专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角模型是相似三角形中辨识度最高、应用最广泛的模型之一，是全等一线三等角模型的一般化形式。该模型通过一条直线上的三个等角，构造AA相似，广泛存在于坐标系、折叠、旋转、函数综合等各类题型中，其中直角型（K字型）更是坐标系综合题的核心构造工具。本专题就一线三等角相似模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化基础全等型一线三等角，强化相似型的综合应用，多以“坐标系K字相似、钝角三等角、函数综合构造”形式出题，是中考几何综合、函数综合题的高频核心模型。 推导逻辑：平角+三等角→两组角互余/互补→对应角相等→AA相似，拒绝硬凑角找相似。 核心素养目标： 1.掌握一线三等角相似的判定与结论，能快速识别各类三等角模型； 2.熟练运用K字模型解决坐标系中的相似与坐标问题； 3.培养构造辅助线、转化边角关系的几何综合能力。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 模型拓展 18 【易错总结】 18 【模型运用】 19 模型根植于平角的定义与相似三角形AA判定：在同一条直线上有三个相等的角，利用平角180°的性质，可推导出两组对应角相等，从而判定三角形相似。 当三个角为直角时，称为K字型模型，是最常用的类型，广泛应用于平面直角坐标系；当三个角为锐角或钝角时，为一般一线三等角模型。全等一线三等角是相似比为1的特殊情况，相似型是其一般化拓展，是初中几何中最经典的构造类模型之一。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 2. 平角的定义：平角为180°； 3. 余角、补角的性质：同角的余角相等、同角的补角相等； 4. 平面直角坐标系基础：点的坐标、坐标轴垂线的作法； 5. 全等一线三等角模型：相似比为1的特殊情况。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3 ∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） ①特殊中点型： 条件：如图1，若E为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2， ∴∠C=∠DEB， ∵∠1=∠3， ∴△ACE∽△BED。 ∴， ∵C为AB的中点， ∴AE=EB， ∴， ∴， ∵∠2=∠3， ∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1： 条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°， ∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°， ∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°， ∴△ABC∽△BDE， ∵∠ABD=∠AFE=90°， ∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°， 故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2： 条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°. 结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°， ∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等） ∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知， 在矩形，， ， ． ∵， ，， ． 又， ， ∴， ． 【典例2】如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，假设，证明，得出相等的线段，表示出相关线段，证明，得出，列出分式方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， 经检验，当时，是原分式方程的解，符合题意， ∴． 【典例3】(2025·安徽省中考模拟)如图，在正方形中，，点，分别在边，上（不与端点重合），且，连接，作交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【来源】2025年安徽省中考必刷卷内部卷数学卷二 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，解题的关键是求出y与x的函数关系式．先证明，由相似三角形的性质可得出，即可得到，，再根据得出解析式，观察各选项即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 则， 解得， 则， 记的面积为y， 则 ， 当，， ∴B选项符合， 故选：B． 【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【典例5】如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 【典例6】(25-26九·专题4.10相似三角形几何模型探究（一线三等角）基础知识专项突破讲练·)等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)4 【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现； （2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积； （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可． 【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， 在△BEP和△CPF中， ， ∴△BEP≌△CPF， ∴EP＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． （2）过E作EH⊥BC于H， 由（1）可知：FP⊥BC，， 在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠PFE＝60°， ∴∠GFC＝90°， 直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4， ∴GC＝2CF＝8， ∴GB＝GC﹣BC＝2， 直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4， ∴PE＝2，BE＝2， ∴EH＝BE•PE÷BP＝， ∴S△GBE＝； （3）∵在BPE中，∠B＝60°， ∴∠BEP+∠BPE＝120°， ∵∠EPF＝60°， ∴∠BPE+∠FPC＝120°， ∴∠BEP＝∠FPC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP， ∴， 设BP＝x，则CP＝6﹣x． ∴＝， 解得：x＝2或4． 当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2， 过E作EH⊥BC于H， 则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2， ∴PH＝0， 即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去； 当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4， 则△BEP是等边三角形， ∴PE＝4． 故PE＝4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用． 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)当t为何值时，？ (3)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 【答案】(1)，当时，的值最大，最大值为 (2) (3)解：能相似，理由如下： 由题意可知， 矩形中，，， ①若， 则， 解得，（舍去） 故， ， ②若， 则， ， 解得，（舍去） 故， ， 综上可知与能相似，P点位置为或． 【分析】（1）分别用t表示，，再利用三角形面积公式即可求出函数关系式，把关系式变形为顶点式，即可解答； （2）由，根据平行线分线段成比例列式计算； （3）由题意可知，分和两种情况进行讨论，利用相似比列式计算即可，注意，根据t的值确定点P的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ，． 是直角三角形， ， ， 当时，的值最大，此时， 故的面积与时间之间的函数关系式为， 当时，的值最大，最大值为． （2）解：连接， ， ， ， 解得， 故当时，． （3）略． 【典例8】(25九上·湖南永州道县朝阳学校·)模型学习： 如图1，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得． 模型拓展： (1)如图3，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式． 模型延伸： (2)如图4，反比例函数的图象经过点，在OA的右侧该图象上找一点B，使，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作于，过点作轴于，交的延长线于．得出，求出，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可； （2）如图，过点作于，作轴于，作交的延长线于，设，利用模型的结论，构造相似三角形解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作轴于，交的延长线于． ∵与、轴分别相交于点、， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∵将直线绕点逆时针旋转后得到直线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图，当时，过点作于，作轴于，作交的延长线于，设， ∵， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，，，， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数解析式得，， 解得：或， ∵点在第一象限， ∴． 模型拓展 1.一线三等角可拓展到“一线n等角”，形成多组相似三角形链； 2.是反比例函数、二次函数综合题中构造相似的核心方法； 3.可结合动点、旋转、折叠考查动态相似问题。 模型常见易错点 1. 易错点：钝角三等角不会推导等角，只认可直角型 · 错因分析：习惯了余角推导，不会用补角+内角和推等角。 · 避坑指南：通用方法：平角减去中间角=两个侧角之和；三角形内角和减去等角=两个内角之和，从而得等角。 2. 易错点：K字模型对应边搞反，横纵坐标加减出错 · 错因分析：对应顶点顺序混乱，坐标差对应错误。 · 避坑指南：水平边对应水平边，竖直边对应竖直边，严格按相似对应关系写比例。 3. 易错点：不会主动构造一线三等角，只在现成图形中识别 · 错因分析：构造辅助线的意识不足。 · 避坑指南：坐标系遇垂直、遇等腰直角，优先作坐标轴垂线构K字。 模型小结 1. 核心口诀：一线三直角，K字相似找；锐角与钝角，同理推等角；横对横，竖对竖，比例列清楚； 2. 解题步骤：找共线三等角 → 推等角 → 证相似 → 列比例 → 计算； 3. 坐标系必背：作垂线、构K字、横差比竖差、列比例求坐标； 4. 无模型时可主动构造，过顶点作直线垂线即可生成三等角。 1．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 2．如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解； 【详解】解：作轴，如图所示： 则， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∵，，，为矩形的四个顶点， ∴，解得， ∴， ∴； 故选：B 3．(2026·黑龙江省哈尔滨市·调研)如图1，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上，连接、、．若，设的长为m，的面积为n，n与m的函数图象如图2所示，则图中点P的横坐标为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据三角形的面积公式，需要寻找，的数量关系，由于，联想到“一线三等角模型”，分别作，，垂足分别为C，D，进而可知，利用反比例函数的几何意义及相似的性质，可以得到n和m的函数关系式，最后结合函数图象即可确定点P的横坐标． 【详解】解：如图，分别作，，垂足分别为C，D， 则． ， ． ． ， ， ， ． ． 由反比例函数的几何意义可知，． ， ， ． 结合图2可知，当n=4时，， 或（舍去），即点P的横坐标为2． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似的判定及性质、函数等知识，能够结合已知条件构造“一线三等角”模型；把求相似比转化为利用反比例函数的几何意义是解题的关键． 4．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 6．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 8．(26-27九上·陕西西安雁塔区西安辅伦学校·)如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 9．(25八下·河南濮阳·期末)如图，矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①点落在边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出的值；②点落在边上，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值． 【详解】解：分两种情况： ①当点落在边上时，如图， 四边形是矩形， ， 将沿折叠，点的对应点落在边上， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ； ②当点落在边上时，如图． 四边形是矩形， ，． 将沿折叠，点的对应点落在边上， ，，， ，， ，， ∽， ， ， 解得或（舍去） 综上，的值为或。 10．在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质综合，垂径定理的推论等知识点，连接，证，得；；再证，推出，，；由题易知：，可推出，，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴； ∵， ∴； ∴；； ∵， ∴； ∵ ∴； ∴，， ∴； 作，如图所示： 则； ∵， ∴四边形矩形， ∴； 同理可得：； ∴； ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴， 故答案为： 11．(25-26九上·江苏无锡祝塘第二中学·)如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 【答案】 【分析】①取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；②根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 12．(26-27九·专题3.8相似三角形经典几何模型（一线三等角）（模型梳理题型精析同步检测）)如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形相似的判定和性质等知识．由等边三角形的性质可知，，从而可得，．再根据，可求出，即证明，从而可证，得出，代入数据即可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵为边长为9的等边三角形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 13．(2025·广东省深圳市·)如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为________． 【答案】6.5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造特殊图形以及全等和相似三角形，是解题的关键：延长至点，使得，连接、，易得为等边三角形，证明，得到，证明，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ，， ， 又， ， ， ∴， ， ； 故答案为：． 14．(25-26九上·四川眉山东坡区实验初级中学·)如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 15．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 16．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 17．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 18．(2025九·云南曲靖一中卓立学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点、的坐标分别是和，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形． (1)填空：点的坐标为______； (2)是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； (3)①求证：； ②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并直接出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，2或 (3)①证明：如图，过D作于M，交于N， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∵在中，， ∴； ②，的最小值为 【分析】（1）根据矩形的性质和坐标与图形性质求解即可； （2）先求得，，．根据题意分两种情况：当在线段上时，当点E在的延长线上时，结合图形，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）①如图1，过D作于M，交于N，则四边形是矩形，得，证明 得到，由正切定义得到可得答案； ②由①知，，，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，则矩形的面积，再利用二次函数的最值问题求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点、的坐标分别是和， ∴，，， ∴点B的坐标为； （2）解：存在，的长为2或． 理由：∵，，， ∴，， ∴，则． ∵四边形是矩形， ∴， 当在线段上时，如图，只有当时，是等腰三角形，此时， ∴，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，如图，只有当时，是等腰三角形，此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的的长为2或； （3）解：①略； ②如图，由①知，，， 在中，，， ∴，则， ∴， 在中，， ∴矩形的面积， 即y与x的函数关系式为； ∵，，， ∴当时，y有最小值，最小值为． 19．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(2024九下·吉林长春解放大路学校初中部·模拟)综合实践 (1)【问题背景】如图①，在正方形中，点为边上的动点，．由正方形的性质易得，从而得到与的位置关系为________； (2)【探究应用】如图②，在矩形中，，，点为边上的动点，，与交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连结，当的长度最小时，的面积为________． 【答案】(1)； (2)①．理由： 四边形是矩形， ∴，， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ， ； ②． 【分析】（1）首先由正方形的性质证明，然后利用全等三角形对应角相等即可得解； （2）①观察图形可以猜想．仿照第（1）问的解题思路，首先由矩形的性质证明，然后利用相似三角形对应角相等即可得证； ②由可以确定点的运动轨迹是一段圆弧，进而求出的最小值，然后证明出，再利用相似三角形的性质求出边上的高，继而求出的面积． 【详解】（1）如图1，设与交于点． 四边形是正方形， ∴，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ， ； （2）①略； ②由①已知，且，则点的运动轨迹为以的中点O为圆心，为半径的一段圆弧，如图2所示． 如图3，连接，当与圆弧的交点和点重合时，的长度最小． 在中，,，由勾股定理得 ． ， ． 如图3，过点作交于． ， ， ． 由条件可知四边形是矩形， ， ， ． ． 21．(2025·河南省信阳市·模拟)【探索发现】 如图，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿、折叠，使点、均落在点处，折痕形成一个四边形 小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的： (1)请参考小刚的思路写出证明过程； (2)连接，当时，直接写出线段、、的数量关系； 【理解运用】 (3)如图，在四边形中，，，，，，点为的中点，把四边形折叠成如图所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在点处，求的长． 【答案】(1)证明： 是的中位线， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 四边形是矩形． (2)解：结论： ． 理由：如图中，连接． 由折叠的性质可知：，， ， ，， ∴是的中位线， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明． （2）由三角形的中位线定理可知：，由折叠的性质可知： ，由此即可证明． （3）首先求出正方形的边长，由勾股定理求出，再证明，可得，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中， 由折叠的性质可知：， ∴ ， 四边形是正方形， ， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．(2025·河南省商丘市·二模)如图，等腰直角三角形中，，，点为上一个动点，连接，以为底边在右侧作等腰直角三角形，连接． (1)如图1，当在上时，线段与线段的数量关系为 　　； (2)如图2，若点为的中点，当点在线段上移动时，线段与线段的数量关系是否变化？请说明理由； (3)在点运动过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)不变，理由如下， 如图，连接、， 和是等腰三角形，点是的中点， ，，，，是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ， 又，， ， ， ； (3)或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，再由平行线的判定和性质得出，确定是等腰直角三角形，即可得出结果； （2）连接、，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，再利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）分两种情况分析：当点在点右侧时，当点在点左侧时，作出相应辅助线，结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ，， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， ． （2）略 （3）①如图1，当点在点右侧时， 点是的中点，是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ， ∵， ， ； ②如图2，当点在点左侧时，同理得：； 的长为或． 23．【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 24．(2026·山东省济南市·)矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①， 证明如下： 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，， ， 又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ， 同理可得：， ， ∵四边形为矩形， ∴ 又∵，， ∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，） ， 又， ， ，即． ②， 证明如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形， ， ， 又 ，， ， ，， ，即垂直平分， ， ∵在中，由勾股定理得， ∴． (3) 【分析】（1）过点作，，连接，证明即可得出；证明得出，，再在中，利用，即可得出； （2）①过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，先由三角形中位线性质得出，再证明，即可得出，即；②延长，交于点，连接，由得出，，进而得出，在中，由勾股定理得，通过等量代换即可得出； （3）当点与点重合时，点落在点的位置，连接，，证明，可得出点在过点并且垂直于的射线上运动，当点与点重合时，点落在点的位置，所以点的轨迹是线段，作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点，所以当，，三点共线时，取最小值，即为的长度，求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，连接， ∵， ∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点， ∴，， 又∵，， ∴为中点，为中点， ∴，， ∴， ∵，，矩形是正方形， ∴， ∵， ∴，， （当时，，） ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，， ，， 又∵， ∴， 设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：， ∴， ， ， 当点与点重合时，点落在点的位置， 此时，， ，， 连接，， ∵，， ，，， （当时，） 即． ， ， ， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即， ∴， 当点与点重合时，点落在点的位置， 点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为． 25．(2025九上·浙江温州鹿城区实验中学·)如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作轴交x轴于点F，证明，则，即可求出答案； （2）过点E作轴交x轴于点H，由（1）同理可得，再求出，由、E都在反比例函数图像上列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：过点D作轴交x轴于点F， 在正方形中，， ， 又 ∴， ， 又， ， ， ； （2）解：过点E作轴交x轴于点H， 由（1）同理可得 ∵，， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴， ， ∴， ， 又、E都在反比例函数图像上． ，得， （舍）． 26．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 27．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 28．(25-26九上·江苏连云港新海初级中学·)如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4， (2)是， (3) 【来源】江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年九年级上学期数学周测试卷14 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； （3）连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 29．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)； (2) 解：， 证明：如图，分别延长、交于点P，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ，，点G是的中点， ， ， ， ， ， ； (3)或． 【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，； （2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，； （3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ①当点E在上时，如图，   ， ， ， ②当点E在的延长线上时，如图，   ， ， ． 综上所述，的长为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键． 30．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 31．(24-25八下·山东泰安泰山区·期末)某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】 【探究问题】证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又 ， ； 【知识应用】（1）或（2）或 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】略； 【知识应用】解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 32．(25-26九上·江苏扬州仪征·期末)（1）【合作探究】如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，连接，点B为的延长线上一点，连接，使得，若，，求的长度； （3）【学以致用】如图3，在四边形中，，，点D为上一点，，，若，且，则________． 【答案】 （1）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边对等角，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和已知条件可证明，再由，可证明； （2）由平行四边形的对角相等和已知条件可证明，则可证明，得到，据此代入求值即可； （3）过点A作于F，可证明，推出；设，则，进而可得；证明，可得，则，可得，则． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 设， ∴， ∵，且， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．(25-26八下·江苏苏州姑苏区·期末)如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 34．(24-25九上·河北唐山迁安·期中)如图，平面直角坐标系中矩形两边分别在y轴和x轴上，其中，，又P、Q分别是边上的动点，它们分别同时从O、C出发在边上匀速运动，P点每秒运动2个单位，Q点每秒运动1个单位，其中一个动点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) 当为等腰三角形时，______，此时Q点坐标为______； (2)连接， ①当t为何值时，的面积为3； ②连接，当t为何值时，； (3)在P、Q运动的过程中，是否存在是直角三角形，若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)3； (2)①② (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形的性质列出等式是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，从而可得结论； （2）①根据题意得，由列出方程求解即可； ②由可得，利用相似三角形的性质求解即可； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是等腰三角形，且 ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （2）解：①根据题意得， ∵ ∴， 又， ∴ ∴ 解得，； ②∵四边形是矩形， ∴ 如图， 当时，， ∴， ∴， 解得，； （3）解：①当时，如图， ∴ 又 ∴ 又 ∴ ∴， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的根， ②当时，如图， ∴ 又 ∴， 又， ∴ ∴， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的根，但不合题意，舍去， ∴， 综上，的值为或． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角模型是相似三角形中辨识度最高、应用最广泛的模型之一，是全等一线三等角模型的一般化形式。该模型通过一条直线上的三个等角，构造AA相似，广泛存在于坐标系、折叠、旋转、函数综合等各类题型中，其中直角型（K字型）更是坐标系综合题的核心构造工具。本专题就一线三等角相似模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化基础全等型一线三等角，强化相似型的综合应用，多以“坐标系K字相似、钝角三等角、函数综合构造”形式出题，是中考几何综合、函数综合题的高频核心模型。 推导逻辑：平角+三等角→两组角互余/互补→对应角相等→AA相似，拒绝硬凑角找相似。 核心素养目标： 1.掌握一线三等角相似的判定与结论，能快速识别各类三等角模型； 2.熟练运用K字模型解决坐标系中的相似与坐标问题； 3.培养构造辅助线、转化边角关系的几何综合能力。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 模型拓展 7 【易错总结】 7 【模型运用】 8 模型根植于平角的定义与相似三角形AA判定：在同一条直线上有三个相等的角，利用平角180°的性质，可推导出两组对应角相等，从而判定三角形相似。 当三个角为直角时，称为K字型模型，是最常用的类型，广泛应用于平面直角坐标系；当三个角为锐角或钝角时，为一般一线三等角模型。全等一线三等角是相似比为1的特殊情况，相似型是其一般化拓展，是初中几何中最经典的构造类模型之一。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 2. 平角的定义：平角为180°； 3. 余角、补角的性质：同角的余角相等、同角的补角相等； 4. 平面直角坐标系基础：点的坐标、坐标轴垂线的作法； 5. 全等一线三等角模型：相似比为1的特殊情况。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3 ∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） ①特殊中点型： 条件：如图1，若E为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2， ∴∠C=∠DEB， ∵∠1=∠3， ∴△ACE∽△BED。 ∴， ∵C为AB的中点， ∴AE=EB， ∴， ∴， ∵∠2=∠3， ∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1： 条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°， ∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°， ∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°， ∴△ABC∽△BDE， ∵∠ABD=∠AFE=90°， ∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°， 故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2： 条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°. 结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°， ∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等） ∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【典例3】(2025·安徽省中考模拟)如图，在正方形中，，点，分别在边，上（不与端点重合），且，连接，作交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象为（   ）    A．   B．   C．   D．   【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 【典例5】如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【典例6】(25-26九·专题4.10相似三角形几何模型探究（一线三等角）基础知识专项突破讲练·)等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)当t为何值时，？ (3)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 【典例8】(25九上·湖南永州道县朝阳学校·)模型学习： 如图1，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得． 模型拓展： (1)如图3，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式． 模型延伸： (2)如图4，反比例函数的图象经过点，在OA的右侧该图象上找一点B，使，求点B的坐标． 模型拓展 1.一线三等角可拓展到“一线n等角”，形成多组相似三角形链； 2.是反比例函数、二次函数综合题中构造相似的核心方法； 3.可结合动点、旋转、折叠考查动态相似问题。 模型常见易错点 1. 易错点：钝角三等角不会推导等角，只认可直角型 · 错因分析：习惯了余角推导，不会用补角+内角和推等角。 · 避坑指南：通用方法：平角减去中间角=两个侧角之和；三角形内角和减去等角=两个内角之和，从而得等角。 2. 易错点：K字模型对应边搞反，横纵坐标加减出错 · 错因分析：对应顶点顺序混乱，坐标差对应错误。 · 避坑指南：水平边对应水平边，竖直边对应竖直边，严格按相似对应关系写比例。 3. 易错点：不会主动构造一线三等角，只在现成图形中识别 · 错因分析：构造辅助线的意识不足。 · 避坑指南：坐标系遇垂直、遇等腰直角，优先作坐标轴垂线构K字。 模型小结 1. 核心口诀：一线三直角，K字相似找；锐角与钝角，同理推等角；横对横，竖对竖，比例列清楚； 2. 解题步骤：找共线三等角 → 推等角 → 证相似 → 列比例 → 计算； 3. 坐标系必背：作垂线、构K字、横差比竖差、列比例求坐标； 4. 无模型时可主动构造，过顶点作直线垂线即可生成三等角。 1．如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 3．(2026·黑龙江省哈尔滨市·调研)如图1，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上，连接、、．若，设的长为m，的面积为n，n与m的函数图象如图2所示，则图中点P的横坐标为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 6．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 7．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 8．(26-27九上·陕西西安雁塔区西安辅伦学校·)如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 9．(25八下·河南濮阳·期末)如图，矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为___________． 10．在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为___________． 11．(25-26九上·江苏无锡祝塘第二中学·)如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 12．(26-27九·专题3.8相似三角形经典几何模型（一线三等角）（模型梳理题型精析同步检测）)如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 13．(2025·广东省深圳市·)如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为________． 14．(25-26九上·四川眉山东坡区实验初级中学·)如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 15．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 16．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 17．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 18．(2025九·云南曲靖一中卓立学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点、的坐标分别是和，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形． (1)填空：点的坐标为______； (2)是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； (3)①求证：； ②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并直接出的最小值． 19．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 20．(2024九下·吉林长春解放大路学校初中部·模拟)综合实践 (1)【问题背景】如图①，在正方形中，点为边上的动点，．由正方形的性质易得，从而得到与的位置关系为________； (2)【探究应用】如图②，在矩形中，，，点为边上的动点，，与交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连结，当的长度最小时，的面积为________． 21．(2025·河南省信阳市·模拟)【探索发现】 如图，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿、折叠，使点、均落在点处，折痕形成一个四边形 小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的： (1)请参考小刚的思路写出证明过程； (2)连接，当时，直接写出线段、、的数量关系； 【理解运用】 (3)如图，在四边形中，，，，，，点为的中点，把四边形折叠成如图所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在点处，求的长． 22．(2025·河南省商丘市·二模)如图，等腰直角三角形中，，，点为上一个动点，连接，以为底边在右侧作等腰直角三角形，连接． (1)如图1，当在上时，线段与线段的数量关系为 　　； (2)如图2，若点为的中点，当点在线段上移动时，线段与线段的数量关系是否变化？请说明理由； (3)在点运动过程中，若，，直接写出线段的长． 23．【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 24．(2026·山东省济南市·)矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 25．(2025九上·浙江温州鹿城区实验中学·)如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点为的中点，求的值． 26．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 27．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 28．(25-26九上·江苏连云港新海初级中学·)如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 29．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 30．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 31．(24-25八下·山东泰安泰山区·期末)某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 32．(25-26九上·江苏扬州仪征·期末)（1）【合作探究】如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，连接，点B为的延长线上一点，连接，使得，若，，求的长度； （3）【学以致用】如图3，在四边形中，，，点D为上一点，，，若，且，则________． 33．(25-26八下·江苏苏州姑苏区·期末)如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 34．(24-25九上·河北唐山迁安·期中)如图，平面直角坐标系中矩形两边分别在y轴和x轴上，其中，，又P、Q分别是边上的动点，它们分别同时从O、C出发在边上匀速运动，P点每秒运动2个单位，Q点每秒运动1个单位，其中一个动点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) 当为等腰三角形时，______，此时Q点坐标为______； (2)连接， ①当t为何值时，的面积为3； ②连接，当t为何值时，； (3)在P、Q运动的过程中，是否存在是直角三角形，若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $