专题04 反比例函数与一次函数、几何图形的综合（专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用，以分层题型构建知识网络，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与反比例函数综合|3题型|图象判断、交点计算、综合应用|从函数性质到数形结合，逐步提升综合分析能力| |实际应用|2题型|单一与综合函数模型|建立实际问题与函数模型的联系，发展模型意识| |与几何图形综合|5题型|三角形、四边形等图形与函数结合|融合图形性质与坐标运算，深化空间观念与推理能力|

专题04 反比例函数与一次函数、几何图形的综合 常考题型·精准突破 考点一 一次函数与反比例函数图象综合问题 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型2 一次函数与反比例函数的交点问题（重） 题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难） 考点二 一次函数、反比例函数的实际应用 题型4 反比例函数的实际应用 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用（高频） 考点三 反比例函数与几何图形的综合 题型6 与三角形的综合问题（重） 题型7 与平行四边形的综合问题（难） 题型8 与矩形的综合问题 题型9 与菱形的综合问题 题型10 与正方形的综合问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一次函数与反比例函数图象综合问题 ◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 2．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 3．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 4．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 5．函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：时，，在一、二、四象限，在一、三象限，选项符合． 时，，在一、三、四象限，在二、四象限，无选项符合； 故选：D． ◆题型2 一次函数与反比例函数的交点问题 6．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 8．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 【答案】或 【详解】解： ∵，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵在直线和上，在直线和上， ∴，， 设直线的解析式为，代入两点坐标得： ， 两式相减得， 整理得， 将代入，得， ∴ 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，得新直线解析式为， 联立， 消去整理得， ∵直线与反比例函数有且只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 10．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)2； (3) (4)或 【分析】 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点， ∴把代入， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 把及代入， 则， 解得：； （3）解：把代入，则， 解得：， ∴直线与x轴交于点， ∴根据图象可知，当时，x的取值范围为：； （4）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积不小于的面积， ∴， ∴或． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ，解析式为． 在上， ，即． 将、代入：， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）由图像可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． ◆题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用 12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 【答案】 【详解】当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， ， 由上可知，，，，，，，个为一组依次循环， ∵， ∴． 13．已知正比例函数的图象与反比例函数（k为常数，）的图象的一个交点的横坐标是，求当时，反比例函数的对应函数值． 【答案】 【分析】 【详解】解：将代入得：, 将代入 得：, ∴反比例函数解析式为, 当时,． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式． (2)根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； (3)若动点P在x轴上，求的最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3)10 【分析】 【详解】（1）解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数过点， ， 解得， ， 一次函数的图象过点，， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可知不等式， 即时， x的取值范围为或； （3）解：作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ， 由轴对称性质可知，， 根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，取值最小， 的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：点在直线上，且点的纵坐标是2， ，解得， 即点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，如图． 联立， 解得或， ． 设平移后的直线表达式为． 该直线平行于直线， ， ， ， ， 平移后的直线表达式为． 考点二 一次函数、反比例函数的实际应用 ◆题型4 反比例函数的实际应用 17．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 18．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 19．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 【答案】/ 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 20．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【分析】 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 21．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【分析】 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 22．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． ◆题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 23．图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 24．【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3，4； (2)根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 电流随可变电阻R的增大而减小； (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【分析】 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过， ，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当时，， ； 当时，， ， ， m不能超过； 当时，，解得：， ，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 25．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3) 解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【分析】 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）略 26．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】 能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 【详解】略 27．在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年月到月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： 工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元瓶 统计售价（元瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． 该矿泉水的供给量关于售价（元瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶） 月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)；； (2)月出售这种矿泉水每瓶获利最大； (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元． 【分析】 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱， ∴，， 根据信息可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，即月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意，， 当该矿泉水需求量与供给量相等时，， 解得：（舍去）， 当时，， ，解得：， 总利润为（元）， 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元． 考点三 反比例函数与几何图形的综合 ◆题型6 与三角形的综合问题 28．如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：过点 作 轴于点 ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 点 在第二象限， 点 的纵坐标为 ， 把 代入 ，得 ， ， 把 ， 代入 ， 得 ，解得 ， 直线解析式为 ， 联立 ， 解得 ，， ， ． 29．（下册第三章追梦期末达标测试卷）如图，在函数和的图象上，分别有A，B两点，若轴，交y轴于点C，且，已知，，则线段的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵轴，轴轴， ∴轴，点，的纵坐标相等， 设点的坐标为，点的坐标为，其中，，， 则，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 又∵，， ∴，， ∴． 30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)，24 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 31．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 32．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． ◆题型7 与平行四边形的综合问题 33．如图，平行四边形的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点D．若的面积与的面积之比为，则平行四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】解：连接，作轴于E，轴于F， 由平行四边形的性质可得，， ∵的面积与的面积之比为， ∴的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点C的坐标是，则， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 【点评】 本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 34．如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线，经过、两点，若平行四边形的面积为18，则的值是 _______． 【答案】 【详解】解：过作轴于，过作轴于，设，， 则，，，，，， 、在双曲线上， 与的面积相等， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ， ，根据三角形的中位线，可得， ， 平行四边形的面积， ，，即； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，三角形的中位线定理等知识点，数形结合作出辅助线并且根据这些性质正确地进行计算是解此题的关键． 35．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是__________． 【答案】16 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵平行四边形， 与的面积相等， 又∵顶点在反比例函数上， 的面积的面积相等， 同理可得：的面积的面积相等， ∴平行四边形的面积． 故答案为：16． 36．如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线经过两点，平行四边形的面积为24，则的面积为___________，k=______ 【答案】 6 8 【详解】解：∵平行四边形AOBC的面积为24， ∴△AOE的面积为24÷4=6， 设，，过作于，于，如图， 由平行四边形的性质可知， 则为的中位线， 由三角形的中位线定理得：，，， 则，， 在双曲线上， ， ， 平行四边形的面积是24， ， 解得：． 故答案为：6，8． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系． 37．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 38．如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连接AE，求AE的长及点M的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）∵点，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴点C坐标为 ∵点C在反比例函数的图象上 ∴反比例函数的表达式为： （2）∵向上平移得到 ∴点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是 ∵点F在反比例函数的图象上 ∴点F的坐标为 ∴是由向上平移2个单位长度所得 ∴， ∴点M的纵坐标 ∴点M的横坐标为 ∴点M的坐标为 【点睛】考查几何与反比例函数的综合．注意第一小问利用平行四边形对边平行且相等算点C坐标，第二小问上下平移前后对应点横坐标不变，纵坐标发生变化． ◆题型8 与矩形的综合问题 39．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：， ∴， ∴，选项错误，符合题意； 故选：D 40．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 41．如图，矩形的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线与交于点D，与交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和2，则k的值为_____． 【答案】/ 【详解】解：设， ∵轴， ∴，， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， ∴； ∵轴， ∴点E的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵矩形的面积为2， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 42．如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． 求点F的坐标； 【答案】 【详解】解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中，解得 ∴反比例函数解析式为 将代入中得 ∴． 43．【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 【答案】(1)直线的解析式为；曲线所对应的函数解析式为 (2)长为，宽为 【分析】 【详解】（1）解：∵点A到线段的距离为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴，即点B的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将A，B代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设曲线对应的反比例函数解析式为， 将D代入得：， ∴曲线所对应的函数解析式为； （2）解：如图所示： 设的长度为m， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积是定值4， ∴当的面积最大时，的面积最大， ， 当时，有最大值4， ∴点N的坐标为， ∵， ∴点M的横坐标和点N的横坐标相同， 把代入得，， ∴点M的坐标为， ∵， ∴点M的纵坐标和点Q的纵坐标相同， 把代入得， ∴点Q的坐标为， ∵点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ∴． ◆题型9 与菱形的综合问题 44．如图，菱形的顶点A，C都在反比例函数的图象上（A，C 在不同象限）轴，原点为菱形的对称中心，若点的坐标为，则的值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：设 ∵原点为菱形的对称中心， ∴点C的坐标为，，， ∵轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 45．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 46．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：作交轴于， ∵菱形的周长为， ∴， ∵菱形面积为， ∴， ， ∴， ， ∴，代入反比例函数， ． 故答案为：． 47．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC与菱形ADEF在第一象限，且边OA，AD在x轴上．反比例函y＝（x＞0）的图象经过边OC的中点M与边AF的中点N，已知菱形OABC的边长为4，且∠AOC＝60°． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形ADEF的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）如图所示，过M点作MP⊥x轴于P点， ∵菱形OABC的边长为4，M为OC的中点， ∴OM=2， ∵∠AOC＝60°， ∴在Rt△OMP中，∠OMP=30°， 则：，， 即：点M的坐标为， ∴代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）过N点作NQ⊥x轴于Q点，由题意可得：∠NAQ=60°， ∵N在反比例函数图象上， ∴设N的坐标为，即：，， ∵， ∴，解得：（舍负）， 即：，， ∵N为AF的中点， ∴， ∴菱形ADEF的周长为． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，理解反比例函数图象上的点的特征以及菱形的性质是解题关键． 48．如图，平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为， (1)求菱形的边长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，交的延长线于点， 轴， ， ，两点在反比例函数=的图象，且纵坐标分别为，， ，， ，， 菱形的面积为， ，即=， =，即菱形的边长为 （2）在中，， ， ． 49．如图，菱形的边在x轴上，且，，点C在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)当菱形绕点O逆时针旋转时，判断点C的对应点是否在的图象上；并直接写出所在的直线解析式． 【答案】(1) (2)在图象上，所在直线解析式为： 【分析】 【详解】（1）解：∵点C在反比例函数的图象上， ∴设， ∵菱形， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）由（1）得， 过点C作轴于点M， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形绕点O逆时针旋转， ∴，， ∵ ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴点B旋转后再x轴负半轴上， ∵菱形为轴对称图形， ∴， 过点作轴， 在中，，， ∴，， ∴， 把代入中，成立， ∴点在反比例函数图象上， ∵， 设所在的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． ◆题型10 与正方形的综合问题 50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， ∴ 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 51．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 52．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 53．如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若面积为5，正方形的周长为，则k的值为________． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，则， ∵A在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的周长为． ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 54．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，已知轴，点的横坐标为3，则的值为______ ． 【答案】 【详解】解：如图，设与交于点，延长，交轴于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵轴，轴轴， ∴轴，轴， 设，， ∴，， ∵点的横坐标为3， ∴，，，， ∵点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 55．如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)25 【分析】 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，， 点的纵坐标为， 代入到，则，解得， ， ，则， 正方形的面积为， 反比例函数的图象关于原点对称， 阴影部分的面积正好是正方形面积的， 阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积为25． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 2．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高__________． 【答案】 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：； ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为：； 代入； ∴点， ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为：； 代入； ∴点， ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为：； 代入； ∴点， ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线， 交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为________． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，即， ∴点的坐标为， 把点代入得：． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 【答案】 5 【分析】 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 5．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵轴， ∴， 同理，故⑤正确； ∴，故①正确； 如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，故②正确； ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 根据题意可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理四边形是平行四边形， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 6．已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点和点，点是反比例函数图像上的一点，且点在第一象限． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)如果的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)点的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∴将点代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 由题意得，将代入中， 得， ∴点的坐标为， 设一次函数的解析式为， 将和分别代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，连接，连接直线交x轴于点E，如图， 令，代入得， 解得， ∴点的坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点，， 当时，此时点在点右侧， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，此时在点左侧，如图， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，点与点重合，无法构成三角形，舍去， 综上所述，点的坐标为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 【答案】(1) (2)根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 (3)连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 【分析】 【详解】（1）解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； （2）略． （3）略． 8．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【答案】(1)生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要 (2)①，； ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗． 【分析】 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要． 根据题意得， 解得， 答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要； （2）解：①设当时，，当时，， 由题意得，， 解得， ∴，． ②略 9．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 10．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点， ∴点F的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：3，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 11．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 12．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A (2)， (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得，． ∴． ∴． 故选：A． （2）解：①由（1）得：，， 设，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则． ∴． 由旋转知，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （3）解：存在，，理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q， 则． ∴． ∴的最小值等于的长． 由（2）知，，， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则． 解得． ∴． 当时，． ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何重合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像及性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04反比例函数与一次函数、几何图形的综合 常考题型精准突破 ●考点一一次函数与反比例函数图象综合问题。一 ◆题型1一次函数与反比例函数图象综合判断 1.【答案】D 【详解】解：：反比例函数y=的图象经过点行2 :k=x(-2)-1 ∴反比例函数解析式为：y=- x ∴图象在第二、四象限内， k=-1, .一次函数为y=x-1, ∴.图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：x-1, 则x2-x+1=0, △=b2-4ac=(-1-4×1×1=1-4=-3<0, ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意. 2.【答案】A 【详解】解：~一次函数y=x+b的图像经过第一、二、三象限， .k>0,b>0 。函数的图像经过第一、三象限，且无限接近袖 函数y=的图像向左平移6个单位得到函数y=人 =x+b的图像，其无限接近直线x=b<0:排除B、C选 项： 当x>-b时，y>0,当x<-b时，y<0,排除D选项：A选项符合题意. 1/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.【答案】C 【详解】解：当k>0时，则-2k<0,则双曲线过一、三象限， :-2k<0,3>0,则直线过一、二、四象限： 当k<0时，则-2k>0,则双曲线过二、四象限， :-2k>0,3>0,则直线过一、二、三象限： 观察可知，只有选项C的图象符合题意 4.【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，则-k<0, k :反比例函数少=的图象在第一、三象限，一次函数y=:-k的图象经过第一、三、四象限： 观察选项A、B,图象均不符合： ②当k<0时，则-k>0, 反比例函数少的图象在第二、四象限，一次函数在一大的图象经过第、一、四象眼 观察选项C,直线经过第一、三、四象限，不符合： 观察选项D,双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合， 5.【答案】D 【详解】解：a>0时，-a<0'y=-x+在一、三、四象限，)-在、三象限，D选项符合 4<0时，-a>0”y=-x+a在一、三、四象限，y=(a≠0)在二、四象限，无选项符合 故选：D ◆题型2一次函数与反比例函数的交点问题 6.【答案】D 【详解】解：如图， ,直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， 2165 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形， .0°<a≤45°， .∠AOB=a≠90°」 ∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形， ,只有当AC=BD时，四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD不一定是矩形， 四边形ABCD一定是平行四边形. 7.【答案】 x<0或2<x<6 【详解】解：由图象可知，当>2时，x的取值范围是x<0或2<x<6. 8.【答案】8或72 【详解】解：，A(8,0),B(8,4) ∴直线AB的解析式为x=8, B(8,4),C(0,4), ∴直线BC的解析式为y=4, :E在直线AB和y上p在直线4CyL k 设直线EF的解析式为y=mx+n,代入两点坐标得： =8m+n 8 m+n 4 两式相减得4- 1 整理得m= 2 k 将m=一2代入8=8m+m,得n= 8+4 1x+k+4, ·直线EF的解析式为y=~2x+ 8 3/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将直线EF向左平移2个单位，得新直线解折式为y=(x+2)小+冬+4=一+冬 8 2x++3, 1k+3 y=2x+8+ 联立 k y=- 消去y整理得4x2-(k+24)x+8k=0. :直线与反比例函数有且只有一个交点， .△=(k+24)-4×4×8k=k2-80k+576=0, 解得k=8,k=72. ∴.k的值为8或72. 9.【答类】0为=11-2+2 (2)3 (3)-1<x<0或x>2 【分析】 【译解】（山解：⅓-点的图象过点44 .k2=-1×4=-4 4 .反比例函数的表达式为y2=- :y=一x的图象过点B(2,m) .m=-4 -2 B(2,-2), :直线y=x+b(k≠0)的图象经过点A(-L,4),B(2,-2), 「-k+b=4 ·2k+b=-2' k=-2 解得b=2· ∴.一次函数的表达式为出=-2x+2 (2)过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D, 4/65 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BC⊥x轴， B(2,-2). .BC=2,C(2,0) A(-1,4), AD=2-（-1)=3, :5s-2g022x3=3 (3)·A(-1,4),B(2,-2). 由函数图象可知，当-1<x<0或x>2时直线在双曲线的下方， :不等式kx+b<的解集为-1<x<0或x>2 2 10.【答案】(1)乃= (2)2:-5 ®房<4 ④m≥20 或ms-20 3 【分析】 【详解】（4)解：“反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数，=x+c的图象在第一象限交于点 A(4,3), ·把A(4,3)代入y= ∴.a=4×3=12 5/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 ∴反比例函数y的解析式为= x (2)解：A(4,3), .0A=V42+32=5, .OA=OB, ..OA=OB=5, .B(0,-5). 把A(4,3)及B(0,-5)代入乃2=bx+c, 3=4b+c 则1-5=c b=2 解得：1c=5 (3)解：把y=0代入=2x-5,则0=2x-5, 5 解得：x= 2 直线42x-5与箱交于点(0 六根据图象可知，当0<为<y时，￥的取值范围为：2<x<4: (4)解：：A(4,3),B(0-5), .0Bx2 .S408=2 x5×4=10, :P(m,0) ..OP =m, 1 ,△AOP的面积不小于△AOB的面积， m≥10 m 3或ms、20 20 3· 6/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 11.【答案】(1)y= x'y=x+3 (2)-4<x<0或x>1 【分析】 【详解】(1)解：：反比例函数过A(1,4), 六m=1×4=4:解析式为y=4 x ~B4n在y=上 ..n=4 -1,即B(-4,-1) 4 [k+b=4 将A1,4)B(-4,-1)代入y=+b:1-4k+b=-1 k=1 解得b=3” .一次函数解析式为y=x+3 (2)由图像可知，当-4<x<0或x>1时，一次函数值大于反比例函数值. ◆题型3一次函数与反比例函数的其他综合应用 12.【答案】2 【详解】当4=2时，B的横坐标与A的横坐标相等为4=2， 4的纵坐标和B的纵坐标相同为乃=-】=- 1-1= 3 B,的横坐标和4的横坐标相同为a2= 2 2 4的纵坐标和B的纵坐标相同为y=-】=名 423, 13’ 2 1 B,的横坐标和A,的横坐标相同为4= 3 4的纵坐标和B的纵坐标相同为片=】。 =3 a B4的横坐标和A的横坐标相同为a4=3-1=2=4, … 由上可知，4，a2,,a4,a,,3个为一组依次循环， 7/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2026÷3=6751, .0226=4=2. 13.【答案】3 【分析】 【详解】解：将x=2代入y=x得：y=2, 将x=2,y=2代入y=得：=4 4 ∴.反比例函数解析式为y=一 4 当x=3时，y=3 14.【答案】(1)y=x+1 2 (2)-4<x<0或2<x (3)存在，（1，-4) 【分析】 【胖解1（山解将44Ba2)代入=兰中得 m=4 4 -4 =-1,2= n’n=2' 则点A,B坐标为A(4,-),B(2,2),将其代入y=G+b得， [-1=-4k+b 2=2k+b 1 k=- 解得2 b=1 则一次函数解析式为y=2x+1, (2解：晨聚数图服可知。当如+6>时，4<0或2<r (3)解：对于y=2x+1,当x=0时，y=1,当y=0时，x=-2' 则C(-2,0),D(0,1), 8/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 设Paaa<), 二×OC× 4-4 2 S.OCP=4S.BDO, 4 =4×1, a a=-1, 则点P的坐标为(-山，-4) 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不 等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键. 101 15.【答案】()y=:y=-2x+6 (2)2<x<10或x<0 (3)10 【分析】 【详解】（山解：反比例西数y-过点A25) ∴.m=2×5=10 10 :反比例函数解析式为y x 10 反比例函数y=x过点B(,): 01, ..n 解得n=10, B(10,1) 一次函数y=x+b的图象过点A(2,5),B(10,1). [2k+b=5 .10k+b=1 1 k=一 解得 2, b=6 9/65 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :一次函数解析式为y= 2x+6: (②解：由图象可知不等式方+6- >0 1 10 即2+6>x时， x的取值范围为2<x<10或x<0: (3)解：作B关于x轴的对称点B',连接AB交x轴于点P,连接BP, VA B .B'(10,-1) 由轴对称性质可知，PB=PB', 根据两点之间线段最短可知，当A、P、B三点共线时，PA+PB=PA+PB=AB取值最小， PA+PB的最小值为4B=V10-2)+(-1-5)}2=10. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等 式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的 解集，以及利用轴对称求最短路径， 16.【答案】)y=-12 (2)y= 3*6 【分析】 【详解】)解：点4在直线y=号上，且点4的纵坐标是2， ∴.2= 3x，解得x=-6 即点A的坐标为(-6,2)」 点A(-6,2)在反比例函数y=的图象上， .k=-6×2=-12. 10/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :反比例函数的表达式为y=12 (2)解：连接AC,BC,如图. VA 少s、12 联立 1 y=- x=-6x2=6 解得 2或 y3=-2? .B(6,-2) 设平移后的直线表达式为y= 3+b 该直线平行于直线AB, .SAABD=S△ABc=36, ∴.SABc=50C·(B-x4)=36, 2 1b×12=36 .b=6 :.平移后的直线表达式为y=一3x+6, ,·考点二一次函数、反比例函数的实际应用。 ◆题型4反比例函数的实际应用 17.【答案】A 【详解】解：由题意得：p的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 11/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乙、丁两种气体的质量相同， ,描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴.甲气体的质量最小，丙气体的质量最大 18 【答案】D 【详解】解：A、根据电压=电流×电阻， .蓄电池的电流a 4×121≈8，说法正确，不符合题意： 6 B、根据电压=电流×电阻， ∴，这个蓄电池的电压值大约是4×12.1≈48V,说法正确，不符合题意： C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意： D、若该电路的最小电阻值为1.50'该电路能通过的最大电流是1.5 4×12.1≈32A≠50A,选项说法错误，符 合题意. 19. 【答案105片 【详解】解：设反比例函数的解析式为y=一（化≠0）， 把(0.25,400)代入反比例函数， k 得400= 0.25 解得k=100, 所以反比例函数的解析式为y=1 x' 100 当y=200时，可得x =0.5 200 即此时镜片焦距是0.5米 12 20.【答案】(1)y= (2)当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为l.6m 【分析】 12/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：依题意得：y=12, 少2 12=1.6: (2)解：当x=7.5时，y=75 2-1.5 当y=7.5时， 解得x=1.6 .当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为l.6m, 21.【答案】(1)反比例 2200 (②)这个函数的解析式为y= x (3)它在该分辨率下的像素密度为44PPI. 【分析】 【详解】()解：根据图象得像素密度y和屏幕尺寸x之间近似存在反比例函数关系： (②)解：设反比例函数解析式为y=冬（化≠0)， 将x=55时，y=40代入得： 40=k 55, 解得k=2200, 这个函数的解析式为y=200 3)解：把x=50代入y=20 得 2200 =44 50 答：它在该分辨率下的像素密度为44PPI, 22 【答奖】0p-月 13/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)0.8:1.4 (3)0.7g/cm3≤p≤2.8g/cm3 【分析】 【详解】Q山解：设反比例函数解析式为Pk≠0月 把h=14”p=1代入，得1=4 14 解得k=14, 14 :反比例函数解析式为p= h 14=0.8 (2)解：将酒精的浸没深度h=17.5代入解析式，得m=175 将蜂蜜的浸没深度=10代入解新式，得n=4 14； 10 (3)解：当h=5时，p=4 2.8 5 14 当h=20时，P-20=0.7, .该密度计能测量的液体密度P的范围为0.7g/cm≤p≤2.8g/cm3. ◆题型5一次函数与反比例函数的实际应用 23.【答案】(1)R=-20x+60(0≤x≤3) a1-是20≤R≤0j) (3)3kg 【分析】 【详解】(1)解：设R关于x的一次函数为R=c+b. 由图3可知，该函数过点(0,60)和(3,0)： 把(0,60)代入， 得b=60: 把(3,0)和b=60代入， 得0=3k+60 解得k=-20. 14/65 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴函数关系式为：R=-20x+60(0≤x≤3)」 解：已知，与成反比例，设7。（为定值，对应电源电乐 当物体质量x=1kg时，代入(1)的结论， 得R=-20×1+60=40k2 总电阻R=R+R2=40+20=60k2 此时I=0.2mA 将I=0.2、R=60代入反比例式， 得U=1R=0.2×60=12 ÷函数关系武为：1=(20≤R≤80)】 R 12 (3)解：由/=R可知，7随R的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由R=-20x+60(0≤x≤3)知，对 应的物体质量越大， .最大质量对应电流最大值I=0.6mA】 把1=0.6代入1=12 R 得06=12 解得总电阻R=20k2: 由R=R+R, 得R=R-R=20-20=0k2: 把R=0代入R=-20x+60, 得0=-20x+60 解得x=3, ∴电子秤可称量的最大质量为3kg。 24. 【答案】(1)3,4： (2)根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 15/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ↑IIA 6 5 3 2 1 123456789R/2 电流I随可变电阻R的增大而减小： (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克. 【分析】 【详解】解：已知电流I(单位：A)与定值电阻R,、可变电阻R(单位：Q）之间关系为/=R+R, 电源电压恒为12V,定值电阻R的阻值为22， 当R=2时，1,12 2+23,即p=3, 当1=2时，22+RR=4即g=4 12 故答案为：3,4： (2)根据题意： R/2 1 /3 46 IIA 432.421.5 ∴.由图可知：电流I随可变电阻R的增大而减小： (3)解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为R=km+b,且该直线过 (0,260),(130,0). b=260 [k=-2 130k+b=0: 解得： b=260 .可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：R=-2m+260(0≤m≤130)， ∴可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当m=0时，R=260, U。12 ∴.I= R,+R2+260 ≈0.01(A): 当m=130时，R=0, 16/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 U12 Ro+R 2 =6(A), 6>0.2, ∴m不能超过130kg: 12 当1=0.2时0.2=2+R解得：R=58 .58=-2m+260,解得：m=101, ∴.电子体重秤可称的最大质量为101千克. 25.【答案】四y=0≤x<16).y=192(≥16) 3 (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3) 解：有效， 理由：把将)=6代入y=子x中得：6 3 4x, 解得：x=8, 把y=6代入y=得：6=12 192 解得：x=32, .32-8=24>20. .此次消毒有效. 【分析】 【详解】（1)解：设正比例函数表达式为y=:,反比例函数表达式为y= x' 将点(24,8)代入y=中得：8= m 24 解得：m=192 二反比例函数的表达式为y=192 192 把y=12代入y= 中得：12=192 x 解得：x=16 ∴A16,12) 17/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 反比例函数的表达式为y= 192(x216). 将点A(16,12)代入y=ax得：12=16k, 3 解得：k= 4 3 ·正比例函数的表达式为y=4x0≤x<16) 中得：4=192 192 (2)解：将y=4代入y= 解得：x=48, ∴，至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室. (3)略 26.【答案】 能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5min, 当x=5时，y=2x=10,故点A(5,10), 设反比例函数表达式为y=x,将点A的坐标代入上式并解得k=50: 故反比例函数表达式为y=0 7:00-6:00=1h=60min, 505 当x=60时，y= <1 606 故校医早上6：00开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上7：00该班学生能安全进入教室. 【详解】略 27. 360 【答案】（①）y霜求=-10x+130:y猴给 x (2)10月出售这种矿泉水每瓶获利x利润最大： (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为2160元. 18/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：：当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少 5箱， 2y求=100-x5=-10x+130,35x≤6了 0.5 根据信息@可得)4（箱）与告价，的乘积相等，设冬 代入x=3,y=120得，k=360, 360 ,y供给= x,3≤x≤6 (2)解：10月出售这种矿泉水每瓶获利x利润最大，理由如下， 1,,1 12.737 依题意，x售价=之+2，X本=一4+2一 42°4 m=分-+智--+曾 二t+ 4-6)}+3 44 1 ∴.当t>6时，x利润随t的增大而增大， 5≤t≤10，且t为整数， ∴.当t=10时，即10月出售这种矿泉水每瓶获利x利润最大： y需求=-10x+130 (3)解：依题意， 360 广供给= 当该矿泉水需求量与供给量相等时，-10x+130=360 解得：七=4，x=9(舍去)， 当x=4时，y需求=y供给=90， +分4解得：1=7产 12,7371 2 总利润为=(4-3)×90×24=2160（元）， 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为2160元. 19/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点三反比例函数与几何图形的综合●一 ◆题型6与三角形的综合问题 28.【答案】C 【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E, B D B(0,-2) OB=2, CE⊥x轴，BO⊥x轴， .CE∥BO, ∴.△ACEAABO, CE CA 1 BO AB 2' :.CE-30B-1, 2 点C在第二象限， .点C的纵坐标为1， 把y=1代入y=-6 ,得x=-6 .C(-6,1). 把C(-6,1)，B0,-2)代入y=c+b, 1 得 〔-6k+b=1,解得 k2， b=-2 b=-2 直线解析式为y=一 x-2, 2 V= 2t2 联立 6 y= 20165 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=-6「x2=2 解得 (片=1’y2=-3 D(2,-3), ∴.S.COD=S.coB+SaB0D 22x6+x2x2 1 2 =6+2 =8 29。(下册第三京追梦明末达标测试卷)如图，在函数头-(《<0)和%=生(>0)的图象上，分别有 A,B两点，若AB‖x轴，交y轴于点C,且OA⊥OB,已知S△4oC=2,S△B0c=8,则线段AB的长为 B 【答案】5√2 【详解】解：：AB‖x轴，x轴上y轴， 、AB上y轴，点A,B的纵坐标相等， 设点A的坐标为(a,m),点B的坐标为(b,m),其中a<0,b>0,m>0, AC=-a,BC=b,OC=m,AB=b-a, :S△40c=2,SABOC=8 C0Cm2.BC.0C-m8. 2 2 ∴.am=-4,bm=16, .abm2=am.bm =-64, :ab=、64 2, :AB上y轴，OA⊥OB, 21/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACO=∠OCB=∠AOB=90, ∴.∠0AC+∠AOC=∠B0C+∠A0C=90°， ∴.∠OAC=∠BOC, △OAC△BOC, OC AC 肌m=-4 ·BCOC,即6=m: ∴.m2=-ab, m2=64 m2 解得m=2W2或m=-2√2<0（不合题意，舍去）， 又am=-4,bm=16, :as、4 4 m2√2 =2.6=16=16=45, m22 ·.AB=b-a=4v2-（-V2)=5N2 30.【答案】(1)8 (②(-2，-4)，24 3)(-4,-2)或(-2，-4) 【分析】 【详解】(1)解：把A(a,4)代入=-x+6,得4=-a+6, 解得a=2, .A(2,4) 把A(2,4)代入y x,得4=m 2 解得m=8, (2)解：设直线AO的解析式为y=a, 则2k=4, 解得k=2, .y=2x, 由1少知反比例函数解析式为y=8 22/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2x 联立方程组 8, y= x=2 x=-2 解得y=4(舍去)或y=-4 .C(-2,4), 对于y=-x+6,当y=0时，-x+6=0, 解得x=6, .B(6,0) ∴.S△MBc=S△ABo+S△BOG =1x6x4+x6×4 2 =24: D 0 y=-x+6 (3)解：联立方程组 8 y=- x=2 x=4 解得 y=4（舍去)或y=2: D(4,2) 段<0， 连接EO并延长至点F,如图， 23/65 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 则∠AOF>∠AEO,∠DOF>∠DEO, ∴.∠AOF+∠DOF>∠AEO+LDEO,即LAOD>∠AED, 又∠AOD<90°， ∴∠AED<90°， 当∠DAE=90°时，如图，过A作Ix轴，过E作EM⊥I于M,过D作DN⊥I于N, VA 则EM=4-8 ’AM=2-x’AN=4-2=2’DN=4-2=2 :∠EMA=∠AND=90°，∠EAM=∠ADN=90°-∠DAN, ∴.△EMAA AND, 4、8 .EM=AM,即4x_2-x, AN DN 22 解得x=-4或x=2(舍去)， 8 -2, 、E(4,-2): 当ADE=90°时，如图，过D作I∥y轴，过E作EM⊥I于M,过A作AN⊥I于N, 24/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B ----M 则EM=4-x:DM=2 x,AN=4-2=2’DN=4-2=2 :∠EMD=∠AND=90°，∠EDM=∠DAN=90°-∠ADN, .△EMDADNA, 2、8 ∴EM_DM,即4-X=x, DN AN 22 解得x=-2或x=4(舍去)， 8 =-4 E(-2,-4): 综上，当点BE的坐标为(-4，-2)或(-2，-4)时，△ADE为直角三角形. 31. 【路100) 4 ② 【分析】 【详解】(I)解：由题意知，y=-x+b图像是由y=r的图象向上平移1个单位得到， 得y=-x+b与y=ax+1为同一函数， a=-1,b=1g .一次函数为y=-x+1, 将x=0代入一次函数y=-x+1,得y=1, 、A(0,1, :过点B作BC⊥y轴于点C,BC=1, .B的横坐标为-1， 25/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B在y=-x+1上，代入x=-1,得y=-（-1)+1=2, B点坐标为(-1,2) 点B在反比例函数y=《 上， ·将点B坐标代入得2= -1’k=-2? 2 则反比例函数表达式为y=-二(x<0): (2)解：过点B作BC⊥y轴于点C,BC为△ADE的中位线，BC=1, .BCIDE, BC=2 DE .DE⊥y轴，DE=2, ∴点D的横坐标为一2， 又~点D在一次函数y=-x+1上，代入x=-2,得y=-(-2)+1=3, ∴点D的坐标为(-2,3) :DE上y轴， 点F的纵坐标为3， -2 :DB交反比例函数y=的图象于点F 2 3= x .= 3 :点F的坐标为 :EF=2 :DF=DE-EF=2 24 33 32.【答案】(1)5 (2)kk2=16 ki(k-k2) 3)当点A在函数图象上运动时，APCD的面积为定值，定值是2k, 26/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：：AB‖x轴，A(3,5), ·设B(x,5), AB=2, .AB=3-x=2,解得：x=1, B(1,5), :BL,5)在y=的图象上. 5=奈，解得：飞=5 ∴的值为5. (②解：点的横坐标为2。且点4在反比例西数y-车>0的图象上， “点4的坐标为 :ABI‖x轴，ACIy轴， ∴，点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， 六点B的纵坐标为2，点C的横坐标为2， F点gC在y= 的图象上， 飞-飞 即：= 2k2 k, :2 XB k.yc=2. :CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， k2 六点D的纵坐标为p= 2” 点D在少一冬的图家上， k=飞 2k1 ·。2,解得：x0= k。 27/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2k k2 D2) AB=X-X8 6,4C=%=4,C0=-=2张-） 2(k-k) 2 :△ABC∽△CAD, AB AC ∴.CACD 2(k-k2) k-k2 k 2 .k-k2 2-k) 2 4k2 飞=4： 六63=16 (3)解：如图1， 4 B K x D y-x x 图1 设点的坐标为Q) a :ABI‖x轴，AC‖y轴， ∴.点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， 点g的纵坐标为。，点c的横坐标为。 “点gC在y=的图象上， 即：。a k2 a xB k,yc= a 28/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， 二点D的纵坐标为Yn= “点D在y=的图象上， ,口，解得：o=无了 &8=,-6.4C=,-无志，CD=n-低 k k2 8会w8:0mc任-2划 2k k2 根据题目条件得：AB川CD、 .∠PBA=∠PCD,∠PAB=∠PDC, .△PBA∽△PCD, SPB4=SPCD-S梯形BCD= ·SpCD S.PCD :o-S形2」 SPCD 、.SPCD-S形BCD=SPCD (k-)k-k) ∴.SPCD 2kk2 解得：So长-) 2k2 k(k-kz) :当点4在函数图象上运动时，APCD的面积为定值，定值是2k, ◆题型7与平行四边形的综合问题 33.【答案】D 【详解】解：连接AC,作CE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F, 由平行四边形的性质可得S△Ac=S△4OC,AB=OC, ,△BCD的面积与△OAC的面积之比为2：3， 29/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BCD的面积与△ABC的面积之比为2：3， ..AD:AB=1:3. .AD:OC=1:3, .OC‖AB .∠COE=∠DAF, 又，∠CEO=∠DFA=90°， .△CEO∽△DFA, DF AF AD1 CEoE0c3' 6 设点C的坐标是b, b. 则D36,2） b .'.OE=b,OF=3b. :AF=30E=号 b :.01=3b 8h6=16 ∴.S四边形ABco=OACE=8b. 故选：D B 0 【点评】 本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需 要的条件， 34.【答案】-6 【详解】解：过C作CM⊥x轴于M,过E作EN⊥x轴于N,设C(a,b),E(c,d), 30/65 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E N MO 则CM∥EN,CM=b,OM=-a,ON=-c,Ew=d,k=ab=cd, :C、E在双曲线上， :.△COM与△OEN的面积相等， :四边形COBA是平行四边形， ..CE=BE, CM∥EN, ∴MN=NB, Bv4,即, .k=ab=cd, OM=号ON,根据三角形的中位线，可得MW=BN: ..OM=MN BN =-a, :平行四边形的面积=OB×CM=18, -3axb=18,ab=-6,即k=-6; 故答案为：-6， 【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，三角 形的中位线定理等知识点，数形结合作出辅助线并且根据这些性质正确地进行计算是解此题的关键， 35.【答案】16 【详解】解：过点A作AE1y轴于点E,过点C作CD1y轴于点D,则∠AEB=∠CDO=90°， ,平行四边形ABCO, 31/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=CO,AB∥CO .∠ABE=∠COD, :∴.△ABE≌△COD(AAS), △ABE与△COD的面积相等， 又：顶点c在反比例函数y=10 上， E的面积-ACOD的面积相等-×10=5， 同理可得：△AOE的面积=AC8D的面积相等=2×6=3， 平行四边形OABC的面积2×(3+5)=16 故答案为：16 36.【答案】 6 8 【详解】解：，平行四边形AOBC的面积为24， ∴.△A0E的面积为244-6， 设A),Ba.0:过作4DL0B于D,FB10B于F如图 由平行四边形的性质可知AE=EB, 则EF为△ABD的中位线， 由三角形的中位线定理得：BF-0-东，DF-a-功，OF=“空 2 2 剥生“， k E在双曲线上， a+x k =k, .22x ∴a=3x, 平行四边形的面积是24， a.k=3x.k=3k=24 解得：k=8 故答案为：6,8. 32/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OD F B 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边 形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的 突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系. 37.【答案】（⑧，4） 【详解】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E,连接AC, :反比例函数y=k>0,x>0)的图象经过点M(4,2), .k=4×2=8, 8 .反比例函数的解析式为y= 8 :点C在反比例函数y=x的图象上， S.cae=20E-CE=2k作4， ,平行四边形OABC的面积是24， S.oc=04-CE=12,BCIO4,BC-04, 0A=30E, 设直线OB的解析式为y=r, 把点M(4,2)代入得：4a=2, 1 解得：a=2: 33/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线OB的解析式为y=2x, 8 设点C的坐标为m, m 点B的纵坐标为，BC=OA=30E=3m 8 .点B的坐标为 4m, m 81 代入y=2,得：m2 0=二×4m, 解得：m=2或-2（舍去）， 经检验：m=2是原方程的解，且符合题意， .点B的坐标为(8,4) 故答案为：(8,4) 38. 【答案】y=-12 )4E=2'（5,S】 【分析】 【详解】(1)：点A(-2,0),B(-6,0).D(0,3) .AB=4,D0=3 ,四边形ABCD是平行四边形 ∴.CD=AB=4 ∴点C坐标为(-4,3) k “点C在反比例函数yV=x的图象上 六反比例函数的表达式为：y=-12 (2):ABCD向上平移得到EFGH ∴.点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是-6 “点F在反比例商数=是的图家上 ∴点F的坐标为(-6,2) ∴，oEFGH是由ABCD向上平移2个单位长度所得 ,AE=2,HD=2 34165 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点M的纵坐标HO=5 2 ·点M的横坐标为一5 点M的坠标为号 【点睛】考查几何与反比例函数的综合.注意第一小问利用平行四边形对边平行且相等算点C坐标，第二 小问上下平移前后对应点横坐标不变，纵坐标发生变化 ◆题型8与矩形的综合问题 39.【答案】D 【分析】 【详解】解：A、,点P在A和B之间的反比例函数图象上， 矩形BCOD和矩形PEOF的面积均为k,故选项正确，不符合题意： B、:直线)y=-+6与反比例西数y-冬(>0)的图象相交于点4，B, ∴.-x+6= .x2-6x+k=0, 解得：出=3-V9-k,x2=3+V9-k, :A3+V9-k,3-9-k),B3-9-k,3+9-k): .BD=3-V9-k,BC=3+V9-k ∴矩形BC0D的周长为：23+V9-k+3-V9-k)=12,故选项正确，不符合题意： C、延长EP交直线AB于点M,过点M作MN⊥BC于点N,BC和FP交于点H, B H OC E ,y=-x+6 ∴.当x=0时，y=6,当y=0时，x=6, 35/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OK =OL=6. .∠DLB=∠OKL=45°. .∠LBD=45°， :矩形BCOD和矩形PEOF, .∠DBN=∠BNM=90°. ∴.∠NBM=∠BMN=45°， .MN BN. .DB+BN FH+HP=FP, NC=ME>PE. .'DB+BC>FP+PE. ∴.矩形BCOD的周长大于矩形PEOF的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：△=62-4k>0, k<9, .0<k<9,选项错误，符合题意： 故选：D 40.【答案】3 【详解】解：设矩形OABC的边OA=a,OC=b, 则点B的坐标为(a,b）,S矩形o4c=OAOC=ab=12, ,点D是矩形OABC的对称中心， ∴点D是对角线OB的中点， a b 点D的坐标为22 ,反比例函数y=二的图象经过点D, b k .2a) 2 “k=ab、12 3 44 41.【答案】1+V2/W2+1 ,k 【详解】解：设Dda 36/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF⊥x轴， OF=d' DF=k d ,矩形OGHF的面积为1， ..OF.HF=1, :F= d' .DH= k1k-1 d ddi :EGLy轴， ∴点B的纵坐标为a: 1 在y=中，当y=a时，x=kd: ..HE=kd-d; ,矩形HDBE的面积为2， .DH·HE=2, 好w0-2 :k=1+V2或k=1-√2（舍去）， 故答案为：1+√2 42. 【灯》 【详解】解：由题意知BC∥OD,CD∥OB ∴E,C有相同的纵坐标，C,F有相同的横坐标 .E(2,6) 将E(2,6)代入y=,中，解得k=12 二反比例函数解析式为y=12 12 3 将x=8代入y=中得》=2 37/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 83》 4 43. 【答案】（①直线AB的解析式为y=x+4:曲线DE所对应的函数解析式为'= (2)长为4dm,宽为2dm 【分析】 【详解】(1)解：，点A到线段BC的距离为4dm, ∴.点A的坐标为(0,4) .∠A0B=90°，∠AB0=45°，AO=4dm, .B0=4dm,即点B的坐标为(-4,0)， .BC=8dm, ∴.0C=4dm, ,∠BCD=90°，CD=ldm, 点D的坐标为(4，)， 设直线AB的解析式为y=ar+b(a≠O), b=4 将A,B代入得： -4a+b=09 b=4 解得： a=1’ ∴直线AB的解析式为y=x+4； 设曲线DE对应的反比例函数解析式为y=←化≠0). 路D代入y=k≠0得：=4 二曲线DE所对应的函数解析式为y=4 (2)解：如图所示： N 38/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BN的长度为m, :∠MNB=90°，∠MBN=45,BN=m, ∴.MN=m, .BN =m,BO=4. .ON=4-m, :S矩形MwPe=S矩形OF+S矩形oPO,S矩形FoPe的面积是定值4， ∴.当S矩形MOF的面积最大时，S矩形MNPO的面积最大， S矩形or=MNN0=m(4-m)=-m2+4m=-(m-2)}2+4, 当m=2时，S矩形MNoF有最大值4， “点N的坐标为(-2,0)， :MN⊥BC, ,点M的横坐标和点N的横坐标相同， 把x=-2代入y=x+4得，y=-2+4=2, ·点M的坐标为(-2,2)， .MQ∥BC, 点M的纵坐标和点Q的纵坐标相同， 把y=2代入y=得x=2 ·点0的坐标为(2,2). :点N的坐标为(-2,0)，点M的坐标为(-2,2)，点9的坐标为(2,2)， .MN =2dm,MO=4dm ◆题型9与菱形的综合问题 44.【答案】B 【详解】解：设4a, a :原点O为菱形ABCD的对称中心， “点C的坐标为-aa4B川CD,D=CD :AB‖x轴， 39165 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD∥x轴， “点的标为 .C(-a,4),A(a,-4) AD =CD .AD2 CD2 (+4-([( 解得a=-3, A(-3,-4) .k=-3×(-4)=12. 故选：B 45.【答案】-12 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E, B ∴.∠OEC=90° 由菱形的性质知OC=OA=5, 菱形OABC的面积为20， ∴.OACE=5CE=20, CE=4, 由勾股定理得OE=√OC2-CE2=3, 结合点C在第四象限得C(3,-4), :由点c在反比例国数y-空利5=34=-2 46.【答案】12 【详解】解：作BH⊥OA交x轴于H, 40/65 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40 “菱形的周长为3， 0A=AB=40x110 343 20 :菱形面积为3， .BHx 1020 33 BH=2, .AH=AB2-BH2 10)2 3 0H=108 =6 33 ∴B(6,2),代入反比例函数y=《(≠0。 k=2×6=12 故答案为：12. 47. 【答案】山=5 :(2)16N5-32 【分析】 【详解】(I)如图所示，过M点作MP⊥x轴于P点， :菱形OABC的边长为4，M为OC的中点， ∴.0M=2, ∠AOC=60, .在Rt△OMP中，∠OMP=30°， 则：OP=1,PM=V3, 即：点M的坐标为(N⑤ 代入反比例函数解析式得：k=V3, 41/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 ÷反比例函数的解析式为：y=为 (2)过N点作NQ⊥x轴于Q点，由题意可得：∠NAQ=60°， N在反比例函数图象上， 3 .设N的坐标为 a,- a 即： 40=a-4'=3 .:tan∠NAQ=tan60°= NO AQ· 5 小a,=3,解得： (舍负)， a-4 a=2+5 即：A0=2+V5-4=V5-2,AW=2A0=2V5-4, N为AF的中点， .AF=2AN=4V5-8, ∴菱形ADEF的周长为4AF=16W5-32. y P AOD 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，理解反比例函数图象上的点的特征以及菱形的性质是解 题关键 48. 【答案】()V5 (2)12 【分析】 【详解】(1)解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E, EB六 轴， ,BC∥x 42/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE⊥BC, ~A:B两点在反比例函数yx(x>0)的图象，且纵坐标分别为6,4 a年 AE=2’ BE=k_kk 46121 ~菱形ABCD的面积为2V5, :.BCx AE=2V5,即BC=V5 “AB=BC=V5,即菱形的边长为V5 (2)在Rt△AEB中，BE=√AB2-AE=V(52-2=1, :BE=2 =1, 12 k=12 49. 【答案】y=5 (②)在图象上，所在直线解析式为：y=x+V5-1 【分析】 【详解】(1)解：“点C在反比例函数y=x的图象上， :菱形OABC, “BC=OA,=yg, 3-c=2 k=5,解得： c=1 c lk=3 x: (2)由(1)得C1,5). 过点C作CMLr轴于点M, 43/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIAOCM中，OM=l,CM=V3, ∴.0C=2. ∴.tan∠COM=√3， .∠COM=60°， :菱形OABC绕点O逆时针旋转150°， .0C=0C'=2,∠A0A=150°， .:∠AOC=60° ∴.∠A'OC=90°， 连接OB :B3,5), tan<B04= 3 .∠B0A=30°， ∴点B旋转150°后再x轴负半轴上， 菱形为轴对称图形， ∠A'OB'=∠B'OC=30°， 过点C作CM'⊥x轴， 在RtaC'OM'中，OC'=2,∠B'OC'=30°， .C'M'=1,O'M'=V3, .C(-3,-1), 把C(-,-)代入y=5 中，成立， “点C'(-5,-)在反比例函数图象上， C13, 44/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设CC所在的直线解析式为y=a+b, 3-k+b k=1 1=-V3k+b:解得： b=V3-1' y=x+V5-1 ◆题型10与正方形的综合问题 50.【答案】B 【详解】解：过D、C分别作DE⊥x轴，CFLy轴，垂足分别为E、F,CF交反比例函数的图象于G, B D OA E末 :A,B为函数y=-3x+6与x轴、y轴的交点. ∴当x=0时，y=6;当y=0时，x=2, .A(2,0),B(0,6). .OA=2,OB=6: ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°， .∠BAO+∠DAE=90° .'∠BAO+∠OBA=90° ∴.∠OBA=∠EAD 在△AOB和△DEA中 [∠OBA=∠EAD ∠BOA=∠AED AB=AD .△AOB≌△DEA(AAS) 同理可证得：△AOB≌aBFC(AAS), :.△AOB≌△DEA≌△BFC(AAS) DE=BF=OA=2,AE=CF=OB=6, 45/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .D(8,2),F(0,8). k 把D(8,2),代入y=二中， 解得：k=16, 少s16 把y=8代入y=16 中， 解得：x=2, FG=2, ∴.CG=CF-FG=6-2=4, .n=4, 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等， 给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键. 51.【答案】32 【详解】解：，正方形的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴，BC∥y轴， .正方形ABCD的面积=8×8=64 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转90°，正好和以A、C为 顶点的小空白部分重合， :阴影的面积是图中正方形ABCD面积的一半， ∴阴影部分的面积=×64=2。 52.【答案】24 【详解】 解：如图，作CM1y轴于M, M--- A 由正方形的性质可知AD=CD,∠ADC=90°， 46/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDM, ∠DAO=∠CDM, 在△AOD和△DMC中， 「∠DAO=∠CDM ∠AOD=∠DMC=90°， AD=CD :△AOD≌aDMC(AAS). ∴.OA=DM,OD=CM, :点A(2,0)、D(0,4, .0A=2,OD=4, ..CM=OD=4,OA=DM=2,OM=2+4=6, C(4,6), :反比例函数y=二(k>0,x>0)的图象经过正方形顶点C, .k=4×6=24 53.【答案】-2 【分析】 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E,则∠AEO=∠AEB=90°， :A在反比例函数y=上(<0)的图象上 -k ∴S.oe= 2· :四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAO=90° “正方形的周长为8V5. 47/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=25, :△AB0的面积为5， 号4B04=5, ∴0A=5, ∴.OB=√AB2+OB2=5, S60B=2 OB·AE=5, AE=2, ∴.OE=VAO2-AE2=1 .A(-1,2) .k=-×1×2=-2. 故答案为：-2. 54.【答案】-18 【详解】解：如图，设AC与BD交于点E,延长BD,交x轴于点F,连接OB,OD, F :四边形ABCD是正方形， ∴.AE=BE=CE=DE,AC⊥BD, :AC‖x轴，x轴1y轴， ·BD⊥x轴，BDIy轴， AE=BE=CE=DE=m(m>0),DF=a(a>0). :.BF=BE+DE+DF=2m+a,EF=DE+DF=m+a, 点D的横坐标为3， .A(3-m,-m-a）,B(3-2m-a）,C(3+m,-m-a）,D(3,-a）, :点4D都在反比例函数y=(x>0)的图象上， 48/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.k=-3a=(3-m)(-m-a）. .m(m+a-3)=0. ,m≠0， .m+a-3=0, ∴.m=3-a, .B(3,-6+a）,C(6-a,-3), :点B在反比例函数y=(x>0)的图象上. .k3=3(-6+a)=-18+3a .k+k2=-3a+(-18+3a)=-18. 故答案为：-18】 5,【答案】)y=6 x (2)25 【分析】 【详解】（山解：设反比例函数的表达式为y= 代入点(L,6到y=x,得k=1x6=6 :反比例函数的表达式为y=6 h (2)解：：P01r轴，P0= 5 6 :点p的纵坐标为5， 6 666 代入y= 5到y x,则x5,解得x=5 ∴.Q(5,0),则00=5， .正方形的面积为(2×5)=100， 反比例函数的图象关于原点对称， 49/65 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ·阴影部分的面积正好是正方形面积的4， :阴影部分的面积=100×，=25， 4 .图中阴影部分的面积为25. 综合攻坚·知能拔高 【详解】解：如图，连接BC, B (k 设点c的坐标为a,a a :点C为OA的中点，O为坐标原点， 2k :点4的坐标为2a,2 A a :AB‖x轴， 2k :点g的纵坐标为a, ~点B在反比例函数少=的图象上， k a 点的横坐标为22，即B口，2k） ∴. e 2'a AB=2a-0=3a 22 1 1x3a2k-3k, S0=24B-y4=2x2×a2 点C为OA的中点， 50/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3 S.O0C==k 2 4 :BD‖OA,即BD‖OC ∴.点D到直线OC的距离等于点B到直线OC的距离， 3 .5.con-S.owek S.coD=2, -2 解得8 3 之【倍案1昌 【详解】解：点A(5,2)在反比例函数y=二上， r :2s← 5 解得：k=10. 10 ∴反比例函数的解析式为：y= ,BC=1,且线段与坐标轴平行， .点C的横坐标为：5-1=4； 代碧 ,DE=1,且线段与坐标轴平行， .点E的横坐标为：4-1=3： 代入 点9) ,FG=1,且线段与坐标轴平行， .点G的横坐标为：3-1=2： 51/65 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入y=10 点G(2,5) ,EF的长度等于点G与点E的纵坐标之差， :EF=5-105 33 3.【答案】125 【分析】 【详解】解：如图，过点M作MNLy轴于点N, :点M的坐标为(2V5,m, .MN=2√3，ON=m, ,四边形ABCO是菱形， .AC⊥OB,AM=CM, .OM =3MC, ..OM =3MA, ..0A=AM2+OM2=2AM, :Saw-号4MxOM=MNxO4, AMx3AM-x2x2AM 2 ∴.AM=4, 0M=43, .ON=OM2-MW2=6,即m=6, ∴点M的坐标为(2V5,6, 把点23,6)代入y=>0)得：k=125 52/65 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【答案】 1 5 【分析】 【详解】解：(1)设0C=a(a>0),BC=2b(b>0), ,四边形OABC是矩形， .AB=OC=a,OA=BC=2b,AB LOA, ∴点D的纵坐标为2b, :点E为BC的中点， .CEBCb. .E(a,b), 将点Ea,b）代入反比例函数y-（(x>0)得：人=b: ab 反比例函数的解析式为y=二(x>0), 将-26代入反比例国数=：>0得：-密号。 4D= D_2- AB a 2 故答案为：2· (2)设0C=m(m>0),BC=5n(n>0), ,四边形OABC是矩形， 、.AB=OC=m,OA=BC=5n,AB⊥OA,BC⊥OC,AB⊥BC, ∴.点D的纵坐标为5n, .BE =4EC,BE+CE=BC=5n. :.CE-BC-n,BE-4BC-4n, 5 .E(m,n), 53/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点E(m,m)代入反比例函数y=>0)得：k=m' ∴反比例函数的解析式为y="m”(x>0)。 将y=5n代入反比例函数y=m"(>0)得：x=- 5n5 .AD=m :.BD=AB-AD=4m 5 :△ODE的面积是12， 、.S矩形0HBc-S,MA0D-S.cOE-SBDE=12, .5mn-1 5n. m 1 ×4n 4m1 52 52mm=12, 解得mn=5, .k=mn=5, 故答案为：5 5.【答案】C 【详解】解：，DF⊥x轴， 同s.wC-OE， 故⑤正确： .SDr=S.CEF,故①正确： 如图，分别过点C,D作CG1EF,DH⊥EF,垂足分别为G,H,则CGDH, 54/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Se号FxCc.Sm- 1 EF×DH, 2 S.DEF =S.CEF, EFxCG=-FxnA,即cG-0m ∴四边形CGHD为平行四边形， .CD∥EF,故②正确： ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误： 根据题意可得DF∥BE, CD∥EF, ∴四边形DBEF是平行四边形， .BD=EF, 同理四边形ACEF是平行四边形， ∴AC=EF .BD=AC,故④正确： 因此正确的结论有4个：①②④⑤. 6【10+ 1 @点c的标为号)行】 【分析】 【详解】(1)解：设反比例函数的解析式为y=←(k≠0)。 六将点A,)代入解析式得，1= 1 解得k=1, 1 .反比例函数的解析式为y= x' 由题意得，将x=-3代入y=中， 1 得y= L=t -33 点的坐标为8》 55/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设一次函数的解析式为y=ar+b(a≠0)， 将41和83)分别代入 a+b=1 得 1 -3a+b=- 3 a= 3 解得了 2 2 ∴.一次函数的解析式为y=,x+ 33 (2)解：设直线AB与x轴交于点D,连接OA,OB,连接直线AC交x轴于点E,如图， 令y=0:代入=+号得，0= 1 2 .2 3x+3 解得x=-2, “点D的坐标为(-2,0)，0D=2, :A(1,1) S.o0-xODx1=1. 3引 1 1_1 .S.aon=2×0Dx 33 六△1B0的面积为S.o=S0m+Sao=1+1 33 1 设点c的坐标为cc>0), 设直线AC的解析式为y=mx+n, 56/65 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 将4，)和C。代入， m+n=1 得 1 mc+n= m=- 解得了c+1' n=- c “直线4C的解析式为y=-x++1 c 令y=0,0=-x++l 解得x=C+1, 点E(c+1,0),OE=c+1, 当C>1时，此时点C在点A右侧， 5m=8m5me401e+10x-2, c 2c, .4 :5.4C0= .c2-14 .2c3 3c2-8c-3=0 1 解得c=3,9=-3(舍去)， ∴点c的坐标为 当0<c<1时，此时C在点A左侧，如图， 57/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SMco=S.COE-SAoE= 1-c2 2c 4 S4c0=3, 1c4 .2c=3 3c2+8c-3=0 1 解得9=3,92=-3（舍去)， 点c的坐标为行： 当C=1时，点C与点A重合，无法构成三角形，舍去， 综上所述， 点c的坐标为3号引我行 7. 【答案】()(V2,2) (2)根据题意设点 坐标为0).点c坐标为®会) :矩形ABCD, “坐标为，点标为) k B 设直线OD的函数表达式为y=kx(≠0)，点D在直线OD上， 解翻流 ∴直线OD的函数表达式为y=b, 当x=a时，y=xa= ab b* ∴点B在直线OD上 (3)连接AC交BD于点F, 58/65 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 2 G E ,矩形ABCD .'AC=BD :.AF-CF-1AC-BF-DF-TBD, 0A-2BD ..OA=AF,BF=CF, ∴.∠I=∠2，∠3=∠BCF, :∠2=∠3+∠BCF=2∠3， .∠1=2∠3， 由题意得BC∥OE, ∴.∠3=∠DOE」 .∠AOE=3LDOE, 2D0E-40E, 【分析】 【详解】(1)解：延长AB交x轴于点G,如图所示： D :将点A先向下平移至点B,再向右平移至图像上另外一点C,以AB、BC为一组邻边作矩形ABCD, :.AB∥y轴，BC∥x轴， ∴AG1x轴， :∠A0E=45°， .∠A0E=∠OAG=45°， 59/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AG=0G, 设点A坐标为(m,m),它在反比例函数图像上， 2 ∴.m= m 解得m=V2(负数舍去)， ∴点A的坐标为(2，V2): (2)略。 (3)略. 8.【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min,生产1支双针疫苗需要5min ②0y=130x(0≤s0.7),y=63(x>07): ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在y= 3(x>0.7)中，当y=50时， 637=50,解得x=12.74' 当y=23时， 637=23,解得x≈27.7' x ∴.小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗. 【分析】 【详解】(I)解：设生产1支单针疫苗需要amin,生产1支双针疫苗需要bmin. 3a+2b=19 根据题意得 2a+b=11 a=3 解得b=5' 答：生产1支单针疫苗需要3min,生产1支双针疫苗需要5min; （2②解：①设当0≤≤07时：y=如(k≠0：当x>07时，y华W0), 由慰意得，0.7k=910,07910, k' 解得k=1300,K'=637, 8y=130x(0≤x50,7八，y=637( x>0.7) ②略 9 60165 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y水温（箪位：C) 100 【答案】() 0 50 40 30 20 10 0 10 15 20x时间（单位：分） 习第一次加热：y0x+300≤x<7):第一次降温：P=(7<x5 (3)能，计算过程如下： 由题意得，由7：20到8：45，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 700 对于第一次降温过程的函数解析式y= x 当y=30时，可得30=700 70 ，解得x=3, 70 “饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为3分钟， .85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， 700 ..y= 15 ≈46.7℃， :46.7℃<50℃ ∴，同学们能喝到不超过50℃的水. 【详解】(1)略 (2)解：第一次加热：y是关于x的一次函数，设y=mx+30(m≠0) 将点(7,100)代入，可得100=7m+30,解得m=10, ∴.第一次加热过程的函数解析式为y=10x+30(0≤x≤7)： 第一次降温：y是关于x的反比例函数，设y=k(化≠0)。 将点（0.10代入，可得100=专，解得k=70 61/65 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 700 70 当y=30时，则。=30，解得x= 39 700 ∴.第一次降温过程的函数解析式为y= 7<x≤ 70 x (3)略 10.【答案】(1)3， (2 DE Il AC 【分析】 【详解】(1)解：项点B的坐标为(4,3)，点F是OB的中点， 33 ·点F的坐标为22 3 k=2×3=3 ·反比例函数的解析式为y= x' 点D的横坐标为4， 0- BD=3-39 Γ44 同理可得：BE=3, 9 BD-43 BE 3 4 3 故答案为：3, (2)解：由题可得： m)会月 “AD=k CE=k m n AB=n,BC=m .AD=k AB n mn 62/65 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD CE ABBC' .DEl AC 业.【答案】④v= t (2)学生步行的平均速度v至少为3.2km/h (3)②③ 【分析】 【详解】(1)解：由题意知，v是，的反比例函数，设v= 当t=4时，v=2 ∴.k=8 8 t 8 (2)把1=2.5代入v=i,得v=3.2kmh .学生步行的平均速度v至少为3.2km/h (3)解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为1.25-0.75=0.5h,故①不正确： ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确： ③学生从学校到补给点所走路程为8-4=4km,故③正确. 12.【答案】(1)A 6 (②P3,0y= x (3)存在， 【分析】 【详解】()解：将点A2,m),8(6,)分别代入y= 得k=2m,k=6n, .2m=6n. .m=3n 故选：A (2)解：①由(1)得：A(2,3n),B(6,n), 63/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(t,O),过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D, 1 B 2公3 C P D 则∠ACP=∠PDB=90° ∴.∠1+∠2=90° 由旋转知，AP=PB,∠APB=90°， ∴.∠3+∠2=90° .∠1=∠3 :.△ACP≌aPDB(AAS) ∴.AC=PD,PC=BD. [3n=6-t 即t-2=n’ n=1 t=3 .P(3,0),B(6,1) 1s← 6 k=6 心反比例函数的表达式为y= 5 (3)解：存在，02， 理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点E,连接BE交V轴于点O, 则EQ=QA 64/65 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 .OA+OB=EO+OB=BE :,OA+QB的最小值等于BE的长. 由(2)知，B(6,1),n=1, .A2,3) E(-2,3) 设直线BE的解析式为y=px+b, -2p+b=3 则6p+b=1‘ 1 p=- 4 解得 5· b= 2 1.5 ..= x+ 4 2· 5 当x=0时，y=2: 【点睛】本题考查反比例函数与几何重合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像 及性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键 65/65 专题04 反比例函数与一次函数、几何图形的综合 常考题型·精准突破 考点一 一次函数与反比例函数图象综合问题 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型2 一次函数与反比例函数的交点问题（重） 题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难） 考点二 一次函数、反比例函数的实际应用 题型4 反比例函数的实际应用 题型5 一次函数与反比例函数的实际应用（高频） 考点三 反比例函数与几何图形的综合 题型6 与三角形的综合问题（重） 题型7 与平行四边形的综合问题（难） 题型8 与矩形的综合问题 题型9 与菱形的综合问题 题型10 与正方形的综合问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一次函数与反比例函数图象综合问题 ◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 2．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 3．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 一次函数与反比例函数的交点问题 6．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 8．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 10．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． ◆题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用 12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 13．已知正比例函数的图象与反比例函数（k为常数，）的图象的一个交点的横坐标是，求当时，反比例函数的对应函数值． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式． (2)根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； (3)若动点P在x轴上，求的最小值． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 考点二 一次函数、反比例函数的实际应用 ◆题型4 反比例函数的实际应用 17．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 18．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 19．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 20．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 21．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 22．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． ◆题型5 一次函数与反比例函数的实际应用 23．图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 24．【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 25．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 26．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 27．在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年月到月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： 工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元瓶 统计售价（元瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． 该矿泉水的供给量关于售价（元瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶） 月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 考点三 反比例函数与几何图形的综合 ◆题型6 与三角形的综合问题 28．如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 32．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． ◆题型7 与平行四边形的综合问题 33．如图，平行四边形的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点D．若的面积与的面积之比为，则平行四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 34．如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线，经过、两点，若平行四边形的面积为18，则的值是 _______． 35．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是__________． 36．如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线经过两点，平行四边形的面积为24，则的面积为___________，k=______ 37．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为_______． 38．如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连接AE，求AE的长及点M的坐标． ◆题型8 与矩形的综合问题 39．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 40．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 41．如图，矩形的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线与交于点D，与交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和2，则k的值为_____． 42．如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． 求点F的坐标； 43．【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ ◆题型9 与菱形的综合问题 44．如图，菱形的顶点A，C都在反比例函数的图象上（A，C 在不同象限）轴，原点为菱形的对称中心，若点的坐标为，则的值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 45．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 46．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 47．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC与菱形ADEF在第一象限，且边OA，AD在x轴上．反比例函y＝（x＞0）的图象经过边OC的中点M与边AF的中点N，已知菱形OABC的边长为4，且∠AOC＝60°． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形ADEF的周长． 48．如图，平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为， (1)求菱形的边长； (2)求的值． 49．如图，菱形的边在x轴上，且，，点C在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)当菱形绕点O逆时针旋转时，判断点C的对应点是否在的图象上；并直接写出所在的直线解析式． ◆题型10 与正方形的综合问题 50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 51．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 52．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 53．如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若面积为5，正方形的周长为，则k的值为________． 54．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，已知轴，点的横坐标为3，则的值为______ ． 55．如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 2．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线， 交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 5．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点和点，点是反比例函数图像上的一点，且点在第一象限． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)如果的面积等于的面积，求点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 8．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 9．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 10．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 11．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 12．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $