专题02 一元二次方程（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程即可求值． 【详解】是关于的一元二次方程的一个解 故选：A． 3．B 4．（答案不唯一） 5． 6．D 7．C 8．【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A.是一元二次方程，符合题意； B. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意； C. 不是一元二次方程，不符合题意； D. 不是整式方程，不符合题意． 故选A 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的定义． 9．【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 10．【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是整式方程，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，是一元二次方程． 选项B：中未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 选项C：含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元二次方程． 选项D：的分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． 故选A． 11．【答案】9 【分析】本题考查了代数式求值、一元二次方程的根“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：9． 12．C 13．【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A 14．【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断． 【详解】解：A是一元一次方程，故本选项不合题意； B．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程的定义，故本选项不合题意； D．是分式方程，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 15．【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 16． 17．C 18．A 19．【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴将代入方程可得： ， 解得 故选：D． 考点02 配方法 1．【答案】(1)小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2 (2)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； ②，等式的右边没有除以2； （2）解：， ， ， ， ， ，． 2．【答案】D 【分析】运用配方法解一元二次方程的步骤去检验步骤即可． 【详解】解： 或 或 第四步错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程；熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 3． 4．A 5．． 6．【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程；通过直接开平方求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：A． 7．【答案】C 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8．A 9． 10．【答案】1或-1 【分析】将1移到右边，用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查直接开平方法解已一元二次方程，形如或的一元二次方程，可利用直接开平方法求解． 11．D 12．【答案】， 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】∵， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择恰当的方法是解题的关键． 13．(1)配方法；② (2)， 14．【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 考点03 公式法 1．【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：由，可知， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 2．【答案】（1） 且 ；（2）， 【分析】（1）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，根据且∆>0，列出不等式组，求解即可； （2）根据方程根的定义，把代入一元二次方程，求出的值，再解方程，求出另一个根即可. 【详解】（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且∆>0，即且 ， 解得： 且； （2）∵方程的一个根是1， ∴， 解得：， ∴原方程为， 解得：，即另一个根为. 【点睛】根据一元二次方程的定义和根的判别式，可以求出一元二次方程中参数的范围，注意一元二次方程二次项系数不等于0这个隐含条件；本题的第（2）小题，也可以用韦达定理进行求解. 3．D 4．【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5． 6．C 7．【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，方程无实数根，需分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，需判别式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵方程， 当时，方程为，解得，有实数根，不符合题意； 当时，方程为一元二次方程， 则判别式， 解得， 观察四个选项，符合题意的是， 故选：D． 8．【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当 时，方程没有实数根．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式来判别根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式来判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ 判别式 ， ∴ 方程没有实数根． 故选A． 9．【答案】(1) (2) 证明：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）略 10．【答案】1 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，则 从而列方程可得答案． 【详解】解： 方程有两个相等的实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 11．D 12．(1) (2) 13．D 14．【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为    当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务2：根据材料令，利用判别式解答即可； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为，列出关系式，根据材料变形为，利用判别式解答即可． 【详解】任务1：解：设 任务2：解：令 又的最小值为－1 ； 任务3：略 15．【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 16．【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． (2) 如图，，，即为所求； (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点D；②，结合图形再确定满足的格点D； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过作于，      ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．A 18．（答案不唯一） 19．【答案】(1) 证明： ， ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，平行四边形的性质和菱形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可得出答案； （2）当，是菱形，即可求出m的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：是菱形， ∴， 的两边、的长是已知方程的两个实数根． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， 此时菱形的边长为． 20．【答案】B 【分析】根据一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：a<1． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 21．答案不唯一，如或或 22．D 考点04 因式分解法 1．【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解：这里，，， ∵． 即， （2） 解：， ， 或． ， 2．B 3．【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 4．， 5．【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 对一元二次方程进行因式分解，令两个因式分别为零，进行计算求解即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得，． 6．【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据因式分解求解即可． 【详解】解：因式分解得， ∴，， 解得，， 故答案为：，． 7．， 8．【答案】x1=7，x2=﹣1． 【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解． 【详解】原方程可化为：（x﹣7）（x+1）=0， x﹣7=0或x+1=0； 解得：x1=7，x2=﹣1． 9．【答案】 解：第二步开始出现的错误， 错误原因是方程两边都除以时没有考虑的情况 正确的解答过程如下： 解： 或 ∴，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．依据等式的基本性质判断错误原因；利用因式分解法求解可得． 【详解】略 10． 他们的解法不正确，正确的解答如下， 解：， 移项，得， 提取公因式，得， 即， ∴， 解得：，． 11．【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过移项后利用提公因式法分解因式，从而求解方程． 【详解】解：移项，得 ， 提取公因式，得 ， 所以 或 ， 解得 ，. 故答案为： ，. 12．【答案】 【分析】先将一元二次方程整理成一般形式，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】方程化为 或 解得 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13．D 14．【答案】（1），（2）7、、、 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项，用因式分解法解方程即可； （2）根据“平均数法”解方程，与小明的解题过程进行对比，即可得、、、表示的数． 【详解】（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴，或， ∴，． （2）解：， 原方程可变形得， ∴， ∴， ∴， 直接开平方并整理得，． ∴，，，． 故答案为：，，，． 15．【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值和整式的运算．把，分别代入各个选项，再依据选项结论进行分析计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴， ∴， 所以①正确； ②∵， 当y随着x的增加而增加时， ∴， 解得，所以②错误； ③当时，， 若，则或， 即或， 对于方程，， ∴此方程没有实数解； 对于方程，因式分解得， 解得， 综上所述，若，则或，所以③错误． 故选：B． 16．【答案】3 【分析】先通过因式分解法解方程，求出，，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 则或． 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 17． 18．【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法、因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据仪式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 移项得：， 等式两边都加得：， 配方得：， 开平方得：， ∴，． （2）解：， ， ， ∴或， 解得：，． 19．【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：， 则或， 故选：D． 20．D 21．(1)， (2)， 22．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， 则 ， ． 23．【答案】(1) 解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”． (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． 【详解】（1）略 （2）解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 24．D 25．C 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 2．【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后代入代数式求值． 【详解】解：方程的两根为，， ，， ． 故选：． 3．(1)①④ (2) 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． (3) 证明：方法1  ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 4．【答案】A 【分析】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握如果一元二次方程的两根分别为与，则，． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出方程的两根之积即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程所有实数根的积是. 故选：A． 5．【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据，即可求解． 【详解】解：方程的两个根之和为， 则另一个根为， 故答案为：1． 6．【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一个根，利用两根之积，可求另一个根，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为： 7．(1) (2) 8．C 9．(1)四 (2)10或82 (3) 10．【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 先将方程化为一般式，再根据根与系数的关系求两根的积即可． 【详解】解：原方程化为一般式为， 其中，， 则两根的积为． 故答案为：． 11．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容． （1）根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，结合即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围是； （2）根据根与系数的关系得：，， 该方程有两个实数根，，且， ， 解得，满足题意， 故的值为． 12．【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 13．0 14．(1) (2) 15．4 16．【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 17．【答案】2021 【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，并由方程解的定义得到，然后将所求代数式变形为代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即。 又∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得。 ∴====． 故答案为：2021． 18．【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是3和2， ∴，即， 又∵小明写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和， ∴， ∴原来的方程是． 故选：D． 19．【答案】2 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 20．【答案】1 【分析】利用根与系数的关系求出，，再将所求值代入代数式进行求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式求值，根与系数的关系，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解答本题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．【答案】A 【分析】本题考查增长率，解题的关键是根据“第二场比赛到场观赛人数×（1＋增长率）2＝第四场比赛到场观赛人数”列出方程即可． 【详解】解：设吉安队主场观赛人数的平均增长率为， 依题意，得：． 故选：A． 2．任务一：的长为，的长为；任务二：该收纳盒的高为 3．【答案】A 【分析】本题考查了平移，根据实际问题列一元二次方程，利用平移，黑色道路的面积为，剩下道路的面积为，利用草坪的面积为，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，如图， 黑色道路的面积为，剩下道路的面积为， 则， 变形得 ，， 故选：A． 4．【答案】养殖场的面积能为，此时的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． 设，根据题意表示出，列出方程并解方程即可． 【详解】解：养殖场的面积能为，理由如下：                     设，则，                   由题意得：，                          整理得：，                   解得：或， ∴养殖场的面积能为，此时的值为或． 5．任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 6．【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设彩纸的宽度为，根据“在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 7．D 8．【答案】任务一：20%；任务二：；任务三：50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x,根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 9．【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 10．【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率为，根据年“五一”到年“五一”假期的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可； （2）设房价定为元时，根据宾馆当天的利润为元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 11．A 12．B 13．【答案】参观人数的月平均增长率为． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．根据公式：（其中表示增长前的量，表示增长后的量，表示月平均增长率，表示月份数），列方程求解即可． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 14．【答案】D 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；根据相邻奇数相差2，设较小奇数为，则较大奇数为，根据积为143列方程． 【详解】解：∵较小奇数为x，且相邻奇数差为2， ∴较大奇数为， ∴方程为， 故选：D． 15．【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 16．车道的宽度4米 17．【答案】 （1）长为2，宽为； （2）存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 18．【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 19．(1) (2)50 20．C 21．【答案】(1)220 (2)参加活动的学生人数为18人 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； （2）解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 22．(1)头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌的头盔每个应涨价5元. 23．【答案】C 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 24．(1) (2)元 25．【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程． 驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得 ． 故选C． 26．(1)1秒后，的面积等于 (2)不能，理由见解析 27．【答案】（1），， （2）符合要求 （3）元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图示列式表示和长度，根据和长度均需大于零列不等式组，且结合题目要求道路宽度不超过米，且不小于5米写出x的范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）种植园区中的长度为：米，的长度为：米， 小路宽度需满足： ， 解得， 又∵道路宽度不超过米，且不小于5米， ∴小路宽度需满足， 综上所述，小路宽度需满足． 故答案为：，，； （2）答：符合要求，理由： 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，， ∴舍去， 道路宽度为米； 答：道路宽度为米符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调元， ， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 28．【答案】9 【分析】设篮球队有x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设篮球队有x人，根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故篮球队有9人， 故答案为：9． 29．(1) (2)不能 30．【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 31．C 32．(1)博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是 (2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额 33．【答案】(1)60，600 (2)每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意列式求解即可； （2）设每个徽章的售价降低元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）（个）， ∴当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出60个徽章， （元）， ∴每天销售徽章的利润可达到600元； （2）设每个徽章的售价降低元， ， 解得：，． 为了让顾客得到实惠， ， 答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元． 34．D 35．【答案】(1) (2)； (3)5； (4)①如图5所示， ②； 【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （3）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （4）①根据据图1的方法构造即可； ②根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解： 解得， ∴正根为； （2）解：大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； （3）解：∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长， ∴， ∴方程的正根为； （4）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， 根据题意得，， ∴， ， 解得，， ∴正根为． 36．A 37．【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 38．【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应定位元 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 39．任务1：， ； 任务2：该设计达标．理由如下： 由题意，结合任务1，， 不合题意，舍去或 ， 对角线 当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标， 该设计达标． 任务3： 40．D 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）若是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是____________．（写出一个即可） 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知是方程的一个根则 ______． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如果关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 12．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 14．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 16．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 17．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点02 配方法 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤   ⑥ (1)小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； (2)请你写出此题正确的解题过程． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）小明解方程的过程如图所示，开始出现错误的是（    ）    A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）解方程：． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）解一元二次方程 6．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）解一元二次方程最简单的方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 9．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）用配方法解方程：； 10．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）方程的解是________． 11．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 12．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）解方程： 13．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）下面是小北同学解一元二次方程的过程： 解： ① ② ③ ④ …… (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法” 解该一元二次方程，上面解答过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你解该一元二次方程． 14．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 考点03 公式法 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求方程的另一个根及m的值. 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______． 6．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）已知关于x的方程，下列k的取值中，使得方程无实数根的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 9．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 10．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 11．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 13．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 14．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 15．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 16．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．      (1)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长． 17．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______． 19．（25-26九年级上·广东普宁·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 20．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A．a≤1 B．a<1 C．a≤1且a≠0 D．a<1且a≠0 21．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）请你写出一个负整数的值：_____，使关于的一元二次方程有实数根． 22．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 考点04 因式分解法 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）用适当的方法解下列方程 (1)； (2) 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）解下列方程：． 5．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）解方程：． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期中）方程的根是________ 7．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）解方程：． 8．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）解方程：x2﹣6x﹣7=0． 9．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）下面是小明解一元二次方程的过程： 解：方程右边提公因式得，……第一步 方程两边同除以得，…………第二步 系数化为1得，…………第三步 小明的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请给出这道题的正确解答过程． 10．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 11．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）一元二次方程的根是_______． 12．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）解方程：x（x+1）＝2（x+1）． 13．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）方程的解是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）（1）解方程： （2）计算题小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程． 解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得， 我们称小明这种解法为“平均数法”．下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：．， ∴．直接开平方并整理，得：，． 上述过程中的、、、表示的数分别为______，______，______，______． 15．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______． 17．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）解方程：． 18．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）解方程： (1)； (2)． 19．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）在解方程时，把可以转化成两个方程，若一个为，则另一个方程是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·广东普宁·期中）方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 21．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）解方程： (1) (2) 22．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）解方程． (1)； (2)． 23．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． (1)方程是“差积方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 24．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 25．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）的解为（　　） A． B． C． D． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知方程的两根分别是、，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． (1)下列方程是“美好方程”的是 ； ①   ②   ③   ④ (2)求证：“美好方程”总有两个实数根； (3)若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程所有实数根的积是（   ） A． B． C．3 D． 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 7．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 10．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）方程两个根的积为___________． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，，且，求的值． 12．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 13．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）设，是方程的两实数根，则________． 14．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 15．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）若实数a、b分别满足，，且，则的值为_________． 16．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 17．（25-26九年级上·广东普宁·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 18．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 20．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）已知，是一元二次方程的两根，则代数式的值为________． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 6．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 11．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 12．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某档案馆开展“抗战胜利80周年图片展”．该档案馆8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数增加到万人．求参观人数的月平均增长率． 14．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 16．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 17．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 18．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 20．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是________元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 22．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 23．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 25．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 27．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米．准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）种植园区中的长度为________米，的长度为________米，纵向道路宽度的取值范围为________； （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润=销售利润-承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 28．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）某篮球队为培养学生团结友爱的良好品质，组织一次握手游戏，每两个人握一次手，共握手36次，则篮球队有________人． 29．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月份保持前两个月的月增长率不变，该经销商月份的头盔销售量能否超过个？ 30．（25-26九年级上·广东普宁·期中）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 31．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（　　）m． A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 32．（25-26九年级上·广东普宁·期中）海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次． (1)求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率． (2)海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价． 33．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）深圳湾文化广场凭借“”造型建筑成为网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． (1)当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出 个徽章，每天销售徽章的利润可达到 元； (2)为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 34．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）电影《731》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； (1)根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； (2)根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； (3)实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； (4)类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 36．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 37．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 39．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）根据以下素材，探索完成任务． 智能农业种植基地设计 背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量． 素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长比宽多10米． 素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统视为一个点，当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统． 素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米． 任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为______米，根据素材1的信息可列方程：______． 任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案． 任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值． 40．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程即可求值． 【详解】是关于的一元二次方程的一个解 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）若是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的二次项系数不等于零列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，即． 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，即为一元二次方程，据此进行作答即可． 【详解】解：∵两个根分别是和2的关于x的一元二次方程， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知是方程的一个根则 ______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、，当时，是一元二次方程，当，时，是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，满足定义，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如果关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解． 把代入原方程求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A.是一元二次方程，符合题意； B. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意； C. 不是一元二次方程，不符合题意； D. 不是整式方程，不符合题意． 故选A 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的定义． 9．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是整式方程，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，是一元二次方程． 选项B：中未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 选项C：含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元二次方程． 选项D：的分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． 故选A． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查了代数式求值、一元二次方程的根“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：9． 12．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 13．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A 14．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断． 【详解】解：A是一元一次方程，故本选项不合题意； B．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程的定义，故本选项不合题意； D．是分式方程，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 15．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 16．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 18．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：A．，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合题意； B．，是一元一次方程，不符合题意； C．，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，不符合题意； D．，含有两个未知数，不符合定义，不符合题意； 故选：A． 19．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴将代入方程可得： ， 解得 故选：D． 考点02 配方法 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤   ⑥ (1)小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； (2)请你写出此题正确的解题过程． 【答案】(1)小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2 (2)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； ②，等式的右边没有除以2； （2）解：， ， ， ， ， ，． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）小明解方程的过程如图所示，开始出现错误的是（    ）    A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】D 【分析】运用配方法解一元二次方程的步骤去检验步骤即可． 【详解】解： 或 或 第四步错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程；熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）解一元二次方程 【答案】． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可得． 【详解】， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 6．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程；通过直接开平方求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：A． 7．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）解一元二次方程最简单的方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件． 方程左右两边都可以开平方，故直接开平方法解此方程最简单． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴采用直接开平方法最简单． 故选：A． 9．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）用配方法解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】移项，得， 两边同时加上1，得， 即， ∴， 解得： 10．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）方程的解是________． 【答案】1或-1 【分析】将1移到右边，用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查直接开平方法解已一元二次方程，形如或的一元二次方程，可利用直接开平方法求解． 11．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，直接开方即可求解． 【详解】解：， ， 即，， 故选：D． 12．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）解方程： 【答案】， 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】∵， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择恰当的方法是解题的关键． 13．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）下面是小北同学解一元二次方程的过程： 解： ① ② ③ ④ …… (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法” 解该一元二次方程，上面解答过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你解该一元二次方程． 【答案】(1)配方法；② (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用配方法排查即可； （2）利用配方法运算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴小北选用了配方法在第②步右边没有同时加，出现了错误； 故答案为：配方法；②； （2）解： 或， ∴，． 14．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 考点03 公式法 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：由，可知， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求方程的另一个根及m的值. 【答案】（1） 且 ；（2）， 【分析】（1）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，根据且∆>0，列出不等式组，求解即可； （2）根据方程根的定义，把代入一元二次方程，求出的值，再解方程，求出另一个根即可. 【详解】（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且∆>0，即且 ， 解得： 且； （2）∵方程的一个根是1， ∴， 解得：， ∴原方程为， 解得：，即另一个根为. 【点睛】根据一元二次方程的定义和根的判别式，可以求出一元二次方程中参数的范围，注意一元二次方程二次项系数不等于0这个隐含条件；本题的第（2）小题，也可以用韦达定理进行求解. 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】关于x的方程没有实数根， ， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 6．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，一元二次方程的根的情况由判别式决定：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根． 通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选C． 7．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）已知关于x的方程，下列k的取值中，使得方程无实数根的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，方程无实数根，需分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，需判别式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵方程， 当时，方程为，解得，有实数根，不符合题意； 当时，方程为一元二次方程， 则判别式， 解得， 观察四个选项，符合题意的是， 故选：D． 8．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当 时，方程没有实数根．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式来判别根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式来判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ 判别式 ， ∴ 方程没有实数根． 故选A． 9．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】(1) (2) 证明：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）略 10．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】1 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，则 从而列方程可得答案． 【详解】解： 方程有两个相等的实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 11．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得，，则原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 12．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，， 化简得：． 13．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 14．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为    当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务2：根据材料令，利用判别式解答即可； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为，列出关系式，根据材料变形为，利用判别式解答即可． 【详解】任务1：解：设 任务2：解：令 又的最小值为－1 ； 任务3：略 15．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 16．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．      (1)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． (2) 如图，，，即为所求； (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点D；②，结合图形再确定满足的格点D； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过作于，      ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的一般形式，得到，，，根据一元二次方程的求根公式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故“□”处应填． 故选：A． 18．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 19．（25-26九年级上·广东普宁·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 【答案】(1) 证明： ， ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，平行四边形的性质和菱形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可得出答案； （2）当，是菱形，即可求出m的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：是菱形， ∴， 的两边、的长是已知方程的两个实数根． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， 此时菱形的边长为． 20．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A．a≤1 B．a<1 C．a≤1且a≠0 D．a<1且a≠0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：a<1． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 21．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）请你写出一个负整数的值：_____，使关于的一元二次方程有实数根． 【答案】答案不唯一，如或或 【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据根的判别式与根的情况，当时方程有实数根，解不等式即可；本题主要考查了根的判别式和解一元一次不等式，熟练掌握相应的计算方法是解题的关键． 【详解】解：先将一元二次方程化为一般式， ∴， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 又∵为负整数， ∴的值可以取； 故答案为：或或． 22．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得：， 故选项中只有D选项满足， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 考点04 因式分解法 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）用适当的方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解：这里，，， ∵． 即， （2） 解：， ， 或． ， 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 5．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 对一元二次方程进行因式分解，令两个因式分别为零，进行计算求解即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得，． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期中）方程的根是________ 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据因式分解求解即可． 【详解】解：因式分解得， ∴，， 解得，， 故答案为：，． 7．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 或， ∴，． 8．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）解方程：x2﹣6x﹣7=0． 【答案】x1=7，x2=﹣1． 【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解． 【详解】原方程可化为：（x﹣7）（x+1）=0， x﹣7=0或x+1=0； 解得：x1=7，x2=﹣1． 9．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）下面是小明解一元二次方程的过程： 解：方程右边提公因式得，……第一步 方程两边同除以得，…………第二步 系数化为1得，…………第三步 小明的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请给出这道题的正确解答过程． 【答案】 解：第二步开始出现的错误， 错误原因是方程两边都除以时没有考虑的情况 正确的解答过程如下： 解： 或 ∴，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．依据等式的基本性质判断错误原因；利用因式分解法求解可得． 【详解】略 10．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】 他们的解法不正确，正确的解答如下， 解：， 移项，得， 提取公因式，得， 即， ∴， 解得：，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】略 11．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）一元二次方程的根是_______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过移项后利用提公因式法分解因式，从而求解方程． 【详解】解：移项，得 ， 提取公因式，得 ， 所以 或 ， 解得 ，. 故答案为： ，. 12．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）解方程：x（x+1）＝2（x+1）． 【答案】 【分析】先将一元二次方程整理成一般形式，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】方程化为 或 解得 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故选：D． 14．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）（1）解方程： （2）计算题小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程． 解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得， 我们称小明这种解法为“平均数法”．下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：．， ∴．直接开平方并整理，得：，． 上述过程中的、、、表示的数分别为______，______，______，______． 【答案】（1），（2）7、、、 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项，用因式分解法解方程即可； （2）根据“平均数法”解方程，与小明的解题过程进行对比，即可得、、、表示的数． 【详解】（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴，或， ∴，． （2）解：， 原方程可变形得， ∴， ∴， ∴， 直接开平方并整理得，． ∴，，，． 故答案为：，，，． 15．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值和整式的运算．把，分别代入各个选项，再依据选项结论进行分析计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴， ∴， 所以①正确； ②∵， 当y随着x的增加而增加时， ∴， 解得，所以②错误； ③当时，， 若，则或， 即或， 对于方程，， ∴此方程没有实数解； 对于方程，因式分解得， 解得， 综上所述，若，则或，所以③错误． 故选：B． 16．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______． 【答案】3 【分析】先通过因式分解法解方程，求出，，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 则或． 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 17．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 移项后根据因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得： 18．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法、因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据仪式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 移项得：， 等式两边都加得：， 配方得：， 开平方得：， ∴，． （2）解：， ， ， ∴或， 解得：，． 19．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）在解方程时，把可以转化成两个方程，若一个为，则另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：， 则或， 故选：D． 20．（25-26九年级上·广东普宁·期中）方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或； 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方程，是解题的关键． 21．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：分解因式，得， ∴或， 解得，． （2）提公因式，得， 移项，得， 提公因式，得， ∴或， 解得，． 22．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， 则 ， ． 23．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． (1)方程是“差积方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 【答案】(1) 解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”． (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． 【详解】（1）略 （2）解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 24．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：因式分解得：， 所以或， 所以，， 故选：D． 25．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程．根据方程特点选择正确的方法求解是解题关键． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知方程的两根分别是、，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后代入代数式求值． 【详解】解：方程的两根为，， ，， ． 故选：． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． (1)下列方程是“美好方程”的是 ； ①   ②   ③   ④ (2)求证：“美好方程”总有两个实数根； (3)若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】(1)①④ (2) 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． (3) 证明：方法1  ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式， （1）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【详解】（1）方程，，方程①是美好方程； 方程，，方程②不是美好方程； 方程，，方程③不是美好方程； 方程，整理，得，，方程④ 是美好方程； 故答案为：①④． （2）略 （3）略 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程所有实数根的积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握如果一元二次方程的两根分别为与，则，． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出方程的两根之积即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程所有实数根的积是. 故选：A． 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据，即可求解． 【详解】解：方程的两个根之和为， 则另一个根为， 故答案为：1． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一个根，利用两根之积，可求另一个根，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为： 7．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解： 由题意得，， ． 故选：C． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2)10或82 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 10．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）方程两个根的积为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 先将方程化为一般式，再根据根与系数的关系求两根的积即可． 【详解】解：原方程化为一般式为， 其中，， 则两根的积为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容． （1）根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，结合即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围是； （2）根据根与系数的关系得：，， 该方程有两个实数根，，且， ， 解得，满足题意， 故的值为． 12．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）设，是方程的两实数根，则________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的解和根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解和根与系数的关系．由 是方程的根，得 ；由根与系数的关系，得 ．代入计算即可． 【详解】解：因为 是方程 的根， 所以 ，即 ． 又因为 是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得 ． 所以 ． 故答案为 0． 14．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可用m表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于m的方程，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即，解得； ∴m的取值范围为． （2）解：∵方程的两个实数根分别为x1和x2， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴，， ∵， ∴ 解得m＝1或-3， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 15．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）若实数a、b分别满足，，且，则的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到． 【详解】解：∵、分别满足， ∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：4． 16．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 17．（25-26九年级上·广东普宁·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】2021 【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，并由方程解的定义得到，然后将所求代数式变形为代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即。 又∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得。 ∴====． 故答案为：2021． 18．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是3和2， ∴，即， 又∵小明写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和， ∴， ∴原来的方程是． 故选：D． 19．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）已知，是一元二次方程的两根，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用根与系数的关系求出，，再将所求值代入代数式进行求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式求值，根与系数的关系，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解答本题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查增长率，解题的关键是根据“第二场比赛到场观赛人数×（1＋增长率）2＝第四场比赛到场观赛人数”列出方程即可． 【详解】解：设吉安队主场观赛人数的平均增长率为， 依题意，得：． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】任务一：的长为，的长为；任务二：该收纳盒的高为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 任务一：根据图①分别列出代数式即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为； 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该收纳盒的高为． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移，根据实际问题列一元二次方程，利用平移，黑色道路的面积为，剩下道路的面积为，利用草坪的面积为，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，如图， 黑色道路的面积为，剩下道路的面积为， 则， 变形得 ，， 故选：A． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】养殖场的面积能为，此时的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． 设，根据题意表示出，列出方程并解方程即可． 【详解】解：养殖场的面积能为，理由如下：                     设，则，                   由题意得：，                          整理得：，                   解得：或， ∴养殖场的面积能为，此时的值为或． 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 6．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设彩纸的宽度为，根据“在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 7．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：D． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】任务一：20%；任务二：；任务三：50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x,根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； 任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 10．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率为，根据年“五一”到年“五一”假期的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可； （2）设房价定为元时，根据宾馆当天的利润为元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 11．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 12．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查理解题意的能力，解题的关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程． 设路宽为，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积是，可列方程求解． 【详解】解：设路宽为，则所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据题意得， ， 故选：B． 13．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某档案馆开展“抗战胜利80周年图片展”．该档案馆8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数增加到万人．求参观人数的月平均增长率． 【答案】参观人数的月平均增长率为． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．根据公式：（其中表示增长前的量，表示增长后的量，表示月平均增长率，表示月份数），列方程求解即可． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 14．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；根据相邻奇数相差2，设较小奇数为，则较大奇数为，根据积为143列方程． 【详解】解：∵较小奇数为x，且相邻奇数差为2， ∴较大奇数为， ∴方程为， 故选：D． 15．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 16．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度4米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为x米， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 17．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】 （1）长为2，宽为； （2）存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 18．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 19．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 20．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意列出方程． 根据平面图中停车位组合起来为一个宽为米，长为米的长方形，以及其“停车位的占地面积为352平方米”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可列方程为：， 故选：C． 21．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是________元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】(1)220 (2)参加活动的学生人数为18人 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； （2）解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 22．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌的头盔每个应涨价5元. 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元 23．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 24．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． (1)若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． (2)十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 25．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程． 驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得 ． 故选C． 26．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）根据题意，求出时间的取值范围，列出一元二次方程进行求解即可； （2）列出一元二次方程判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：． 当运动时间为（）时，． （1）依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：1秒后，的面积等于； （2）解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 27．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米．准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）种植园区中的长度为________米，的长度为________米，纵向道路宽度的取值范围为________； （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润=销售利润-承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1），， （2）符合要求 （3）元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图示列式表示和长度，根据和长度均需大于零列不等式组，且结合题目要求道路宽度不超过米，且不小于5米写出x的范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）种植园区中的长度为：米，的长度为：米， 小路宽度需满足： ， 解得， 又∵道路宽度不超过米，且不小于5米， ∴小路宽度需满足， 综上所述，小路宽度需满足． 故答案为：，，； （2）答：符合要求，理由： 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，， ∴舍去， 道路宽度为米； 答：道路宽度为米符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调元， ， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 28．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）某篮球队为培养学生团结友爱的良好品质，组织一次握手游戏，每两个人握一次手，共握手36次，则篮球队有________人． 【答案】9 【分析】设篮球队有x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设篮球队有x人，根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故篮球队有9人， 故答案为：9． 29．（25-26九年级上·广东佛山高明区·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月份保持前两个月的月增长率不变，该经销商月份的头盔销售量能否超过个？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据月份销售个，月份销售个，列出一元二次方程，解方程取其正值即可； （2）求出该经销商月份的头盔销售量，再比较即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：由题意得：（个）， ∵， ∴该经销商月份的头盔销售量不能超过个． 30．（25-26九年级上·广东普宁·期中）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 31．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（　　）m． A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解． 【详解】解：原图经过平移转化为图1． 设道路宽为xm， 根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540． 整理得x2﹣52x+100＝0． 解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2． 则道路宽为2m， 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解． 32．（25-26九年级上·广东普宁·期中）海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次． (1)求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率． (2)海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价． 【答案】(1)博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是 (2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程； （1）设博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是，可得：，即可解得博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯降价为a元，可得：，解得或，又让顾客获得最大优惠，即知当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额． 【详解】（1）解：设博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是， 根据题意得：，解得，（舍去）， 答：博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯降价为元， 根据题意得： 解得或， ∵让顾客获得最大优惠， ∴取5， 定价为：元， 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额． 33．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）深圳湾文化广场凭借“”造型建筑成为网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． (1)当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出 个徽章，每天销售徽章的利润可达到 元； (2)为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 【答案】(1)60，600 (2)每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意列式求解即可； （2）设每个徽章的售价降低元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）（个）， ∴当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出60个徽章， （元）， ∴每天销售徽章的利润可达到600元； （2）设每个徽章的售价降低元， ， 解得：，． 为了让顾客得到实惠， ， 答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元． 34．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）电影《731》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是理解累计票房的含义和增长率的应用．根据三天累计票房为10亿元，列出三天票房之和的方程． 【详解】解：∵第一天票房为3亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元， 且三天累计票房为10亿元， ∴ ． 故选：D． 35．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； (1)根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； (2)根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； (3)实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； (4)类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 【答案】(1) (2)； (3)5； (4)①如图5所示， ②； 【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （3）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （4）①根据据图1的方法构造即可； ②根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解： 解得， ∴正根为； （2）解：大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； （3）解：∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长， ∴， ∴方程的正根为； （4）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， 根据题意得，， ∴， ， 解得，， ∴正根为． 36．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动， ∴，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 故答案为：A． 37．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 38．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应定位元 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 39．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）根据以下素材，探索完成任务． 智能农业种植基地设计 背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量． 素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长比宽多10米． 素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统视为一个点，当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统． 素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米． 任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为______米，根据素材1的信息可列方程：______． 任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案． 任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值． 【答案】任务1：， ； 任务2：该设计达标．理由如下： 由题意，结合任务1，， 不合题意，舍去或 ， 对角线 当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标， 该设计达标． 任务3： 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 任务1：依据题意，由矩形大棚的宽为x米，则长为米，则，进而可以判断得解； 任务2：依据题意，结合任务1，，进而计算可得，，则对角线，故，再根据当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，进而可以判断得解； 任务3：依据题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，则，进而计算可以得解． 【详解】解：任务1：由题意，矩形大棚的宽为x米，则长为米， 故答案为：， 任务2：略 任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米， 或此时，不合题意，舍去 40．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $