精品解析：广东省廉江市实验学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷　

廉江实验2024-2025学年度第一学期期中考试九年级 数学试卷 卷面总分：120分；考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个关系式中，和成反比例关系的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例关系，根据反比例的性质可知当两个变量的积为定值时，这两个变量成反比例关系，进而求解． 【详解】解：A、，和不成反比例关系，不符合题意； B、即，和成反比例关系，符合题意； C、即，和成正比例关系，不符合题意； D、，和不成反比例关系，不符合题意； 故选：B． 2. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（　　） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【详解】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误； ②y=，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误； ③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确； ④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确． 故选B． 点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键． 3. 如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 但不能得到，即选项D不正确． 故选：D 4. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 5. 如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点P，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判断，直角三角形的性质，连接，由平行线的性质得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，即，则；根据直角三角形的性质得到，则由三线合一定理得到，平分，则，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴，平分， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴四个选项中只有A选项中的结论错误，符合题意， 故选：A． 6. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在坐标轴上，，，，函数（，）的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据OA=OC=3，可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值． 【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵OA=OC=3， 在Rt△AOC中，AC=， 又∵AC=2BC， ∴BC=， 又∵∠ACB=90°， ∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD， ∴CD=BD=， ∴OD=3+， ∴B（，）代入y=得： k=， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定等，将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决． 8. 如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为、 、，将矩形向右平移t个单位，若平移后的矩形 与函数（）的图象有公共点，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得D点的坐标，然后表示出平移后的点D’、B’的坐标分别为，，依据点D’、B’落在函数（）的图像上时t的值，根据图像即可求得符合题意的t的值. 【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、， ∴, ∴平移后，可设点D’、B’的坐标分别为，， 当点D’落在函数（）的图像上时，则， 解得：， 当点B’落在函数（）的图像上时，则， 解得：， ∴平移后的矩形ABCD与函数（）的图像有公共点，则t的取值范围为， 故答案选：C. 【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数图像上的点的坐标的特征以及平移的性质的应用，解题时应注意：反比例函数上的点的横纵坐标的积是定值k. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ） A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DH⊥BC交AB于点H，根据△AFE∽△ACD和△AEG∽△ADH可得DC=DH，再由△BDH∽△BCA，根据相似三角形的性质列出方程即可求出CD. 【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H， ∵EF⊥AC，∴EF∥BC， ∴△AFE∽△ACD，∴， ∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG， ∴△AEG∽△ADH，∴， ∴ ∵EF=EG， ∴DC=DH， 设DH=DC=x，则BD=12-x， 又∵△BDH∽△BCA， ∴，即， 解得：x=4，即CD=4， 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键. 10. 如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的长，设，，根据正方形的性质得，推出，求得其相似比，依此类推和的相似比为，据此求解即可． 【详解】解：∵边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴和的相似比为， 同理：和的相似比为， ∴和的相似比为， 依此得：和的相似比为， ∴和的相似比为， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，图形类规律探究，解题的关键是根据图形的变化寻找规律． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图象与性质．结合反比例函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案． 【详解】解：依题意，画树状图如图： 共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个， ∴最后一只摘到B的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．画出树状图是解题的关键． 13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB上，若以点D为圆心，AD为半径的圆于BC相切，则⊙D的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用勾股定理求出AB的长，利用圆的切线的性质得出相似三角形的，利用相似三角形的性质得出圆的半径． 【详解】解：过点D作DEBC， 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴AB=10， ∵AD为圆的切线， ∴DE为圆的半径，设半径为x， ∴BD=10－x， ∴∽， ∴， 即：， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查切线的性质，相似三角形的判断与性质，勾股定理，熟练运用切线的性质及相似三角形的判断和性质是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于点，由，点是正方形中心，连接，取的中点，连接．由正方形的边长为4，可求得，故，勾股定理求出．在中，，得出当三点共线时，最小，最小值为． 【详解】解：如图，连接交于点， 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即点是正方形中心， 连接，取的中点，连接． ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 在中，， 当三点共线时，最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．添出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题一（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE． （1）求证：△ABC∽△DAE； （2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长． 【答案】 （1）证明：∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠CAB． ∵∠B=∠DAE， ∴△ABC∽△DAE； （2）. 【解析】 【详解】（1）略 （2）∵△ABC∽△DAE. ∴． ∵AB=8，AD=6，AE=4， ∴． ∴． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1） 如图1，即为所作； （2） 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； （2）从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率． （）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 四、解答题二（本大题3小题，每题9分，共27分） 19. 李明在“鱼菜共生系统对水质的影响”实验研究中，针对水质中的氨氮含量进行了实时监测，如图是水质中氨氮含量与时间x（天）的变化图象，其中为一条线段，段满足反比例函数关系， （1）段的函数解析式为________； （2）李明以普通养殖塘为对照组，发现对照组的氨氮含量与时间满足直线的函数解析式，则在第40天时，鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设段的函数解析式为，故，从而可以得解； （2）依据题意，设直线为，又，，从而，进而求出解析式，再令，求出y，又对于函数，当时，求出y，最后比较即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，设段的函数解析式为， ， 段的函数解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，设直线为， 又∵，， ， ，， 直线为， 当时，， 又对于函数， 当时， ， ， 鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低． 20. 【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 ，， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； 【小问2详解】 如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 21. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标． 如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）与函数 图像没有交点；（3） 【解析】 【分析】(1)根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． (2)仿照(1)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． (3)仿照(2)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或 ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图像无交点； 的图像，如图中所示： ∵与函数图像没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图像没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图像有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个解， ∴， 解得：，（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图像的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 五、解答题三（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. “天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．例如，世界文化遗产“天坛”（如图1），秦统一货币“秦半两”（如图2）“天圆地方”的宇宙图式具有一种极具意味的形式美和意境美，这种观念成为现代各种设计活动的灵感来源．为了同学们更深入地了解“天圆地方”的数学之美，老师设计了如下学习项目活动单： 学习项目主题：景区圆形水池开发方案设计 初步感知： （1）已知半径为，求其内接正方形的边长． 设计活动一： （2）某风景区有一片直径为10米的圆形水池如图3所示（即），某喷泉设计公司给出如下方案：在池内沿中轴线设计两个正方形喷泉阵（即正方形和正方形），剩余区域进行自然水景生态美化由于景区开发资金有限，喷泉阵又造价较高，为了节约成本，请求出两个正方形喷泉阵面积之和的最小值以及此时的长． 设计活动二： （3）某演艺公司也对（2）中的圆形水池提出开发方案：为了增强景区的娱乐性和交互性，可以建造一个水上演艺舞台（如图4），池内沿中轴线设计两个无缝连接的前置矩形舞台和后置矩形舞台，于点B，于点G，，，为了确保夜间演出的舞台效果，需要给舞台和处全部安装灯带为做出预算，请求出灯带的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）两个正方形的面积和的最小值为25平方米，此时米；（3）的最大值为 米，的最小值为米． 【解析】 【分析】（1）求出正方形的边长，可得结论； （2）如图3中，设米，则米，设两个正方形的面积和为y平方米，构建二次函数，利用二次函数的性质求解； （3）如图4中，连接，．设米．米．证明A，C，共线，因为米，米，推出米，因为米，推出当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，求出的最大值，最小值，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接正方形， ∴是直径， ∵半径为即， ∴， （2）如图3中， 设米，则米， 设两个正方形的面积和为y平方米， 则， ∵， ∴时，y有最大值，最小值为25． ∴两个正方形的面积和的最小值为25平方米，此时米； （3）如图4中，连接，．设米．米． ∵是直径，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形， 同法可证四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴A，C，共线， ∴米，米， ∴米， ∵米， ∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小， ∵是直径时，的值最大，此时 ， ∴， ∴的最大值为 米． 当点E落在上时，的值最小，连接，，， 此时， 在中，米．， ∴，， 设，则， 解得（负根已经舍去）， ∴， ∴的最小值为米． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 23. 如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP． (1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标； (2)若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标； (3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标． 【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；(2)P的横坐标为或.(3)点P的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6). 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标； (2)利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，设P(m，﹣m2+3m+4)，所以m＝4|4﹣(﹣m2+3m+4|，然后解方程4(m2﹣3m)＝m和方程4(m2﹣3m)＝﹣m得P点坐标； (3)设P(m，﹣m2+3m+4)(m＞)，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ＝m2﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，则OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2＝m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程m2﹣3m＝m和方程m2﹣3m＝﹣m得此时P点坐标． 【详解】解：(1)把A(0，4)，B(4，0)分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4， 当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴C(﹣1，0)； 故答案为y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)； (2)∵△AQP∽△AOC， ∴， ∴，即AQ＝4PQ， 设P(m，﹣m2+3m+4)， ∴m＝4|4﹣(﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m， 解方程4(m2﹣3m)＝m得m1＝0(舍去)，m2＝，此时P点横坐标为； 解方程4(m2﹣3m)＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝，此时P点坐标为； 综上所述，点P的坐标为(，)或(，)； (3)设， 当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2， 则PQ＝4﹣(﹣m2+3m+4)＝m2﹣3m， ∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'， ∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m， ∵∠AQ′O＝∠Q′PH， ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP， ∴，即，解得Q′H＝4m﹣12， ∴OQ′＝m﹣(4m﹣12)＝12﹣3m， 在Rt△AOQ′中，42+(12﹣3m)2＝m2， 整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为(4，0)或(5，﹣6)； 当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形， ∴PQ＝AQ′， 即|m2﹣3m|＝m， 解方程m2﹣3m＝m得m1＝0(舍去)，m2＝4，此时P点坐标为(4，0)； 解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝2，此时P点坐标为(2，6)， 综上所述，点P的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6) 【点睛】本题考查了待定系数法，相似三角形的性质，解一元二次方程，三角形折叠，题目综合性较强，解决本题的关键是：①熟练掌握待定系数法求函数解析式；②能够熟练掌握相似三角形的判定和性质；③能够熟练掌握一元二次方程的解法；④理解折叠的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廉江实验2024-2025学年度第一学期期中考试九年级 数学试卷 卷面总分：120分；考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个关系式中，和成反比例关系的是（ ）． A. B. C. D. 2. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（　　） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 3. 如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点P，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 平分 6. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在坐标轴上，，，，函数（，）的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为、 、，将矩形向右平移t个单位，若平移后的矩形 与函数（）的图象有公共点，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ） A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 10. 如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，则______（填“”、“”或“”）． 12. 若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________． 13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB上，若以点D为圆心，AD为半径的圆于BC相切，则⊙D的半径为_____________． 15. 如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为___________． 三、解答题一（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE． （1）求证：△ABC∽△DAE； （2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 18. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； （2）从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 四、解答题二（本大题3小题，每题9分，共27分） 19. 李明在“鱼菜共生系统对水质的影响”实验研究中，针对水质中的氨氮含量进行了实时监测，如图是水质中氨氮含量与时间x（天）的变化图象，其中为一条线段，段满足反比例函数关系， （1）段的函数解析式为________； （2）李明以普通养殖塘为对照组，发现对照组的氨氮含量与时间满足直线的函数解析式，则在第40天时，鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低多少？ 20. 【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 21. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标． 如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值． 五、解答题三（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. “天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．例如，世界文化遗产“天坛”（如图1），秦统一货币“秦半两”（如图2）“天圆地方”的宇宙图式具有一种极具意味的形式美和意境美，这种观念成为现代各种设计活动的灵感来源．为了同学们更深入地了解“天圆地方”的数学之美，老师设计了如下学习项目活动单： 学习项目主题：景区圆形水池开发方案设计 初步感知： （1）已知半径为，求其内接正方形的边长． 设计活动一： （2）某风景区有一片直径为10米的圆形水池如图3所示（即），某喷泉设计公司给出如下方案：在池内沿中轴线设计两个正方形喷泉阵（即正方形和正方形），剩余区域进行自然水景生态美化由于景区开发资金有限，喷泉阵又造价较高，为了节约成本，请求出两个正方形喷泉阵面积之和的最小值以及此时的长． 设计活动二： （3）某演艺公司也对（2）中的圆形水池提出开发方案：为了增强景区的娱乐性和交互性，可以建造一个水上演艺舞台（如图4），池内沿中轴线设计两个无缝连接的前置矩形舞台和后置矩形舞台，于点B，于点G，，，为了确保夜间演出的舞台效果，需要给舞台和处全部安装灯带为做出预算，请求出灯带的最大值和最小值． 23. 如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP． (1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标； (2)若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标； (3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $