14.3 角的平分线(第2课时)角平分线的判定课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 第二课时 角平分线的判定 复习回顾 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE. A O B C D E P 问题　我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，你能得到哪一个命题？这个命题还成立吗? 到角两边距离相等的点在角的平分线上. 新知初探 已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 是D，E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ？ 画出 图形 写出 已知 求证 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边） PD= PE ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90° ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 新知探究 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线的判定 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上 A O B C D E P 图形 已知条件 结论 C 1 2 P D E O C B 1 A 2 P D E OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P D E O B A P D E C 角的平分线的性质和判定的区别与联系 两个定理的条件与结论是相反的 PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 针对训练 1.判断以下说法正确吗？ （1）若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N， 则OQ是∠AOB 的平分线；( ) （3）如图3，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且QM=QN,则点Q在∠AOB 的平分线上．( ) 双垂直+等线段 2.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ　　的度数为( ) 　A、20° 　B、30° 　 C、35° 　D、40° C 针对训练 例题讲解 例1.如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC. 例题讲解 例1.如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BF⊥AC，AB⊥CE， ∴∠DEB＝∠DFC＝90° ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴DE＝DF. 又∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴AD平分∠BAC.  活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 新知探究 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 3.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 C 针对训练 例2. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 问题1.若PD=4，则P到△ABC三边的距离和。 问题2.若△ABC的周长为32，求△ABC的面积。 例题讲解 例3.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． G H M A B C F E D 例3.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　 G H M A B C F E D 例4.如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB． 例4.如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB． 例5. 如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM．求证： (1)DM平分∠ADC； (2)AD=AB+CD． 变式训练 变式训练 角平分线 的判定 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 $