精品解析：广东中山市西湾外国语学校 2026-2027学年度九年级上学期九月通识训练数学试题

中山市西湾外国语学校九年级2026-2027学年度上学期九月通识训练 数学试题 （测试时长：120分钟，满分120分） 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别将四个点的坐标代入关系式，并根据计算结果判断即可． 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 2. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、在中，当时，二次项系数为0，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意； C、变形得，，是一元一次方程，故不符合题意； D、的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意． 3. 下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 4. 二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 6. 关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 随增大而增大 D. 对称轴是轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程， ∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根. 8. 反比例函数的图象如图，A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y3＜y1＜y2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，且当x＞0时，y＜0，当x＜0时，y＞0， ∵A（−2，y1）、B（−1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上， ∴y3＜y1＜y2， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能； B.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不可能； C.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能； D.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项有可能； 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 10. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 反比例函数中_________． 【答案】 【解析】 【分析】形如的函数叫反比例函数，其中叫反比例系数． 【详解】解：反比例函数中． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘积为0的性质，将原方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ∴，． 13. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再将求值即可． 【详解】解：设眼镜的度数y与镜片焦距x的函数关系式为，根据题意，得 ， ∴函数关系式为． 当时，， 解得， 所以小明同学的眼镜近视度数为500度，眼镜镜片焦距为0.2米． 14. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是____________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步计算平移后的抛物线解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ， 将抛物线向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得：， 再将得到的抛物线向右平移2个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得：． 15. 如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④；上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，由图可知，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①③④． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 开平方得：， ∴； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 即或， ∴． 17. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛. 【解析】 【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得： ， 解得：，. 不合题意舍去， 答：比赛组织者应邀请8个队参赛. 【点睛】本题是一元二次方程的应用，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解． 18. 已知y是x的反比例函数，并且当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入求出函数值． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 把，代入，得． 解得． 所以关于的函数解析式为． 【小问2详解】 当时，． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】（1）； （2）对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线图象如图所示： 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后写出抛物线的对称轴和顶点坐标，先描点再连线，画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：把和两点代入可得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 列表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … 描点、连线见答案． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 ∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 五、解答题（三）（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． （1）求w关于x的函数解析式； （2）若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? （3）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】（1） （2）90元/千克或110元/千克 （3）当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【解析】 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． 【小问3详解】 解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 23. 如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】（1），该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁 （2） （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； 由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． （4）可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率 【解析】 【分析】（1）将代入列方程计算即可； （2）把数值代入计算即可； （3）根据增减性选择合适的模型即可； （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 【小问1详解】 解：将代入， 得解得 ， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． 【小问2详解】 解：当时，， 反比例函数的解析式为． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市西湾外国语学校九年级2026-2027学年度上学期九月通识训练 数学试题 （测试时长：120分钟，满分120分） 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 随增大而增大 D. 对称轴是轴 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 8. 反比例函数的图象如图，A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在该反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y3＜y1＜y2 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 反比例函数中_________． 12. 方程的解是______． 13. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 14. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是____________． 15. 如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④；上述结论正确的有________（填序号）． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 18. 已知y是x的反比例函数，并且当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． （1）求w关于x的函数解析式； （2）若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? （3）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 23. 如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $