5.5一次函数与二元一次方程（分层作业，15大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 5.5 一次函数与二元一次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一次函数与二元一次方程组——图象交点坐标写方程组解 题型02 一次函数与二元一次方程组——由交点部分坐标补全方程组解 题型03 一次函数与二元一次方程组——方程组解与图象交点坐标互换 题型04 一次函数与二元一次方程组——交点存在性与位置判断 题型05 一次函数与二元一次方程组——交点坐标填空与辨析 题型06 一次函数与二元一次方程组——由交点坐标确定方程 题型07 一次函数与二元一次方程组——由图象交点写方程组 题型08 一次函数与二元一次方程组——图象交点问题求参数 题型09 一次函数与二元一次方程组——图象交点综合求解 B组 能力进阶 题型01 一次函数与二元一次方程组——图象识别对应方程组 题型02 一次函数与二元一次方程组——利用图象求方程组的解 题型03 一次函数与二元一次方程组——图象法综合阅读与应用 C组 思维拔高 题型01 一次函数与面积——坐标轴围成三角形的面积 题型02 一次函数与面积——两直线与坐标轴围成图形的面积 题型03 一次函数与面积——由面积反求参数或函数解析式 一次函数与二元一次方程组——图象交点坐标写方程组解题型01 1．如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组与函数的关系求解． 【详解】解：方程组的解就是直线与的交点坐标，即P（-1，1）， ∴方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数与的图象相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C．任意数对 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标， 所以方程组的解是． 故选：B． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解即可得到答案； 【详解】解：∵一次函数的图像与的图像相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A． 4．如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解”是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解对应两函数图象的交点坐标，直接利用交点坐标得到方程组的解． 【详解】解：∵函数与的图象交于点 ∴方程组的解是 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）相交于点(2，﹣1)，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b和y=mx+n相交于点（2，-1）， ∴关于x、y的方程组的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 一次函数与二元一次方程组——由交点部分坐标补全方程组解题型02 1．（2025·湖北孝感·二模）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于、的方程组的解是 故选：A． 2．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．把代入，求出的值，再求出方程组的解即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为． 故选：D． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点坐标即可 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴方程组的解为． 故选A． 4．（2025·山西临汾·模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江台州·月考）如图，一次函数与（a，b为常数且）交点的横坐标为2，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组，依据题意，由两个一次函数交点的坐标就是方程组的解，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能根据两个一次函数交点的坐标就是方程组的解进行判断是关键． 【详解】解：∵一次函数与（a，b为常数且）交点的横坐标为2， ∴交点的纵坐标为 又∵一次函数与（a，b为常数且）交点坐标是方程组的解 则方程组的解为， 故选A． 一次函数与二元一次方程组——方程组解与图象交点坐标互换题型03 1．（24-25八年级上·广东梅州·期末）若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是将其变形可以解答．把变形为解答即可． 【详解】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上， 把可以变形为， 与对照即可得到， ， 解得：， 故选：D． 2．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴一次函数与的交点坐标为． 故选：A． 3．如果函数y＝x﹣b（b为常数）与函数y＝﹣2x+4的图象的交点坐标是（2，0），那么关于x、y的二元一次方程组的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行回答． 【详解】解：∵函数（b为常数）与函数的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，解题关键是联立方程组即可得出答案. 4．（2025·陕西商洛·一模）已知方程的解为，则直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据两函数交点坐标即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标为， 故选：A． 5．已知关于的方程组的解为，则一次函数的图象和的图象的交点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数的交点坐标为方程组的解，即可得出答案． 【详解】 ∴一次函数的图象和的图象的交点的横纵坐标即是方程组的解 ∵关于的方程组的解为 ∴交点的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两个一次函数的交点坐标为方程组的解是解题的关键． 一次函数与二元一次方程组——交点存在性与位置判断题型04 1．函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有（    ）解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点． 【详解】函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有唯一解． 故选B 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键． 2．若一次函数与的图象没有交点，则方程的解的情况是（    ） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线无交点，那么对应的二元一次方程组无解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象没有交点， ∴方程无解， 故选：D． 3．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1）， ∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0， ∴交点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型． 4．（25-26七年级·海南·期末）一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个一次函数的交点和二元一次方程组的解的关系解题． 【详解】解：由题意知，直线和直线的交点坐标为， 即关于，的方程组的解为． 5．下列方程组中，能用如图所示的直线的交点坐标表示其解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别利用待定系数法求出直线和的解析式，然后利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：设直线的解析式为 把，代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设直线的解析式为 把，代入得，解得， 所以直线的解析式为， 所以两条直线和的交点坐标可看作方程组的解． 故选：C. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 一次函数与二元一次方程组——交点坐标填空与辨析题型05 1．若一次函数和（为常数且）的图象相交于点，则关于，的方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，把A坐标代入求出m的值，确定出一次函数和的图象相的交点A的坐标，即可求出方程组的解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， 则关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江西吉安·月考）如图，函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】当时，，解得，则点P的坐标为， 所以关于x，y的二元一次方程组中的解为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知直线：与直线：在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案． 【详解】解：∵已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点， ∴方程组的解是 故答案为：． 4．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】先利用确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断． 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，熟练掌握“方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标”是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 所以P点坐标为， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为______________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键． 根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：一次函数的图象与的图象交点的坐标为， 关于的方程组的解为 故答案为∶ 一次函数与二元一次方程组——由交点坐标确定方程题型06 1．如图，已知一次函数y＝kx＋3和y＝－x＋b的图象交于点P (2，4)．则关于x的方程kx＋3＝－x＋b的解是________．    【答案】x=2 【分析】根据一次函数y＝kx＋3和y＝－x＋b的图象的交点坐标结合图像的性质求解即可． 【详解】∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4）， ∴关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2， 故答案为：x=2． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程结合的问题，解题的关键是数形结合思想在一次函数与一元一次方程的运用． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，先求得交点坐标，再根据两条直线的交点的坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：， ∴ 即直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线（）相交于点，则关于的方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：． 4．（24-25下·福建·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点P的坐标是， 故方程组的解是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解． 【详解】解：设点坐标为， 将代入中， ∴， ∴， 即点坐标为， ∴由图象可得关于的方程的解是， 故答案为：． 一次函数与二元一次方程组——由图象交点写方程组题型07 1．如图，函数与的图象的交点坐标可以看作方程组________的解． 【答案】 【分析】根据题意分别求出两个一次函数图象的解析式即可得解． 【详解】解：将点、代入得， 解得， 所以， 将点，代入得， 解得， 所以， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确的运算是解题的关键． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图所示为直线和的图像，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 由函数和函数的图象的交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解，即可求解． 【详解】解：由图象可得直线和的交点为， 所以方程组的解是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·期末）如图，直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组_____的解． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得到二元一次方程组． 【详解】解：根据题意得直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组的解． 故答案为：． 4．（25-26八年级·期末）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象，可得方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∵函数和的图像交于点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴，解得， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 一次函数与二元一次方程组——图象交点问题求参数题型08 1．如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于，的方程组的解为， 故选：C． 2．（2026·陕西汉中·模拟）已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）相交于点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数解析式联立解出的解，就是两个一次函数图象交点的横纵坐标，根据已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵ 关于的方程解，是直线与交点的横坐标. 又∵ 直线与相交于点，交点的横坐标， ∴ 方程的解为． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可． 【详解】解：∵亮点是和的交点， ∴联立方程：， 解得： ∴交点为，即“亮点”为， 故选：B． 4．平面直角坐标系中，4个一次函数依次为：、、、．若、相交于点，那么、的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、两直线的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的交点和二元一次方程组的关系． 将点代入、得，联立、得出，然后代入求纵坐标即可． 【详解】解：将点代入、得， ， 整理得， 联立 整理得， 则， ∴、的交点坐标为， 故选：B． 5．若方程组没有解，则直线与直线的位置关系是_________． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了两直线的交点和二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点横纵坐标是两直线解析式组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵方程组没有解， ∴直线与直线没有交点，即直线与直线平行， 故答案为：平行． 一次函数与二元一次方程组——图象交点综合求解题型09 1．点A、B、C、D的坐标如图所示，求直线AB与直线CD的交点坐标． 【答案】（-2，2） 【详解】解：设直线AB方程为y=kx+b（k≠0） ∵直线AB经过A（-3，0），B（0，6）两点， ∴ 解得： ∴直线AB的解析式为y＝2x＋6， 设直线CD方程为y=ax+c（a≠0） ∵直线CD经过C（0，1），D（2，0）两点， ∴ 解得： ∴直线CD的解析式为． 联立以上两个解析式，得方程组： 解得 所以直线AB，CD的交点坐标为（－2，2）． 2．已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A、B的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，令，分别算出和对应的x的值，即可得出； （2）理解题意，得出，故，然后把代入，得，即可作答． （3）理解题意，得出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：和与x轴交点分别为A、B， ∴令，则 解得， 故 令，则 解得， 故； （2）解：∵和它们的交点为P， ∴， 解得， 把代入，得， ∴； （3）解：由（1）得， 由（2）得， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：（为常数）、直线：（为常数）分别交轴于点、，点是两直线的交点． (1)求直线和直线的函数表达式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，连接，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)存在，点Q的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出：，：，然后联立方程组得，解得，从而求出点坐标； （）先求出的面积，然后分当点在轴上方时，当点在轴下方时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将代入：（为常数）中，得， 解得， ∴：， 将代入：（为常数）中，得， 解得， ∴：， 联立方程组，得，解得， ∴； （2）解：存在，理由： ∵、， ∴， ∴的面积， 当点在轴上方时，由知， ∴，即，解得， 在中，令，则，解得， ∴； 当点在轴下方时，由知， ∴，即，解得， 在中，令，则，解得， ∴， 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 5．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）联立两直线的表达式，求出交点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴． 一次函数与二元一次方程组——图象识别对应方程组题型01 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 3．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图可知：一次函数与的图象交于(1，2)， 所以方程组的解是：； 故选：D． 【点睛】函数与的交点坐标就是方程组的解，明确此知识点是解题的关键． 4．已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___． 【答案】5 【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解． 【详解】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2， 解得x＝5， ∴P点的横坐标为5， ∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P， ∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了根据一次函数图像解二元一次方程组，数形结合是解题的关键． 一次函数与二元一次方程组——利用图象求方程组的解题型02 1．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 2．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 3．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·联考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 一次函数与二元一次方程组——图象法综合阅读与应用题型03 1．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能有一个，或两个方程有无数个解，或无解，因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线有一个交点或有无数个交点或没有交点． 【详解】解：由于方程组的解即为两个函数的交点坐标，而方程组的解有三种可能： ①方程组无解； ②有一个解； ③有无数个解（此时两直线重合）； 所以，，的情况都有可能． 故选． 【点睛】一次函数的解析式就是二元一次方程，因而把方程组的解中的x的值作为横坐标，以y的值为纵坐标得到的点，就是一次函数的图象的交点坐标．方程组解的个数就是直线交点的个数． 2．小明在学完一次函数时发现，可以运用画一次函数图象的方法求二元一次方程组的解．小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示．则小明所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组． 【详解】解：设过点（1，1）和（0，-1）的直线解析式为y=kx+b， 则， 解得， 所以直线解析式为y=2x-1； 设过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y=mx+n， 则， 解得， 所以直线解析式为y=-x+2， 所以所解的二元一次方程组为． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．用图象法解二元一次方程组小英所画图象如图所示,则方程组的解为_________. 【答案】 【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【详解】∵直线y=kx+b与y=x+2的交点坐标为（1，3）， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 4．利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 5．阅读、思考、解决问题： （1）如图（1）两个函数和的图象交于点，的坐标是否满足这两个函数式？即是方程的解吗？是方程的解吗？答： ① （是、不是）这就是说：函数和图象的交点坐标 ② （是、不是）方程组的解；反之，方程组的解 ③ （是、不是）函数和图象的交点坐标． （2）根据图（2）写出方程组的解是：____________ （3）已知两个一次函数和． ①求这两个函数图象的交点坐标； ②在图（3）的坐标系中画出这两个函数的图象 ③根据图象写出当时，的取值范围． 【答案】（1）是，是，是；（2）； （3）①（1，4）； ②易得过点（0，3），过点（0，1），且这两个函数图象的交点坐标为：（1，4），函数图象如图3所示： ③x＞1. 【分析】（1）根据两个一次函数图象的交点坐标与它们组成的二元一次方程组的解之间的关系进行解答即可； （2）由函数图象中的交点坐标可得方程组的解； （3）①求出这两个函数解析式组成的方程组的解即可； ②根据过点（0，3），过点（0，1），且这两个函数图象的交点坐标为：（1，4）画出函数图象即可； ③根据函数图象，找出的图象在的图象上方时x的取值范围即可. 【详解】解：（1）如图（1）两个函数和的图象交于点，的坐标是否满足这两个函数式？即是方程的解吗？是方程的解吗？答：是；这就是说：函数和图象的交点坐标是方程组的解；反之，方程组的解是函数和图象的交点坐标； 故答案为：是，是，是； （2）由图（2）可得：方程组的解是：； （3）①联立，解得：， ∴这两个函数图象的交点坐标为：（1，4）； ② 略 ③由函数图象可得：时，的取值范围是：x＞1. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、画一次函数图象以及利用函数图象确定不等式解集，解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，方程组的解是两函数图象的交点坐标. 一次函数与面积——坐标轴围成三角形的面积题型01 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级·云南宣威·月考）直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出直线与轴、轴的交点坐标，利用交点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，再代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 令，则， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵坐标轴互相垂直， ∴围成的三角形是直角三角形， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：． 3．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的图象与坐标轴的关系可知待求的三角形为直角三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点可求出直角三角形的两直角边，从而很容易求得面积． 【详解】解：当时，， 当时，， 直线与x轴、y轴分别交于， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为： ． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为________． 【答案】9 【分析】分别令，，求出A、B两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积． 【详解】当时，， ∴B点坐标为，即， 当时，， ∴A点坐标为，即， ∴, 故答案为：9． 【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键． 5．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)利用图象直接写出：当时，的取值范围． 【答案】(1) 描点并连线如下： (2) (3) 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，利用一次函数的图象求解不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先列表，再描点并连线即可； （2）根据，，再结合三角形的面积公式计算即可； （3）利用函数图象确定时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： （2）由（1）得：，， ∴； （3）由图象可得： 当时，． 一次函数与面积——两直线与坐标轴围成图形的面积题型02 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求出点A、O、C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 3．如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握该知识点是关键． 由图像可知：，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：由图形可知：，， 所以的面积为：. 故选：B. 4．如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． (1)求E点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了求两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握两条直线的交点坐标的求法是解题的关键． （1）联立，解二元一次方程组，即可确定点坐标； （2）确定点A、点C的坐标，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得， 点坐标为； （2）解：在中，当时，， 点A坐标为， 在中，当时，， 点C坐标为， ， ． 一次函数与面积——由面积反求参数或函数解析式题型03 1．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 2．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得， 所以，点的坐标为， ∵点的纵坐标是， ∴点C到轴的距离为， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键． 3．若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为__________． 【答案】或 【分析】先求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可得出答案． 【详解】一次函数中 令，则 令，则 这个一次函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，解题的关键是求出交点坐标． 4．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 5．已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（-1，6）．求： （1）这个一次函数的解析式； （2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积． 【答案】（1）y=-2x+4；（2）4 【分析】（1）由图可知，函数经过了（1，2）和（-1，6）两点，可用待定系数法来求出函数的解析式． （2）一次函数与两坐标轴围成的是个直角三角形，且直角边的长分别是A、B两点的纵坐标和横坐标的绝对值．那么只要求出A、B的坐标即可得出三角形的面积，根据（1）中求出的函数关系式，A、B的坐标就可以求出来了． 【详解】解：（1）依题意， 当x=1时，y=2； 当x=-1时，y=6． 则 解之得 ∴一次函数解析式为：y=-2x+4． （2）一次函数图象与y轴、x轴分别相交于A、B两点， 由y=-2x+4，得 A点坐标（0，4），B点坐标（2，0）， 即OA=4，OB=2． ∴S△AOB=OA•OB=×4×2=4． 即一次函数图象与两坐标轴围成的面积为4． 【点睛】借助函数图象表达题目中的信息时，读懂图象是关键．本题中用待定系数法求出函数解析式是解题的基础． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.5 一次函数与二元一次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一次函数与二元一次方程组——图象交点坐标写方程组解 题型02 一次函数与二元一次方程组——由交点部分坐标补全方程组解 题型03 一次函数与二元一次方程组——方程组解与图象交点坐标互换 题型04 一次函数与二元一次方程组——交点存在性与位置判断 题型05 一次函数与二元一次方程组——交点坐标填空与辨析 题型06 一次函数与二元一次方程组——由交点坐标确定方程 题型07 一次函数与二元一次方程组——由图象交点写方程组 题型08 一次函数与二元一次方程组——图象交点问题求参数 题型09 一次函数与二元一次方程组——图象交点综合求解 B组 能力进阶 题型01 一次函数与二元一次方程组——图象识别对应方程组 题型02 一次函数与二元一次方程组——利用图象求方程组的解 题型03 一次函数与二元一次方程组——图象法综合阅读与应用 C组 思维拔高 题型01 一次函数与面积——坐标轴围成三角形的面积 题型02 一次函数与面积——两直线与坐标轴围成图形的面积 题型03 一次函数与面积——由面积反求参数或函数解析式 一次函数与二元一次方程组——图象交点坐标写方程组解题型01 1．如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数与的图象相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C．任意数对 D．不能确定 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）相交于点(2，﹣1)，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 一次函数与二元一次方程组——由交点部分坐标补全方程组解题型02 1．（2025·湖北孝感·二模）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西临汾·模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江台州·月考）如图，一次函数与（a，b为常数且）交点的横坐标为2，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 一次函数与二元一次方程组——方程组解与图象交点坐标互换题型03 1．（24-25八年级上·广东梅州·期末）若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（    ） A． B．1 C． D．2 2．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如果函数y＝x﹣b（b为常数）与函数y＝﹣2x+4的图象的交点坐标是（2，0），那么关于x、y的二元一次方程组的解是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西商洛·一模）已知方程的解为，则直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程组的解为，则一次函数的图象和的图象的交点的坐标是________． 一次函数与二元一次方程组——交点存在性与位置判断题型04 1．函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有（    ）解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若一次函数与的图象没有交点，则方程的解的情况是（    ） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 3．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26七年级·海南·期末）一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 5．下列方程组中，能用如图所示的直线的交点坐标表示其解的是（    ） A． B． C． D． 一次函数与二元一次方程组——交点坐标填空与辨析题型05 1．若一次函数和（为常数且）的图象相交于点，则关于，的方程组的解为________． 2．（24-25八年级上·江西吉安·月考）如图，函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是____________． 3．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知直线：与直线：在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是________． 4．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为______________． 一次函数与二元一次方程组——由交点坐标确定方程题型06 1．如图，已知一次函数y＝kx＋3和y＝－x＋b的图象交于点P (2，4)．则关于x的方程kx＋3＝－x＋b的解是________．    2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是____． 3．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线（）相交于点，则关于的方程组的解为______． 4．（24-25下·福建·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________． 5．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是______． 一次函数与二元一次方程组——由图象交点写方程组题型07 1．如图，函数与的图象的交点坐标可以看作方程组________的解． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图所示为直线和的图像，则方程组的解是______． 3．（25-26八年级上·期末）如图，直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组_____的解． 4．（25-26八年级·期末）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象，可得方程组的解为_____． 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 一次函数与二元一次方程组——图象交点问题求参数题型08 1．如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西汉中·模拟）已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）相交于点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 4．平面直角坐标系中，4个一次函数依次为：、、、．若、相交于点，那么、的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若方程组没有解，则直线与直线的位置关系是_________． 一次函数与二元一次方程组——图象交点综合求解题型09 1．点A、B、C、D的坐标如图所示，求直线AB与直线CD的交点坐标． 2．已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 3．在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：（为常数）、直线：（为常数）分别交轴于点、，点是两直线的交点． (1)求直线和直线的函数表达式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，连接，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积． 一次函数与二元一次方程组——图象识别对应方程组题型01 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___． 一次函数与二元一次方程组——利用图象求方程组的解题型02 1．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 2．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 3．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·联考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 一次函数与二元一次方程组——图象法综合阅读与应用题型03 1．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能 2．小明在学完一次函数时发现，可以运用画一次函数图象的方法求二元一次方程组的解．小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示．则小明所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 3．用图象法解二元一次方程组小英所画图象如图所示,则方程组的解为_________. 4．利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 5．阅读、思考、解决问题： （1）如图（1）两个函数和的图象交于点，的坐标是否满足这两个函数式？即是方程的解吗？是方程的解吗？答： ① （是、不是）这就是说：函数和图象的交点坐标 ② （是、不是）方程组的解；反之，方程组的解 ③ （是、不是）函数和图象的交点坐标． （2）根据图（2）写出方程组的解是：____________ （3）已知两个一次函数和． ①求这两个函数图象的交点坐标； ②在图（3）的坐标系中画出这两个函数的图象 ③根据图象写出当时，的取值范围． 一次函数与面积——坐标轴围成三角形的面积题型01 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 2．（25-26八年级·云南宣威·月考）直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为________． 5．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)利用图象直接写出：当时，的取值范围． 一次函数与面积——两直线与坐标轴围成图形的面积题型02 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 4．如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是____________． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． (1)求E点的坐标； (2)求的面积． 一次函数与面积——由面积反求参数或函数解析式题型03 1．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为__________． 4．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 5．已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（-1，6）．求： （1）这个一次函数的解析式； （2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $