5.4 用一次函数解决问题 同步练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

5.4 用一次函数解决问题 课时作业 苏科版 · 八年级上册 · 第5章 一次函数 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．能从实际问题中抽象出一次函数模型，列出函数表达式并确定自变量的取值范围． 2．能利用一次函数的性质解决最大（小）值、方案选择等问题． 3．能读懂一次函数图象（含分段图象）中的信息，解决行程、费用等实际问题． 4．体会函数建模思想和数形结合思想，提高分析问题、解决问题的能力． 二、知识梳理 知识点1 用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，找出问题中的变量和常量，确定自变量和函数； （2）建模：根据等量关系列出一次函数表达式； （3）定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； （4）求解：利用一次函数的图象和性质解决问题； （5）检验作答：检验结果是否符合实际，写出答案． 知识点2 利用一次函数求最值 对于一次函数 y=kx+b，在自变量的某一取值范围内： k>0 时，x 取最小值时 y 最小，x 取最大值时 y 最大； k<0 时，x 取最小值时 y 最大，x 取最大值时 y 最小． 注意：自变量若表示人数、件数等，必须取整数． 知识点3 方案选择问题 方法一（代数法）：分别列出各方案的函数表达式 y₁、y₂，通过比较 y₁=y₂、y₁>y₂、y₁<y₂ 对应的自变量范围作出选择． 方法二（图象法）：在同一坐标系中画出各函数的图象，求出交点，结合图象的高低进行比较．哪条直线在下方，哪种方案费用更低． 知识点4 图象信息问题 读图时关注：①横轴、纵轴分别表示什么量，单位是什么；②图象上的特殊点（起点、终点、交点、转折点）的实际意义；③图象的倾斜程度表示变化的快慢（如速度），水平线段表示该量不变． 分段函数：在自变量的不同范围内，函数表达式不同，求值时要先判断自变量所在的范围． 三、典例精析 【例1】某商店计划购进 A、B 两种商品共 100 件，A 种商品每件利润 20 元，B 种商品每件利润 30 元，要求 B 种商品的数量不超过 A 种商品数量的 3 倍．设购进 A 种商品 x 件，总利润为 W 元． （1）写出 W 与 x 之间的函数表达式；（2）如何进货才能使总利润最大？最大利润是多少？ 【解答】（1）W=20x+30(100-x)=-10x+3000． （2）由题意 100-x≤3x，得 x≥25，又 x≤100，所以 25≤x≤100 且 x 为整数． 因为 k=-10<0，W 随 x 的增大而减小，所以当 x=25 时，W 最大，W最大=-10×25+3000=2750（元）．此时购进 A 种商品 25 件、B 种商品 75 件． 【例2】某通讯公司有两种手机套餐：A 套餐月租 30 元，通话每分钟 元；B 套餐无月租，通话每分钟 元．两种套餐的月话费 y（元）与通话时间 x（分）之间的关系如图1所示．怎样选择套餐更省钱？ 图1 【解答】A 套餐：y₁=x+30；B 套餐：y₂=x． 令 x+30=x，得 x=30，x=100．即两图象交于点 (100，40)． 由图象可知：当 0≤x<100 时，B 套餐的图象在下方，选 B 套餐省钱；当 x=100 时，两种套餐费用相同；当 x>100 时，A 套餐的图象在下方，选 A 套餐省钱． 【方法点拨】方案选择问题的关键是找到“分界点”（两函数值相等时的自变量的值），再分段比较． 四、基础巩固 （一）选择题 1．一根弹簧原长 10 cm，挂重物后会伸长，每挂 1 kg 重物伸长 2 cm，弹簧最多能挂 8 kg 的重物．则弹簧总长 y（cm）与所挂重物质量 x（kg）之间的函数表达式及自变量的取值范围是（　　） A．y=2x+10（x≥0） B．y=2x+10（0≤x≤8） C．y=10x+2（0≤x≤8） D．y=2x（0≤x≤8） 2．甲、乙两人沿同一条路线从 A 地出发前往 20 km 外的 B 地，他们离开 A 地的路程 s（km）与时间 t（h）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（　　） 图2 A．乙比甲晚出发 1 h B．乙比甲早到 1 h C．甲的速度是 5 km/h D．乙追上甲时，两人距 A 地 15 km 3．某充电宝充电前电量为 10%，充电时每小时电量增加 20%，则电量 y（%）与充电时间 x（h）之间的函数关系及充满电所需时间分别为（　　） A．y=20x+10，5 h B．y=10x+20，8 h C．y=20x+10， h D．y=20x，5 h 4．一辆汽车从 A 地匀速驶往 B 地，剩余路程 y（km）与行驶时间 x（h）之间的关系如图3所示，则汽车的速度和 A、B 两地的距离分别为（　　） 图3 A．60 km/h，240 km B．80 km/h，240 km C．80 km/h，160 km D．160 km/h，240 km （二）填空题 5．某市居民用水实行分段收费，每户每月水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的关系如图4所示． 图4 （1）当用水量不超过 10 吨时，每吨水费______元；小明家某月用水 8 吨，应交水费______元； （2）超过 10 吨的部分，每吨水费______元；当 x>10 时，y 与 x 的函数表达式为______； （3）小华家某月交水费 35 元，则该月用水______吨． 6．一支蜡烛长 20 cm，点燃后每小时缩短 4 cm，则剩余长度 h（cm）与燃烧时间 t（h）之间的函数表达式为______，自变量 t 的取值范围是______． 7．摄氏温度 C（℃）与华氏温度 F（℉）之间满足 F=C+32．当 C=25 时，F=______；当 F=-4 时，C=______． 8．一辆汽车匀速从 A 地开往 B 地，剩余路程 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数表达式为 y=-80x+240，则 A、B 两地相距______km，汽车从 A 地到 B 地需要______h． （三）解答题 9．学校计划购买足球和篮球共 40 个，已知足球每个 120 元，篮球每个 90 元，要求购买足球的数量不少于篮球数量的 ．设购买足球 x 个，总费用为 W 元． （1）写出 W 与 x 之间的函数表达式； （2）求自变量 x 的取值范围； （3）怎样购买最省钱？最少费用是多少？ 10．某学校组织学生外出研学，甲、乙两家旅行社的报价均为每人 200 元．甲旅行社表示：所有人按八折收费；乙旅行社表示：前 10 人按全价收费，超过 10 人的部分按六折收费．设参加研学的人数为 x（人），甲、乙旅行社的费用分别为 y₁、y₂（元）． （1）分别写出 y₁、y₂ 与 x 之间的函数表达式； （2）当参加人数多于 10 人时，选择哪家旅行社更省钱？ 五、能力提升 11．某公司生产一种产品，每件成本 60 元，出厂价每件 100 元，每天的固定支出为 2000 元．设每天生产并销售 x 件，每天的利润为 y 元．当利润不低于 1200 元时，每天至少生产销售______件． 12．甲、乙两地相距 300 km，一辆货车从甲地出发匀速驶往乙地，出发 1 h 后，一辆轿车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车离甲地的距离 y（km）与货车行驶时间 x（h）之间的关系如图5所示． 图5 （1）分别求货车和轿车离甲地的距离 y 与 x 之间的函数表达式； （2）轿车出发后多长时间追上货车？此时离甲地多远？ （3）在货车到达乙地之前，求两车相距 20 km 时 x 的值． 13．A 仓库有化肥 40 吨，B 仓库有化肥 60 吨．现需将这些化肥运往甲、乙两地，甲地需要 50 吨，乙地需要 50 吨．从各仓库运往各地每吨的运费如下表： 仓库 运往甲地（元/吨） 运往乙地（元/吨） A 仓库 20 25 B 仓库 15 24 设从 A 仓库运往甲地 x 吨化肥，总运费为 W 元． （1）用含 x 的式子填写从各仓库运往各地的吨数； （2）写出 W 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围； （3）怎样调运，总运费最少？最少运费是多少？ 六、拓展探究 14．某商店计划购进 A、B 两种电器共 100 台，其中 A 型电器每台利润 100 元，B 型电器每台利润 150 元，要求 B 型电器的数量不超过 A 型电器数量的 2 倍，且 A 型电器最多购进 70 台．设购进 A 型电器 x 台，这 100 台电器的销售总利润为 W 元． （1）求 W 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围； （2）该商店怎样进货才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对 A 型电器出厂价下调 m（0<m<100）元，且限定 A 型电器最多购进 70 台，其他条件不变．请你设计出使这 100 台电器销售总利润最大的进货方案． 15．一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，快车到达甲地后停止．设行驶时间为 t（h），两车之间的距离为 y（km），y 与 t 之间的函数关系如图6中的折线 A→C→D→E 所示． 图6 （1）甲、乙两地之间的距离为______km，点 C 的实际意义是______； （2）求慢车和快车的速度； （3）求线段 CD 所表示的 y 与 t 之间的函数表达式，并说明点 D 的实际意义． 参考答案与解析 四、基础巩固 1．B 【解析】y=10+2x，最多挂 8 kg，所以 0≤x≤8． 2．D 【解析】由图象可知，甲 0 h 出发、4 h 到达，速度为 20÷4=5（km/h）；乙 1 h 出发、3 h 到达，比甲晚出发 1 h、早到 1 h，速度为 20÷2=10（km/h）．A、B、C 正确． 设乙出发后追上甲，则 5t=10(t-1)，解得 t=2，此时距 A 地 5×2=10（km），不是 15 km，所以 D 错误． 3．C 【解析】y=20x+10．令 20x+10=100，得 x=，即充满电需 h． 4．B 【解析】x=0 时 y=240，即两地相距 240 km；1 h 后剩余 160 km，说明 1 h 行驶 80 km，速度为 80 km/h．（3 h 行完全程，与图象相符．） 5．（1）2；16；（2）3；y=3x-10；（3）15 【解析】（1）用水 10 吨交费 20 元，每吨 20÷10=2（元），用水 8 吨交费 16 元． （2）从 10 吨到 20 吨，水费从 20 元增加到 50 元，每吨 (50-20)÷(20-10)=3（元）．x>10 时，y=20+3(x-10)=3x-10． （3）35>20，说明用水超过 10 吨，令 3x-10=35，得 x=15． 6．h=20-4t；0≤t≤5 【解析】剩余长度不小于 0：20-4t≥0，得 t≤5． 7．77；-20 【解析】F=×25+32=45+32=77；令 C+32=-4，C=-36，C=-20． 8．240；3 【解析】x=0 时 y=240，即全程 240 km；令 y=0，得 x=3． 9．【答案】（1）W=30x+3600；（2）10≤x≤40，且 x 为整数；（3）购买足球 10 个、篮球 30 个最省钱，最少费用为 3900 元． 【解析】（1）W=120x+90(40-x)=30x+3600． （2）由题意 x≥(40-x)，即 3x≥40-x，4x≥40，x≥10．又 x≤40，所以 10≤x≤40，x 为整数． （3）k=30>0，W 随 x 的增大而增大，所以 x=10 时 W 最小，W最小=30×10+3600=3900（元）． 10．【答案】（1）y₁=160x；当 0<x≤10 时，y₂=200x；当 x>10 时，y₂=120x+800．（2）见解析． 【解析】（1）甲：200×0.8=160（元/人），y₁=160x． 乙：x>10 时，y₂=200×10+200×0.6×(x-10)=2000+120x-1200=120x+800． （2）当 x>10 时： 若 y₁<y₂，即 160x<120x+800，解得 x<20； 若 y₁=y₂，即 160x=120x+800，解得 x=20； 若 y₁>y₂，即 160x>120x+800，解得 x>20． 