第01讲 丰富的立体图形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测） 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“生活中的立体图形”核心知识点，从常见几何体特征与分类切入，衔接棱柱顶点棱面数量关系，再到点线面体的构成及关系，构建从具体到抽象的知识支架，帮助学生建立空间观念。 资料通过题型归纳（如平面图形旋转成圆锥的例题）、探究式学习（如欧拉公式探究）培养几何直观与推理意识，课后检测结合复盘笔记助力查漏补缺，既提升课堂教学效率，又强化学生应用意识与创新思维。

简一数理 初中专题讲义 第01讲 生活中的立体图形 （新教材北师大版） 知识点一、常见几何体及其特征 2 知识点二、常见几何体的分类 2 知识点三、棱柱的顶点、棱、面的数量关系 2 知识点四、点、线、面 3 知识点五、点、线、面、体之间的关系 3 【题型1 常见的几何体】 3 【题型2 组合几何体的构成】 5 【题型3 立体图形的分类】 6 【题型4 几何体中的点、棱、面】 8 【题型5 点、线、面、体之间的关系】 10 【题型6 平面图形旋转后所得的立体图形】 11 【探究式学习】 13 【课后检测】 17 【复盘笔记】 27 知识点一、常见几何体及其特征 知识点二、常见几何体的分类 柱体：圆柱体、棱柱{三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、六棱柱……}； 锥体：圆锥； 球体：球． 知识点三、棱柱的顶点、棱、面的数量关系 知识点四、点、线、面 (1)图形是由点、线、面构成的． (2)面与面相交得到线，线与线相交得到点． (3)面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线． 知识点五、点、线、面、体之间的关系 【题型1 常见的几何体】 【例1】将一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体可能是（   ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【答案】C 【分析】本题考查了面动成体的几何变换，解题的关键是理解直角三角形绕不同边旋转后形成的几何体形状． 当直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周时，形成的几何体是圆锥；当绕斜边所在直线旋转一周时，形成的是两个同底圆锥的组合体，据此判断选项． 【详解】解：A、圆柱是由矩形绕其一边旋转而成，此选项不符合题意； B、三棱柱是由平面图形平移形成，不是旋转体，此选项不符合题意； C、直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，可形成圆锥，此选项符合题意； D、三棱锥是由平面图形拼接而成，不是旋转体，此选项不符合题意． 故选：． 【变式1-1】一个棱柱有6个面，所有侧棱长之和为．底面边长都是．则这个棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的表面积，理解侧面展开图是解题的关键．根据这个棱柱的表面积侧面积两个底面积求解即可． 【详解】解：由题意得：该棱柱是四棱柱，底面是边长的正方形， ∴这个棱柱的表面积为：， 故选：D． 【变式1-2】下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据四棱锥、圆柱、四棱柱、圆锥的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是四棱锥，故A不符合题意； B．是圆柱，故B不符合题意； C．是四棱柱，故C不符合题意； D．是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-3】下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 【题型2 组合几何体的构成】 【例2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 【变式2-1】下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 【变式2-2】用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【答案】A 【分析】 本题考查正方体的体积，根据正方体的体积公式解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴可以用8个小正方体拼成棱长2分米的大正方形， 可以用27个小正方体拼成棱长3分米的大正方形， 可以用64个小正方体拼成棱长4分米的大正方形， ∴用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是4立方分米． 故选：A． 【变式2-3】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 【题型3 立体图形的分类】 【例3】下列说法错误的是（　　） A．柱体的上、下两个面形状是一样的 B．圆柱、圆锥的底面都是圆 C．棱柱的侧面不可能是三角形 D．棱柱的棱长都相等 【答案】D 【分析】根据棱柱和圆柱以及圆锥的底面以及棱柱的棱长关系进而得出即可． 【详解】解：A、柱体的上、下两个面形状是一样的，此选项正确，不合题意； B、圆柱、圆锥的底面都是圆，此选项正确，不合题意； C、棱柱的侧面不可能是三角形，此选项正确，不合题意； D、棱柱的棱长不一定都相等，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，熟练掌握各图形的形状及空间特征是解题关键． 【变式3-1】在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体； ②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体； ③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体； ④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体； ⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体． 故选D． 【变式3-2】下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（ ） A．③⑤⑥ B．①②③ C．③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【详解】试题解析：根据立体图形的概念和定义，立体图形是空间图形．因此，在①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱中属于立体图形的是③⑤⑥ 故选A. 【变式3-3】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 【题型4 几何体中的点、棱、面】 【例4】以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 【变式4-1】如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键； 根据面与面相交成线即可求解； 【详解】解：面与面相交成条线；即侧面与上面相交的一条曲的和一条直的线，侧面与下面相交的一条曲的和一条直的线，侧面上的曲面与平面相交成两条直的线，共条线； 故选：B 【变式4-2】关于长方体，下列说法中正确的有（    ） ①任一条棱都与两个面垂直； ②任一个面都与两条棱垂直； ③如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直； ④相交于同一顶点的三条棱两两垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用长方体的特点判断解答． 【详解】解：任一条棱都与两个面垂直，①正确； 任一个面都与四条棱垂直，②错误； 如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直，③正确； 相交于同一顶点的三条棱两两垂直，④正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方体的性质，解题的关键是掌握长方体的性质． 【变式4-3】下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【答案】C 【分析】根据长方体、正方体的特征即可解答． 【详解】解：A.每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点，A选项正确； B.一个长方体可能有2个面是正方形，B选项正确； C.一个长方体有无数条高，C选项错误； D.一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等，D选项正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了长方体、正方体的特征，掌握立体图形的特性是解答本题的关键． 【题型5 点、线、面、体之间的关系】 【例5】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-1】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意； C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意； D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 【变式5-2】下列现象不能体现线动成面的是(　　) A．用平口铲子铲去墙面上的大片污渍 B．用一条拉直的细线切一块豆腐 C．流星划过天空留下运动轨迹 D．用木板的边缘将沙坑里的沙推平 【答案】C 【分析】本题考查了点动成线、线动成面的知识．根据上述知识，对各选项进行分析即可． 【详解】选项A，用平口铲子铲去墙面上的大片污渍，说明“线动成面”； 选项B，用一条拉直的细线切一块豆腐，说明“线动成面”； 选项C，流星划过天空留下运动轨迹说明“点动成线”； 选项D，用木板的边缘将沙坑里的沙推平，说明“线动成面”. 故选C． 【变式5-3】“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 【题型6 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例6】如图，该几何体是由一个平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“面动成体”的原理，能够判断常见平面图形旋转后形成的立体图形是解题的关键． 根据“面动成体”的原理，分析各选项平面图形绕直线 旋转后得到的几何体，与题目中的几何体进行对比，选出正确答案． 【详解】解：选项A的图形绕直线 旋转得到的是一个圆锥， 选项B的图形绕直线 旋转得到的是一个圆锥， 选项C的图形绕直线 旋转得到的是两个底面重合的圆锥组成的几何体，与题目中的几何体一致， 选项D的图形绕直线 旋转得到的是一个球， 故选：C． 【变式6-1】下列几何体中不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点、线、面、体，根据“面动成体”逐项进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A．球体可以看作圆绕着直径所在的直线，旋转一周所形成的几何体，故选项不符合题意； B．可以看作直角梯形绕下底所在的直线，旋转一周所形成的几何体，故选项不符合题意； C．不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到，故选项符合题意； D．可以看作直角梯形绕高所在的直线，旋转一周所形成的几何体，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】绕虚线旋转一周可得到如图所示的图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的形成(面动成体)：平面图形绕轴旋转一周形成立体图形，理解不同平面图形旋转对应的立体图形(如矩形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥)是解题的关键．根据立体图形的形成规律逐一分析即可． 【详解】解：A：梯形绕虚线旋转，得到的是圆台，此选项不符合题意； B：三角形绕虚线旋转，得到的是两个圆锥重叠体，此选项不符合题意； C：图形绕虚线旋转，无法形成规则的圆锥+圆柱组合，此选项不符合题意； D：图形包含“直角三角形(旋转成圆锥)+矩形(旋转成圆柱)”的结构，绕虚线旋转后可得到题目中的组合体，此选项符合题意． 故选：D． 【变式6-3】如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体得到圆锥，然后分情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当以厘米的直角边为轴得到圆锥体，则这个圆锥体的高为厘米， 所以此时这个圆锥体的体积为：（立方厘米）， 当以厘米的直角边为轴得到圆锥体，则这个圆锥体的高为厘米， 所以此时这个圆锥体的体积为：（立方厘米）， 由， 故选：． 【探究式学习】 1．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 2．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； （3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． （4）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 【答案】（1）填表如下；； 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 （2）五； （3）6； （4）正五边形有个，正六边形有个 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）首先填写表格，然后总结规律即可； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可； （4）设黑皮有个，白皮有个，则这个足球的面数为：，根据欧拉公式求解即可． 【详解】（1）解：∴顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱，故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：，故该多面体的面数为6． （4）解：设黑皮有个，白皮有个，则这个足球的面数为：， 棱数为：，顶点数为：， 由欧拉公式可得：， 解得：， 个黑皮与个白皮相邻，个白皮与个黑皮相邻， 白皮个数为（个）， ∴正五边形有个，正六边形有个． 【课后检测】 1．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 2．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 3．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 4．下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 【详解】解：A、有两个大小相同的圆形底面，且互相平行，侧面是曲面，符合圆柱的特征，故此选项符合题意； B、只有一个圆形底面，顶点是一个点，是圆锥，故此选项不符合题意； C、底面是三角形，侧面是三角形是三棱锥，故此选项不符合题意； D、是一个完全由曲面构成的球体，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得到底面直径是，高是的圆柱． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的认识及特征、旋转与旋转现象，根据以长方形的长为轴旋转，得到的圆柱的高和长相等．以长方形的宽为轴旋转，得到的圆柱的高和宽相等．底面半径，视具体情况而定． 【详解】解： A．得到的圆柱，高是，底面半径； B．得到的圆柱，高是，底面直径； C．得到的圆柱，高是，底面半径； D．得到的圆柱，高是，底面直径． 故答案为：B． 6．一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了棱柱的构成，准确分析计算是解题的关键． 直棱柱的棱数公式为（为底面边数），由给定棱数可求出，再根据面数公式计算面数． 【详解】设直棱柱的底面边数为， 直棱柱的棱总数为， ， ， 又直棱柱的面数由两个底面和个侧面组成， 总面数为； 故这个棱柱的面数为7个． 故选． 7．如图①，以所在的直线为轴，旋转后得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形的旋转，根据面动成体的原理，结合题意即可得出答案，理解平面图形的旋转是解题的关键． 【详解】 解：以所在的直线为轴，旋转后得到的立体图形是， 故选：D． 8．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 9．下面（　　）图形旋转就会形成圆锥． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的形成，熟练掌握常见几何体的形成原理是解题的关键． 根据圆锥是由直角三角形绕着一条直角边旋转一周形成的，解答即可． 【详解】解：A．是矩形，旋转会形成圆柱，故不符合题意； B．是直角三角形，绕着一条直角边旋转会形成圆锥，故符合题意； C．是等腰三角形，旋转会形成两个同底的圆锥底面重合的组合体，不是圆锥，故不符合题意． 故选：B． 10．下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键． 根据立体图形的特点逐一识别即可． 【详解】解：A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确； 故选：D． 11．如图为“国礼青花瓷”，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点，线，面，体之间的关系，理解“面动成体”是解题的关键．将平面图形绕虚线旋转一周，再与花瓶相比较即可得出答案． 【详解】解：A、绕虚线旋转一周后，能大致形成这个花瓶形状，则此项符合题意； B、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个花瓶形状，则此项不符合题意； C、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个花瓶形状，则此项不符合题意； D、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个花瓶形状，则此项不符合题意； 故选：A． 12．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 13．下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了柱体和锥体的认识，根据柱体和锥体的定义，逐一判断各说法的正确性 【详解】解：①柱体的两个底面平行且全等，因此一样大，正确； ②圆柱和圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，不一定是四边形，错误； ④长方体是棱柱的一种，属于柱体，正确； ⑤棱柱的侧面在直棱柱中是长方形，但斜棱柱中为平行四边形，因此不一定总是长方形，错误； 综上，正确说法有①②④，共3个． 故答案为：3． 14．如图，直角三角形ABC三边AB、BC、AC分别长4cm、3cm、5cm，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆锥的体积的计算，掌握旋转后的图形为圆锥是解题的关键． 首先分析将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周有两种情况，分开分别求得底面半径与高，即可计算不同情况下圆锥的体积． 【详解】解：将直角三角形绕4cm的直角边旋转，得到底面半径为3cm，高为4cm的圆锥， ∴， ∴； 将直角三角形绕3cm的直角边旋转，得到底面半径为4cm，高为3cm的圆锥， ∴， ∴； 故答案为：或． 15．如图，已知一个长方形的长为，宽为，将这个长方形绕它的长所在直线旋转一周，所得到的几何体的体积是_____．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的形成，圆柱的体积的计算，掌握立体图形的认识是解题的关键．画出以长为旋转轴旋转后的圆柱，再利用圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：， 故答案为：． 16．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 17．如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体为圆锥； （2）以直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的圆锥底面圆半径为，高为，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥； （2）解：由题意得，得到的圆锥底面圆半径为，高为， ， 答：这个几何体的体积为． 18．如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 【答案】(1)圆柱 (2)①6，， ②先增大，后减小 ③ 【分析】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键． （1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； （2）①根据，计算即可； ②列出表格分析数据的变化情况； ③表示出，结合配方法解题即可． 【详解】（1）解：根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：①当时，， 解得， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故答案为：6，，； ②， 表格补全如下： 1 2 3 4 5 可以发现，当逐渐增大时，先增大，后减小； 故答案为：先增大，后减小； ③ 则当时，有最大值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第01讲 生活中的立体图形 （新教材北师大版） 知识点一、常见几何体及其特征 2 知识点二、常见几何体的分类 2 知识点三、棱柱的顶点、棱、面的数量关系 2 知识点四、点、线、面 3 知识点五、点、线、面、体之间的关系 3 【题型1 常见的几何体】 3 【题型2 组合几何体的构成】 4 【题型3 立体图形的分类】 4 【题型4 几何体中的点、棱、面】 5 【题型5 点、线、面、体之间的关系】 6 【题型6 平面图形旋转后所得的立体图形】 6 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 15 知识点一、常见几何体及其特征 知识点二、常见几何体的分类 柱体：圆柱体、棱柱{三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、六棱柱……}； 锥体：圆锥； 球体：球． 知识点三、棱柱的顶点、棱、面的数量关系 知识点四、点、线、面 (1)图形是由点、线、面构成的． (2)面与面相交得到线，线与线相交得到点． (3)面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线． 知识点五、点、线、面、体之间的关系 【题型1 常见的几何体】 【例1】将一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体可能是（   ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【变式1-1】一个棱柱有6个面，所有侧棱长之和为．底面边长都是．则这个棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【题型2 组合几何体的构成】 【例2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【变式2-1】下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【变式2-2】用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【变式2-3】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【题型3 立体图形的分类】 【例3】下列说法错误的是（　　） A．柱体的上、下两个面形状是一样的 B．圆柱、圆锥的底面都是圆 C．棱柱的侧面不可能是三角形 D．棱柱的棱长都相等 【变式3-1】在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【变式3-2】下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（ ） A．③⑤⑥ B．①②③ C．③⑥ D．④⑤ 【变式3-3】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型4 几何体中的点、棱、面】 【例4】以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【变式4-1】如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】关于长方体，下列说法中正确的有（    ） ①任一条棱都与两个面垂直； ②任一个面都与两条棱垂直； ③如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直； ④相交于同一顶点的三条棱两两垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【题型5 点、线、面、体之间的关系】 【例5】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【变式5-1】几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【变式5-2】下列现象不能体现线动成面的是(　　) A．用平口铲子铲去墙面上的大片污渍 B．用一条拉直的细线切一块豆腐 C．流星划过天空留下运动轨迹 D．用木板的边缘将沙坑里的沙推平 【变式5-3】“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【题型6 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例6】如图，该几何体是由一个平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列几何体中不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】绕虚线旋转一周可得到如图所示的图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【探究式学习】 1．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 2．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； （3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． （4）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 【课后检测】 1．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 2．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 3．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 4．下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 5．用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得到底面直径是，高是的圆柱． A． B． C． D． 6．一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．如图①，以所在的直线为轴，旋转后得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 8．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 9．下面（　　）图形旋转就会形成圆锥． A． B． C． 10．下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 11．如图为“国礼青花瓷”，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（　） A． B． C． D． 12．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 13．下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 14．如图，直角三角形ABC三边AB、BC、AC分别长4cm、3cm、5cm，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为_____． 15．如图，已知一个长方形的长为，宽为，将这个长方形绕它的长所在直线旋转一周，所得到的几何体的体积是_____．（计算结果保留） 16．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 17．如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 18．如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $