5.2一次函数的概念（分层作业，6大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 5.2 一次函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的概念 题型02 一次函数的概念 题型03 列一次函数解析式并求值 题型04 求一次函数的解析式 B组 能力进阶 题型 根据一次函数的概念求参数 C组 思维拔高 题型 新定义 正比例函数的概念题型01 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·广东江门·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各组的两个变量之间，成正比例的是（    ） A．矩形的面积和它的一条边长 B．圆的半径和它的面积 C．工作效率一定，工作量与工作时间 D．路程一定，速度与时间 6．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 一次函数的概念题型02 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤其中一定是一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·质检）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 5．函数（k，b都是常数，且）叫做__________，当时，函数（k是常数，）叫做__________，常数k叫做__________． 6．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 7．把方程改写成y关于x的一次函数形式，得________________，其中__________，__________． 8．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 列一次函数解析式并求值题型03 1．点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是(    ) A．y=20-2x(0＜x＜10) B．y=20-2x(5＜x＜10) C．y=10-x(5＜x＜10) D．y=10-0.5x(10＜x＜20) 3．已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 4．（2026·辽宁葫芦岛·模拟）若点在一次函数图象上，则的值是________． 5．（24-25八年级上·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 6．已知某汽车油箱中剩余油量y（升）与汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶120（千米）后油箱中剩余油量为_______． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 求一次函数的解析式题型04 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系： 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 设该商品的销售价为元，销售量为件，估计：当时，的值为（    ） A．85 B．75 C．65 D．55 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是______． 3．已知一次函数的图象经过原点，则_____． 4．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 5．（2025·广东广州·模拟）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是________ ． 6．已知y与2x-1成正比例，当x=2时，y=6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当y=-6时，求x的值． 7．（24-25八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过和两点，求这个一次函数的解析式． 8．（25-26八年级·期中）一次函数的图象上有两个不同的点 (1)若，则　； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 根据一次函数的概念求参数题型 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25九年级上·吉林长春·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2或1 C．1 D．0 3．若直线y=kx+k+1经过点(m，n+3)和(m+1，2n－1)，且0<k＜2，则n的取值范围是（    ） A．3<n＜5 B．4<n＜6 C．5<n＜7 D．6<n＜8 4．已知函数是一次函数，则m的取值范围为________． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知是一次函数，则_____． 6．若一次函数y=kx﹣（2k+1）是正比例函数， 则k的值为________ ． 7．当________时，函数是以为自变量的一次函数 8．已知关于的函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若点在函数图像上，求的值． 新定义题型 1．一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 3．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 4．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______． 6．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 7．一个四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为c，若点在直线上，称直线为M的互动直线．将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，例如：，则．记，则=_______；若为6的倍数，则满足条件的M的互动直线条数为_______． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． (1)请直接写出函数的“逆反函数”______． (2)若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.2 一次函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的概念 题型02 一次函数的概念 题型03 列一次函数解析式并求值 题型04 求一次函数的解析式 B组 能力进阶 题型 根据一次函数的概念求参数 C组 思维拔高 题型 新定义 正比例函数的概念题型01 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义：形如为常数且的函数是正比例函数，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是一次函数但不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项符合题意； D、，不是正比例函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合条件． 【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数． ②：，符合的形式，其中，是正比例函数． ③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义． ④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数． 故选B． 3．（24-25八年级下·广东江门·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足自变量的次数为1，且不位于分母或根号内． 【分析】A．中，的次数为2，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意； B．中，位于分母，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意； C．中，位于根号内，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意； D．中，的次数为1，且符合的形式（），是正比例函数，故本选项符合题意． 故选D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：是正比例函数； 当时，是正比例函数； 是一次函数； 不是正比例函数， 不是正比例函数． 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 5．下列各组的两个变量之间，成正比例的是（    ） A．矩形的面积和它的一条边长 B．圆的半径和它的面积 C．工作效率一定，工作量与工作时间 D．路程一定，速度与时间 【答案】C 【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，逐项判断即可. 【详解】解：A、矩形的面积S=ab，只有其中一边a为常量，面积S与另一边b成正比，根据题意，a不是常量，所以矩形面积和它的一条边长不成正比例，故本选项错误； B、圆的面积S=πr2，S与r不成正比例，故本选项错误； C、设工作效率为a(a为常量,a≠0)，工作量为s，工作时间为t，则s=at (a为常量,a≠0)，所以s与t是正比例函数，故本选项正确； D、设路程为s (s为常量,s≠0)，速度为v，时间为t，则 (s为常量,s≠0)，所以v与t不是正比例函数，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意列出表达式判断其是否符合正比例函数定义的条件是解答本题的重要途径. 6．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 【答案】C 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是正比例函数，故此选项符合题意； D、设水箱有水，则，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 一次函数的概念题型02 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤其中一定是一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．根据一次函数的定义（形如，其中），判断各函数是否一定满足条件即可． 【详解】解：①，，是一次函数； ②，，是一次函数； ③，不是一次函数； ④，不是一次函数； ⑤，当时，为常数函数，不是一次函数，故不一定是一次函数； 综上，一定是一次函数的只有①和②，共2个． 故选：B． 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·质检）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y与x的函数关系式，判断是否为一次函数即可． 【详解】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为㡳×高，代入底长3，得，即，是正比例函数（一次函数），符合条件； ②：泳池匀速放水，剩余水量与时间的关系为（为初始水量，为放水速度），属于一次函数，符合条件； ③：铺设总长度固定时，每日铺设长度与天数满足（为总长度），不符合一次函数． 综上，满足一次函数关系的是①和②， 故选∶A． 4．如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键． 根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导与的关系. 【详解】解：∵是的正比例函数， ∴ . ∵是的一次函数， ∴ . 将代入，得 . 其中和为常数，且， ∴是的一次函数. 故选：B. 5．函数（k，b都是常数，且）叫做__________，当时，函数（k是常数，）叫做__________，常数k叫做__________． 【答案】 一次函数 正比例函数 比例系数 【分析】直接根据一次函数和正比例函数的定义作答即可． 【详解】函数（k，b都是常数，且）叫做一次函数，当时，函数（k是常数，）叫做正比例函数，常数k叫做比例系数． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 7．把方程改写成y关于x的一次函数形式，得________________，其中__________，__________． 【答案】 -2 3 【分析】此题考查将二元一次方程通过恒等变形变为一次函数关系式的题目，实质就是用含有其中一个字母的式子表示另一个字母的问题，注意化成所求函数的标准形式． 将方程通过移项变形，得到关于的一次函数表达式即可． 【详解】解：由方程，移项得， 即，这是一次函数的一般形式， 其中， 故答案为：；；． 8．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 列一次函数解析式并求值题型03 1．点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果； 【详解】把代入函数解析式得：， 化简得到：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键． 2．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是(    ) A．y=20-2x(0＜x＜10) B．y=20-2x(5＜x＜10) C．y=10-x(5＜x＜10) D．y=10-0.5x(10＜x＜20) 【答案】B 【分析】根据已知列函数式，再根据三角形三边的关系确x的取值范围即可． 【详解】解：∵2x+y=20， ∴y=20-2x，则20-2x＞0， 解得：x＜10， 由两边之和大于第三边，得x+x＞20-2x， 解得：x＞5， 综上可得：y=20-2x（5＜x＜10） 故选B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 3．已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为．（答案不唯一） 4．（2026·辽宁葫芦岛·模拟）若点在一次函数图象上，则的值是________． 【答案】 【详解】解：将点代入，得， 移项，得． 5．（24-25八年级上·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（为常数，且）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案． 【详解】解：与成正比例，且比例系数是， ， 整理可得：， 与的函数关系式为， 故答案为：． 6．已知某汽车油箱中剩余油量y（升）与汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶120（千米）后油箱中剩余油量为_______． 【答案】40升 【分析】求出每千米的耗油量，根据题意可写出y和x的函数关系式，求出x＝120时y的值即可． 【详解】解：根据题意得每千米的耗油量为：（100−70）÷60＝升， ∴行驶x（千米）后油箱中的剩余油量y＝100−x， 当x＝120时，y＝100−×120＝40升， 故答案为：40升． 【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式，关键是理解题意，能够求出每千米的耗油量． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2) 解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）略 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 求一次函数的解析式题型04 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系： 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 设该商品的销售价为元，销售量为件，估计：当时，的值为（    ） A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把x＝115代入求y的值即可． 【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设y＝kx＋b（k≠0）， 把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得， ，解得：， 则y＝−x＋180， 当x＝115时，y＝−115＋180＝65． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，根据题目中的条件分析函数关系是关键的一步，并且要熟练掌握待定系数法求解析式． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，使用待定系数法，设正比例函数为，将点代入求解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴这个正比例函数的表达式是， 故答案为：． 3．已知一次函数的图象经过原点，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 将代入解析式即可求解． 【详解】∵一次函数的图象经过原点， ∴将代入得，， 解得． 故答案为：1． 4．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 5．（2025·广东广州·模拟）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是________ ． 【答案】## 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意得出一次函数的图象也经过点，进而根据待定系数法即可求得． 【详解】解；由题意可知，一次函数的图象也经过点，即， ∴， 解得：， ∴此函数表达式是， 故答案为：． 6．已知y与2x-1成正比例，当x=2时，y=6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当y=-6时，求x的值． 【答案】（1）y与x之间的函数关系式是y＝4x－2；（2）x＝-1． 【分析】（1）根据正比例函数定义设设y=k(2x－1)，将数值代入计算即可； （2）将y=-6代入（1）的函数解析式求解． 【详解】解：（1）设y=k(2x－1)， 当x＝2时，y＝6， ∴3k=6， 解得k=2， ∴y与x之间的函数关系式是y＝4x－2； （2）当y=-6时 4x－2=－6， 解得x＝-1． 【点睛】此题考查正比例函数的定义，求函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 7．（24-25八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过和两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 利用待定系数法求一次函数解析式． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和， ，解得， 这个函数的解析式为． 8．（25-26八年级·期中）一次函数的图象上有两个不同的点 (1)若，则　； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数的性质． （1）由题意得到，，根据待定系数法即可求解； （2）由题意得到，，两式相减得，进而化简即可； （3）由题意得到，，从而得到，根据得到，即可解答． 【详解】（1）解： ， 由条件可得， 解得． 故答案为：． （2）解：∵一次函数的图象上有两个不同的点， ∴， 两式相减得， 由条件可知，， ∴． （3）解：∵， ∴一次函数为， ∵该函数图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴的最大值为． 根据一次函数的概念求参数题型 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2或1 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴或， ∴或， 故选：B． 3．若直线y=kx+k+1经过点(m，n+3)和(m+1，2n－1)，且0<k＜2，则n的取值范围是（    ） A．3<n＜5 B．4<n＜6 C．5<n＜7 D．6<n＜8 【答案】B 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出n＝k+4，再结合k的取值范围，即可求出n的取值范围. 【详解】解：∵直线y＝kx＋k+1经过点（m，n＋3）和（m＋1，2n-1）， ∴， ∴n＝k+4． 又∵0＜k＜2， ∴4＜n＜6． 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足其函数关系式. 4．已知函数是一次函数，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据即为一次函数，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知是一次函数，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 根据一次函数的定义，形如 （）的函数为一次函数，因此 的指数必须为，且系数不为零． 【详解】解：函数 是一次函数， ， 解得 ， 当 时，函数为 ，符合一次函数定义． 故答案为：． 6．若一次函数y=kx﹣（2k+1）是正比例函数， 则k的值为________ ． 【答案】-0.5. 【分析】让x的系数不为0，常数项为0列式求值即可． 【详解】∵y=kx-（2k+1）是正比例函数， ∴k≠0，-（2k+1）=0， 解得k=-0.5， 故答案为-0.5． 【点睛】考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0． 7．当________时，函数是以为自变量的一次函数 【答案】0或 【分析】考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．同时考查了分类思想的运用． 根据一次函数的定义，令且或，两种情况讨论即可求得的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得：； 或， 解得：． 综上可知当或时，函数是以为自变量的一次函数． 故答案为：0或． 8．已知关于的函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若点在函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可求出的值； （2）利用一次函数图像上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的函数是正比例函数， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）∵点在函数的图像上， ∴， 解得：， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及正比例函数的定义．解题的关键是：（1）利用正比例函数的定义，找出关于的一元一次不等式及一元一次方程；（2）利用一次函数图像上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程． 新定义题型 1．一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【答案】B 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 【答案】6 【分析】根据题中新定义得到一次函数表达式，再利用正比例函数的定义，得到常数项为，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正比例函数为， ， 解得． 3．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 4．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、正比例函数的定义等知识点，掌握当一次函数的常数项为零时为正比例函数是解题的关键． 根据特征数的定义以及一次函数为正比例函数时，常数项为0且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵特征数为， ∴对应一次函数． ∵该函数为正比例函数， ∴一次项系数：且常数项， ∴． 故答案为：3． 6．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 7．一个四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为c，若点在直线上，称直线为M的互动直线．将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，例如：，则．记，则=_______；若为6的倍数，则满足条件的M的互动直线条数为_______． 【答案】 888 8 【分析】（1）根据新定义写出M，N的值，代入计算即可； （2）根据新定义列出M，N的代数式，表示出，根据为6的倍数，分析即可得出结论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为c， ， 将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N， ， ， 点在直线上， ， ， 为6的倍数，是6的倍数， 也是6的倍数， 即是2的倍数也是3的倍数， 的个位数是，十位数是0，百位数是， 当是2的倍数时，为偶数，可取1、3、5、7、9， 当是3的倍数时，为3的倍数， 只有取1和7时符合题意， 或， ，， ， 满足条件的M的互动直线条数为8条． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了新定义下整式加减的应用，从题目中获取信息列出正确的代数式并化简是解题关键． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． (1)请直接写出函数的“逆反函数”______． (2)若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 【答案】(1) (2)m值为3，n值为 【分析】本题主要考查了新定义运算，求一次函数解析式，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）根据“逆反函数”的定义写出结果即可； （2）把分别代入和，得出m、n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：函数的“逆反函数”为； （2）解：把分别代入和中，，， 解得：，； ∴m值为3，n值为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $