3.2 探索三角形相似的条件2课时作业（3课时）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 练习围绕相似三角形判定定理，分基础、中档、提升三层，覆盖从单一判定到综合应用的巩固路径，适配新授课基础夯实与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（4题）|判定定理直接应用|选择填空结合图形识别，如平行四边形中相似三角形个数判断，强化几何直观| |中档层（5题）|判定与性质综合|解答题聚焦基础证明，如利用角平分线证相似，培养推理意识| |提升层（6题）|跨知识综合应用|结合四边形翻折、动态问题等，如矩形翻折求线段长，发展模型观念与创新意识|

第11课时利用相似三角形测高 一、选择题 1.身高的人在阳光下的影长是，同一时刻一根旗杆的影长是6m，则它的高度是(    ) A. 100m B. 9m C. 8m D. 2.如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(    ) A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m 二、填空题 3.高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，则该建筑物的高度为           4.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像CD的高度为，，，则火焰AB的高度是           5.如图，小刚在打网球时，为使球恰好能过网网高为，且落在对方区域离网5m的位置上，已知他击球的高度是，则他应站在离网          m处的位置上. 6.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为如图，然后在A处树立一根高3m的标杆，测得标杆的影长AC为4m，则楼高为           三、解答题 7.如图，河的南岸有两根旗杆B，C相距50m，小明在河的北岸设置两根标杆A，D，使A在B正北方向上，点D在点A的正东方向，，从点A向北走45m到点P，正好看到D，C在同一条直线上，请问河宽AB为多少米? 8.如图，某课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，求旗杆AB的高度. 9.某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮的头顶三点恰好在一条直线上如图所示已知小明的眼睛到地面的距离，凉亭顶端到地面的距离，小明到凉亭的距离，凉亭到城楼底部的距离，小亮的身高请根据以上数据求出城楼的高度. 10.小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度.如图，相邻的两盏路灯AC，BD高度相等.某天晚上，小颖站在点E处，此时她影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处，此时他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.这时，小林测得已知，小颖身高，小华身高，AC，BD，ME，NF均与地面垂直.请你根据以上数据计算路灯的高度结果精确到 11.如图，点A是河对岸上一点，点A，B，D在同一条直线上，点A，C，E在同一条直线上，且，若，，，求河宽 12.如图，小明要测量操场旗杆高度立两根高1米的标杆BC和DE，两杆相距米，D，B，H在同一直线上，小明从BC退行2米到F，从F观察A，此时A，C，F三点共线；从DE退行3米到G，从G看A，此时A，E，G三点也共线．请你帮小明算出旗杆的高度AH及HB的距离． 13.如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知，，且测得，，，求该古城墙的高度. 14.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为，求树高. 15.如图，某班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛距地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上.求旗杆AB的高度. 答案和解析 1.【答案】B  2.【答案】B  3.【答案】16  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】12  7.【答案】解：由题意，得 易得 设，则，解得 答：河宽AB为  8.【答案】解：依题意，得 ，， ，即，解得 答：旗杆AB的高度为  9.【答案】解：由题意，得，， ， 解得 ， 答：城楼的高度为   10.【答案】解：设，则 ， ，即 ，， 即解得 答：路灯的高度约为   11.【答案】解：设河宽AB为 ，∽ 又，，，解得 答：河宽AB为   12.【答案】设米，米， 根据题意可得：，， 则∽，∽， 故，， 即，， 则， 解得：，， 答：旗杆的高度AH为16米，HB的距离为30米．   13.【答案】解：根据题意，得 ，， ，即， 解得 答：该古城墙的高度是   14.【答案】解：如图所示. 由题意，得，， 设树高则，解得 答：树高   15.【答案】解：如图，过点E作于点H，交CD于点 依题意，得， 又， ，即，解得 答：旗杆AB的高度为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $第10课时相似三角形判定定理的证明及应用 一、选择题 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△兽就相似的三角形共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，己知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（) A.AB-AC C.AB-BC AD AE B.∠B=∠D AD DE D.∠C=∠AED 二、填空题 3.如图，在△ABC中，DE/BC,AD=1,BD=3,DE=2,则BC= 第1页，共1页 4.如图，点E在平行四边形ABCD的边DC上，若DE:EC=2:3,则AF:FC= D 三、解答题 AB BC AC 5如图，在△ABC和△ABC中，AB BC AC·求证：△ABC-△ABC. B' 6.已知：如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E,且AE=AB.求证： AE2=AD·AC. D B 7.如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP一△PDB,求∠APB的度数. D 第2页，共1页 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点F是边AB上的一点，且CB=CF,过点A作CF的垂线，交 CF的延长线于点D.求证：△ADF一△ACB. 9.如图，点D在△ABC的边AB上，AD=2,BD=4,AC=2V3.求证：△ACD一△ABC. D 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上，且∠D=∠CAE. B C (1)求证：△ABD△ECA: (2)若AC=6,CE=4,求BD的长度. 第3页，共1页 I1.如图，在矩形ABCD中，点E为边DC上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F 处 D (1)求证：△ABF一△FCE. (2)若AB=8,BF=6,求DE的长 I2.如图，已知菱形ABCD,点E是BC上的点，连接DE,将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在边AB上的 点F处，连接DF,延长FE,交DC延长线于点G. D G (1)求证：△DFG一△AD. (2)若菱形ABCD的边长为5，AF=3,求BE的长 13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90,AB=4,BC=8,E是AC边上一点，ED⊥AB于点D, EF⊥BC于点F.设AD为x,四边形EFBD的面积为y· (1)用含x的代数式表示DE. 第4页，共1页 (2)写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围， 14.如图，已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上， 且AB=V3,BC=1,BF分别交AC,DC,DE于点P,Q,R. B (1)求证：△BFG∽△FEG; (2求AP:PC 15.在平面直角坐标系中，已知OA=10cm,OB=5cm,点P从点O开始沿边OA向点A以2cm/s的速度 移动：点Q从点B开始沿边BO向点O以1cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发，用t(s)表示移动的 时间(0≤t≤5). B A x (1)线段PO=c,OQ=cm.(用含t的代数式表示) (2)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值. 第5页，共1页 答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】8 4.【答案】5：3 5.【答案】证明：如图，在△ABC的边AB,AC上分别截取AD=AB,AE=AC,连接DE. A B' .·AB=AC.AB-AC ·ABAC,·ADAE :∠BAC=∠DAE,.△ABC一△ADE. ·AB_BC ·ADDE .ABBC A'B BC AD=AB. .AB=BC.BC_BC ·ADBC ·DEBC ∴.DE=BC △ADE≌△ABC. ∴.△ABC△ABC. 6.【答案】证明：BE平分∠CBD, ∴.∠DBE=∠CBE' .'AE=AB' .∴.∠ABE=∠AEB 第6页，共1页 .·∠ABE=∠ABD+∠DBE'∠AEB=∠C+∠CBEi ∴.∠ABD=∠C' ,∠ABD=∠C'∠A=∠A' .△ABD”△ACB .ABAD=AC:AB,即：ABAB=AD·AC .AE=AB' .AE·AE=AD·AC' ∴.AE2=AD·AC 【解析】本题考查了相似三角形的判定有关知识，是基础题 根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD=∠C,可证明△ABD∽△ACB,即 可解题 7.【答案】解：.△PCD是等边三角形， ∴.∠PCD=60°. .∴.∠ACP=120°. .△ACP一△PDB ∴.∠APC=∠B. .∠A=∠A .∴.△AP一△APB, .∴.∠APB=∠ACP=120°. 第7页，共1页 8.【答案】证明：，CB=CF,∴.∠B=∠CFB. .∠CFB=∠AFD'∴.∠B=∠AFD. .AD⊥CD'∠ACB=90°，.∠D=∠ACB=90°. .∴.△ADF△ACB. 9【答案】证明：·AD=2=3,AC_23-V3,·AD-AC AC 23 3 AB 6 3 ·AC-AB ,∠A=∠A,.∴.△ACD-△ABC. 10.【答案】【小题1】 解：：AB=AC,∠ABC=∠ACB,∴.∠ABD=∠ACE, .·∠D=∠CAE,∴.△ABD一△ECA: 【小题2】 解：△ABD-△ECA,.BD=CA ·ABEC ,AC=6,CE=4,AB=AC, .BD_6 ·6=4解得BD=9. 11.【答案】【小题1】 解：证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=∠D=90.∴.∠BAF+∠AFB=90. 由翻折，得∠D=∠AFE=90°.∴.∠AFB+∠EFC=90°..∠BAF=∠EFC. .∠B=∠C,∴.△ABF一△FCE. 【小题2】 ,四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD=8,∠B=90 AF=VAB+BF=10.由翻折，得AD=BC=AF=10. ∴.CF=BC-BF=4.由1)，得△ABF一△FCE, 0-8器·号品cR=3n-0-=5 第8页，共1页 12.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.∠A=∠BCD'AB/CD. 由翻折，得∠DFG=∠BCD. .∴.∠A=∠DFG. AB//CD .∠AFD=∠FDG. ∴.△DFG一△FAD. 【小题2】 由翻折，得DC=DF=5. .△DFG一△FAD, DG=DE_FG ·DF AF AD 即DC=5、FG 535 :.DG-25=FG. 3 .·CG=DG-DC=10 .AB=5’AF=3 BF=2. CG//BF' ∴.△CGE一△BFE. ·8F3 CE CG 5 第9页，共1页 ∴CE=3BE. CE+BE=BC=5' ÷gE=5 ·BE=1 81 13.【答案】【小题1】 解：，∠B=90°，ED⊥AB,EF⊥BC,.四边形EFBD为矩形 DE1BC,△ADE△ABC.A88e,即0，DE=2x 48 【小题2】 .BD=4-x’∴.y=4-x2x=-2x2+8x. .E是AC边上一点，.∴.0<X<4. 14.【答案】【小题1】 证明：，△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，∴.AB=AC=EF=FG, BC=EG-CE.AB=3,BC=1,FG=3,BC-EG-CE=1.'BG=3.G==3, FG3 EG=3=3.BC=PC∠BGF=上FGE,EG-EG△BFG△FEG BG FG EG 1 【小题2】 解：.△ABC≌△FEG,.∠ACB=∠G.∴.AC/IFG.∴.∠BPC=∠BFG..△BPC∽ △5cg熙号号专c厚=aC-C -8要2a加，2g921 第10页，共1页 15.【答案】【小题1】 2t 5-t 【小题2】 ,△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°， 0P_0或P=0 ·OA OBOB OA 08-8器台-5t5 OA OB 2当9-88时测略站11 OB OA 综上所述，当号数=1时，△POQ与AAOB相以 第11页，共1页 第9课时黄金分割 一、选择题 1.如图，点B是线段AC的黄金分割点，则下列结论中正确的是    A. B. C. D. 2.宽与长的比是约为的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是    A. B. C. D. 3.若点C是线段AB的黄金分割点，且，则    A. B. C. D. 或 二、填空题 4.一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和如图，如果          ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的          点，AC与AB的比叫作          . 5.当气温与人体正常体温之比等于黄金分割比时，人体感觉最舒适，这个气温约为          结果取整数 6.如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则           7.如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台AB长为20m，则主持人应走到离点A至少          m处结果精确到 三、解答题 8.在设计体雕像时，使雕像的上部腰以上与下部腰以下的高度比，等于下部与全部全身的高度比即黄金比例，可以增加视觉美感.按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？结果保留小数点后两位，参考数据：，， 9.如图，在五角星中，C，D两点都是AB的黄金分割点，，求AB的长. 10.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，过点B作，使连接DA，在DA上截取在AB上截取点C就是线段AB的黄金分割点.你能说说其中的道理吗? 11.如图，已知点E是正方形ABCD的对角线BD的黄金分割点，AE，BC的延长线交于点若，求CF的长. 12. 如图，点C为线段AB的黄金分割点，设，，则，请计算黄金比. ☆注意：一条线段有          个黄金分割点，黄金比                    . 13.如图，点C是线段AB的黄金分割点，，点D，E分别是AC，BC的中点，求证：点C是线段DE的黄金分割点. 14.如图，在中，，，BD平分交AC于点 求证：点D是线段AC的黄金分割点； 求线段AD的长. 15.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． 求AM、DM的长； 点M是AD的黄金分割点吗？为什么？ 16.若一个矩形的短边与长边的比等于黄金比，则这个矩形叫做黄金矩形. 操作：请你在如图所示的黄金矩形 中，以短边AD为一边作正方形 探究：在中的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由. 归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论不需要证明 答案和解析 1.【答案】C  2.【答案】D  3.【答案】D  4.【答案】 黄金分割 黄金比   5.【答案】23  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】解：设下部应设计为xm，则上部的长度为， 根据题意，得，整理，得， 解得，不符合题意，舍去 雕像的下部应设计为 答：雕像的高为2m，它的下部设计约为   9.【答案】解：，D两点都是AB的黄金分割点， ， ，即 ，   10.【答案】解：设，则， 在中， ，即 点C就是线段AB的黄金分割点.   11.【答案】解：点E是正方形ABCD的对角线BD的黄金分割点， 四边形ABCD是正方形， ，，∽， ，即，解得   12.【答案】【小题1】 解：由，得 解得，不符合题意，舍去 黄金比 【小题2】 2   13.【答案】证明：点C是线段AB的黄金分割点， 点D，E分别是AC，BC的中点， ，， 点C是线段DE的黄金分割点.   14.【答案】【小题1】 证明：，， 平分，， ， ，， ，， ，，， ，， 点D是线段AC的黄金分割点. 【小题2】 解：由知点D是线段AC的黄金分割点，且，， ，   15.【答案】【小题1】 点P是AB的中点， 四边形ABCD、AFEM是正方形， ， 在中，，， 由勾股定理，得， ， 【小题2】 点M是AD的黄金分割点．理由如下： ， 点M是AD的黄金分割点．   16.【答案】【小题1】 如图，即为所求 【小题2】 四边形EBCF是黄金矩形.理由如下： 四边形AEFD是正方形，四边形ABCD是矩形，四边形EBCF是矩形.设，，则，矩形EBCF是黄金矩形. 【小题3】 在黄金矩形内，以短边为一边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形也是黄金矩形.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $