第10讲 整式的加减（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第10讲 整式的加减 （新教材北师大版） 知识点一、整式 2 知识点二、同类项 2 知识点三、整式的加减 2 【题型1 同类项的判断】 3 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 3 【题型3 合并同类项】 3 【题型4 去括号】 4 【题型5 添括号】 5 【题型6 整式的加减运算】 5 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 6 【题型8 整式加减中的无关型问题】 6 【题型9 整式加减的应用】 7 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 8 【探究式学习】 9 【课后检测】 12 【复盘笔记】 18 知识点一、整式 单项式和多项式统称为整式． 【例】a，，，是整式． 知识点二、同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【例】8n与5n是一组同类项，与是一组同类项，6x、与也是一组同类项． 知识点三、整式的加减 （1）合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． （2）去括号、添括号： ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值. 【例】 【题型1 同类项的判断】 【例1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（   ） A．多项式是一次二项式 B．单项式2025的次数是0 C．近似数万精确到百分位 D．和是同类项 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．的系数是 B．单项式的次数是7 C．与是同类项 D．多项式是六次三项式 【变式1-2】下列说法错误的是（   ） A．与不是同类项 B．单项式的次数是5 C．多项式的常数项是1 D．单项式的系数是 【变式1-3】下列结论中正确的是（　　） A．是二次三项式 B．和不是同类项 C．单项式的系数是 D．在，，，，0中，整式有4个 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 【例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2025 【变式2-1】若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A． B． C．3 D．6 【变式2-2】若与的差仍是单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【变式2-3】若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型3 合并同类项】 【例3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【变式3-1】下列各式正确的个数是（） ①； ②； ③； ④； ⑤近似数160502精确到千位是； ⑥近似数1.2万精确到十分位． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】如图，这是正方体的展开图，其相对面上的多项式的和相等，则M等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】若代数式的值与的值无关，则的值为（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【题型4 去括号】 【例4】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列选项中，错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 【变式4-2】对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（   ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式4-3】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 添括号】 【例5】（25-26八年级上·广西钦州·阶段检测）下面添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如果代数式的值为6，那么代数式的值为（  ） A． B．15 C．4 D．5 【变式5-3】）已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【题型6 整式的加减运算】 【例6】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）两只蚂蚁沿不同的路线，从点跑到点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑．图中曲线部分均由半圆组成，四幅图中两只蚂蚁跑的路线一样长的共有几幅，正确的答案是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知a，b两数表示在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 【例7】（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）已知，，，，，则下列说法正确的有（   ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数x和正整数y，使得． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-1】把图①中两张大小相同的长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，那么=（  ） A．75 B．50 C．15 D．30 【变式7-2】已知，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【变式7-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 整式加减中的无关型问题】 【例8】（25-26七年级上·山东济南·期末）若关于的代数式（为常数）的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【变式8-1】若关于x，y的多项式不含二次项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-2】若多项式的值与的取值大小无关，那么a，b一定满足（    ） A．且 B． C． D．， 【变式8-3】已知，，若的结果不含，则的值是（） A．28 B．4 C．2 D． 【题型9 整式加减的应用】 【例9】（25-26八年级下·山东济南·期中）已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 【变式9-1】已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 【变式9-2】如图，把两个正方形放置在周长为m的长方形内，两个正方形重叠部分的周长为n（图中阴影部分），则这两个正方形的周长和为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】在一场魔术表演中，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出四张，放入中间一堆； 第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆． 最后，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 【例10】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，，，则的值为（     ） A．3或 B．或7 C．3或 D．7或 【变式10-1】若，则a的值是（     ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【变式10-2】如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【变式10-3】若，的最小值是（     ） A．1 B．3 C．2 D．0 【探究式学习】 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 2．（七年级下·河南驻马店·期中）阅读理解 已知，求的值． 解：因为．所以，所以． 小明根据上述解题思路，发现可利用“换元法”解答下面问题． 已知实数满足，试求的值．具体解法如下： 设，，则，， 所以． 类比探究： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值． 拓展应用： (3)如图，正方形的边长为，，，四边形和都是正方形，长方形的面积是5，求图中阴影部分的面积． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【课后检测】 1．（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）已知，，且，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或2 2．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若，化简______________．（     ） A．1 B． C． D． 3．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广东清远·期末）有理数，在数轴上的位置如下图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．（七年级下·四川绵阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形分成了两个正方形和两个长方形，两个长方形的宽和恰好相等．若已知长方形的周长，则下列图形周长不能确定的是（   ）    A．正方形 B．正方形 C．长方形 D．长方形 9．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·重庆云阳·期末）已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 12．（26-27七年级上·天津和平·阶段检测）若，则一定是________数． 13．（26-27七年级上·安徽·期中）若，则___． 14．（26-27七年级上·湖南·期中）若与是同类项，则的值是________． 15．（26-27七年级上·北京·阶段检测）如果为有理数，则代数式的最小值为_________． 16．（26-27七年级上·山西·期中）计算 (1)计算：； (2)计算：； (3)化简：； (4)化简：． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各题的结果是否正确? (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·吉林四平·期末）先化简，再求值：，其中，． 19．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 20．（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 21．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第10讲 整式的加减 （新教材北师大版） 知识点一、整式 2 知识点二、同类项 2 知识点三、整式的加减 2 【题型1 同类项的判断】 3 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 5 【题型3 合并同类项】 6 【题型4 去括号】 8 【题型5 添括号】 11 【题型6 整式的加减运算】 12 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 14 【题型8 整式加减中的无关型问题】 17 【题型9 整式加减的应用】 19 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 22 【探究式学习】 24 【课后检测】 29 【复盘笔记】 43 知识点一、整式 单项式和多项式统称为整式． 【例】a，，，是整式． 知识点二、同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【例】8n与5n是一组同类项，与是一组同类项，6x、与也是一组同类项． 知识点三、整式的加减 （1）合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． （2）去括号、添括号： ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值. 【例】 【题型1 同类项的判断】 【例1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（   ） A．多项式是一次二项式 B．单项式2025的次数是0 C．近似数万精确到百分位 D．和是同类项 【答案】B 【分析】本题需根据多项式的次数与项数定义、单项式的次数定义、近似数的精确位确定方法、同类项的定义，逐一分析每个选项的正误即可． 【详解】解：A、多项式中的次数是，则它是二次二项式，故A错误； B、单独的非零常数项的次数是0，2025是单独的非零常数，则其次数是0，故B正确； C、万，末尾的0在百位，则近似数万精确到百位，故C错误； D、与中相同字母的指数不对应相等，则它们不是同类项，故D错误． 故选：B． 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．的系数是 B．单项式的次数是7 C．与是同类项 D．多项式是六次三项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式、单项式、多项式及同类项的概念，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式． 同类项的定义是所含字母相同， 并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 根据单项式、多项式、整式及同类项的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．的数字部分是，即系数是，故正确，不符合题意； B．单项式中，是常数，变量部分为、、，指数和为，即 次数是4而非7，故错误，符合题意； C．和的变量均为、、，指数相同，是同类项，故正确，不符合题意； D． 多项式有三项，最高次项的次数为，是六次三项式，故正确，不符合题意． 故选B． 【变式1-2】下列说法错误的是（   ） A．与不是同类项 B．单项式的次数是5 C．多项式的常数项是1 D．单项式的系数是 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义、单项式的次数、多项式的常数项和单项式的系数的概念．根据相关定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、与相同字母的指数不同，不是同类项，原说法正确，不符合题意； B、单项式的次数是5，原说法正确，不符合题意； C、多项式的常数项是1，原说法正确，不符合题意； D、单项式的系数是，原说法错误，符合题意； 故选D． 【变式1-3】下列结论中正确的是（　　） A．是二次三项式 B．和不是同类项 C．单项式的系数是 D．在，，，，0中，整式有4个 【答案】D 【分析】本题考查多项式次数、同类项、单项式系数和整式的定义，熟记基本概念是解题关键． 根据多项式次数定义判断A；根据同类项定义判断B；根据单项式系数定义判断C；根据整式定义判断D． 【详解】解：∵选项A中，多项式的最高次项的次数为4，是四次三项式，不是二次三项式， ∴A错误； ∵选项B中，和的字母相同且对应指数相同（x均为2次，y均为3次），是同类项， ∴B错误； ∵选项C中，单项式的系数是，不是， ∴C错误； ∵选项D中，分母含字母，不是整式；、、（分母为常数）、0均为整式，共4个， ∴D正确． 故选：D． 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 【例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【分析】根据同类项的定义求出a、b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项． ∴同类项中相同字母的指数对应相等，可得 ，． 解得，． 将，代入得． 【变式2-1】若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【详解】解：根据已知，可得单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2-2】若与的差仍是单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义． 由于两个单项式的差仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而建立方程求解m和n，再代入计算表达式值． 【详解】解；∵单项式与的差仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴相同字母的指数相等， 即且， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2-3】若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过方程求解和，再计算表达式的值． 【详解】解：两个单项式是同类项， 的指数相等：， ． 的指数相等：， 代入，得， ． ． 故选：A． 【题型3 合并同类项】 【例3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项． 合并后结果为常数，说明含x、y的项的系数均为0，据此求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后的结果是3， ∴含x的项系数为0，含y的项系数为0， 即，， 解得，， ∴． 故选：A． 【变式3-1】下列各式正确的个数是（） ①； ②； ③； ④； ⑤近似数160502精确到千位是； ⑥近似数1.2万精确到十分位． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，合并同类项，近似数，熟知相关知识是解题的关键． 根据有理数的乘方计算法则，有理数的加法，合并同类项和近似数的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：∵①， ∴①错误； ∵②， ∴②正确； ∵③无法合并， ∴③错误； ∵④， ∴④正确； ∵⑤160502精确到千位，要看其后一位（百位）的数字5，需进位，得， ∴⑤正确； ∵⑥近似数1.2万表示12000，精确到千位，并非十分位， ·∴⑥错误， ∴正确个数为3个， 故选：B． 【变式3-2】如图，这是正方体的展开图，其相对面上的多项式的和相等，则M等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体展开图中相对面的识别以及整式的加减运算，解题的关键是正确识别正方体展开图中各面的相对面，再根据“相对面上的多项式的和相等”这一条件列出等式，通过整式加减运算求出的值； 先根据正方体展开图的规律确定相对面，再计算已知相对面的和，最后利用和相等的条件求出． 【详解】解：在正方体展开图中，同一行隔一个面的两个面是相对面， ∴与相对，与相对，与相对． ∵相对面上的多项式的和相等， ∴， ∴， ． 故选：B． 【变式3-3】若代数式的值与的值无关，则的值为（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式不含某项的问题，涉及合并同类项，代数式求值等知识，先合并同类项再令项的系数为零，解方程即可得到答案，根据题意列出关于的方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解： ∵ 代数式的值与无关， ， 解得， 故选：B． 【题型4 去括号】 【例4】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的规则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“-”号，去括号后各项符号改变；有系数时，需将系数乘以括号内的每一项． 【详解】解：A． ，该项计算错误； B． ，该项计算错误； C． ，该项计算错误； D．，该项计算正确． 故选D． 【变式4-1】下列选项中，错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，整式的加减． 需逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A：若，则两边同乘得，成立，不符合题意； B：当时，，不成立，符合题意； C：，成立，不符合题意； D：若，则两边同减得，成立，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（   ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据括号外面是“”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号， 故化简后只能得到一种结果，均为，故①正确； 代数式中，有两种情况： 括号内三个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一种结果，为； 当分别与括号内的三个数换位思考，化简后得到3种结果分别为： ， ， ， 故该代数式共得到4种结果，故②正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 最后3种结果相同，故该代数式共得到4种结果，故③正确； 故选：A． 【变式4-3】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 【题型5 添括号】 【例5】（25-26八年级上·广西钦州·阶段检测）下面添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了添括号法则． 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．结合各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，原计算正确； 选项B：，原计算错误； 选项C：，原计算错误； 选项D：，原计算错误； 故选：A． 【变式5-1】已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变． 根据添括号法则解答即可，注意符号变化． 【详解】解：根据题意将添括号，， 故选：C． 【变式5-2】如果代数式的值为6，那么代数式的值为（  ） A． B．15 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选A． 【变式5-3】）已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求代数式的值，添括号的应用，熟练掌握整体代入的数学思想是解决问题的关键；先求出的值，把化为：，然后整体代入即可求值． 【详解】解： ∴ 故选：A． 【题型6 整式的加减运算】 【例6】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）两只蚂蚁沿不同的路线，从点跑到点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑．图中曲线部分均由半圆组成，四幅图中两只蚂蚁跑的路线一样长的共有几幅，正确的答案是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用字母表示图中线段与曲线的长度，把两只蚂蚁的路线长度写成代数式，通过整式化简比较大小，判断两只蚂蚁路线是否一样长． 【详解】解：图中路线均有半圆，故路线长均和路线所在半圆的直径有关， 设路线长为其所在半圆直径的倍，两点间的距离为， 由 “两点之间线段最短”可知，弯曲线比直径长， ， 第幅：虚线（甲）：是直径为的半圆，长度为， 实线（乙）：由两个小半圆组成，设它们的直径分别为。由图可知，所以实线路程为， 两者相等，路线一样长； 第幅：虚线（甲）：直径为的上半圆，半圆周长为， 实线（乙）：直径为的下半圆，半圆周长为， 两者相等，路线一样长； 第幅：虚线（甲）：直径为的半圆，半圆周长为， 实线（乙）：由两个小半圆组成，设直径分别为，且， 路程为， 两者相等，路线一样长； 第幅：虚线（甲）：直径为的半圆，半圆周长为， 实线（乙）：由两个小半圆和一段水平直线段组成，设直线段长为，两个小半圆直径之和为，则实线路程为， ， ， 实线长， 两者不相等，路线不一样长； 综上所述，四幅图中两只蚂蚁跑的路线一样长的为第一、二、三幅，共幅． 【变式6-1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，结合绝对值的性质化简，整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据数轴得到，， ∴． 【变式6-2】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的应用， 绝对值化简，解题的关键是熟记绝对值化简的规律：正数和0的绝对值等于它本身， 负数的绝对值等于它的相反数． 由数轴可得， 即可判断，再根据绝对值的规律化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， 则， 故选：D． 【变式6-3】已知a，b两数表示在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 由数轴得，，得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， ∴ ． 故选：B． 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 【例7】（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）已知，，，，，则下列说法正确的有（   ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数x和正整数y，使得． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，代数式求值，根据整式的加减计算法则求出的结果即可判断①；根据整式的加减计算法则求出的结果，再求出，再把整体代入化简结果中即可判断②；把代入的结果中即可判断③． 【详解】解：∵，，，，， ∴ ， ∴多项式的值与x的取值无关，故①正确； ∵，，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式的值不一定为8，故②错误； ∵，， ∴， 当时，，故③正确； 故选：C． 【变式7-1】把图①中两张大小相同的长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，那么=（  ） A．75 B．50 C．15 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．列代数式分别表示出与，再作差求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 则， ， ， 由图③得：， 则 ． 故选：D． 【变式7-2】已知，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减及求代数式的值，去括号，将代数式化简为，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：． 【变式7-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的化简求值、绝对值的非负性，先根据绝对值的非负性求出x和y的值，再进行整式的加减运算，最后将x和y的值代入求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选B． 【题型8 整式加减中的无关型问题】 【例8】（25-26七年级上·山东济南·期末）若关于的代数式（为常数）的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，由于代数式的值与x无关，故x的各次项系数均为零，即可求的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值与x无关， ∴，且， 解得 ，， ∴． 故选：D． 【变式8-1】若关于x，y的多项式不含二次项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项方法是关键，需先化简多项式，再根据不含二次项的条件确定a、b的值，进而计算的值． 【详解】∵原式 ； ∵多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式8-2】若多项式的值与的取值大小无关，那么a，b一定满足（    ） A．且 B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项，根据整式的值与的取值大小无关，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵多项式的值与的取值大小无关， ∴， ∴，； 故选D． 【变式8-3】已知，，若的结果不含，则的值是（） A．28 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算中无关型问题，先计算，合并同类项后令项的系数为零，解出的值，再代入求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型9 整式加减的应用】 【例9】（25-26八年级下·山东济南·期中）已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 【答案】C 【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或即可作答． 【详解】解：依题意，设两位数，则， 则都为正整数，，， ∵d是某个整数的平方， ∴可设， ∴， ∴是9的倍数， 又∵c是某整数，，， ∴是正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上，d的值为9或36． 【变式9-1】已知A，B两个长方形的长和宽如图所示，若，则长方形A与长方形B的面积差为（　　） A．3 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【分析】根据题意列式为，将其计算并整理后把已知数值整体代入并计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即长方形A与长方形B的面积差为6． 【变式9-2】如图，把两个正方形放置在周长为m的长方形内，两个正方形重叠部分的周长为n（图中阴影部分），则这两个正方形的周长和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，然后根据长方形周长公式分别得到，由此即可得到答案． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为， ∵两个正方形重叠部分的周长为n（图中阴影部分）， ， ， 根据题意， ∵长方形的周长为m， ， ， ， ， 则这两个正方形的周长和． 【变式9-3】在一场魔术表演中，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出四张，放入中间一堆； 第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆． 最后，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查列代数式与整式加减的实际应用，通过设每堆初始牌数为x，根据每步操作列出各堆牌数的代数式，再计算中间堆最终牌数即可． 【详解】解：设第一步左、中、右三堆牌的张数均为x张（） ∵第二步操作后，左堆为张，中堆为张，右堆为x张 第三步操作后，左堆为张，中堆为张，右堆为张 第四步操作时，从中间堆拿出张放入右堆 ∴中间堆剩余牌数为张， 故选：C． 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 【例10】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，，，则的值为（     ） A．3或 B．或7 C．3或 D．7或 【答案】C 【分析】由可确定a、b的符号关系，结合绝对值的定义求出a、b的取值，进而计算的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当，时，，不符合题意，舍去， 当，时，，符合题意，此时， 当，时，，符合题意，此时， 当，时，，不符合题意，舍去， 的值为或． 【变式10-1】若，则a的值是（     ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴当，则a的值是任意一个非正数． 【变式10-2】如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】由数轴可得，从而可得，，，，结合绝对值的意义得出，，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式10-3】若，的最小值是（     ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， ， ， ， 当时,原式取得最小值，最小值是3． 【探究式学习】 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 2．（七年级下·河南驻马店·期中）阅读理解 已知，求的值． 解：因为．所以，所以． 小明根据上述解题思路，发现可利用“换元法”解答下面问题． 已知实数满足，试求的值．具体解法如下： 设，，则，， 所以． 类比探究： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值． 拓展应用： (3)如图，正方形的边长为，，，四边形和都是正方形，长方形的面积是5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)25 (3)21 【分析】（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）设，推导出，再根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）设，则，得到，，，根据图中阴影部分的面积为，再根据例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴ ； （2）解：设，则， ∵，， ∴， 即， ∴， ， 解得， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， 四边形和都是正方形， ， ∴， 设，则， ∴，， ∵长方形的面积是5， ∴， 即 ∴，即， ∴图中阴影部分的面积为 ， ∴图中阴影部分的面积为21． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；  （2）；  （3） 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值、整式的加减，能熟练利用整体思想求解是解题的关键； （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入并整理得，把代入得，再化为，整体代入，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， 【课后检测】 1．（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）已知，，且，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或2 【答案】C 【分析】先根据绝对值的意义确定的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不符合条件，舍去， 即， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 2．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若，化简______________．（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据a的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式． 3．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 4．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算并判断即可． 【详解】解：A选项，，运算错误.； B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 5．（26-27七年级上·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，该选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 6．（25-26七年级上·广东清远·期末）有理数，在数轴上的位置如下图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】观察数轴得出 的正负性及绝对值大小，再逐一判断． 【详解】解：由数轴可知， ∴，，，， ∴， 综上所述，正确的结论有①④⑤⑥，共4个． 7．（七年级下·四川绵阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形分成了两个正方形和两个长方形，两个长方形的宽和恰好相等．若已知长方形的周长，则下列图形周长不能确定的是（   ）    A．正方形 B．正方形 C．长方形 D．长方形 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，先设未知数，分别计算四个图形的周长，观察是否能用长方形的周长表示，找出不能的即可． 【详解】解：设正方形的边长为，， 则正方形的边长为， ∴长方形的周长为， ∴的值是确定的， ∴正方形的周长为，可以确定； 正方形的周长为，不可以确定； 长方形的周长为，可以确定； 长方形的周长为，可以确定； 故选：B． 9．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得出长方形的长和宽，进而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为， ∴拼成的长方形的面积是， 故选：． 10．（25-26八年级下·重庆云阳·期末）已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若是单项式，则所有非最高次项系数为，条件简化为， 所有满足条件的单项式为：， 乘积为，故①正确； ②当时，，， 所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式； 时，，，共6个不同整式； 时，，，共4个不同整式； 时，，，共1个不同整式； 总数为，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 11．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式变形，得到含的式子，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 12．（26-27七年级上·天津和平·阶段检测）若，则一定是________数． 【答案】非负 【分析】由绝对值的性质可得，原等式等价于，根据绝对值的定义即可判断的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ 原等式可化为； 当时，，等式成立； 当时，，等式成立； 当时，，等式不成立； ∴ ，即一定是非负数． 13．（26-27七年级上·安徽·期中）若，则___． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 14．（26-27七年级上·湖南·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】4 【详解】∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等， ∴，， ∴， ∴． 15．（26-27七年级上·北京·阶段检测）如果为有理数，则代数式的最小值为_________． 【答案】 【分析】的几何意义是数轴上表示的点到表示的点的距离，将代数式转化为距离和，分区间去绝对值符号后化简，即可求出最小值． 【详解】解：表示数轴上表示的点，分别到表示，，，的点的距离之和，分情况讨论： 1．当时，原式，该式随增大而减小，当时，原式取得最小值． 2．当时，原式，该式随增大而减小，当时，原式取得最小值． 3．当时，原式，此时原式恒等于． 4．当时，原式，该式随增大而增大，此时原式． 5．当时，原式，该式随增大而增大，此时原式． 综上，代数式的最小值为． 16．（26-27七年级上·山西·期中）计算 (1)计算：； (2)计算：； (3)化简：； (4)化简：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各题的结果是否正确? (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确 (2) 不正确 (3) 不正确 (4) 不正确 【分析】根据同类项定义和合并同类项法则，逐一判断各小题结果的正确性． 【详解】（1）解：和不是同类项，不能合并，因此原式结果错误； （2）解：，，因此原式结果错误； （3）解：，，因此原式结果错误； （4）解：和不是同类项，不能合并，因此原式结果错误． 18．（24-25七年级上·吉林四平·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 19．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 【答案】(1)0； (2)； (3)5 【分析】（1）根据数轴上与表示1的点和表示的点距离相等的点所表示的数为0，数轴上与表示2的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可求解； （2）数轴上表示2的点和表示的点的距离是3，故在此范围内x的最小取值是，最大取值是2，即可求解； （3）数轴上表示2的点和表示的点的距离是5，故当时，，再根据在的范围内，即可求解． 【详解】（1）解：，即数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； ，即数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； （2）解：，即表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和为3， 在数轴上表示数x的点在表示数2的点和表示数的点之间（包含端点），即， 能取到的最小值是，最大值是2； （3）解：表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和， ，即当时，取得最小值为5， 表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 当时，取得最小值为0， 在的范围内， 当时，的最小值是5． 20．（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 21．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，化简代数式，最后合并结果． (1)直接根据定义求零点值； (2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论； (3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论． 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $