23.2（第4课时）一次函数的简单应用（大单元分层作业）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 本同步练习聚焦一次函数简单应用，分几何与实际应用两大类型，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从单一知识到综合应用的巩固，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |几何应用|一次函数与图形（矩形、正方形等）结合，坐标、平移、对称|从基础坐标计算（如矩形顶点坐标）到综合图形变换（如正方形循环问题），逐步提升空间观念| |实际应用|实际问题中的函数关系（油量、行程、费用等）|从表格数据求解析式（如杆秤问题）到复杂情境分析（如购车费用比较），强化模型意识与应用能力|

23.2（第4课时）一次函数的简单应用（解析版） 目 录 类型一、几何应用 1 类型二、实际应用 22 类型一、几何应用 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形    的顶点、分别在直线和直线（为常数，）上，顶点、在轴上，已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设，计算出，从而得到，确定，代入即可． 【详解】解：矩形的顶点在直线上，顶点、在轴上，，设点，则，代入中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵顶点在直线（为常数，）上，代入中， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 ． 3．如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，根据等腰三角形三线合一的性质得出点的纵坐标，再结合平移规律和一次函数解析式求出点的横坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， 点的纵坐标为， 将点向左平移个单位得到点， 点的纵坐标为， 点在直线上， 当时，，解得， 点的坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点和点的坐标判断出轴，则，且，结合一次函数的增减性可得，从而判断出选项． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点是线段上一点（不与点，重合） ，且， ∵y随的增大而减小， 又 ∵， ，即， 综上，， ∴只有选项C符合． 5．如图1，在一块长方形草坪）中的四周铺设了石板小路，草坪的两条对角线相交于点O，现在有一辆自动巡检小车从拐角A出发，沿着石板小路按运动．设小车当前所在位置为点P，它从出发到当前位置的行驶路程为x，的面积为y，已知y与x的函数关系图象如图2所示，则对角线的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】设的长度a，的长度b， ①如图：当点P在上时，过O作于M， 易得、，再根据函数的增减性可得；当点P在上时，过O作于N，则，，同①可得：，，利用函数的增减性以及等式的性质可得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设的长度为a，的长度为b， ①如图：当点P在上时，过O作于M， ∴的面积为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，的面积最大为3，即； ∵长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，即 ②如图：当点P在上时，过O作于N，则，， 同①可得：， 的面积为， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，的面积最小为0， ∴，即， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，下列选项错误的是（     ） A． B．点M到x轴的距离是 C．点M关于x轴的对称点坐标为 D．所在直线的表达式为 【答案】B 【分析】根据勾股定理可求点到原点的距离，点关于x轴的对称点的坐标特点是纵坐标互为相反数，横坐标不变；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，根据待定系数法可求所在直线的表达式． 【详解】解：A．，正确，不合题意； B．点到x轴的距离为1，不正确，符合题意； C．点关于x轴的对称点坐标为，正确，不合题意； D．把代入，得，则，正确，不合题意． 7．如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式先求出，再求出第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长． 【详解】解：∵在上， 当时，， ∴， ∴第一个正方形的边长为1， ∴当时，第1个正方形的边长为； ∵在上，， 当时，， ∴， ∴第二个正方形的边长为2， ∴当时，第2个正方形的边长为； 同理，当时，第3个正方形的边长为； …… ∴第个正方形的边长为． 【点睛】解决这类规律问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 8．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数解析式为，则光线所在直线的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，先根据待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，根据全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据两直线平行，值相等，结合点的坐标，求出直线的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，如图， 把代入解析式，得， 解得：， 故光线所在直线的函数解析式为； 将代入，得， 故点的坐标为， ∴； 由光的反射可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得； 故直线的解析式为：． 10．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态，分段讨论的底与高的变化情况，从而确定面积与路径长的函数关系，进而判断图象． 【详解】解：由题意可知，正方形边长为4，周长为16． 当时，点在边上运动，此时三点共线， 的面积； 当时，点在边上运动，的底，高为， ，此时随的增大而增大； 当时，点在边上运动，的底，高为正方形边长4， ，此时保持不变； 当时，点在边上运动，的底，高为， ，此时随的增大而减小； 综上所述，图象应为先平（在轴上），再上升，再平（），最后下降．故选B． 11．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点的坐标得出和的长，利用折叠性质得到的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形，点， ，， 由折叠可得，， 在中，， ，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得，， 解得， ∴直线解析式为， 是直线与轴的交点， ∴令，得， 的坐标为． 12．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得．．．的坐标，可以得到规律：，据此即可求解 【详解】解：∵，， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∴． ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， ∴， ∴，即． 13．当直线与直线互相垂直时，．例如直线与直线互相垂直．若直线与直线互相垂直，且直线经过点，则b的值为________． 【答案】2 【分析】先求出直线的值，再将点的坐标和值代入直线解析式，即可求出的值. 【详解】解：直线与直线互相垂直， ， 解得， 又直线经过点， 将，，代入得：， 整理得， 解得. 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 【答案】3 【分析】根据菱形的对称中心是对角线交点，过中心的直线平分面积，先求出中心坐标，写出平移后直线解析式，再将点P坐标代入解析式，最后算出． 【详解】解：连接、交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵直线沿轴向右平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线恰好平分菱形的面积， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 15．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是_________． 【答案】/ 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点和， 则，， ∵， ∴， 当取横坐标为正数时，不等式不变号同理可得． 综上可知：． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线：经过点．将正方形沿y轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有_________． ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为； ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． 【答案】①③④ 【分析】由待定系数法求解函数表达式，判断结论①；过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得、长度，求出长度，判断结论②；由得出点坐标以及移动后的坐标，代入直线表达式，求出，判断结论③；由中点坐标得出正方形对角线的交点坐标，再得出平移后坐标，即可求其到原点的距离，判断结论④． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴直线：，故结论①正确； 过点作轴交于点，过作轴交于点，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，故结论②错误； 同理可证， ∴，， ∴， ∴点，平移后点坐标为， 点在直线：上， 代入得， 解得，故结论③正确； 平移前，对角线交点为中点， ∵、, 其坐标为, 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确； 综上，正确的结论有①③④． 17．如图，正方形、…按照如图所示的方式放置，点、、、…和点、、、…分别在直线和x轴上，已知，，，则的坐标是______________． 【答案】 【分析】先求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得点的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将点，代入直线得：， 解得， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴，即， 归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为，其中为正整数， ∴的坐标是． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 19．如图，已知直线分别与轴和轴交于，两点，点C在线段上，将沿直线翻折，点的对应点落在轴上． (1)求直线的解析式； (2)将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，点，，的对应点分别是点，，．在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点．当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，再由折叠的性质并结合勾股定理求出，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，直线的解析式为，则，求出直线的解析式为，则平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，从而可得，，直线的解析式为，结合题意可得，则，求出，得到，由，得出，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴由勾股定理可得， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可得，，直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，直线的解析式为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，，直线的解析式为， ∵在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或 综上所述，当时，的值为或． 类型二、实际应用 20．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离（单位：）与所挂物重（单位：）之间满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的几组数据，则与之间的函数关系式为（     ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 5.25 8 10.75 13.5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，可设函数关系式为，把，代入可求得，即得一次函数的解析式． 【详解】解：观察可知，与之间呈一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为． 21．某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（    ） 2 4 5 84 68 60 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解函数表达式即可． 【详解】解：设， 将分别代入，得 解得 故Q与t之间的函数关系式是． 22．如图1，一架无人机从一栋楼房的楼顶起飞，匀速上升．已知该架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从图象可以得直线过和两点，设y与x之间的函数关系式为，运用待定系数法求解即可． 【详解】解：y与x之间的函数关系式为， 由图象可以得直线过和两点， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 23．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立直角坐标系得出“兵”的坐标和“帅”的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：根据“相”的坐标为，“炮”的坐标为建立直角坐标系如下： 则“兵”的坐标为：和“帅”的坐标为：， 设经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是， 则， 解得， 故经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是． 24．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立直角坐标系得出“兵”的坐标和“帅”的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：根据“相”的坐标为，“炮”的坐标为建立直角坐标系如下： 则“兵”的坐标为：和“帅”的坐标为：， 设经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是， 则，解得， 所以，经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是． 25．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（     ） A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大 B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为： C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大 【答案】D 【分析】观察图象逐个判断即可． 【详解】解：由图可知甲，乙两个图象表示随着横轴电压的增大，电流强度随之增大，则A正确； 则在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比，则C正确； 由图象可知电压和电流成正比例，所以，则B正确； 当电压不变时，如电压为时，，，可知，所以，则D不正确． 26．一支原长为的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表所示： 燃烧时间/分 剩余长度/ 当这支蜡烛的剩余长度为时，燃烧了______分钟． 【答案】 【分析】根据表格中燃烧时间与剩余长度的变化规律，得出剩余长度与燃烧时间的函数关系式，再将剩余长度代入关系式，求解得到燃烧时间即可． 【详解】解：设燃烧时间为分钟，蜡烛剩余长度为， 由表格数据可得，燃烧时间每增加分钟，剩余长度减少，可得每分钟燃烧， 因此可得函数关系式为， 当时，， 解得， 故答案为． 27．某品牌汽车行驶前油箱中装有汽油50升，行驶过程中每行驶1百公里耗油8升，那么油箱中剩余油量（升）与行驶路程（百公里）之间的函数关系式为________（不必写自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有油量减去行驶耗油量，找出等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，油箱原有油量为升，行驶百公里的耗油量为升， 根据剩余油量的等量关系可得： 整理得． 28．漳州某中学的生物社团为了探究室内盆栽虎皮兰的生长情况，记录了其叶片数y（片）与生长周数x（周）的关系，得到如下数据： 试验周数x/周 0 1 2 3 4 叶片数y/片 10 13 16 19 22 则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，随均匀变化，可判断与为一次函数关系，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 将和代入得：， 解得， 得到关系式． 29．为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度（）与甲队施工时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲队比乙队多施工了________天； (2)求乙队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多时，求乙队已经停工的天数． 【答案】(1)30； (2)； (3)乙队已停工的天数是天． 【分析】（1）根据图象获取信息即可找到甲乙工作时间的关系； （2）由题意得到已知点坐标：，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意分析得到甲队每天的改造长度，得到在乙队停工时，甲乙各自完成长度，得到甲队比乙队改造总长度多时实际的改造长度，则可知乙队停工的时间． 【详解】（1）解：根据函数图象，甲队工作55天，乙队工作25天， 甲队比乙队多施工了天； （2）解：设乙队停工后关于的函数解析式为：， 点在图象上， ， 解得， ∴函数解析式为． （3）解：由（1）可知，甲队单独改造30天，改造的长度是，甲队每天改造． 前25天是甲乙合作改造完成， 则乙单独改造的长度是， 当甲改造的长度是时， 工作天数是（天）， 所以乙队已停工的天数是（天）． 30．“曹冲称象”是我国古代经典的等量代换智慧故事．某物理实践小组受此启发，利用浮力原理制作了一把可测量物体质量的“浮力秤”：将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，通过向杯中放入不同质量的物体，记录量杯浸入水中的深度变化，从而实现对物体质量的测量．设放进杯中的物体质量为，量杯浸入水中的深度为． 小组同学在量杯中依次放置不同质量的物体，测得部分数据如下表： 物体质量 浸入水中深度 (1)在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； (2)观察这些点的分布情况，他们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数关系式；如果不在同一条直线上，说明理由； (3)若该量杯的高度为，不考虑其它因素，求此“浮力秤”最多可称量的物体质量是多少千克？ 【答案】(1) (2)解：根据点分布的情况可知，这些点在同一条直线上， 设这条直线的解析式为， 把、的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 这条直线所对应的函数关系式为； (3)此“浮力秤”最多可称量的物体质量是千克． 【分析】（1）根据表格中的数据描点即可； （2）根据点分布的情况可知，这些点在同一条直线上，用待定系数法求出这条直线所对应的函数关系式即可； （3）求出当时对应的的值即为此“浮力秤”最多可称量的物体质量． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时， 可得：， 解得：， 答：此“浮力秤”最多可称量的物体质量是千克． 31．学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍． (1)王老师驾车的速度为__________； (2)求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式； (3)小甬从学校出发__________小时后被王老师追上，此时离学校__________． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先求出小甬的速度，再根据王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍即可求出王老师驾车的速度； （2）根据王老师驾车的速度设，把代入，求出的值，即可得出答案； （3）设小甬从学校出发小时后被王老师追上，根据路程速度时间，列方程，求出的值，再求出离学校距离即可． 【详解】（1）解：∵出发小时后小甬到达离学校千米的中途休息区， ∴小甬的速度是， ∵王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍， ∴王老师驾车的速度为． （2）解：由（1）可知，王老师驾车的速度为， ∴设王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式为． （3）解：设小甬从学校出发小时后被王老师追上， ∴， 解得：， ∴ 答：小甬从学校出发小时后被王老师追上，此时离学校． 32．某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．张叔叔出差携带的行李超过，他这次乘坐经济舱的全票价为元．设他携带的行李为，需交的行李费用为y元． (1)请写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值分别是21，22，23，24，25，26，27，28时y的值； (2)若张叔叔希望托运行李的费用不超过150元，则他最多可携带的行李为多少千克？ 【答案】(1)，列表如下： () 21 22 23 24 25 26 27 28 (元) 30 60 90 120 150 180 210 240 (2)25千克 【分析】（1）先计算超出免费重量部分每千克的行李费用，再根据总行李费等于每千克费用乘超出重量，推导得到y与x的关系式，代入x的值即可得到对应y的值； （2）根据费用不超过150元的条件列出一元一次不等式，解不等式即可得到x的最大值，得到结果． 【详解】（1）解：已知全票价为2000元，超出部分每千克按全票价的计费， 因此超出部分每千克费用为 （元） 行李总重量为，超出免费托运的部分为，且， ∴总行李费 即y与x的关系式为 列表略； （2）解：根据题意，行李费用不超过150元， ∴ 解得 答：张叔叔最多可携带的行李为25千克． 33．父亲告诉小明：“在水平面以上，距离水平面越高，温度越低，”并给小明出示了某一时刻距离水平面高度与温度的几组对应的值，根据下表回答问题： 距离水平面高度（千米） 0 1 2 3 4 温度 24 18 12 6 0 (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)直接写出和之间的关系式；（标注自变量的取值范围） (3)请你算出此时距离水平面5千米的高空的温度． 【答案】(1)表格反映了温度和距离水平面高度之间的关系，距离水平面高度是自变量，温度是因变量 (2)（） (3) 【分析】（1）由表格中的数据关系分析即可； （2）由表中数据分析可知和之间满足一次函数关系，由待定系数法求关系式即可； （3）由（2）中所得和之间的关系式，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由表格中的数据可知，高度每增加千米，温度降低，即和之间满足一次函数关系， 设和之间的关系式为， 将、代入关系式可得，解得 （）； （3）解：由（2）知，和之间的关系式为， 当时，， 答：此时距离水平面5千米的高空的温度是． 34．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品千克． (1)根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 甲公司收费（元） 11 22 52 乙公司收费（元） 11 51 67 (2)设甲快递公司收费元，乙快递公司收费元，分别写出关于的函数关系式； (3)当时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，小明应选择乙公司省钱；当时，两家公司费用一样；当时，小明应选择甲公司省钱；理由见解析 【分析】（1）由甲乙两个公司收费标准计算填表即可； （2）由甲乙两个公司收费标准求解即可； （3）根据题意，分三种情况：；；求解即可． 【详解】（1）解：甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费， 当，收费为（元）； 乙公司：按每千克16元收费，另加包装费3元， 当时，收费为（元）； （2）解：甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费， 当时，；当时，； ； 乙公司：按每千克16元收费，另加包装费3元， ； （3）解：当时，小明应选择乙公司省钱；当时，两家公司费用一样；当时，小明应选择甲公司省钱． 理由如下： 当时，分三种情况： 当时，有，解得； 当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上所述，当时，小明应选择乙公司省钱；当时，两家公司费用一样；当时，小明应选择甲公司省钱． 35．某公司准备购置一辆车用于运输业务，现有两种选择：传统燃油（汽油）车和氢能源车．一辆传统燃油车的购买成本是15万元，每千米的燃油费用为0.8元；一辆氢能源车的购买成本比一辆传统燃油车的购买成本高10万元，每千米的氢气费用为0.3元．设车辆行驶的总路程为x万千米，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元． (1)请分别写出，关于x的函数解析式． (2)若公司购车及运营总预算不超过30万元，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ (3)请你在平面直角坐标系中，分别画出（1）中的两个函数图象，从图象和计算两个角度说明：车辆行驶的总路程达到50万千米时，购买哪种车更合算？ 【答案】(1)， (2)传统燃油车最多能行驶万千米，氢能源车最多能行驶万千米，在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车． (3)购买氢能源车更合算． 【分析】（1）根据购车成本和每千米的费用列出函数解析式即可； （2）根据公司购车及运营总预算不超过30万元列出不等式，解不等式即可； （3）画出一次函数的图象并计算即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ， （2）解：令 ，即 ， 解得．即传统燃油车最多能行驶万千米， 令 ，即 ， 解得． 因为 ，氢能源车最多能行驶万千米， 即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车． （3）解：图象如图， 车辆行驶的总路程达到50万千米时，， ， 由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，即，氢能源车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买氢能源车． 36．科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 【答案】(1)， (2)当购买台时，在A专卖店购买更便宜；当购买台时，两家专卖店费用相同；当购买台数大于台时，在B专卖店购买更便宜． 【分析】（1）根据两家专卖店的优惠方案，分别计算总费用得到函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，结合一元一次方程、一元一次不等式求解，分情况得到不同购买数量下更优惠的方案． 【详解】（1）解：根据题意，A专卖店每台打八折，每台价格为元 购买台的总费用为； B专卖店第一台按原价出售，剩余台打七折，每台折后价格为元 因此总费用； （2）解：分三种情况讨论： 当时，可得 解得 且为正整数 ，此时在A专卖店购买更便宜； 当时，可得 解得， 此时两家专卖店费用相同； 当时，可得 解得， 此时在B专卖店购买更便宜． 答：当购买2台时，在A专卖店购买更便宜；当购买3台时，两家费用相同；当购买台数大于3台时，在B专卖店购买更便宜． 37．某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：    快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 根据以上信息解决下列问题． (1)在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为________（精确到个位）； (3)小海的手机目前剩余电量为． ①若用普通充电模式给手机充电，则经过________后，电量可以达到； ②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过________（精确到个位），电量可以达到． 【答案】(1) (2)， (3)①，② 【分析】（1）先求出普通充电模式的函数关系式，问题即可求解； （2）分别求出两种模式下充电的电量，再相减即可求解； （3）①令，解方程即可求解；②先根据普通模式下的函数关系式求出的充电量；快速充电时，在前范围内，手机电量与充电时间的关系为线性关系，再据此求出此范围内快速充电模式下的函数关系式，接着据此求出在快速模式下，达到此电量所需的时间，最后根据总时间即可求出充满电还需要的时间，问题得解． 【详解】（1）解：设普通模式下，充电时间与手机电量之间的函数关系式为， ∵普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ， ∴，解得， 即普通模式下，充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 当时，解得， 即在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要； （2）函数图象作图略， 普通充电模式时，当时，， 快速充电模式时，当时，， 即二者相差为：； （3）①当时，解得， 当时，解得， ∴时间差为：， 即用普通充电模式给手机充电，则经过后，电量可以达到； ②根据①，可知普通充电模式时，达到的电量需要时间为：， 再在普通充电模式下，又充电， 能充的电量为：当时，， 根据函数图象、表格数据可知：快速充电时，在前范围内，手机电量与充电时间的关系为线性关系，设此时充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 代入一组数据可得，即， 此时：充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 当时，， ∵快速模式下，充满也需要， ∴快速模式下，在现有电量条件下充满电量所需时间为，取整数为． 38．学校准备去春游．甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠．甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人则全部按9折收费，若超过30人则全部按7折收费． 试分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加春游的学生人数x之间的函数关系式（其中对乙旅行社应按人数是否超过30人分两种情况列出，并写出自变量取值范围）． 【答案】甲： (x为正整数)，乙 【分析】根据两家的收费标准，列出式子即可解决问题． 【详解】解：设甲旅行社实际收取的费用为，乙旅行社实际收取的费用为，则： （x为正整数）， ． 39．某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相应的示数F（单位：N）． 【数据记录】 实验次序 1 2 3 4 5 深度 0 2 4 6 8 示数 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F与圆柱体下表面所处的深度h之间满足一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题： (1)求出弹簧测力计示数 F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式； (2)当弹簧测力计的示数时，求圆柱体下表面浸入水中的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设F与h之间的函数关系式为，选取两组对应数值代入求出函数解析式； （2）将代入（1）的解析式求出h即可． 【详解】（1）解：设F与h之间的函数关系式为， 由表中数据可知，当时，；当时，， 将这两组数值代入，得 解得 ∴F与h之间的函数关系式为； （2）当时， ∴. 解得， ∴此时圆柱体下表面浸入水中的深度为． 1．如图，在平面直角坐标系中，为原点．边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)已知直线过点，且直线不平行于轴． ①若与轴的夹角为，求与轴交点的纵坐标； ②若将菱形分成面积比为∶的两部分，求的解析式． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（）作于点，利用菱形的性质可得，，进而可得，即得，，即可求解； （）①连接，作于点 ，于，结合与轴的夹角为，设直线为，可得，再进一步求解即可； ②设菱形 的面积为，可得点的坐标为，，，即得直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为，此时不符合题意，再利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：如图，作轴，交轴于点，则， 四边形是边长为的菱形， ，， ， ， ， ，， . （2）解：如图，连接，作，，垂足分别为，， 设菱形的面积为， 四边形是边长为的菱形，， 和都是等边三角形，点的坐标为， ，，， ，，，， ， ①与轴的夹角为，设直线为， ， 可设：或，则与轴交点的纵坐标即为， 直线过点， 或， 或， 与轴交点的纵坐标为或 ②，， 直线、均将菱形分成面积比为的两部分，且直线的解析式为（平行于轴，不合题意，舍去）， ，，为的中点， ， 设直线的解析式为，把的坐标代入得，， 解得， 直线的解析式为， 综上，该直线的解析式为. 2．已知，，且满足．线段交y轴于C． (1)_________，_________． (2)求C点的坐标． (3)若，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动．同时点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，与的面积相等？ 【答案】(1)， (2) (3)​秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）先求出直线的解析式，再将代入求解即可； （3）设运动时间为秒，求出、的长度，进而得到与的面积，根据面积相等得到，分情况作答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知，， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 （3）解：设运动时间为秒， 动点从向左运动，速度为3单位/秒，因此坐标为， ∴的长度为． ∵的高为到轴的距离， ∴； 动点从向下运动，速度为1单位/秒，因此坐标为， ∴的长度为． ∵的底， ∴； 令面积相等，得． 分两种情况： 当即​时：， 解得，符合条件； 当即​时：， 解得，符合条件； 因此，经过​秒或秒时，与面积相等． 3．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； (3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)定点 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把函数化为，进一步可得答案； （3）当轴时，，当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则，可得，如图，当轴时，，可得：，进一步可得． 【详解】（1）解：∵直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为， ∴， 解得：， ∴直线：， （2）解：∵直线：（为常数且） ∴， ∴当时，， ∴直线：过定点． （3）解：如图，直线：过定点， 当轴时，， 当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 如图，当轴时， ∴， ∴， 解得：， ∴当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 综上：或． 1．如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)P点坐标为或； (3)能，． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）设P点坐标为，求得，根据题意得到，据此求解即可； （3）过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； （2）解：设P点坐标为， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或； （3）解：能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则点， ∵， ∴， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴． 2．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②存在， 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2（第4课时）一次函数的简单应用（原卷版） 目 录 类型一、几何应用 1 类型二、实际应用 6 类型一、几何应用 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形    的顶点、分别在直线和直线（为常数，）上，顶点、在轴上，已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 5．如图1，在一块长方形草坪）中的四周铺设了石板小路，草坪的两条对角线相交于点O，现在有一辆自动巡检小车从拐角A出发，沿着石板小路按运动．设小车当前所在位置为点P，它从出发到当前位置的行驶路程为x，的面积为y，已知y与x的函数关系图象如图2所示，则对角线的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，下列选项错误的是（     ） A． B．点M到x轴的距离是 C．点M关于x轴的对称点坐标为 D．所在直线的表达式为 7．如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数解析式为，则光线所在直线的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（） A． B． C． D． 11．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 12．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 13．当直线与直线互相垂直时，．例如直线与直线互相垂直．若直线与直线互相垂直，且直线经过点，则b的值为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 15．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是_________． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线：经过点．将正方形沿y轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有_________． ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为； ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． 17．如图，正方形、…按照如图所示的方式放置，点、、、…和点、、、…分别在直线和x轴上，已知，，，则的坐标是______________． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 19．如图，已知直线分别与轴和轴交于，两点，点C在线段上，将沿直线翻折，点的对应点落在轴上． (1)求直线的解析式； (2)将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，点，，的对应点分别是点，，．在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点．当时，求的值． 类型二、实际应用 20．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离（单位：）与所挂物重（单位：）之间满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的几组数据，则与之间的函数关系式为（     ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 5.25 8 10.75 13.5 A． B． C． D． 21．某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（    ） 2 4 5 84 68 60 A． B． C． D． 22．如图1，一架无人机从一栋楼房的楼顶起飞，匀速上升．已知该架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 23．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是（     ） A． B． C． D． 24．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是（     ） A． B． C． D． 25．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（     ） A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大 B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为： C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大 26．一支原长为的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表所示： 燃烧时间/分 剩余长度/ 当这支蜡烛的剩余长度为时，燃烧了______分钟． 27．某品牌汽车行驶前油箱中装有汽油50升，行驶过程中每行驶1百公里耗油8升，那么油箱中剩余油量（升）与行驶路程（百公里）之间的函数关系式为________（不必写自变量的取值范围）． 28．漳州某中学的生物社团为了探究室内盆栽虎皮兰的生长情况，记录了其叶片数y（片）与生长周数x（周）的关系，得到如下数据： 试验周数x/周 0 1 2 3 4 叶片数y/片 10 13 16 19 22 则y与x之间的函数关系式为_______． 29．为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度（）与甲队施工时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲队比乙队多施工了________天； (2)求乙队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多时，求乙队已经停工的天数． 30．“曹冲称象”是我国古代经典的等量代换智慧故事．某物理实践小组受此启发，利用浮力原理制作了一把可测量物体质量的“浮力秤”：将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，通过向杯中放入不同质量的物体，记录量杯浸入水中的深度变化，从而实现对物体质量的测量．设放进杯中的物体质量为，量杯浸入水中的深度为． 小组同学在量杯中依次放置不同质量的物体，测得部分数据如下表： 物体质量 浸入水中深度 (1)在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； (2)观察这些点的分布情况，他们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数关系式；如果不在同一条直线上，说明理由； (3)若该量杯的高度为，不考虑其它因素，求此“浮力秤”最多可称量的物体质量是多少千克？ 31．学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍． (1)王老师驾车的速度为__________； (2)求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式； (3)小甬从学校出发__________小时后被王老师追上，此时离学校__________． 32．某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．张叔叔出差携带的行李超过，他这次乘坐经济舱的全票价为元．设他携带的行李为，需交的行李费用为y元． (1)请写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值分别是21，22，23，24，25，26，27，28时y的值； (2)若张叔叔希望托运行李的费用不超过150元，则他最多可携带的行李为多少千克？ () 21 22 23 24 25 26 27 28 (元) 30 60 90 120 150 180 210 240 33．父亲告诉小明：“在水平面以上，距离水平面越高，温度越低，”并给小明出示了某一时刻距离水平面高度与温度的几组对应的值，根据下表回答问题： 距离水平面高度（千米） 0 1 2 3 4 温度 24 18 12 6 0 (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)直接写出和之间的关系式；（标注自变量的取值范围） (3)请你算出此时距离水平面5千米的高空的温度． 34．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品千克． (1)根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 甲公司收费（元） 11 22 52 乙公司收费（元） 11 51 67 (2)设甲快递公司收费元，乙快递公司收费元，分别写出关于的函数关系式； (3)当时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由． 35．某公司准备购置一辆车用于运输业务，现有两种选择：传统燃油（汽油）车和氢能源车．一辆传统燃油车的购买成本是15万元，每千米的燃油费用为0.8元；一辆氢能源车的购买成本比一辆传统燃油车的购买成本高10万元，每千米的氢气费用为0.3元．设车辆行驶的总路程为x万千米，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元． (1)请分别写出，关于x的函数解析式． (2)若公司购车及运营总预算不超过30万元，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ (3)请你在平面直角坐标系中，分别画出（1）中的两个函数图象，从图象和计算两个角度说明：车辆行驶的总路程达到50万千米时，购买哪种车更合算？ 36．科技赋能乡村振兴，中国迎来智慧农田时代，在农田里使用太阳能风吸式杀虫灯来诱杀害虫，可以大幅减少农药使用，实现绿色种植．某种植户计划购入一批太阳能风吸式杀虫灯，有两家专卖店的同一款太阳能风吸式杀虫灯的报价均为600元／台，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 A专卖店 每台杀虫灯打八折出售 B专卖店 第一台按原价出售，其余每台打七折出售 该种植户计划购买杀虫灯（）台，设去A专卖店购买应付元，去B专卖店购买应付元．根据以上信息，解答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)若该种植户只在一个专卖店购买，请通过计算说明在哪个专卖店购买更便宜？ 37．某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：    快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 根据以上信息解决下列问题． (1)在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为________（精确到个位）； (3)小海的手机目前剩余电量为． ①若用普通充电模式给手机充电，则经过________后，电量可以达到； ②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过________（精确到个位），电量可以达到． 38．学校准备去春游．甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠．甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人则全部按9折收费，若超过30人则全部按7折收费． 试分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加春游的学生人数x之间的函数关系式（其中对乙旅行社应按人数是否超过30人分两种情况列出，并写出自变量取值范围）． 39．某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相应的示数F（单位：N）． 【数据记录】 实验次序 1 2 3 4 5 深度 0 2 4 6 8 示数 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F与圆柱体下表面所处的深度h之间满足一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题： (1)求出弹簧测力计示数 F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式； (2)当弹簧测力计的示数时，求圆柱体下表面浸入水中的深度． 1．如图，在平面直角坐标系中，为原点．边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)已知直线过点，且直线不平行于轴． ①若与轴的夹角为，求与轴交点的纵坐标； ②若将菱形分成面积比为∶的两部分，求的解析式． 2．已知，，且满足．线段交y轴于C． (1)_________，_________． (2)求C点的坐标． (3)若，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动．同时点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，与的面积相等？ 3．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； (3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 1．如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 2．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $