5.1-5.2等可能性与等可能条件下的概率（分层作业，12大题型）数学新教材苏科版九年级上册

分层作业 5.1-5.2 等可能性与等可能条件下的概率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 可能性的实际应用 题型02 根据概率公式计算概率 题型03 根据概率作判断 题型04 已知概率求数量 题型05 列举法求概率 题型06 列表法或树状图法求概率 题型07 游戏的公平性 题型08 概率在比赛中的应用 B组 能力进阶 题型 概率在转盘抽奖中的应用 C组 思维拔高 题型01 几何概率 题型02 概率估计平均次数 题型03 概率在保险业中的应用 可能性的实际应用题型01 1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（        ） A．（男，女）（男，男）（女，女） B．（男，女）（女，男） C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女） D．（男，男）（女，女） 【答案】C 【分析】根据题意，列举出所有可能结果，注意“男、女”和“女、男”是两个基本事件，而不是一个基本事件． 【详解】一个家庭有两个小孩，给两个小孩编号为1号和2号，则所有可能的基本事件是： （1）1号：男，2号：女；（2）1号：女，2号：男；（3）1号：男，2号：男；（4）1号：女，2号：女； 即共有4个基本事件． 故选C． 【点睛】列举法求等可能试验结果，列举出所有可能是解题的关键． 2．在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____． 【答案】使每个球出现的机会均等 【分析】根据概率的等可能性判断即可． 【详解】解：每次模拟试验后将小球每次搅匀是为了使每个球出现的机会均等， 故答案为：使每个球出现的机会均等． 【点睛】本题考查了概率的等可能性，确保等可能性是解题的关键． 3．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何． 【答案】共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 连续掷两枚硬币，第一枚硬币有正面朝上、反面朝上种结果，第二枚硬币同样有正面朝上、反面朝上种结果； 将所有结果组合列举，得到所有可能的情况为：（正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）， 因此总共有种不同的可能结果； 因为两枚硬币质地均匀，投掷为独立随机事件，每种结果出现的概率都是， 所以每种结果出现的可能性相同，重复多次试验后，可观察到每种结果出现的频率接近，符合上述结论． 【分析】通过列举法列出所有可能的结果，统计结果数量，再根据硬币质地均匀的条件判断每种结果的可能性大小，即可求解． 【详解】 共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 连续掷两枚硬币，第一枚硬币有正面朝上、反面朝上种结果，第二枚硬币同样有正面朝上、反面朝上种结果； 将所有结果组合列举，得到所有可能的情况为：（正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）， 因此总共有种不同的可能结果； 因为两枚硬币质地均匀，投掷为独立随机事件，每种结果出现的概率都是， 所以每种结果出现的可能性相同，重复多次试验后，可观察到每种结果出现的频率接近，符合上述结论． 4．（2026·江苏泰州·模拟）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是． 根据概率公式计算概率题型02 1．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5 【答案】D 【分析】此题考查了随机事件，概率的意义和概率公式，正确理解概率的意义是解题的关键．根据随机事件的概念、概率的意义和概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意； B、福山气象局预报说“明天的降水概率为”， 是随机事件，不一定下雨，原说法错误，不符合题意． C、“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意； D、拋掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，原说法正确，符合题意． 故选：D． 2．象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查随机事件概率的求法，让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率． 【详解】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”； 故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是． 故选：C． 3．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是________． 【答案】 【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】∵一个袋中装有两个红球、三个白球， ∴球的总数=2+3=5， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=． 4．（2025·河北唐山·模拟）嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了求简单事件的概率，选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个， ∴嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为， 故答案为：． 根据概率作判断题型03 1．袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ） A．这个球一定是黑球 B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球 D．事先能确定摸到什么颜色的球 【答案】C 【详解】∵布袋中有除颜色外完全相同的11个球，其中10个黑球、1个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为，摸出一个球是白球的概率为， ∴A、这个球一定是黑球，错误； B、摸到黑球、白球的可能性的大小一样，错误； C、这个球可能是白球，正确； D、事先能确定摸到什么颜色的球，错误； 故选C． 【点睛】可能性的大小. 2．（25-26九年级·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 3．一次“猜灯谜”活动中准备了40个谜语，20个知识题和10个脑筋急转弯，小明从中抽取一个，很有可能抽到_____________ 【答案】谜语 【分析】根据概率公式分别计算出各种题目的概率,然后进行比较即可解决. 【详解】解: 由题意知:P(抽到谜语)=; P(抽到知识题)=; P(抽到脑筋急转弯)=.抽到谜语的可能性最大. 故答案是:谜语. 【点睛】本题考查了概率的定义和计算方式,熟练掌握概率的计算公式是解决本题的关键. 4．现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)甲 (2) 小明的说法不正确， 理由：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． （2）略 已知概率求数量题型04 1．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______． 【答案】3 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴黄球的个数为3个． 故答案为：3． 2．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的小球是红球的概率为，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查概率的应用，解题关键是根据概率公式建立方程求解．设袋子中红球的个数为，根据概率公式得到方程，求解即可． 【详解】解：设袋子中红球的个数为． 由题意，可知， 解得， 即袋子中红球的个数为6． 故答案为：6． 3．（25-26九年级上·浙江瑞安·期中）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，设袋中有黑球个，根据概率公式列出方程求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：设袋中有黑球个，则总球数为个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋中有黑球个， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东·月考）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)如果要将从袋中摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 【答案】(1)袋中红球的个数有30个． (2)从袋中摸出一个球是白球的概率 (3)需要把40个黄球改为红球. 【分析】此题考查的是概率问题，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式即可求出结论； （2）设白球有x个，则黄球有个，列出方程即可求出x，再根据概率公式即可求出结论； （3）设需要把个黄球改为红球，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：根据题意得：（个）． 答：袋中红球的个数有30个． （2）解：设白球有x个，则黄球有个， 根据题意得， 解得． 则从袋中摸出一个球是白球的概率． （3）解：设需要把个黄球改为红球，则 ， 解得：； 答：需要把40个黄球改为红球. 列举法求概率题型05 1．投掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反． 出现“一正一反”的概率是． 故答案为B． 2．（25-26九年级·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 3．一对夫妇生一个孩子，生男孩和生女孩的机会相等，如果有一对夫妇有3个孩子，则既有男孩，也有女孩的概率为______． 【答案】 【分析】先确定3个孩子性别的所有等可能结果总数，再用列举法求出既有男孩也有女孩的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，每个孩子的性别有2种等可能的情况，因此3个孩子的性别所有等可能结果： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，女）（男，女，男），（女，女，男），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，女），总数为8， 其中全为男孩的结果有1种，全为女孩的结果有1种， 因此既有男孩也有女孩的结果数为， 根据概率公式，所求概率为． 4．从6、7、8这三个数中任选两个数，其积为偶数的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用列举法求解概率，先列举所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：从6、7、8这三个数中任选两个数，有三种情况：，；，；，； 而，，， ∴积为偶数的概率为， 故答案为： 列表法或树状图法求概率题型06 1．从2，3，4，6中随机选取两个数记作和，那么点在直线上的概率是_____． 【答案】． 【分析】画出树状图，找到b=2a的结果数，再根据概率公式解答. 【详解】画树状图如图所示， 一共有6种情况，的有和两种， 所以点在直线上的概率是， 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 2．一个口袋中装有2个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同，随机从中一次摸出两球，摸到都是红球的概率是 ________． 【答案】 【详解】解：列表如下： 红 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） 一共有12种情况，从中一次摸出两球，摸到都是红球的概率是：．故答案为． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 _________． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握是解题的关键．总共有4部影片，两人各自独立选择，总共有16种等可能的结果．其中两人选择同一部影片的情况有4种，因此概率为. 【详解】解：设四部影片为A、B、C、D．李明和肖红各自随机选择一部影片，列表： 李明     肖红 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 所有可能的选择组合共有种，且每种组合发生的可能性相等．二人选择同一部影片的情况有：A,A、B,B、C,C、D,D，共4种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：. 4．在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． (1)小张恰好坐在①号座位的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查简单的概率计算、画树状图或列表法求概率，正确列出表格得到所有的可能结果是解答的关键． （1）根据题意直接计算概率即可； （2）先列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的可能结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同， ∴小张恰好坐在①号座位的概率为． 故答案为：； （2）解：①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种， ∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为． 5．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． (1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； (2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 【答案】(1) 解：把“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式分别记为A，B，C． 列表如下： 马老师 赵老师 A B C A B C (2) 【分析】此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果； （2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种， ∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为． 游戏的公平性题型07 1．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（　　） A．此规则有利于小玲         B．此规则有利于小丽         C．此规则对两人是公平的                  D．无法判断 【答案】C 【详解】抛掷两枚均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的， 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 3．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏___________（填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是___________． 【答案】 公平 【分析】此题考查游戏的公平性，列表法或树状图法求概率，解题的关键是：列举出所有情况，找到符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 小 明 小 亮 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果， 其中，小明胜的情况有3种，小亮胜的情况有3种， （小明胜）（小亮胜）， ∴此游戏公平， 其中，两人一起做同样手势的有3种， ∴两人一起做同样手势的概率为， 故答案为：公平，． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）请利用骰子设计一个双人游戏，要求游戏对两人公平，并说明游戏公平的理由． 【答案】 解：投掷骰子，当朝上一面的数字小于等于3时甲胜；反之乙胜． 此时， 则此游戏对双方公平．（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】此题考查了游戏公平性，概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 答案不唯一，投掷骰子，当朝上一面的数字小于等于3时甲胜；反之乙胜．具体见解析． 【详解】 解：投掷骰子，当朝上一面的数字小于等于3时甲胜；反之乙胜． 此时， 则此游戏对双方公平．（答案不唯一，符合题意即可） 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出配成紫色的结果数和配不成紫色的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种， ，因此游戏不公平． 概率在比赛中的应用题型08 1．（2026·河北廊坊·模拟）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 2．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 3．（2026·山东荣成·模拟）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 4．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 ________（填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 5．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 概率在转盘抽奖中的应用题型 1．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 3．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 4．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？    【答案】（1）一等奖：  ，二等奖：   ，三等奖：；（2），①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖 【分析】（1）分别求红、黄、蓝色区域所占份数的比例即为所求的概率； （2）获奖的概率为获一、二、三等奖的概率的和，摇奖共有4种情况，一一列出即可． 【详解】解：（1）∵摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，其中红色区域占1份， ∴获一等奖的概率， 同理得，获二等奖的概率，获三等奖的概率； （2）由（1）知，获奖的概率，    老李摇奖共有4种情况：①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖． 【点睛】本题考查几何概率的应用，几何概率的计算方法一般是长度比，面积比，体积比等． 5．游戏者同时转动A，B两个转盘进行“配紫色”游戏，若要使游戏者获胜的概率为，盘（如下图）不动，则盘（红、蓝、绿三种颜色）应该如何设计？请写出解答过程． 【答案】将盘平均分成10份，1份是蓝色，1份是红色，其他是绿色即可 【分析】B转盘有2种情况,A转盘有3种情况，要想获胜的概率为, 则应让转盘A分成10份,使配成紫色的情况数有2种,即可求出概率. 【详解】解：将盘平均分成10份，1份是蓝色，1份是红色，其他是绿色， 则共有20种等可能的结果，能配成紫色的结果有2种， ． 【点睛】本题考查了方案设计与概率的求法,判断出相应方案是解决本题的难点. 几何概率题型01 1．小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 2．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率． 【详解】解：根据题意分析可得：正方形ABCD边长为，故面积为5； 阴影部分边长为，面积为1； 则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为_______________． 【答案】 【分析】先计算阴影部分的面积，用阴影面积除以总面积即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：作辅助线如下图，根据题意，设阴影面积为：，总面积为， 小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为：． 故答案为：． 5．如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是_______ 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，分别求出大圆面积和小圆面积，再相减得出圆环面积，运用圆环面积除以大圆面积，即可得出咖啡豆落在阴影部分的概率． 【详解】解：依题意，大圆面积，小圆面积， 则圆环面积， ∵， ∴， ∴大圆面积，圆环面积， ∴咖啡豆落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 概率估计平均次数题型02 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·联考）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 3．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 4．（25-26九年级·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对 (2)900 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95 (2)0.95，0.05 (3)估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【分析】（1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）观察表格数据可知，随着抽取件数的增加，合格的频率稳定在0.95左右，可得不合格品的概率为0.05； （3）用每件不合格产品扣除的费用乘以被抽检出不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计该产品合格的概率为0.95， ∴估计该产品不合格的概率为． （3）解：（元） 答：估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 概率在保险业中的应用题型03 1．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 2．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 3．某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 4．某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1-5.2 等可能性与等可能条件下的概率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 可能性的实际应用 题型02 根据概率公式计算概率 题型03 根据概率作判断 题型04 已知概率求数量 题型05 列举法求概率 题型06 列表法或树状图法求概率 题型07 游戏的公平性 题型08 概率在比赛中的应用 B组 能力进阶 题型 概率在转盘抽奖中的应用 C组 思维拔高 题型01 几何概率 题型02 概率估计平均次数 题型03 概率在保险业中的应用 可能性的实际应用题型01 1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（        ） A．（男，女）（男，男）（女，女） B．（男，女）（女，男） C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女） D．（男，男）（女，女） 2．在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____． 3．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何． 4．（2026·江苏泰州·模拟）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 根据概率公式计算概率题型02 1．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5 2．象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（    ） A． B． C． D． 3．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是________． 4．（2025·河北唐山·模拟）嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____． 根据概率作判断题型03 1．袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ） A．这个球一定是黑球 B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球 D．事先能确定摸到什么颜色的球 2．（25-26九年级·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 3．一次“猜灯谜”活动中准备了40个谜语，20个知识题和10个脑筋急转弯，小明从中抽取一个，很有可能抽到_____________ 4．现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 已知概率求数量题型04 1．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______． 2．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的小球是红球的概率为，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为____________． 3．（25-26九年级上·浙江瑞安·期中）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个． 4．（24-25七年级下·山东·月考）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)如果要将从袋中摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 列举法求概率题型05 1．投掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一对夫妇生一个孩子，生男孩和生女孩的机会相等，如果有一对夫妇有3个孩子，则既有男孩，也有女孩的概率为______． 4．从6、7、8这三个数中任选两个数，其积为偶数的概率是_______． 列表法或树状图法求概率题型06 1．从2，3，4，6中随机选取两个数记作和，那么点在直线上的概率是_____． 2．一个口袋中装有2个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同，随机从中一次摸出两球，摸到都是红球的概率是 ________． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）2025年暑假期间，李明、肖红二人准备在《南京照相馆》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》《侏罗纪世界：重生》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 _________． 4．在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． (1)小张恰好坐在①号座位的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率． 5．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． (1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； (2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 游戏的公平性题型07 1．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（　　） A．此规则有利于小玲         B．此规则有利于小丽         C．此规则对两人是公平的                  D．无法判断 2．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 3．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏___________（填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是___________． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）请利用骰子设计一个双人游戏，要求游戏对两人公平，并说明游戏公平的理由． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 概率在比赛中的应用题型08 1．（2026·河北廊坊·模拟）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 3．（2026·山东荣成·模拟）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 4．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 ________（填“公平”、“不公平”）． 5．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 概率在转盘抽奖中的应用题型 1．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 3．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 4．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？    5．游戏者同时转动A，B两个转盘进行“配紫色”游戏，若要使游戏者获胜的概率为，盘（如下图）不动，则盘（红、蓝、绿三种颜色）应该如何设计？请写出解答过程． 几何概率题型01 1．小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为_______________． 5．如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是_______ 概率估计平均次数题型02 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·联考）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 3．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 4．（25-26九年级·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 概率在保险业中的应用题型03 1．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 2．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 3．某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 4．某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $