重难点专题 二次函数与一元二次方程、不等式（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 二次函数与一元二次方程、不等式 重难点一 抛物线与x轴交点个数（判别式应用） 主要方法：设二次函数(a≠0)，一元二次方程 ,抛物线与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程的根.当时：抛物线与x轴2个交点，方程有两个不相等实数根；当时：抛物线与x轴1个交点，方程有两个相等实数根；当时：抛物线与x轴无交点，方程有两个不相等实数根，方程无实数根.常见类型：①已知函数图像判断符号；②由交点个数求参数取值范围. 特别注意：题目说是二次函数，务必保证a≠0. 1.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2． 【分析】本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，由抛物线与轴只有一个公共点，得到一元二次方程根的判别式，据此可求出的值，解题得关键是掌握二次函数图像与一元二次方程根的关系． 【详解】解：令， 则， 解得， 故答案为：B． 2.已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程的，建立一个关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】当时，函数是一次函数， 解析式为：， 此时图象和x轴有交点， 即满足要求； 当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点， ∴一元二次方程的， 即：， 解得且， 综上：则k的取值范围是， 故选：C． 3.已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 【分析】令，再根据一元二次方程根的判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴无交点， ∴方程无实根， ∴，解得． 故选：A． 4.若函数的图像与坐标轴有2个公共点，则m的值为 ． 【分析】分和两种情况，分别根据二次函数和一次函数图像的性质分析计算即可解答；掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】解：①当时函数是二次函数， ∵函数的图像与坐标轴有2个公共点，且它与y轴交于点，∴它与x轴只有一个交点， ∴，解得：或； ②当时，由函数可得：是一次函数， ∴它与y轴交于点，与x轴交于点，即图像与坐标轴有两个交点， 综上，或或时，函数的图像与坐标轴有2个公共点． 故答案为：或或． 5.已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∵两个交点的横坐标是分别为、， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6.(2026年贵州中考）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 7.已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，试求k的取值范围． 【分析】本题考查二次函数与轴的交点，根据，且解出的范围即可求出答案．解题的关键是正确列出进行计算． 【详解】解：由题意可知：且， 解得：且. 8.已知函数的图像与轴只有一个交点，求的值． 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟记二次函数与轴的交点个数与判别式的关系，由题中交点个数为1得到，列方程求解即可得到答案，数形结合，灵活运用二次函数图像与性质是解决问题的关键，注意系数的讨论． 【详解】解：①当，即时，函数为，是一条直线，与轴只有一个交点， ②当，即时，令，则， ∵函数图像与轴只有一个交点， ∴，解得， 综上所述，的值为2或11， 故答案为：2或11． 9.已知二次函数（m为常数）.  （1）该函数的图象与x轴的公共点的个数；   （2）当时，该函数图象的顶点纵坐标k的取值范围. 【分析】本题主要考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的顶点取值范围，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）令，则先判断根的判别式的取值范围，确定与x轴的公共点的个数即可； （2）把顶点纵坐标看成原因的二次函数，然后根据二次函数图形的性质，在范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：（1）令，则， ， 该函数的图象与x轴的公共点的个数是1或2． （2）的顶点坐标为， 设函数， 当时，的最小值为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，此时函数图象的顶点纵坐标k的取值范围是． 10.（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 重难点二 利用图像求方程的根 主要方法：根据抛物线与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，读出方程的根或写出抛物线与x轴交点坐标.根据抛物线平移后，对应方程根的变化解决问题；抛物线与直线y=k交点，转化方程 的问题；抛物线与直线交点，结合图形考虑. 1.如图抛物线，则关于x的方程的解是（　　）    A．无解 B． C． D． 【分析】令，根据函数图象得函数图象与x轴相交于，，即可得． 【详解】解：令，根据函数图象得函数图象与x轴相交于，， 则的解是， 故选：D． 2.已知二次函数中，的一些对应值如下表，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论． 【详解】解：由表格知，当时，；当时，． ∴一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：C． 3.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．    【分析】由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，根据对称性，可求，得解为或； 【详解】解：由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，则，解得 ∴的解为或； 故答案为：，. 4.已知抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是 ． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、解一元二次方程，根据抛物线，可以求得该抛物线与x轴的两个交点坐标，然后根据抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2， ∴， 故答案为：． 5.已知抛物线的顶点A在第一象限， （1）点A的坐标是 ． （2）若抛物线与x轴交于，两点；是直角三角形，则 ． 【分析】（1）将抛物线表达式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）把代入得出，求出x的值，得出，则，推出是等腰直角三角形，则为斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得出求出m的值即可． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及等腰直角三角形的性质． 【详解】解：（1）∵， ∴点A的坐标是， （2）把代入得：， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点A为顶点， ∴， ∵是直角三角形， ∴是等腰直角三角形，为斜边， ∵点A在第一象限， ∴，解得：， ∴ 解得：（舍去）， ∴， 故答案为：，2． 6.若抛物线的对称轴不在y轴的右边，且关于x的一元二次方程有两个实数根，求所有满足条件的整数a的值． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，由抛物线的对称轴不在y轴的右边，得到，则；关于x的一元二次方程有两个实数根，则且，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴不在y轴的右边， 则，则； 关于x的一元二次方程有两个实数根， 则且， 解得：且， 即且， 则a为：，，0，2，3，4，5. 7.已知二次函数与一次函数的图象交于P、Q两点（点P在Q点左侧）． （1）当点P在x轴上时，求k的值； （2）若P、Q两点均在x轴下方，求k的取值范围． 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，二次函数与一元一次方程的关系． （1）先求出抛物线与轴的交点坐标，再代入，求出k的值即可； （2）联立方程，求出方程有两解时k的取值，再结合两个交点在x轴下方满足的条件取舍k的值即可 【详解】解：（1）对于，令则有： 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵二次函数与一次函数的图象交于P，且点P在x轴上， ∴或 解得，或； 故答案为：0或． （2）由题意得，， 得，， 令，整理得，， ∵有两解， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）或， 故答案为：． 重难点三 图像法解二次不等式（高频） 主要方法：二次函数与一元二次不等式（看图写解集），，开口向上： 图像在x轴上方部分对应的x取值，两根之外；图像在x轴下方部分对应的x取值，两根之间.，开口向下：图像在x轴上方部分对应的x取值，两根之间；图像在x轴下方部分对应的x取值，两根之外.关键方法：先找抛物线与x轴交点，再看开口方向，直接读图得解集，不用死记.对于、 型不等式，转化为看抛物线与直线y=k上下位置. 常见类型：①已知图像直接写出不等式解集；②结合函数图像比较函数值大小；③综合：函数值大于或小于某常数 k 的解集.④,根据抛物线与直线交点、图像位置，数形结合考虑. 特别注意：的符号. 1.（2026福建中考）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 2.抛物线的图象经过，，三点，下列结论中正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．当时，y取最小值 C．当时，一元二次方程必有两个相等实根 D．直线经过点，当时，x的取值范围是 【分析】将，，代入，求得解析式，对选项逐个判断即可． 【详解】解：将，，代入得， ，解得，即 ，开口向上，A选项错误，不符合题意； 对称轴为：，此时，即最小值为，B选项错误，不符合题意； 当时，一元二次方程必有两个不相等实根，C选项错误，不符合题意； 画出一次函数和二次函数的图象，如下图， 由图象可知，当时，x的取值范围是 D选项正确，符合题意； 故选：D 3.如图，二次函数的图象与直线交点坐标为，，则不等式的解集是 ．    【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握图象法是解题关键．不等式可改写成，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：不等式可改写成不等式，表示的是二次函数的图象位于与直线的下方， ∵二次函数的图象与直线交点坐标为，， 由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 4.已知如图：抛物线与直线相交于点、两点，则关于的不等式的解集是 .    【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可，利用数形结合思想分析问题是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴不等式的解集是 或， 故答案为：或． 5.若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为或，则的值为 ． 【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线的顶点在轴上得出，再根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 不等式的解集为或， 或是关于的方程的解， ， 解得， 的值为4， 故答案为：4． 6.已知二次函数抛物线经过，． (1)求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像； (2)根据图像，直接写出： ①当函数值时，自变量的取值范围； ②当时，函数值的取值范围． 【分析】(1)把坐标代入解析式转化方程组计算即可． (2) ①计算抛物线与轴的交点坐标，根据题意计算即可． ②利用数形结合思想计算即可．熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）∵二次函数抛物线经过，． ∴ 解得， 故抛物线的解析式为．画图像如下： ． （2）①根据题意，得， 解得， 当函数值时，自变量的取值范围是． ②∵， ∴对称轴为直线， ∴在自变量范围内， ∴函数值的最大值为； ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，函数值最小，， 故函数值的取值范围是． 7.已知抛物线与直线交轴于一点，且在抛物线中，当时，有最大值， (1)求这个抛物线的解析式． (2)当时，请直接写出的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的综合，二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握两函数图形交点坐标的方法． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再把点 代入即可求解； （2）求出两函数的交点坐标为，，根据图象可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵当时，有最大值， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线的解析式为， 在中，令得， ∴点的坐标是， 又∵点在抛物线上， ∴将点代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图： ∵，， ∴， 解得：，， ∴与图象交于点，， 由图象可知，当时，的取值范围为． 重难点四 图像信息题，判断代数式符号 主要方法： 根据二次函数图像的性质，常判断 a、b、c、、2a+b、a+b+c、a-b+c 等式子正负，要注意结合图象的开口方向、对称轴、与x轴交点、特殊的函数值进行判断. 1.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，且，下列结论：；；．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先判断当时，有，根据抛物线对称轴为直线，可得当时，有，即；由对称轴是可以得到，而，得到，再取时，可以得到，据此即可作答． 【详解】解：根据题意，画出大致的抛物线图象，如图， ∵抛物线的，与x轴的一个交点为，且， ∴可知当时，有， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，有， ∴时，； ∵抛物线对称轴为直线， ∴． ∴． ∵， ∴； ∵当时，有， ∴再取时，． 即①、③正确，错误，正确的结论有2个． 故选：C． 2.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的有（   ）个． A． B．2 C． D． 【分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，可判断结论①；②根据判断出y的正负，可判断结论②；③由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出、，即，判断结论③；④将代入二次函数解析式中结合，即可求出抛物线的顶点坐标，然后即可判断结论④；⑤观察函数图象可知，当时，y随x增大而减小，可判断结论⑤．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，结论①正确； ②∵当时, 由图象可得,当时 ∴，结论②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点 ∴ ∵抛物线经过原点 ∴ ∴，结论③错误； ④当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵抛物线开口向上 ∴ ∴ ∴结论④正确； ⑤观察函数图象可知：当时，y随x增大而减小，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①④． 故选：B． 3.（2026年黑龙江省绥化市中考）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 4.二次函数的图象如图所示，给出下列说法：； ； ；；当时，． 其中正确的序号是 ．        【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是， 故答案为：． 5.抛物线(，，为常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其中正确的是 (填序号即可)． 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出,即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据，得出 ，求出m的取值范围，即可判断④正确． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在的左侧， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：， 即, ∵， ∴ ∴，故①错误； ②∵，， ∴方程的两个根的积大于0， 即， ∵， ∴， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的上方或者右上方， ∴，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴，故③正确； ④方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ∴． ∵把代入得，即, ∴， 即， ∴， ∴， 即, ∵在抛物线上， ∴为方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 重难点五 综合参数问题（拔高） 主要方法：根据二次函数图像性质和给定的不等式条件、交点条件，求参数取值范围，数形结合分析. 1.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据顶点坐标得到对称轴表达式，根据二次函数的对称性，得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称，即可判断①； 结合①中结论，根据函数图像即可判断②； 首先根据对称轴得到a和b的关系，然后根据顶点坐标得到a和c的关系，求出当x=4时，y的值即可判断③； 根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点，即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判断④． 【详解】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为 ∴函数的对称轴为x＝ ∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等 ∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0 于是①的结论正确； ②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为 ∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2， 于是②错误； ③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a， ∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a， 于是③错误； ④∵方程有两个实数根x1和x2，且x1＜x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1交点的坐标和 ∵抛物线时，x＝﹣1或3， 即抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）， ∴﹣1＜x1＜x2＜3， 于是④正确． 故选：B． 2.对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】根据题意可求出的相关函数解析式为：．画出图象，讨论当线段与二次函数的相关函数的图象有1个公共点，2个公共点，3个公共点时n的值，再结合图象，即可确定线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围． 【详解】解：由题意可求的相关函数解析式为：． 如图，线段与的图象恰有1个公共点时， ∴当时，，即， 解得：； 当函数的图象向上移动且与线段恰有3个公共点时， 由图可知函数与y轴的交点为， ∴， ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点； 当函数的图象继续向上移动且又一次与线段恰有3个公共点时， 由图可知函数与y轴的交点为， ∴； 当函数的图象又继续向上移动且与线段恰有2个公共点时， 由图可知此时函数经过点， ∴， 解得：， ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点． 故选：A． 3.二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 0 1 2 当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ． 【分析】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键． 利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，结合的范围，判断③结论． 【详解】解：当时，，当时，， ，抛物线对称轴为直线， 当时，其对应的函数值， 在对称轴左侧，随增大而减小， 二次函数开口向上， ，． ．①结论符合题意； 时，， 是关于的方程的根． 对称轴为直线， 和3是关于的方程的两个根．故②错误； ，， 二次函数解析式：， 当时，与其对应的函数值． ， ； 当和时的函数值分别为和， ， ；故③错误， 故答案为：①． 4.如图，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若抛物线的顶点为，求的面积． 【分析】（1）本题主要考查求直线和抛物线交点坐标，直接把一次函数解析式和二次函数解析式联立组成方程组，最后解一元二次方程即可． （2）本题主要考查利用数形结合解不等式，其中和点横坐标是解决问题的关键，直线在二次函数上方的是满足条件的解集． （3）本题考查在平面直角坐标系中，求固定个点的三角形的面积，方法很多，直接过点A作轴垂线把分割成两个三角形来求面积即可． 【详解】（1）由题可知，联立得 解得或； ，． （2）由题可知，过点和点分别作轴的垂线，垂足为，； ∴，； ∵只有线段是在抛物线的上方； ∴对应的解集为：． （3）将代入得； ； ∴对称轴为：， ； ∴ ； 即． 5.（2026年湖北省中考）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 6.（2026福建中考）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又， 垂直平分， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 二次函数与一元二次方程、不等式 重难点一 抛物线与x轴交点个数（判别式应用） 主要方法：设二次函数(a≠0)，一元二次方程 ,抛物线与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程的根.当时：抛物线与x轴2个交点，方程有两个不相等实数根；当时：抛物线与x轴1个交点，方程有两个相等实数根；当时：抛物线与x轴无交点，方程有两个不相等实数根，方程无实数根.常见类型：①已知函数图像判断符号；②由交点个数求参数取值范围. 特别注意：题目说是二次函数，务必保证a≠0. 1.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2． 2.已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3.已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 4.若函数的图像与坐标轴有2个公共点，则m的值为 ． 5.已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 6.(2026年贵州中考）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 7.已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，试求k的取值范围． 8.已知函数的图像与轴只有一个交点，求的值． 9.已知二次函数（m为常数）.  （1）该函数的图象与x轴的公共点的个数；   （2）当时，该函数图象的顶点纵坐标k的取值范围. 10.（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 重难点二 利用图像求方程的根 主要方法：根据抛物线与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，读出方程的根或写出抛物线与x轴交点坐标.根据抛物线平移后，对应方程根的变化解决问题；抛物线与直线y=k交点，转化方程 的问题；抛物线与直线交点，结合图形考虑. 1.如图抛物线，则关于x的方程的解是（　　）    A．无解 B． C． D． 2.已知二次函数中，的一些对应值如下表，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A． B． C． D． 3.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．    4.已知抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是 ． 5.已知抛物线的顶点A在第一象限， （1）点A的坐标是 ． （2）若抛物线与x轴交于，两点；是直角三角形，则 ． 6.若抛物线的对称轴不在y轴的右边，且关于x的一元二次方程有两个实数根，求所有满足条件的整数a的值． 7.已知二次函数与一次函数的图象交于P、Q两点（点P在Q点左侧）． （1）当点P在x轴上时，求k的值； （2）若P、Q两点均在x轴下方，求k的取值范围． 重难点三 图像法解二次不等式（高频） 主要方法：二次函数与一元二次不等式（看图写解集），，开口向上： 图像在x轴上方部分对应的x取值，两根之外；图像在x轴下方部分对应的x取值，两根之间.，开口向下：图像在x轴上方部分对应的x取值，两根之间；图像在x轴下方部分对应的x取值，两根之外.关键方法：先找抛物线与x轴交点，再看开口方向，直接读图得解集，不用死记.对于、 型不等式，转化为看抛物线与直线y=k上下位置. 常见类型：①已知图像直接写出不等式解集；②结合函数图像比较函数值大小；③综合：函数值大于或小于某常数 k 的解集.④,根据抛物线与直线交点、图像位置，数形结合考虑. 特别注意：的符号. 1.（2026福建中考）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.抛物线的图象经过，，三点，下列结论中正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．当时，y取最小值 C．当时，一元二次方程必有两个相等实根 D．直线经过点，当时，x的取值范围是 3.如图，二次函数的图象与直线交点坐标为，，则不等式的解集是 ．    4.已知如图：抛物线与直线相交于点、两点，则关于的不等式的解集是 .    5.若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为或，则的值为 ． 6.已知二次函数抛物线经过，． (1)求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像； (2)根据图像，直接写出： ①当函数值时，自变量的取值范围； ②当时，函数值的取值范围． 7.已知抛物线与直线交轴于一点，且在抛物线中，当时，有最大值， (1)求这个抛物线的解析式． (2)当时，请直接写出的取值范围． 重难点四 图像信息题，判断代数式符号 主要方法： 根据二次函数图像的性质，常判断 a、b、c、、2a+b、a+b+c、a-b+c 等式子正负，要注意结合图象的开口方向、对称轴、与x轴交点、特殊的函数值进行判断. 1.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，且，下列结论：；；．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的有（   ）个． A． B．2 C． D． 3.（2026年黑龙江省绥化市中考）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.二次函数的图象如图所示，给出下列说法：； ； ；；当时，． 其中正确的序号是 ．        5.抛物线(，，为常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其中正确的是 (填序号即可)． 重难点五 综合参数问题（拔高） 主要方法：根据二次函数图像性质和给定的不等式条件、交点条件，求参数取值范围，数形结合分析. 1.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3.二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 0 1 2 当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ． 4.如图，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若抛物线的顶点为，求的面积． 5.（2026年湖北省中考）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 6.（2026福建中考）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $