4.2 等可能条件下的概率（一）（题型专练）数学苏科版九年级上册

4.2 等可能条件下的概率（一） 题型一 利用概率公式求概率 1．若a是从“﹣1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0为一元二次方程的概率是（　　） A．1 B． C． D． 2．（2025·睢宁县·三模）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·常州·模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·射阳县·一模）动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3，现年25岁到这种动物活到30岁的概率是（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5．（2025·亭湖区·校级期中）课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，π，1，把卡片背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是　　． 6．（2025·南京·模拟）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为　　． 题型二 比较概率的大小 1．（2025·高邮市·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 2．（2024·无锡·期末）甲箱装有4个红球和1个黑球，乙箱装有6个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别，搅匀后，从箱中分别任意摸出一个球．对于摸到黑球的概率，下列说法正确的是（　　） A．从甲箱摸到黑球的概率较大 B．从乙箱摸到黑球的概率较大 C．从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等 D．无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率 题型三 已知概率求参 1．（2025·江都区·校级模拟）一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有　　个红球． 2．（2025·宿迁·模拟）在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为，则白球的个数为　　． 3．（2024·邗江区·校级期末）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是　　． 4．（2024·宝应县·期末）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： （1）袋子里蓝球有多少个？ （2）任意摸出1个红球的概率是多少？ 5．（2024·盐城·期中）在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？ （2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 6．（2025·姜堰区·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）P（摸到黑球）＝　　； （2）估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； （3）怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 题型四 表格法或树状图法求概率 1．（2024·仪征市·期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·兴化市·二模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·常州·期末）寒假，明明、亮亮准备去哈尔滨旅游，游玩以下三个景点：“冰雪大世界”、“东北虎林园”、“太阳岛风景区”，假设游玩的顺序是随机的． （1）“冰雪大世界”作为游玩的第一个景点的概率是　　； （2）求游玩顺序为“冰雪大世界”→“东北虎林园”→“太阳岛风景区”的概率． 4．（2025·苏州·校级二模）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　　． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 5．（2025·惠山区·三模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（简称乙款），在DeepSeek（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是　　； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 6．（2025·靖江市·校级月考）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是　　． （2）小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 题型五 验证游戏公平性 1．（2025·东台市·一模）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术，如图是小明同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若小明从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为　　； （2）小明和小颖玩游戏，小明从这四张卡片中随机抽取一张，小颖再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 2．（2025·泰州·二模）小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． （1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是　　； （2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 3．（2024·扬中市·期末）某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人． （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为　　； （2）若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由． 4．（2025·盐城·一模）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． （1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） （2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 题型一 概率与统计图的综合应用题 1．（2025·盐都区·模拟）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 AI软件 使用人数 百分比 Deepseek 18 a Kimi 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 8% （1）请写出统计表中a，b的值：a＝　　，b＝　　； （2）已知九年级有500名同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”、现从“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率． 2．（2023·海门市·期中）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有　　名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是　　； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 3．（2024·吴江区·期中）为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣．根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有　　人，m＝　　，n＝　　； （2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是　　度； （3）请补全图1所示的条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 1．（2025·江苏·校级自主招生）某校爱滑冰的人占60%，爱滑雪的人占50%，爱滑冰或滑雪的人占70%，已知随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是　　． 2．（2023·铜山区·一模）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊病人的两个生理指标x，y，他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：根据以上信息，回答下列问题： （1）在这40名被调查者中，①指标x大于0.5的有　　人；②将20名患者的指标y的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标y的平均数记作，方差记作，则　　，　　（填“＞”，“＝”或“＜”）； （2）来该院就诊的500名非患者中，估计指标x低于0.3的大约有　　人； （3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 等可能条件下的概率（一） 题型一 利用概率公式求概率 1．若a是从“﹣1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0为一元二次方程的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【详解】解：当a﹣1≠0，即a≠1时，方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程， ∴在“﹣1、0、1、2”这四个数中有3个数使方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程， ∴恰好使方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程的概率是：． 故选：B． 2．（2025·睢宁县·三模）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图， ∵共有6种可能，当涂黑1、2、3区域时，能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形， ∴能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形的概率． 故答案选：A． 3．（2025·常州·模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知：①④是物理变化，②③是化学变化， ∴小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是． 故选：C． 4．（2025·射阳县·一模）动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3，现年25岁到这种动物活到30岁的概率是（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到25岁的只数为0.5x，活到30岁的只数为0.3x， ∴现年25岁到这种动物活到30岁的概率为0.6＝60%． 故选：D． 5．（2025·亭湖区·校级期中）课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，π，1，把卡片背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是　　． 【详解】解：∵课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，π，1，其中，π是无理数，共有2个， ∴把卡片背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是． 故答案为：． 6．（2025·南京·模拟）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为　　． 【详解】解：∵从在格点上的点A、B、C、D、E中任取三个点构成的三角形有△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE、△BCD、△BCE、△BDE、△CDE共9个， 由网格的特点可得：△ACD、△BCD、△ADE、△ABE、△ACE、△BDE、△CDE是直角三角形， 即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7个， ∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为． 故答案为：． 题型二 比较概率的大小 1．（2025·高邮市·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【详解】解：∵袋子中装有1个白球，2个黑球和3个红球，其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 2．（2024·无锡·期末）甲箱装有4个红球和1个黑球，乙箱装有6个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别，搅匀后，从箱中分别任意摸出一个球．对于摸到黑球的概率，下列说法正确的是（　　） A．从甲箱摸到黑球的概率较大 B．从乙箱摸到黑球的概率较大 C．从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等 D．无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率 【详解】解：∵甲箱装有4个红球和1个黑球，乙箱装有6个红球、4个黑球和5个白球， ∴搅匀后，从箱中分别任意摸出一个球，从甲箱摸到黑球的概率为， 从乙箱摸到黑球的概率为， ∵， ∴从乙箱摸到黑球的概率较大，故B符合题意，A、C、D不合题意． 故选：B． 题型三 已知概率求参 1．（2025·江都区·校级模拟）一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有　　个红球． 【详解】解：袋子中红球的个数为96（个）． 故答案为：6． 2．（2025·宿迁·模拟）在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为，则白球的个数为　　． 【详解】解：设白球的个数为x， 由题意可得：，解得：x＝12， 经检验x＝12是原方程的解， 答：白球的个数为12个． 故答案为：12． 3．（2024·邗江区·校级期末）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是　　． 【详解】解：由题意可得：摸出白球的概率，摸出不是白球的概率， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴，整理得：m+n＝8． 故答案为：m+n＝8． 4．（2024·宝应县·期末）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： （1）袋子里蓝球有多少个？ （2）任意摸出1个红球的概率是多少？ 【详解】解：（1）设蓝球有x个，则，解得：x＝9， ∴故篮球有9个； （2）任意摸出1个红球的概率是． 5．（2024·盐城·期中）在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？ （2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 【详解】解：（1）∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同， ∴摸出每一球的可能性相同， ∴摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是； （2）设放入红球x个，则黄球为（7﹣x）个， 由题意可得：，解得：x＝2， 则7﹣x＝5， ∴放进去的这7个球中红球2个，黄球5个． 6．（2025·姜堰区·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）P（摸到黑球）＝　　； （2）估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； （3）怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 【详解】解：（1）∵从中任意摸出1个球，摸到黑球是不可能事件， ∴P（摸到黑球）＝0， 故答案为：0； （2）∵P（摸到白球），P（摸到黄球），P（摸到红球）， ， ∴这些事件发生的可能性从大到小排序为③②①； （3）再添加2个白球、1个黄球，摸到这三种颜色的球的概率相等． 题型四 表格法或树状图法求概率 1．（2024·仪征市·期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的有4种结果， ∴灯泡能发光的概率为． 故选：C． 2．（2025·兴化市·二模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针和火药四张卡片分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） ∵共有12种等可能的结果，其中这两张卡片中有“指南针”的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴这两张卡片中有“指南针”的概率为． 故选：A． 3．（2024·常州·期末）寒假，明明、亮亮准备去哈尔滨旅游，游玩以下三个景点：“冰雪大世界”、“东北虎林园”、“太阳岛风景区”，假设游玩的顺序是随机的． （1）“冰雪大世界”作为游玩的第一个景点的概率是　　； （2）求游玩顺序为“冰雪大世界”→“东北虎林园”→“太阳岛风景区”的概率． 【详解】解：（1）“冰雪大世界”作为游玩的第一个景点的概率是， 故答案为：； （2）三个景点：“冰雪大世界”、“东北虎林园”、“太阳岛风景区”分别用A，B，C表示， 画树状图如下： ∵游玩顺序有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种， ∴游玩顺序为“冰雪大世界”→“东北虎林园”→“太阳岛风景区”的概率为． 4．（2025·苏州·校级二模）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　　． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【详解】解：（1）共有文、明、自、由四张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． 5．（2025·惠山区·三模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（简称乙款），在DeepSeek（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是　　； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【详解】解：（1）由题意可知：共有3种等可能的结果，其中抽到丙款的结果有1种， ∴抽到丙款的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，乙） （乙，丙） 丙 （丙，乙） （丙，丙） ∵共有6种等可能的结果，其中两人选择的聊天机器人互不相同的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），（丙，乙），共4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率为． 6．（2025·靖江市·校级月考）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是　　． （2）小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【详解】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， ∴小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， ∴结果变红的概率：， 故答案为：； （2）由题意可得：列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） ∵共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共8种结果， ∴1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 题型五 验证游戏公平性 1．（2025·东台市·一模）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术，如图是小明同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若小明从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为　　； （2）小明和小颖玩游戏，小明从这四张卡片中随机抽取一张，小颖再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【详解】解：（1）若小明从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为， 故答案为：； （2）公平，理由如下： 画树状图如下： ∵共有12种等可能结果，其中两人抽到的卡片有“D．印刷术”的有6种结果，没有的有6种结果， ∴小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， ∴此游戏规则公平． 2．（2025·泰州·二模）小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． （1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是　　； （2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【详解】解：（1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是， 故答案为：； （2）将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用A，B，C，D表示，列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） ∵共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种， ∴P（抽取的两张卡片正面图案均为化学变化），P（抽取的两张卡片上都是物理变化）， ∴这个规则对他们双方公平是公平的． 3．（2024·扬中市·期末）某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人． （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为　　； （2）若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由． 【详解】解：（1）∵共20名志愿者，女生5人， ∴选到女生的概率是， 故答案为：； （2）不公平，理由如下： 画树状图如下： ∵共有9种情况，和为偶数的情况有5种， ∴牌面数字之和为偶数的概率是， ∴甲参加的概率是，乙参加的概率是， ∴甲参加的概率＞乙参加的概率， ∴这个游戏不公平． 4．（2025·盐城·一模）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． （1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） （2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 【详解】解：（1）列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 ﹣1 0 1 2 3 ﹣2 ﹣1 0 1 ∵共有12种等可能的结果，其中两个数的差为0的情况占3种， ∴P（两个数的差为0）； （2）∵两个数的差为非负数的情况有9种， ∴P（甲获胜），P（乙获胜）． ∵P（甲获胜）＞P（乙获胜）， ∴这样的规则不公平， 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜． 此时P（甲获胜）＝P（乙获胜）． 题型一 概率与统计图的综合应用题 1．（2025·盐都区·模拟）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 AI软件 使用人数 百分比 Deepseek 18 a Kimi 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 8% （1）请写出统计表中a，b的值：a＝　　，b＝　　； （2）已知九年级有500名同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”、现从“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率． 【详解】解：（1）由题意可得：调查的人数为6÷12%＝50（人）， ∴a＝18÷50×100%＝36%，b＝50×20%＝10， 故答案为：36%，10； （2）500×36%＝180（人）， ∴估计最常使用“Deepseek”的同学约有180人； （3）将“Deepseck”、”Kimi”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） ∵共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的结果有：（A，B），（B，A），共2种， ∴挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率为． 2．（2023·海门市·期中）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有　　名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是　　； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 【详解】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）， 故答案为：100； 选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）， 补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为：360°＝18°， 故答案为：18°； （3）画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 3．（2024·吴江区·期中）为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣．根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有　　人，m＝　　，n＝　　； （2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是　　度； （3）请补全图1所示的条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 【详解】解：（1）由题意可得：140÷35%＝400， m＝100÷400×100%＝25%， n＝（400﹣100﹣60﹣140）÷400×100%＝25%， 故答案为：400，25%，25%； （2）由题意可得：25%×360°＝90°， 故答案为：90； （2）等级D的人数为：400﹣（100+60+140）＝100（人）， 补全条形统计图如下： （4）列表如下： 1 2 3 4 1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况有12种，其中摸出的两个球上的数字之积小于5的情况有6种， ∴P（小丽获胜），P（小明获胜）＝1， ∴公平． 1．（2025·江苏·校级自主招生）某校爱滑冰的人占60%，爱滑雪的人占50%，爱滑冰或滑雪的人占70%，已知随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是　　． 【详解】解：由题意可得：既爱滑冰又爱滑雪的人占60%+50%﹣70%＝40%， ∴随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是． 故答案为：0.8． 2．（2023·铜山区·一模）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊病人的两个生理指标x，y，他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：根据以上信息，回答下列问题： （1）在这40名被调查者中，①指标x大于0.5的有　　人；②将20名患者的指标y的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标y的平均数记作，方差记作，则　　，　　（填“＞”，“＝”或“＜”）； （2）来该院就诊的500名非患者中，估计指标x低于0.3的大约有　　人； （3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是多少？ 【详解】解：（1）①由图象可得：指标x大于0.5的有4人， 故答案为：4； ②由图象可得：20名患者的指标y的取值范围是0.1＜y＜0.9， 20名非患者的指标y的取值范围是0.4＜y＜1.1，位置相对比较集中， ∴，， 故答案为：＜，＞； （2）由图象可得：调查的20名非患者中，指标x低于0.3的有4人， ∴来该院就诊的500名非患者中，指标x低于0.3的大约（人）， 故答案为：100； （3）由图象可得：指标x低于0.3，且指标y低于0.8的有15人，而患者有20人， ∴发生漏判的概率是：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$