5.5 一次函数与二元一次方程 同步练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

5.5 一次函数与二元一次方程 课时作业 苏科版 · 八年级上册 · 第5章 一次函数 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．理解二元一次方程与一次函数之间的关系，知道二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标之间的对应关系． 2．理解二元一次方程组的解与两条直线交点坐标之间的关系，会用图象法解二元一次方程组． 3．能根据两条直线的位置关系判断相应方程组解的情况． 4．能综合运用一次函数与方程（组）的关系解决有关交点、面积及实际问题，体会数形结合思想． 二、知识梳理 知识点1 二元一次方程与一次函数 二元一次方程 ax+by=c（a、b、c 为常数，且 a≠0，b≠0）可以变形为 y=-x+，它就是一个一次函数． 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数的图象上；反过来，一次函数图象上点的坐标都是相应的二元一次方程的解． 例如：方程 2x+y=4 的解 x=0，y=4；x=1，y=2；x=2，y=0；…… 对应的点都在直线 y=-2x+4 上（如图1）． 图1 方程 2x+y=4 的解与直线上的点 知识点2 二元一次方程组与两条直线的交点 一般地，二元一次方程组 的解，就是相应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两条直线交点的坐标就是相应方程组的解． 知识点3 图象法解二元一次方程组 步骤：（1）变形：把方程组中的两个方程都化为 y=kx+b 的形式； （2）画图：在同一坐标系中画出两个一次函数的图象； （3）找交点：确定两条直线交点的坐标； （4）写解：交点的横坐标为 x 的值，纵坐标为 y 的值． 注意：图象法求得的解有时是近似值，必要时可以代入方程检验． 知识点4 两直线的位置关系与方程组解的情况 两直线 y=k₁x+b₁ 与 y=k₂x+b₂ 位置关系 方程组解的情况 k₁≠k₂ 相交（有一个交点） 有唯一解 k₁=k₂，b₁≠b₂ 平行（没有交点） 无解 k₁=k₂，b₁=b₂ 重合 有无数个解 知识点5 一次函数与一元一次方程的联系 一元一次方程 kx+b=0 的解，就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 方程 kx+b=m 的解，就是直线 y=kx+b 上纵坐标为 m 的点的横坐标． 三、典例精析 【例1】用图象法解方程组 ． 【解答】将方程组化为 ．在同一坐标系中画出直线 y=-x+3 和 y=x+1（如图2），两直线的交点为 P(1，2)． 图2 所以方程组的解为 ． 检验：1+2=3，1-2=-1，正确． 【例2】已知直线 y=kx+4 与直线 y=2x 的交点的横坐标为 1，求 k 的值． 【解答】交点在直线 y=2x 上，横坐标为 1，则纵坐标为 2，交点为 (1，2)．把 (1，2) 代入 y=kx+4，得 2=k+4，k=-2． 【方法点拨】交点同时在两条直线上，它的坐标同时满足两个函数表达式．已知交点的一个坐标时，先代入已知表达式求出另一个坐标． 【例3】方程组 的解的情况如何？请从图象的角度说明． 【解答】两个方程分别化为 y=2x-1 和 y=2x-．两直线的 k 相同、b 不同，所以两直线平行，没有交点，方程组无解． 四、基础巩固 （一）选择题 1．把方程 x-2y=4 化为 y 关于 x 的一次函数，正确的是（　　） A．y=x-2 B．y=x+2 C．y=2x-4 D．y=-x+2 2．如图3，直线 y=-x+1 与 y=x+4 相交于点 P(-2，3)，则方程组 的解是（　　） 图3 A． B． C． D． 3．方程组 的解的情况是（　　） A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．有无数个解 4．一次函数 y=kx+b 的图象经过点 (2，0)，则关于 x 的方程 kx+b=0 的解是（　　） A．x=0 B．x=2 C．x=-2 D．无法确定 5．下列各点中，在方程 3x+2y=6 所对应的直线上的是（　　） A．(1，2) B．(2，0) C．(0，2) D．(-2，3) （二）填空题 6．若方程组 的解是 ，则直线 y=kx+b 与 y=mx+n 的交点坐标为______． 7．把方程 3x+y-5=0 化为一次函数的形式为______，该直线与 x 轴的交点坐标为______． 8．直线 y=x+2 与直线 y=-2x+5 的交点坐标为______． 9．若直线 y=ax+3 与直线 y=2x-1 没有交点，则 a=______． 10．已知直线 y=2x+b 与直线 y=-x+4 相交于点 (1，m)，则 m=______，b=______． （三）解答题 11．在图4中用图象法解方程组 ． 图4 12．如图5，直线 l₁：y=2x-2 与直线 l₂：y=-x+4 相交于点 P，l₁、l₂ 与 x 轴分别交于点 A、B． 图5 （1）求点 P 的坐标； （2）求点 A、B 的坐标； （3）求△PAB 的面积． 13．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 (1，1) 和 (2，-1)． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求这个一次函数的图象与直线 y=4x 的交点坐标． 五、能力提升 14．若关于 x、y 的方程组 有无数个解，则 a、b 的值分别为（　　） A．a=2，b=1 B．a=2，b≠1 C．a≠2，b=1 D．a=-2，b=-1 15．以方程组 的解为坐标的点在第______象限． 16．若直线 y=2x-1 与直线 y=x-k 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是______． 17．甲、乙两家印刷公司都承接宣传资料的印刷业务．甲公司收取制版费 60 元，另外每份收费 元；乙公司不收制版费，每份收费 元．设印刷 x 份，甲、乙两公司的费用分别为 y₁、y₂（元），图象如图6所示． 图6 （1）分别写出 y₁、y₂ 与 x 之间的函数表达式； （2）求两条直线交点的坐标，并说明它的实际意义； （3）学校需要印刷 400 份宣传资料，选择哪家公司更省钱？ 18．如图7，直线 y=-2x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；直线 y=x+1 与 y 轴交于点 C，与直线 AB 交于点 D． 图7 （1）求点 D 的坐标； （2）求△BCD 的面积； （3）求四边形 OADC 的面积． 六、拓展探究 19．已知三条直线 y=x+1，y=-x+5，y=kx-3 相交于同一点，求 k 的值． 20．如图8，已知 A(2，3)、B(4，1)，直线 y=kx+2（k≠0）与线段 AB 有公共点，求 k 的取值范围． 图8 21．【探究】结合图2回答： （1）当 x 取何值时，直线 y=x+1 上的点在直线 y=-x+3 上相应点的上方？ （2）写出方程 x+1=-x+3 的解，并说明它与两条直线交点的关系． 参考答案与解析 四、基础巩固 1．A 【解析】由 x-2y=4 得 2y=x-4，y=x-2． 2．B 【解析】方程 x+y=1 即 y=-x+1，方程 x-2y=-8 即 y=x+4．方程组的解就是两直线交点 P(-2，3) 的坐标，所以解为 x=-2，y=3． 3．C 【解析】两直线 k 都等于 2，b 不相等，两直线平行，没有交点，所以方程组无解． 4．B 【解析】方程 kx+b=0 的解就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标，即 x=2． 5．B 【解析】把各点坐标代入 3x+2y：A 为 7，B 为 6，C 为 4，D 为 0，只有 B 满足方程． 6．(3，-1) 7．y=-3x+5；(，0) 【解析】令 y=0，-3x+5=0，x=． 8．(1，3) 【解析】x+2=-2x+5，3x=3，x=1，y=3． 9．2 【解析】两直线没有交点，即平行，所以 a=2（此时 3≠-1，满足 b 不相等）． 10．3；1 【解析】点 (1，m) 在 y=-x+4 上，m=-1+4=3；把 (1，3) 代入 y=2x+b，得 3=2+b，b=1． 11．【答案】． 图9 【解析】将方程组化为 ． 直线 y=-x+5 过点 (0，5)、(5，0)；直线 y=2x-1 过点 (0，-1)、(2，3)． 在同一坐标系中画出两条直线（如图9），交点为 (2，3)，所以方程组的解为 x=2，y=3． 检验：2+3=5，2×2-3=1，正确． 12．【答案】（1）P(2，2)；（2）A(1，0)，B(4，0)；（3）3． 【解析】（1）解方程组 ，得 2x-2=-x+4，x=2，y=2，所以 P(2，2)． （2）令 2x-2=0，得 x=1，A(1，0)；令 -x+4=0，得 x=4，B(4，0)． （3）AB=4-1=3，点 P 到 x 轴的距离为 2，S△PAB=×3×2=3． 13．【答案】（1）y=-2x+3；（2）(，2)． 【解析】（1）k+b=1，2k+b=-1，两式相减得 k=-2，b=3，所以 y=-2x+3． （2）解方程组 ，得 4x=-2x+3，6x=3，x=，y=4×=2．交点坐标为 (，2)． 五、能力提升 14．A 【解析】方程组有无数个解，两直线 y=2x-1 与 y=ax-b 重合，所以 a=2，-b=-1，即 b=1． 15．一 【解析】-x+2=x-1，2x=3，x=，y=-1=．点 (，) 在第一象限． 16．<k<1 【解析】由 2x-1=x-k，得 x=1-k，y=2(1-k)-1=1-2k．交点在第四象限，则 1-k>0 且 1-2k<0，解得 k<1 且 k>，所以 <k<1． 17．【答案】（1）y₁=x+60，y₂=x；（2）(300，180)，表示印刷 300 份时，两公司费用都是 180 元；（3）选择甲公司． 【解析】（2）解方程组 ，得 x-x=60，x=60，x=300，y=180． （3）当 x=400 时，y₁=×400+60=220，y₂=×400=240，y₁<y₂，选择甲公司更省钱． （也可由图象判断：x>300 时，甲公司的图象在乙公司图象的下方．） 18．【答案】（1）D(1，2)；（2）；（3）． 【解析】（1）解方程组 ，得 -2x+4=x+1，x=1，y=2，所以 D(1，2)． （2）B(0，4)，C(0，1)，BC=3．点 D 到 y 轴的距离为 1，S△BCD=×3×1=． （3）A(2，0)，OB=4，OA=2，S△AOB=×2×4=4．S四边形OADC=S△AOB-S△BCD=4-=． 六、拓展探究 19．【答案】k=3． 【解析】先求前两条直线的交点：x+1=-x+5，x=2，y=3，交点为 (2，3)．三条直线交于同一点，所以第三条直线也经过点 (2，3)，3=2k-3，k=3． 20．【答案】-≤k≤，且 k≠0． 【解析】直线 y=kx+2 恒过点 M(0，2)． 当直线经过点 A(2，3) 时，3=2k+2，k=； 当直线经过点 B(4，1) 时，1=4k+2，k=-． 如图8，直线绕点 M 从 MB 旋转到 MA 的过程中（经过水平位置 k=0），都与线段 AB 有公共点，所以 -≤k≤．又 k≠0，所以 k 的取值范围是 -≤k<0 或 0<k≤． 21．【答案】（1）x>1；（2）x=1，它是两条直线交点 P(1，2) 的横坐标． 【解析】（1）由图2，两直线交于 P(1，2)，在点 P 的右侧，直线 y=x+1 位于直线 y=-x+3 的上方，所以 x>1． （2）解 x+1=-x+3，得 x=1．方程 x+1=-x+3 的解就是两个一次函数的函数值相等时自变量的值，即两直线交点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $