专题 3.3 探索与表达规律（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“探索与表达规律”核心知识点，系统梳理探索规律的一般步骤（观察、归纳、猜想、验证、应用），并结合日历（横行差1、竖列差7，3×3方框和为9a）、图形（数量变化与拆分法）、数字游戏（设字母表示数）、数列（等差等规律）等具体情境，构建从一般方法到特殊应用的学习支架。 该资料亮点在于分层设计夯实基础与综合提升题型，通过日历、图形等现实情境培养数学眼光，借助设中间数、拆分法等技巧发展数学思维，用代数式表示规律强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺，提升观察、归纳和推理能力。

专题 3.3 探索与表达规律（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 学习目标 1 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】探索规律的一般步骤 2 【知识点二】日历中的规律 2 【知识点三】图形中的规律 3 【知识点四】数字游戏与数论中的规律 3 三.题型精析(夯实基础) 4 【题型 1】日历中的规律 4 【题型 2】图形中的规律 6 【题型 3】数字游戏中的规律 7 【题型 4】数列中的规律 7 四.题型精析(综合提升) 8 【题型 5】日历规律的综合应用 8 【题型 6】图形规律的综合应用 10 【题型 7】数论规律的探究与验证 11 【题型 8】规律的探究与创新 12 五.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程； 2. 能用代数式表示简单问题中的数量关系和变化规律； 3. 能运用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律； 4. 掌握探索规律的一般方法，提高观察、分析、归纳和推理能力； 5. 能运用规律解决实际问题，体会数学建模的思想。 重难点 【重点】1. 探索实际问题中蕴含的数量关系和变化规律；2. 用代数式表示规律并验证规律。 【难点】1. 从具体问题中抽象出一般规律；2. 用代数式准确表示规律并进行验证。 二.知识梳理与解读 【知识点一】探索规律的一般步骤 1. 观察：观察具体问题中的数量关系和变化特征，列出前几个特殊情况的结果。 2. 归纳：对观察到的结果进行分析，找出其中的变化规律和数量关系。 3. 猜想：用含字母（通常是n）的代数式表示所发现的规律。 4. 验证：将特殊值代入代数式，验证所猜想的规律是否正确。 5. 应用：运用所发现的规律解决相关问题。 【要点提示】 （1）探索规律的核心是"从特殊到一般"：先观察前几个特殊情况，再归纳出一般规律，最后用代数式表示； （2）验证规律是必不可少的步骤，可代入n=1,2,3等特殊值检验； 【知识点二】日历中的规律 1. 日历中数的排列规律 （1）横行：相邻两数相差1，右边的数比左边的数大1； （2）竖列：相邻两数相差7，下面的数比上面的数大7； （3）对角线：从左上到右下，相邻两数相差8；从右上到左下，相邻两数相差6。 2. 3×3方框中的规律 在日历中，用一个3×3的方框框出9个数： （1）9个数之和等于正中间数的9倍； （2）横排3个数之和等于中间数的3倍； （3）竖列3个数之和等于中间数的3倍； （4）对角线上3个数之和相等，都等于中间数的3倍。 设正中间的数为a，则9个数分别为：，9个数之和为9a。 【要点提示】 （1）日历规律的关键是“设中间数”：设正中间的数为a，根据横行差1、竖列差7表示出其余各数； （2）3×3方框中9个数之和一定是9的倍数（9a），若和不是9的倍数则不可能； （3）判断框出的数是否合理：所有数必须在1到当月天数之间，且不能跨月； （4）十字形框5个数之和为5a，H形框等其他形状也可用类似方法探究。 【知识点三】图形中的规律 1. 图形规律的类型 （1）图形个数的变化规律：如用小棒拼正方形、用棋子摆图形等； （2）图形面积或周长的变化规律； （3）图形排列方式的变化规律。 2. 探索图形规律的方法 （1）数出前几个图形中相关元素的数量； （2）分析数量随图形序号变化的关系； （3）用含n的代数式表示第n个图形中相关元素的数量； （4）验证规律的正确性。 【要点提示】 （1）图形规律题要“数准前几个”：仔细数出第1、2、3个图形中相关元素的数量，这是找规律的基础； （2）复杂图形可“拆分法”：将图形拆分为几个部分，分别找规律后合并； （3）注意区分“第n个图形”与“前n个图形总数”的不同问法。 【知识点四】数字游戏与数论中的规律 1. 数字游戏中的规律 通过设未知数（如设两位数的十位数字为a，个位数字为b），用代数式表示运算过程，化简后发现规律。 2. 数论中的规律 （1）能被3整除的数的特征：各数位上的数字之和能被3整除； （2）能被2整除的数的特征：个位数字是偶数； （3）能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 3. 探索数论规律的方法 用代数式表示数（如三位数表示为100a+10b+c），通过代数运算验证规律。 【要点提示】 （1）数字游戏题的关键是“设字母表示数”：两位数设为10a+b，三位数设为100a+10b+c，按规则列式化简； （2）化简后观察结果与原数的关系：常见规律有“结果=原数+常数”、“结果=原数常数”等； （3）被3、9整除的规律：各数位数字之和能被3（或9）整除；被2整除看个位奇偶；被5整除看个位是0或5； （4）验证数论规律用“拆项法”：将100a+10b+c拆为99a+9b+(a+b+c)，99a和9b一定能被3或9整除。 三.题型精析(夯实基础) 【题型 1】日历中的规律 【解题技巧】日历规律“设中间”：设3×3方框正中间的数为a，根据日历中数的排列规律（横行差1，竖列差7），表示出其余8个数，再求和化简。9个数之和一定是9的倍数（即9a），这是判断和是否合理的重要依据。 【例题1】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是2022年11月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ （2）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）小明在某月的日历上圈出相邻的三个数，算出这三个数的和是78，则这三个数的排列方式一定不可能是 A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东东莞·期末）中国始有历法大约在四千年前每页显示一日信息的叫日历，每页显示一个月信息的叫月历，每页显示全年信息的叫年历如图是2019年1月份的月历，用一个方框圈出任意的4个数，设方框左上角第一个数是，则这四个数的和为______（用含的式子表示）     【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． （1）用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； （2）移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； （3）在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 【题型 2】图形中的规律 【解题技巧】图形规律“三步走”：①观察——列出前几个图形中相关元素的数量；②归纳——分析数量随序号n变化的关系（常见：等差规律an+b，等比规律，平方规律等）；③验证——代入特殊值验证规律。本题是等差规律，每增加1个正方形增加3根小棒，所以通项为3n+1。 【例题2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第3个图中共有______根火柴；第4个图中共有______根火柴；第6个图中共有______根火柴； （2）第n个图形中共有______根火柴；（用含n的式子表示） （3）第2025个图形中共有多少根火柴？ 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·期末）如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑨中火柴棒的根数是（　　） A．38 B．44 C．50 D．56 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为_______（结果用含n的式子表示）． 【变式3】（24-25七年级上·河南安阳·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第3个图中共有________根火柴；第4个图中共有________根火柴：第6个图中共有________根火柴； （2）第n个图形中共有________根火柴；（用含n的式子表示） （3）第2021个图形中共有多少根火柴？ 【题型 3】数字游戏中的规律 【解题技巧】数字游戏“设字母”：设两位数的十位数字为a，个位数字为b（两位数表示为10a+b），按照游戏规则用代数式表示运算过程，去括号、合并同类项化简，观察化简结果与原数的关系。常见规律：结果=原数+常数，或结果=原数×常数等。 【例题3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：小华是一个勤奋好学的学生，常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②，计算过程：68两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果748 （1）计算： ①__________， ②_____________； （2）若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是_______，十位数字是________，个位数字是_______；（用含a、b的式子表示） 【变式1】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知的末尾数字为2，的末尾数字为4，的末尾数字为8，……，则的末尾数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）一个两位数，十位数字大于个位数字，个位数字与十位数字之和是，则这样的两位数共_______个． 【变式3】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． （1）填空：、的“友好数”分别是___________； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【题型 4】数列中的规律 【解题技巧】数列规律"看序号"：将每个数与它的序号n对应起来，分析数与n的关系。常见规律：①等差规律（如2n-1）；②等比规律（如2ⁿ）；③平方规律（如n²）；④立方规律（如n³）；⑤混合规律（如n²+n）。本题是平方规律，第n个数为n²。 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一组数：，…． （1）你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排列规律． （2）根据（1）中的规律，用代数式表示第n个数． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）观察数列：，，，，…，第 n 个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东枣庄·三模）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2023个数的和为__． 【变式3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）观察下面的一组等式完成练习： ； ； ；…… （1）按照以上规律，请写出第n个等式：______ （2）计算： 四.题型精析(综合提升) 【题型 5】日历规律的综合应用 【解题技巧】十字形规律“同样设中间”：设正中间的数为a，十字形5个数分别为a-7（上）、a-1（左）、a（中）、a+1（右）、a+7（下），和为5a。判断和是否合理：①a必须是正整数；②5个数都必须在日历中存在（即a-71，a+7当月天数，a-1和a+1不能跨月）。 【例题5】（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． （1）若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； （2）请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示： a 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（  ） A．15 B．33 C．47 D．84 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）2026年1月的日历如图所示，已知某镇的集市每5天举办一次，从2026年1月3日开始第一次集市，第二次集市时间为2026年1月8日…以此类推，则2026年的最后一次集市是星期______． 【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． （1）若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； （2）请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【题型 6】图形规律的综合应用 【解题技巧】图形规律综合题“拆分法”：对于复杂图形，可以将其拆分为几个部分，分别找出各部分的规律，再合并。本题中“小房子”可拆分为“屋顶”和“房身”两部分，分别找规律后合并。 【例题6】（24-25七年级上·广东东莞·期中）【观察思考】第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）请直接写出第个图形有___________个小三角形； （2）第1个图形中共有交点（个）； 第2个图形中共有交点（个）； 第3个图形中共有交点（个）； 第4个图形中共有交点（个）； 按此规律，第个图形中共有交点___________个； （3）请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有长度为的线段多少条． 【变式1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（） A．19 B．22 C．25 D．28 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，用半径相同的小球和木棍按如图所示的方式摆出一组图形．第①个图形中有4个小球，第②个图形中有6个小球，第③个图形中有8个小球⋯按此规律，第⑩个图形中小球的个数为______． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，第1个图形由3个三角形和4个正方形卡片拼接而成，第2个图形由5个三角形和7个正方形卡片拼接而成，若按照这样的规律依次拼接下去． （1）第4个图形所需三角形和正方形卡片各多少个？ （2）第n个图形所需三角形和正方形卡片各多少个（用含n的代数式表示）？ （3）第n个图形所需卡片总数共多少个（用含n的代数式表示）？ （4）第100个图形所需卡片总数共多少个？ 【题型 7】数字规律的探究与验证 【解题技巧】数论规律"代数变形"：用代数式表示数（三位数100a+10b+c），通过拆项、分组等代数变形，将其表示为含有各数位数字之和的形式（如9(11a+b)+(a+b+c)），其中9的倍数部分一定能被3整除，从而验证规律。这种方法也适用于被2、5、9等整除的规律探究。 【例题7】（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如果一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们可以把这样的自然数叫做“对称数”．例如：自然数51215从最高位到个位排出的一串数字是：5，1，2，1，5，从个位到最高排出的一串数字也是：5，1，2，1，5，所以51215是“对称数”．再如：22，373，494，6226，…都是“对称数”． （1）请你直接写出3个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”能否被11整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“对称数”，设个位上的数字为（，为自然数），十位上的数字为，求与之间的数量关系． 【变式1】（2.1整式（培优三阶练）-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））（阅读理解）计算： 观察算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一． （拓展应用）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11，计算结果中十位上的数字可表示为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期末）任取一个三位数，把这个三位数的百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字，对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作，得到下一个数的十位数字和个位数字，完成第1次操作；然后重复这个过程．如：以126作为原始数，第一次操作后得到的数为243．若以470作为原始数，则第99次操作后得到的数是_________． 【变式3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）用数学的眼光观察： 甲、乙两位同学用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字先乘5，再加7，再乘2，再加上卡片B的数字，把最后得到的数告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信”… 用数学的思维思考： （1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为3，卡片B上的数字为6，他最后得到的数M为_____． （2）若乙同学最后得到的数M为76，则卡片A上的数字为_____，卡片B上的数字为_____． 用数学的语言表达： （3）请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到乙抽出的是哪两张卡片的． 【题型 8】规律的探究与创新 【解题技巧】规律探究创新题“观察—猜想—验证”：①观察——仔细观察等式左右两边各部分与序号n的关系（左边第一个因数是n，第二个因数是n+2，加1；右边是(n+1)²）；②猜想——用含n的代数式表示第n个等式；③验证——利用整式运算（去括号、合并同类项、乘法公式等）证明等式左右两边相等。这种“猜想—证明”的方法是数学探究的重要方法。 【例题8】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知下列等式：①；②；③，… （1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； （2）请你找出规律，写出第n个式子 ． （3）利用（2）中发现的规律计算：． 【变式1】（25-26六年级下·山东济南·期末）杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下： 我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第行、第行、第行……，把每行的数从左到右依次记为第个数、第个数……．下列说法： ①第行中间的数是； ②第行所有数的和比第行多； ③第行所有数的和为； ④第行第个数与第行第个数相等． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知，，，，那么________________________． 【变式3】（2026·安徽芜湖·三模）【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． （1）任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． （2）任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． （3）任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个六边形，第②个图中有7个六边形，第③个图中有10个六边形，第④个图中有13个六边形……按照这一规律，则第⑥个图中六边形的个数是（     ） A．22 B．20 C．19 D．16 4．（2026·重庆·模拟预测）晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“o”代表窗纸上所贴的剪纸，则第100个图中所贴剪纸“o”的个数为（     ） A．304 B．303 C．302 D．301 5．（2026·重庆·一模）按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 6．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图）．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律．例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1．根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．16 9．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·宁夏·中考真题）观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 12．（2026·广东佛山·二模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为__________． 13．（2025七年级上·湖南张家界·竞赛）按规律填数：，，，，________，． 14．（2026·陕西渭南·二模）在一次模拟编程设计中，用大小相同的无人机摆成图形（如图），第1个图形中，有1架无人机，第2个图形中，有3架无人机，第3个图形中，有5架无人机，第4个图形中，有7架无人机，，依此规律，第6个图形中无人机有_________架． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是（ ）． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是（ ）． 16．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 17．（2025·山东枣庄·模拟预测）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 18．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）漏窗是中国传统园林建筑的一种装饰性的透空窗．下图是一款漏窗的示意图，照此规律，则图n中涂色方格有__________个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第4个等式：_______； （2）写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ； （1）用代数式表示的结果为_______________； （2）若，则___________（填“”或“”）； （3）若的值与x无关，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． （1）第5个图案需要________根小棒； （2）第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） （3）按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： （1）第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： （1）当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； （2）当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； （3）同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 （4）创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 24．（本小题满分12分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． （1）初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； （2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； （3）拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 探索与表达规律（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 学习目标 1 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】探索规律的一般步骤 2 【知识点二】日历中的规律 2 【知识点三】图形中的规律 3 【知识点四】数字游戏与数论中的规律 3 三.题型精析(夯实基础) 4 【题型 1】日历中的规律 4 【题型 2】图形中的规律 7 【题型 3】数字游戏中的规律 10 【题型 4】数列中的规律 12 四.题型精析(综合提升) 15 【题型 5】日历规律的综合应用 15 【题型 6】图形规律的综合应用 18 【题型 7】数论规律的探究与验证 22 【题型 8】规律的探究与创新 25 五.同步检测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程； 2. 能用代数式表示简单问题中的数量关系和变化规律； 3. 能运用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律； 4. 掌握探索规律的一般方法，提高观察、分析、归纳和推理能力； 5. 能运用规律解决实际问题，体会数学建模的思想。 重难点 【重点】1. 探索实际问题中蕴含的数量关系和变化规律；2. 用代数式表示规律并验证规律。 【难点】1. 从具体问题中抽象出一般规律；2. 用代数式准确表示规律并进行验证。 二.知识梳理与解读 【知识点一】探索规律的一般步骤 1. 观察：观察具体问题中的数量关系和变化特征，列出前几个特殊情况的结果。 2. 归纳：对观察到的结果进行分析，找出其中的变化规律和数量关系。 3. 猜想：用含字母（通常是n）的代数式表示所发现的规律。 4. 验证：将特殊值代入代数式，验证所猜想的规律是否正确。 5. 应用：运用所发现的规律解决相关问题。 【要点提示】 （1）探索规律的核心是"从特殊到一般"：先观察前几个特殊情况，再归纳出一般规律，最后用代数式表示； （2）验证规律是必不可少的步骤，可代入n=1,2,3等特殊值检验； 【知识点二】日历中的规律 1. 日历中数的排列规律 （1）横行：相邻两数相差1，右边的数比左边的数大1； （2）竖列：相邻两数相差7，下面的数比上面的数大7； （3）对角线：从左上到右下，相邻两数相差8；从右上到左下，相邻两数相差6。 2. 3×3方框中的规律 在日历中，用一个3×3的方框框出9个数： （1）9个数之和等于正中间数的9倍； （2）横排3个数之和等于中间数的3倍； （3）竖列3个数之和等于中间数的3倍； （4）对角线上3个数之和相等，都等于中间数的3倍。 设正中间的数为a，则9个数分别为：，9个数之和为9a。 【要点提示】 （1）日历规律的关键是“设中间数”：设正中间的数为a，根据横行差1、竖列差7表示出其余各数； （2）3×3方框中9个数之和一定是9的倍数（9a），若和不是9的倍数则不可能； （3）判断框出的数是否合理：所有数必须在1到当月天数之间，且不能跨月； （4）十字形框5个数之和为5a，H形框等其他形状也可用类似方法探究。 【知识点三】图形中的规律 1. 图形规律的类型 （1）图形个数的变化规律：如用小棒拼正方形、用棋子摆图形等； （2）图形面积或周长的变化规律； （3）图形排列方式的变化规律。 2. 探索图形规律的方法 （1）数出前几个图形中相关元素的数量； （2）分析数量随图形序号变化的关系； （3）用含n的代数式表示第n个图形中相关元素的数量； （4）验证规律的正确性。 【要点提示】 （1）图形规律题要“数准前几个”：仔细数出第1、2、3个图形中相关元素的数量，这是找规律的基础； （2）复杂图形可“拆分法”：将图形拆分为几个部分，分别找规律后合并； （3）注意区分“第n个图形”与“前n个图形总数”的不同问法。 【知识点四】数字游戏与数论中的规律 1. 数字游戏中的规律 通过设未知数（如设两位数的十位数字为a，个位数字为b），用代数式表示运算过程，化简后发现规律。 2. 数论中的规律 （1）能被3整除的数的特征：各数位上的数字之和能被3整除； （2）能被2整除的数的特征：个位数字是偶数； （3）能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 3. 探索数论规律的方法 用代数式表示数（如三位数表示为100a+10b+c），通过代数运算验证规律。 【要点提示】 （1）数字游戏题的关键是“设字母表示数”：两位数设为10a+b，三位数设为100a+10b+c，按规则列式化简； （2）化简后观察结果与原数的关系：常见规律有“结果=原数+常数”、“结果=原数常数”等； （3）被3、9整除的规律：各数位数字之和能被3（或9）整除；被2整除看个位奇偶；被5整除看个位是0或5； （4）验证数论规律用“拆项法”：将100a+10b+c拆为99a+9b+(a+b+c)，99a和9b一定能被3或9整除。 三.题型精析(夯实基础) 【题型 1】日历中的规律 【解题技巧】日历规律“设中间”：设3×3方框正中间的数为a，根据日历中数的排列规律（横行差1，竖列差7），表示出其余8个数，再求和化简。9个数之和一定是9的倍数（即9a），这是判断和是否合理的重要依据。 【例题1】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是2022年11月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ （2）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】（1）方框中9个数之和为方框正中心的9倍；（2）解：不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变． 设阴影方框正中心的数为x， 则9个数之和为： ， ∵， ∴恒成立， 答：移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍． 【分析】（1）方框内数字的和为99，恰好是中间数字11的9倍； （2）设中间的数为，则方框中所有的数字表示出来，相加得到． （1）解：9个数之和为：， ， 答：方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）略 【点拨】此题考查了整式规律题，解题的关键是找出整式的规律． 【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）小明在某月的日历上圈出相邻的三个数，算出这三个数的和是78，则这三个数的排列方式一定不可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求平均数，解题的关键是掌握日历上数字排列规律． 求出这三个数的平均数，在根据日历上数字是排列规律即可解答． 解：∵， ∴圈出的三个数的平均数为26， ∴这三个数不可能是纵向排列的， 故选B 【变式2】（25-26七年级上·广东东莞·期末）中国始有历法大约在四千年前每页显示一日信息的叫日历，每页显示一个月信息的叫月历，每页显示全年信息的叫年历如图是2019年1月份的月历，用一个方框圈出任意的4个数，设方框左上角第一个数是，则这四个数的和为______（用含的式子表示）     【答案】 【分析】首先根据题意分别列出四个数的关系，然后即可求得其和. 解：由题意，得 故答案为. 【点拨】此题主要考查整式的加减，解题关键理解题意找出这四个数的关系式. 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． （1）用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； （2）移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； （3）在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 【答案】（1）80；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了日历中的规律和有理数的运算，解决此题的关键是发现日历中的规律； （1）根据日历中日期代表数的规律可知，以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，进而得到答案即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）由（2）中的公式算出答案即可： （1）解：， 故答案为：80； （2）解：由（1）中计算过程可发现：以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，； 故答案为：； （3）解：设位于“”形阴影最中间的一个数为，由（2）知， ， ． 所以这五个数字中最中间的数为12． 【题型 2】图形中的规律 【解题技巧】图形规律“三步走”：①观察——列出前几个图形中相关元素的数量；②归纳——分析数量随序号n变化的关系（常见：等差规律an+b，等比规律，平方规律等）；③验证——代入特殊值验证规律。本题是等差规律，每增加1个正方形增加3根小棒，所以通项为3n+1。 【例题2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第3个图中共有______根火柴；第4个图中共有______根火柴；第6个图中共有______根火柴； （2）第n个图形中共有______根火柴；（用含n的式子表示） （3）第2025个图形中共有多少根火柴？ 【答案】（1）10；13；19；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，代数式求值，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多3根火柴（相邻两个图形），据此规律求解即可； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据（2）所求代值计算即可． （1）解：由题意得，第3个图中共有10根火柴，第4个图中共有13根火柴， ∵第1个图中共有根火柴， 第2个图中共有根火柴， 第3个图中共有根火柴， 第4个图中共有根火柴， ……， ∴以此类推，可知，第n个图形中共有根火柴， ∴第6个图中共有根火柴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得第n个图形中共有根火柴， 故答案为：； （3）解：根， ∴第2025个图形中共有根火柴． 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·期末）如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑨中火柴棒的根数是（　　） A．38 B．44 C．50 D．56 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律．根据所给图形，依次求出图形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 图①中火柴棒的根数为：； 图②中火柴棒的根数为：； 图③中火柴棒的根数为：； …， 所以图n中火柴棒的根数为个， 当时， （根）， 即图⑨中火柴棒的根数为56根． 故选：D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为_______（结果用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律的探究．先本每个图形的火柴棒的数量研究其规律，再总结出第n个图案用根火柴棒，即可作答． 解：∵第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒…… ∴第1个图案：， 第2个图案， 第3个图案， …… ∴第n个图案用根火柴棒． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·河南安阳·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第3个图中共有________根火柴；第4个图中共有________根火柴：第6个图中共有________根火柴； （2）第n个图形中共有________根火柴；（用含n的式子表示） （3）第2021个图形中共有多少根火柴？ 【答案】（1）10；13；19；（2）；（3）共有6064根火柴 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解； （2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可； （3）将代入（2）中代数式求解即可． （1）解：第1个图中，火柴的根数是； 第2个图中，火柴的根数是； 第3个图中，火柴的根数是； …… ∴第6个图中，火柴的根数是； 即第6个图中共有19根火柴； 故答案为：10；13；19； （2）解：由（1）可得第n个图形中火柴有根， 故答案为：； （3）解：当时，， 所以第2021个图形中共有6064根火柴 【题型 3】数字游戏中的规律 【解题技巧】数字游戏“设字母”：设两位数的十位数字为a，个位数字为b（两位数表示为10a+b），按照游戏规则用代数式表示运算过程，去括号、合并同类项化简，观察化简结果与原数的关系。常见规律：结果=原数+常数，或结果=原数×常数等。 【例题3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：小华是一个勤奋好学的学生，常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②，计算过程：68两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果748 （1）计算： ①__________， ②_____________； （2）若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是_______，十位数字是________，个位数字是_______；（用含a、b的式子表示） 【答案】（1）①；②；（2）a，，b； 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据口诀：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，即可求解； （2）由（1）中两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘，得到一个三位数即可得到结果． （1）解：①，计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果； ②，计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果； 故答案为：①；②； （2）解：某个两位数十位数字是a，个位数字是b（）， 则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b； 故答案为：a，，b． 【变式1】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知的末尾数字为2，的末尾数字为4，的末尾数字为8，……，则的末尾数字为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，得到的末尾数字以2，4，8，6四个一组进行循环，进一步求出的末尾数字即可． 解：∵， ∴的末尾数字以2，4，8，6四个一组进行循环， ∵， ∴的末尾数字为6； 故选C． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）一个两位数，十位数字大于个位数字，个位数字与十位数字之和是，则这样的两位数共_______个． 【答案】4/四 【分析】根据“十位数字大于个位数字，个位数字与十位数字之和是”列举出所有情况即可． 解：由题意可得，存在如下4种情况： 当个位数字为2时，十位数字为，此时两位数为，符合题意， 当个位数字为3时，十位数字为，此时两位数为，符合题意， 当个位数字为4时，十位数字为，此时两位数为，符合题意， 当个位数字为5时，十位数字为，此时两位数为，符合题意， 即符合题意的两位数共4个， 故答案为：4． 【点拨】此题考查了数字问题，读懂题意，列出所有情况是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． （1）填空：、的“友好数”分别是___________； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【答案】（1），；（2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数为：， 它的“友好数”为：， 这两个数的和为：， 因为，为正整数， 所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【分析】本题考查了合并同类项、理解“友好数”的定义，按照定义分析是解题的关键。 （1）由“友好数”的定义可得答案； （2）由题意得这个两位数是，它“友好数”是，计算两个数的和，即可得证． （1）解：由“友好数”的定义可得，、的“友好数”分别是：，， 故答案为：，； （2）略 【题型 4】数列中的规律 【解题技巧】数列规律"看序号"：将每个数与它的序号n对应起来，分析数与n的关系。常见规律：①等差规律（如2n-1）；②等比规律（如2ⁿ）；③平方规律（如n²）；④立方规律（如n³）；⑤混合规律（如n²+n）。本题是平方规律，第n个数为n²。 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一组数：，…． （1）你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排列规律． （2）根据（1）中的规律，用代数式表示第n个数． 【答案】（1）每个数都是序号的5倍；（2） 【分析】本题考查了数字的变化规律、列代数式，解决本题的关键是找出数字变化的规律． （1）根据数字的变化规律即可求解． （2）根据数字的变化规律即可写出代数式． （1）解：∵…． 由此可得到：每个数都是序号的5倍； （2）解：由（1）得第n个数为：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）观察数列：，，，，…，第 n 个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，通过观察数列中每个数的分子和分母与序号n的关系，发现分子为n，分母为，从而得出第个数是，即可作答． 解：依题意，当时，数为； 当时，数为； 当时，数为； 当时，数为； …… 以此类推，得第n个数的分子为n，分母为，即， 故选：A． 【变式2】（2025·山东枣庄·三模）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2023个数的和为__． 【答案】 【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2023个数的和为，再用裂项求和计算可得． 解：由数列知：第n个数为， 则前2023个数的和为 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n个数为是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）观察下面的一组等式完成练习： ； ； ；…… （1）按照以上规律，请写出第n个等式：______ （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律第n个等式为是解题的关键． （1）根据题意可得两个相邻正整数的倒数之差（大数减小数）等于这两个正整数的倒数之积，据此可得答案； （2）根据（1）的规律通过对所求式子裂项化简求解即可． （1）解：； ； ； ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）解： ． 四.题型精析(综合提升) 【题型 5】日历规律的综合应用 【解题技巧】十字形规律“同样设中间”：设正中间的数为a，十字形5个数分别为a-7（上）、a-1（左）、a（中）、a+1（右）、a+7（下），和为5a。判断和是否合理：①a必须是正整数；②5个数都必须在日历中存在（即a-71，a+7当月天数，a-1和a+1不能跨月）。 【例题5】（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． （1）若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； （2）请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示： a （2）是3的倍数；（3）不可能，根据（1）中“阶梯框”中的数字规律可得，时，，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式的加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时，，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 解：（1）略 （2）解：， 所以日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）略 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（  ） A．15 B．33 C．47 D．84 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式加减的应用和有理数的计算，正确理解图表，得到日历纵列上圈出相邻的三个数的和一定是3的倍数以及它的取值范围是关键． 日历纵列上圈出的三个相邻数，设中间数为，则上、下数分别为和，它们的和为，因此和必须是的倍数，且由于日期范围限制，和应在到之间．据此判断选项． 解：∵日历纵列上三个相邻数，设中间数为，则上数为，下数为， ∴三数之和为，故和必为的倍数． 又∵且， ∴且， ∴且． 选项A．，不符合； 选项B．33在24到72之间且是3的倍数，符合． 选项C．不是3的倍数，不符合； 选项D．，不符合； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）2026年1月的日历如图所示，已知某镇的集市每5天举办一次，从2026年1月3日开始第一次集市，第二次集市时间为2026年1月8日…以此类推，则2026年的最后一次集市是星期______． 【答案】二 【分析】根据题意可求出除2026年1月3日的这次集市外，还要举办72次集市，那么可求出最后一次举办集市与第一次举办集市的间隔时间，再根据一周有七天列式求解即可． 解：∵2026年是平年， ∴2026年全年一共365天， ∵， ∴除2026年1月3日的这次集市外，还要举办72次集市， ∵，且2026年1月3日是星期六， ∴2026年的最后一次集市是星期二． 【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． （1）若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； （2）请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示： a （2）是3的倍数；（3）不可能，理由： 根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 解：（1）略 （2）解： 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）略 【题型 6】图形规律的综合应用 【解题技巧】图形规律综合题“拆分法”：对于复杂图形，可以将其拆分为几个部分，分别找出各部分的规律，再合并。本题中“小房子”可拆分为“屋顶”和“房身”两部分，分别找规律后合并。 【例题6】（24-25七年级上·广东东莞·期中）【观察思考】第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）请直接写出第个图形有___________个小三角形； （2）第1个图形中共有交点（个）； 第2个图形中共有交点（个）； 第3个图形中共有交点（个）； 第4个图形中共有交点（个）； 按此规律，第个图形中共有交点___________个； （3）请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有长度为的线段多少条． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解题关键． （1）根据题意可得第个图形有个小三角形，即可得到答案； （2）根据图形交点个数，发现第个图形中共有交点个数，得出数字规律，即可得到答案； （3）根据图形中线段条数，发现第个图形中共有线段条数，得出数字规律，即可得到答案． （1）解：由题意可知，第1个图形是个三条长度都为的线段构成的小三角形； 第2个图形是个边长都为的小三角形拼成的大三角形； 第3个图形是个边长都为的小三角形拼成的大三角形； 第4个图形是个边长都为的小三角形拼成的大三角形； …… 观察发现，第个图形有个小三角形， 故答案为：； （2）解：第1个图形中共有交点（个）； 第2个图形中共有交点（个）； 第3个图形中共有交点（个）； 第4个图形中共有交点（个）； 按此规律，第个图形中共有交点个； 故答案为：； （3）解：第1个图形中共有长度为的线段（条）； 第2个图形中共有长度为的线段（条）； 第3个图形中共有长度为的线段（条）； 第4个图形中共有长度为的线段（条）； 按此规律，第个图形中共有长度为的线段（条）； 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 解：∵第①个图形中圆的个数为：， 第②个图形中圆的个数为：， 第③个图形中圆的个数为：， ， 第个图形中圆的个数为：， 第⑦个图形中圆的个数为：． 故选：B． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，用半径相同的小球和木棍按如图所示的方式摆出一组图形．第①个图形中有4个小球，第②个图形中有6个小球，第③个图形中有8个小球⋯按此规律，第⑩个图形中小球的个数为______． 【答案】22 【分析】根据图形总结出第个图形有个小球，然后代入求解即可． 解：第1个图形有个小球； 第2个图形有个小球； 第3个图形有个小球； ……， ∴第个图形有个小球， ∴第10个图形的小球个数是：（个）． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，第1个图形由3个三角形和4个正方形卡片拼接而成，第2个图形由5个三角形和7个正方形卡片拼接而成，若按照这样的规律依次拼接下去． （1）第4个图形所需三角形和正方形卡片各多少个？ （2）第n个图形所需三角形和正方形卡片各多少个（用含n的代数式表示）？ （3）第n个图形所需卡片总数共多少个（用含n的代数式表示）？ （4）第100个图形所需卡片总数共多少个？ 【答案】（1）9个；13个；（2）；；（3）个；（4）502个 【分析】本题考查图形类规律探究，整式的加减运算： （1）观察图形可知：后一个图形中的三角形的个数比前一个图形多2个，后一个图形中的正方形的个数比前一个图形多3个，进行求解即可； （2）根据（1）中发现的规律，列出代数式即可； （3）将（2）中的两个代数式相加即可； （4）把代入（3）中的代数式计算即可． （1）解：∵第1个图形由3个三角形和4个正方形卡片拼接而成，第2个图形由5个三角形和7个正方形卡片拼接而成，第3个图形由7个三角形和10个正方形卡片拼接而成， 则：第4个图形三角形卡片为9个，正方形卡片为13个； （2）由（1）可知：第n个图形所需三角形卡片个数为： 第n个图形所需正方形卡片个数为：； （3）第n个图形所需卡片总数共：（个）； （4）第100个图形所需卡片总数共：（个）． 答：第100个图形所需卡片总数共502个． 【题型 7】数字规律的探究与验证 【解题技巧】数论规律"代数变形"：用代数式表示数（三位数100a+10b+c），通过拆项、分组等代数变形，将其表示为含有各数位数字之和的形式（如9(11a+b)+(a+b+c)），其中9的倍数部分一定能被3整除，从而验证规律。这种方法也适用于被2、5、9等整除的规律探究。 【例题7】（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如果一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们可以把这样的自然数叫做“对称数”．例如：自然数51215从最高位到个位排出的一串数字是：5，1，2，1，5，从个位到最高排出的一串数字也是：5，1，2，1，5，所以51215是“对称数”．再如：22，373，494，6226，…都是“对称数”． （1）请你直接写出3个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”能否被11整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“对称数”，设个位上的数字为（，为自然数），十位上的数字为，求与之间的数量关系． 【答案】（1）解：写出3个满足条件的数即可．（千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同），如：． 任意一个四位“对称数”能被11整除，理由如下： 设四位“对称数”个位上的数字为（且为自然数），十位上的数字为（且为自然数），则四位“对称数”可表示为， ∵， ∴能被11整除， 即任意一个四位“对称数”能被11整除． （2） 【分析】本题考查了对称数的定义理解、数的整除性分析以及代数式的推导，解题关键是根据对称数的数位特征表示出数的代数式，再结合整除的性质进行分析推导． （1）写四位“对称数”：构造形如的数，如． 判断能否被整除：设四位“对称数”为，化简为，因含因数，故能被整除． （2）表示三位“对称数”：形如，即， 分析整除性：将变形为，因能被整除，故即可． 解：（1）略 （2）解：∵这个三位“对称数”的个位上的数字为x，十位上的数字为y， ∴可表示为：， ∵这个三位“对称数”能被整除，且x、y是自然数， ∴能被整除． ∵， ∴． ∴y与x的函数关系式为． 【变式1】（2.1整式（培优三阶练）-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））（阅读理解）计算： 观察算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一． （拓展应用）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11，计算结果中十位上的数字可表示为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，这个两位数可以表示为10a＋b，然后依据速算方法求解即可． 解：∵一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b， ∴这个两位数可以表示为：10a＋b， ∴当a+b< 10时，（10a＋b）×11＝100a＋10（a＋b）＋b， 当a+b≥10时，（10a＋b）×11＝100（a＋1）＋10（a＋b－10）＋b． 故选：D. 【点拨】本题考查探索规律，解答本题的关键是明确题意，根据规律求解． 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期末）任取一个三位数，把这个三位数的百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字，对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作，得到下一个数的十位数字和个位数字，完成第1次操作；然后重复这个过程．如：以126作为原始数，第一次操作后得到的数为243．若以470作为原始数，则第99次操作后得到的数是_________． 【答案】 【分析】本题以新定义为背景，考查了学生对规律型的数字变化，按照定义将第一次、操作后得到的数算出来，再算第二次、第三次、直至找到规律，最后得到99次之后的数． 解：∵， ∴第一次操作后的数为：， ∵， ∴第二次操作后的数为：， ∵， ∴第三次操作后的数为：， ∵， ∴第四次操作后的数为：， ∵， ∴第五次操作后的数为：， ∵， ∴第六次操作后的数为：， ∴6次操作为一个循环， ∵， ∴第次操作后得到的数是． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）用数学的眼光观察： 甲、乙两位同学用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字先乘5，再加7，再乘2，再加上卡片B的数字，把最后得到的数告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信”… 用数学的思维思考： （1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为3，卡片B上的数字为6，他最后得到的数M为_____． （2）若乙同学最后得到的数M为76，则卡片A上的数字为_____，卡片B上的数字为_____． 用数学的语言表达： （3）请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到乙抽出的是哪两张卡片的． 【答案】（1）50；（2）6，2；（3）解：设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，（其中x、y为1，2，…，9这9个数字） 则， 得：，其中十位数字是x，个位数字是y， 所以由给出的M的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片A上的数字x，个位数上的数字为卡片B上的数字y． 【分析】此题考查了与实数运算的相关规律题 （1）根据游戏规则计算M的值即可； （2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，根据规则得到，化简为，由x、y都是1至9这9个数字，即可得到，； （3）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，（其中x、y为1，2，…，9这9个数字）得出，则用任意数M减去14得到两位数，十位数字是卡片A上的数字，个位数字为卡片B上的数字y． 解：（1） 故答案为：50． （2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则， 整理得出： ， 因为x，y都是1至9这9个数字， 所以，， 故答案为：6，2． （3）略 【题型 8】规律的探究与创新 【解题技巧】规律探究创新题“观察—猜想—验证”：①观察——仔细观察等式左右两边各部分与序号n的关系（左边第一个因数是n，第二个因数是n+2，加1；右边是(n+1)²）；②猜想——用含n的代数式表示第n个等式；③验证——利用整式运算（去括号、合并同类项、乘法公式等）证明等式左右两边相等。这种“猜想—证明”的方法是数学探究的重要方法。 【例题8】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知下列等式：①；②；③，… （1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； （2）请你找出规律，写出第n个式子 ． （3）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． （1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 【变式1】（25-26六年级下·山东济南·期末）杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下： 我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第行、第行、第行……，把每行的数从左到右依次记为第个数、第个数……．下列说法： ①第行中间的数是； ②第行所有数的和比第行多； ③第行所有数的和为； ④第行第个数与第行第个数相等． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数字类规律探索问题，观察图中数字的变化规律，得出第行的数和每行所有数的和，分析其变化规律，从而得出答案． 解：∵观察杨辉三角的图形，每项的数字等于上一行这一项上方的左右两个数字的和， ∴逐行构建至第行， 第行：， 第行：， 第行：， ∴第行中间的数是，故①正确； ∴第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， ，故②正确； ∵第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， ∴由此可归纳为：第行所有数的和为，故③正确； 观察杨辉三角的形状，是一个等腰三角形，每一行的数字排列具有对称性， 以第行为例：，共个数字， 第个数与第个数相等，第个数与第个数相等， ∴第行的数字关于中间对称，即第个数与第个数相等， 即第行第个数与第行第个数相等，故④正确； 故正确的个数为4个． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）已知，，，，那么________________________． 【答案】 【分析】观察式子可以得出规律：从开始连续个奇数相加的和等于，先确定算式里一共有多少个奇数，再套用规律计算． 解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 【变式3】（2026·安徽芜湖·三模）【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． （1）任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． （2）任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． （3）任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 【答案】（1）边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个， ∴正方形的个数一共有（个）；（2）；（3） 【分析】（1）分析每种边长的正方形的个数，求和即可； （2）根据前三个图总结出规律可得，再计算出，最后求比值即可； （3）分别计算每种边长的正方形的个数，求和即可． 解：（1）略 （2）解：根据题干总结规律可得，， ， ∴； （3）解：如图， 边长为1的正方形每一行有10个，共4行， ∴共有个； 边长为2的正方形每一行有9个，共3行， ∴共有个； 边长为3的正方形每一行有8个，共2行， ∴共有个； 边长为4的正方形每一行有7个，共1行， ∴共有个； 综上，正方形个数为（个）． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。 解：第一个数： 第二个数： 第三个数： 第四个数： …… 第n个数：. 3．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个六边形，第②个图中有7个六边形，第③个图中有10个六边形，第④个图中有13个六边形……按照这一规律，则第⑥个图中六边形的个数是（     ） A．22 B．20 C．19 D．16 【答案】C 【分析】总结出前几个图形中六边形个数的规律，然后求解即可． 解：第①个图中六边形的个数是， 第②个图中六边形的个数是， 第③个图中六边形的个数是， 第④个图中六边形的个数是， …… ∴第⑥个图中六边形的个数是． 4．（2026·重庆·模拟预测）晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“o”代表窗纸上所贴的剪纸，则第100个图中所贴剪纸“o”的个数为（     ） A．304 B．303 C．302 D．301 【答案】C 【分析】根据图形得到一般规律，然后问题可求解． 解：由图可知：第1个图中所贴剪纸“o”的个数为5个， 第2个图中所贴剪纸“o”的个数为个， 第3个图中所贴剪纸“o”的个数为个， …..； ∴第n个图中所贴剪纸“o”的个数为个， ∴第100个图中所贴剪纸“o”的个数为个． 5．（2026·重庆·一模）按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】B 【分析】根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律：第个图形中圆点的个数为，即可解决第⑧个图中圆点的个数． 解：第①个图形中圆点的个数为； 第②个图形中圆点的个数为； 第③个图形中圆点的个数为； 第④个图形中圆点的个数为； … 以此类推：第个图形中圆点的个数为； ∴第⑧个图中圆点的个数是． 6．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 7．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 【答案】B 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为， 第个图案正方形个数为， 当时，． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图）．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律．例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1．根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据规律写出第6行的数，进而得到的展开形式． 解：根据题意得： 展开式中各项系数为：1，4，6，4，1， 展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1， 展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，其中位于第三项， ∴含有这一项的系数为． 9．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 10．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中“▪”的个数，归纳出第幅图形中“▪”的个数的通项公式为，然后利用裂项相消法进行求和计算即可求解． 解：依题意，，，，，…∴ ∴ ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·宁夏·中考真题）观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分别找出数的绝对值规律和符号规律，即可得到第个数的代数式． 解：观察给出的数可知，第个数的绝对值为，当为奇数时，为正数；为偶数时，为负数， ∴用代数式表示第个数为． 12．（2026·广东佛山·二模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为__________． 【答案】15 【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的个数与层数的关系，得到第层球的个数为，代入计算即可． 解：由题意可知，第1层有1个球，第2层有3个球，即有， 第3层有6个球，即有，， 则第层有个球， 当时，第5层小球的个数为 ． 13．（2025七年级上·湖南张家界·竞赛）按规律填数：，，，，________，． 【答案】 【分析】分别观察已知数的分子和分母，总结数字的变化规律，再根据规律计算出待填的数． 解：观察已知数：第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， 第4个数：， 可得规律：第个数为， ∵待填数为第个数， 将代入，得． 14．（2026·陕西渭南·二模）在一次模拟编程设计中，用大小相同的无人机摆成图形（如图），第1个图形中，有1架无人机，第2个图形中，有3架无人机，第3个图形中，有5架无人机，第4个图形中，有7架无人机，，依此规律，第6个图形中无人机有_________架． 【答案】11 【分析】观察图形变化规律，每个图形无人机个数都可以写成，据此规律解题． 解：∵第个图形中有架无人机， 第个图形中有架无人机， 第个图形中有架无人机， 第个图形中有架无人机 ， ∴第个图形有架无人机， 第6个图形中无人机有架无人机． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是（ ）． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是（ ）． 【答案】 4 【分析】（1）根据规则写出数列，找到循环规律，通过计算余数确定第2012个数； （2）分析每个数和对应序号的关系，推导第n个数的表达式。 解：（1）按照题目规则写出数列找循环：前两个数是，，从第三个数起依次计算：，个位是，即第三个数是；，个位是，即第四个数是；，个位是，即第五个数是；，个位是，即第六个数是；，个位是，即第七个数是；，个位是，即第八个数是；，个位是，即第九个数是，开始重复前面第三个数的结果；因此，去掉前个不参与循环的数，循环节为，长度为。计算：，，没有余数，因此第个数对应循环节的最后一个数，即； （2）观察数列规律：第个数为，第个数为，第个数为，第个数为，以此类推，第个数为． 16．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 【答案】 【分析】观察已知等式，归纳总结得到第n个等式的一般规律，再将代入规律计算即可得到结果． 解：观察给出的等式：第1个等式：，可写为． 第2个等式：，可写为． 第3个等式：，可写为 ．．．． 归纳规律可得，第个等式为：． 当时，． 17．（2025·山东枣庄·模拟预测）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 【答案】54 【分析】由题意，分别求出前面几个的小木棒数量，然后得到数量的规律，再求出第6个图形的数量即可． 解：根据题意可知： 第1个图案需4根小木棒，， 第2个图案需10根小木棒，， 第3个图案需18根小木棒，， ……， 第n个图案需根小木棒， 则第6个图案需：（根）． 18．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）漏窗是中国传统园林建筑的一种装饰性的透空窗．下图是一款漏窗的示意图，照此规律，则图n中涂色方格有__________个． 【答案】 解：图1中涂色方格有个， 图2中涂色方格有个， 图3中涂色方格有个， ∴图中涂色方格有个． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第4个等式：_______； （2）写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 【答案】（1）；（2）第个等式可表示为（为正整数） 验证如下：左边右边， ∴等式成立． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出等式中数字的变化规律是解题的关键． （1）归纳出数字的变化规律，继续写出第4个等式即可； （2）归纳出变化规律，写出第n个等式，并验证即可． （1）解：由上述规律可得，第4个等式为 故答案为：． （2）略 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ； （1）用代数式表示的结果为_______________； （2）若，则___________（填“”或“”）； （3）若的值与x无关，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和，可得结果； （3）写出，计算的值，再求． （1）解：由已知可知， 故答案为：； （2）解：，， ∴， 故答案为； （3）解：， ∵的值与无关， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． （1）第5个图案需要________根小棒； （2）第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） （3）按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查图形规律，找出规律是关键． （1）根据题意得到第5个图案需要的小棒数为，，由此即可求解； （2）根据（1）的图形规律得到当从第2个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为，由此即可求解； （3）把代入（2）中的代数式计算即可． （1）解：第1个图案需要7根小棒， 第2个图案需要13根小棒，即 第3个图案需要18根小棒，即， 第4个图案需要的小棒数为，， ∴第5个图案需要的小棒数为，， 故答案为：； （2）解：根据题意，当从第3个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为， 故答案为：； （3）解：， ∴第137个图案中有根小棒． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： （1）第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 【答案】（1）14，；（2） 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题； （2）根据题中所给规律即可解决问题． （1）解：由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：14，； （2）解：由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： （1）当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； （2）当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； （3）同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 （4）创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】（1）11；（2）；（3）解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形；（4）用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． （1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 24．（本小题满分12分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． （1）初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； （2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； （3）拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）0；0；（2）；；；0；（3）选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $