数为24或120 7.解：(1)①由题意，得CP=2×1=2(cm),DB=3×1=3cm) 因为PB=AB-AP=12-B=4(cm), 所以CD=CP+PB-DB=2+4-3=3(cm). ②因为AP=8cm,AB=12cm, 所以BP=4cm,AC=(8-2t)cm,所以DP=(4-3t)cm, 所以CD=DP+CP=4-3十2t=(4一t)cm, 所以AC=2CD. (2)当t=2s时，CP=2×2=4cm,DB=3×2=6(cm). 当点D在点C的右边时，如图①，