所以当 10<x<20 时，选择甲旅行社更省钱；当 x=20 时，两家费用相同；当 x>20 时，选择乙旅行社更省钱． 图7 两家旅行社费用的函数图象 五、能力提升 11．80 【解析】y=(100-60)x-2000=40x-2000．令 40x-2000≥1200，得 x≥80，所以至少生产销售 80 件． 12．【答案】（1）货车：y=60x（0≤x≤5）；轿车：y=100x-100（1≤x≤4）．（2）轿车出发 h 后追上货车，此时离甲地 150 km．（3）x= 或 2 或 3 或 ． 【解析】（1）货车 5 h 行驶 300 km，速度 60 km/h，y=60x．轿车从 x=1 出发，x=4 到达，速度 300÷3=100（km/h），y=100(x-1)=100x-100． （2）令 60x=100x-100，得 x=，轿车出发 -1=（h），此时 y=60×=150（km）． （3）分四种情况： ① 轿车出发前（0≤x<1）：60x=20，x=； ② 轿车出发后、追上前（1≤x<）：60x-(100x-100)=20，x=2； ③ 追上后、轿车到达前（<x≤4）：(100x-100)-60x=20，x=3； ④ 轿车到达乙地后（4<x≤5）：300-60x=20，x=． 综上，x 的值为 ，2，3，． 【易错提醒】行程问题中“两车相距某一距离”往往有多种情况，要按时间段分类讨论，防止漏解． 13．【答案】（1）见下表；（2）W=4x+1990（0≤x≤40）；（3）A 仓库的 40 吨全部运往乙地，B 仓库运往甲地 50 吨、运往乙地 10 吨，总运费最少，为 1990 元． 仓库 运往甲地（吨） 运往乙地（吨） A 仓库 x 40-x B 仓库 50-x 10+x 【解析】（2）W=20x+25(40-x)+15(50-x)+24(10+x)=20x+1000-25x+750-15x+240+24x=4x+1990． 各运量均不能为负：x≥0，40-x≥0，50-x≥0，10+x≥0，所以 0≤x≤40． （3）k=4>0，W 随 x 的增大而增大，x=0 时 W 最小，为 1990 元． 六、拓展探究 14．【答案】（1）W=-50x+15000（34≤x≤70，x 为整数）；（2）购进 A 型 34 台、B 型 66 台，最大利润 13300 元；（3）见解析． 【解析】（1）W=100x+150(100-x)=-50x+15000． 由 100-x≤2x，得 x≥，x 为整数，所以 x≥34；又 x≤70，所以 34≤x≤70． （2）k=-50<0，W 随 x 的增大而减小，x=34 时 W 最大，W最大=-50×34+15000=13300（元）． （3）A 型电器每台利润变为 (100+m) 元，W=(100+m)x+150(100-x)=(m-50)x+15000（34≤x≤70）． ① 当 0<m<50 时，m-50<0，W 随 x 增大而减小，购进 A 型 34 台、B 型 66 台利润最大； ② 当 m=50 时，W=15000，在取值范围内的所有进货方案利润相同； ③ 当 50<m<100 时，m-50>0，W 随 x 增大而增大，购进 A 型 70 台、B 型 30 台利润最大． 15．【答案】（1）480；两车出发 h 后相遇；（2）慢车 60 km/h，快车 120 km/h；（3）y=180t-480（≤t≤4），点 D 表示出发 4 h 时快车到达甲地，此时两车相距 240 km． 【解析】（1）t=0 时 y=480，即甲、乙两地相距 480 km；点 C 处 y=0，表示两车相遇． （2）慢车行完全程用 8 h（点 E），速度为 480÷8=60（km/h）；两车 h 共行驶 480 km，速度之和为 480÷=180（km/h），快车速度为 180-60=120（km/h）． （3）快车到达甲地用时 480÷120=4（h）．相遇后到快车到达前，两车距离每小时增加 180 km，y=180(t-)=180t-480．t=4 时，y=240，所以 D(4，240)，表示快车到达甲地时，两车相距 240 km．此后只有慢车行驶，距离每小时增加 60 km，到 t=8 时 y=480，与图象相符． 学科网（北京）股份有限公司 $