第02讲 从立体图形到平面图形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦“从立体图形到平面图形”核心知识点，系统梳理展开与折叠（正方体、棱柱等展开图）、截几何体（截面形状）、三视图（从三个方向看物体形状），构建从立体到平面转化的认知支架，为空间几何学习奠定基础。 资料以12类题型为载体，结合探究式学习（如七巧板拼图、无盖纸盒制作），通过口诀记忆、实例分析培养几何直观与空间观念（数学眼光），发展推理意识（数学思维），提升模型应用能力（数学语言）。课中助力教师系统教学，课后辅助学生查漏补缺，强化空间认知与实践能力。

简一数理 初中专题讲义 第02讲 从立体图形到平面图形 （新教材北师大版） 知识点一、展开与折叠 2 知识点二、截一个几何体 3 知识点三、从三个方向看物体的形状 3 【题型1 从不同方向看几何体】 4 【题型2 几何体展开图的认识】 6 【题型3 由展开图计算几何体的表面积】 7 【题型4 正方体几种展开图的认识】 10 【题型5 正方体相对两面上的字】 11 【题型6 含图案的正方体的展开图】 12 【题型7 求展开图上两点折叠后的距离】 14 【题型8 补一个面使图形围成正方体】 17 【题型9 截一个几何体】 18 【题型10 平面图形形状的识别】 20 【题型11 用七巧板拼图形】 23 【题型12 由展开图计算几何体的体积】 25 【探究式学习】 28 【课后检测】 30 【复盘笔记】 38 知识点一、展开与折叠 1.正方体的展开图 口诀： 六个面儿七刀裁，十一类图记分明；中间四个成一行，两边各一无规律； 二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐； 对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”. 2.棱柱的展开图 两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面) 3.圆柱的展开图 两个圆(底面)和一个长方形(侧面) 4.圆锥的展开图 一个圆(底面)和一个扇形(侧面) 知识点二、截一个几何体 1.截面的概念 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 截面的形状是_平面图形 2.常见几何体截面 知识点三、从三个方向看物体的形状 1.从三个方向看简单几何体得到的图形 2.从三个方向看组合体得到的图形 (1)画由小正方体组成的几何体从正面和左面看所得图形的方法：先确定看到的面左右共有几列,每一列共有几层. (2)画从上面看所得图形，则看几何体的最上面的小正方形前后共有几行,左右共有几列以及每个面的位置关系 3.由从三个方向看到的形状描述几何体 【题型1 从不同方向看几何体】 【例1】在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 【变式1-1】下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三棱柱从正面看、从左面看都是长方形，从上面看是三角形，则该选项不符合题意； B、圆柱从正面看、从上面看都是长方形，从左面看是圆，则该选项不符合题意； C、圆锥从正面看，从左面看都是三角形，从上面看是圆，则该选项不符合题意； D、球从三个方向看都是圆，则该选项符合题意； 【变式1-2】如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应的位置的小正方体的个数，确定从左边看的图形的层数和列数，进而确定对应列的小正方形数即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上中下三层，共两列，左边一列上中下三层各有一个小正方形，右边一列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 【变式1-3】如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左边看到的图形进行解答． 【详解】解：根据左视图的概念，从左向右看，该几何体有列，第列有层，第列有层． 故选：A． 【题型2 几何体展开图的认识】 【例2】把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，判断长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3，于是可以判定长方体的上下面的长，宽相等，都等于3，解答即可； 【详解】解：根据题意，得长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3， 故长方体的上，下面的长，宽相等，都等于3即为； 【变式2-1】如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是： 【变式2-2】下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案． 【详解】解：A．选项是圆锥展开图，不符合题意； B．选项是正方体的展开图，不符合题意； C．选项是圆柱的展开图，不符合题意； D．选项是三棱柱的展开图，符合题意； 【变式2-3】本场考试中，王老师送给大家一个正方体礼品盒，它的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，则与“你”相对的字是（    ） A．考 B．试 C．顺 D．利 【答案】B 【分析】本题考查正方体展开图相对面上的字，解题的关键是掌握正方体侧面展开图的对应规律，根据展开图的相对面一定隔着一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，与“你”相对的字是“试”． 故选：． 【题型3 由展开图计算几何体的表面积】 【例3】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 【变式3-1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 【变式3-2】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 【变式3-3】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 【答案】C 【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个的圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答即可． 【详解】解： （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是圆柱表面积公式的灵活运用，理解掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键． 【题型4 正方体几种展开图的认识】 【例4】下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 【变式4-1】如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点重合的点是. 【变式4-2】如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【答案】A 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形“我”后不能折叠成正方体． 【变式4-3】下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【点睛】正方体展开图共有11种基本形态，分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型． 【题型5 正方体相对两面上的字】 【例5】如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，寻找数字2的对立面即可找到答案． 【详解】由图可得，这是一个长方体的展开图，3的对立面是5，4的对立面是1，2的对立面是6，所以选D． 【变式5-1】“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【答案】D 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 【变式5-2】南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 【详解】选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 【变式5-3】“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”出自王维《田园乐》组诗，反映其山水田园诗风及隐逸情趣．将“柳、绿、更、带、朝、烟”六个字书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“柳”字所在面相对的面上的字是（   ） A．更 B．带 C．朝 D．烟 【答案】A 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 【详解】解：根据题意，与“柳”字所在面相对的面上的字是“更”； 【题型6 含图案的正方体的展开图】 【例6】如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】首先确定正方体的前面是，再根据的相对面是，即可确定正方体前、后两个面． 【详解】解：正方体前面的正方形中的两个黑色正方形分别位于正方形的左上角和右下角， 正方体的前面是， 由正方体的表面展开图可知的对面是， 正方体的后面是． 【变式6-1】把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 【变式6-2】如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 【变式6-3】图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数的面与标有点数和的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数的面中黑点的排列规律确定出标有点数中黑点的排列规律即可得到答案． 【详解】解：观察图可知，①与是相对面，③与是相对面，②与④是相对面，根据点数、、的面的对应关系，当标有的面中两个黑点竖着排列时，标有的面中黑点呈左下到右上的方向排列时，故面②符合题意，面④不符合题意． 故选：B． 【题型7 求展开图上两点折叠后的距离】 【例7】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式7-1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 【变式7-2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式7-3】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【题型8 补一个面使图形围成正方体】 【例8】如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 【变式8-1】形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 【变式8-2】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【变式8-3】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 【题型9 截一个几何体】 【例9】用一个平面去截一个正方体，截面形状可能是下列图形中的几种：①正方形；②长方形；③三角形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形；⑦八边形（     ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】截面边数等于平面与正方体相交的面数，正方体共6个面，故截面最多为六边形． 【详解】解：∵正方体有6个面， ∴平面截正方体时，最少与3个面相交，最多与6个面相交，对应截面边数最少为3，最多为6， ①平行于正方体的面截取，可得正方形，可能； ②平行于正方体的一条棱截取，且与4个面相交，使相邻边长度不等，可得长方形，可能； ③截去正方体的一个顶角，平面与3个面相交，可得三角形，可能； ④平面与正方体的5个面相交，可得五边形，可能； ⑤平面与正方体的6个面均相交，可得六边形，可能； ⑥七边形、⑦八边形均不可能，因截面最多为六边形； 综上，可能的形状共5种． 【变式9-1】如图为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方体的八个角，则新几方体的棱有（     ） A．26条 B．30条 C．36条 D．42条 【答案】C 【分析】一个正方体有12条棱，一个角上截出3条棱，即8个角共条棱，相加即可． 【详解】解：∵一个正方体有12条棱，一个角上截出3条棱，即8个角共条棱， ∴条． 故新的几何体的棱有36条． 【变式9-2】下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，分别根据选项判断得出即可． 【详解】解：圆柱的截面跟圆、四边形有关，截面不可能是三角形；过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，过正方体的三个面得到的截面是三角形，过长方体的三个面得到的截面是三角形， 所以，截面可能是三角形的有3个． 【变式9-3】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 【题型10 平面图形形状的识别】 【例10】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形，具备一定的空间想象能力是解题关键．结合图形，分别画出所有可能的正六边形，由此即可得． 【详解】解：①如图，这样的图形有6个． ②如图，这样的图形有3个． ③如图，这样的图形有1个． ④如图，这样的六边形有1个． 则一共有（个）， 故选：C． 【变式10-1】 下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形和平行四边形面积的计算方法，如图所示，设平行四边形的底和高分别为a和h，又因A、B都是中点，则，又在中，，边上的高为，所以，再据阴影部分的面积据此即可求解. 【详解】解：如图， 设平行四边形的底和高分别为a和h， 所以，平行四边形的面积为， 又因A、B都是中点，则， 又在中，，边上的高为， 所以， 阴影部分的面积为： ， ； 所以，阴影部分的面积是平行四边形面积的， 故选：C. 【变式10-2】一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【答案】C 【分析】分情况讨论分别去掉A、B、C三处的钉子时，组成长方形的长和宽各是多少，再根据长方形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：当去掉A处的钉子时：这时长方形的长为4，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉B处的钉子时：这时长方形的长为7，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉C处的钉子时：这时长方形的长为5，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面图形的认识与计算，利用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式10-3】如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【答案】A 【分析】本题可据数的奇偶性进行分析，如图从点到点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，点为6，是偶数，所以点处于水中，同理点B处于水中． 【详解】解：如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．同理点B处于水中． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的分析判断能力，通过数的奇偶性判断位置，能读懂题，分析题目是解题的关键． 【题型11 用七巧板拼图形】 【例11】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 【变式11-1】下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶A中图形个数不对，有8个图形，故不是由原图这副七巧板拼成的； B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； C中的图形和原图一样，故是由原图这副七巧板拼成的； D中小等腰直角三角形的斜边应该与平行四边形的长边叠合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 【变式11-2】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 【变式11-3】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 【题型12 由展开图计算几何体的体积】 【例12】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 【变式12-1】某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 【变式12-2】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，长方体的容积． 由长方体的展开图，可知长方体的长，宽，高，代入长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 【变式12-3】如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的体积，几何体的展开图；根据几何体的展开图分两种情况：①圆柱体底面，，②圆柱体底面，，分别进行计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 【探究式学习】 1．综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 【答案】任务1：； 任务2：①如图所示： ② 【分析】本题考查长方体的容积，立体图形的展开图，掌握知识点是解题的关键． 任务1：根据长方体的容积公式计算即可； 任务2：①根据长方体的展开图解答即可； ②根据长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：任务无盖长方体纸盒底面为正方形， 底面边长为，高为， 容积为， 答：无盖长方体纸盒的容积为． 任务2：①略 ②新无盖长方体纸盒底面为正方形，边长为，高为， 容积为， 答：新无盖长方体纸盒的容积为． 2．综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 【答案】（1）④⑦； （2）； （3）如图所示：（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）根据图块的面积，可得出答案； （2）根据题意计算出图2中对应图块面积即可； （3）依据题意，在图3中补充图形即可． 【详解】（1）解：根据图像，编号⑥的图块面积为， 图中编号④与⑦的面积也为2， 故答案为：④⑦． （2）解：由七巧板的规律可得： ，，， 所以，“小船”的面积为． （3）略 【课后检测】 1．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 2．下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用正方体表面展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：图②：中间四个小正方形组成了田字形结构，折叠后会有面重叠，不能折成正方体，因此排除含有②的A、C选项． 图①：属于正方体展开图的3-3型（两行各3个正方形，错开排列符合规则），可以折叠成正方体． 图③：折叠后会出现面重叠，不符合正方体展开图的结构，不能折成正方体． 图④：属于正方体展开图的2-2-2型（每层2个正方形，阶梯错开排列，符合规则），可以折叠成正方体． 因此能沿小正方形边折叠成正方体的是①④． 3．桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 【答案】A 【分析】根据立体图形可知两个长方体左右摆放，左矮右高，结合图的形状特征进行判断即可. 【详解】解：由前两个图形可知，该几何体由两个左右并排的长方体组成，且左矮右高， 若从左面看，能看到左边矮长方体的侧面，且右边高长方体高出部分可见，组合起来为一个矩形中间有一条横线，A选项符合题意； 若从右面看，视线被右边高长方体遮挡，只能看到一个矩形，B选项不符合题意； 若从上面看，应看到左右两个矩形，C选项不符合题意； 若从后面看，应看到右边高、左边矮的图形，D选项不符合题意． 4．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 5．下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、从正面与从上面看到的都是正方形，不符合题意； B、从正面与从上面看到的都是长方形，不符合题意； C、从正面看到的是三角形，从上面看到的是带圆心的圆形，符合题意； D、从正面与从上面看到的都是圆形，不符合题意； 故选：C． 6．如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：选项A，B，C从左面看到的形状都是：， 而选项D从左面看到的形状为． 7．新情境  河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（   ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 【答案】A 【详解】解：由题意，可得“中”与“玉”“雕”“之”“乡”相邻， 所以“中”的对面汉字是“国”． 8．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 【答案】A 【分析】根据图形，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择． 【详解】解：图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5； 由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6； 所以剩下4的对面是2． 综上，A选项错误． 9．将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定棱在正方体中为含三角形面的顶面水平棱，将展开图折叠，验证各线段位置，确定与棱重合的线段． 【详解】解：将展开图折叠还原，棱为含三角形面的顶面水平棱，折叠后与棱重合，其余线段均不重合． 故选：A． 10．如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据正方体的11种展开图，进行判断即可. 【详解】解：如图，去掉1，2，3，三个小正方形的任意一个，都可以拼成一个正方体盒子； 故共有3种方法. 11．在正方体展开图上标有，，，，，，，，，，的字样，如图当将它折叠成正方体时，点与点_____重合，点与点_____重合． 【答案】 【详解】解：根据正方体的展开图可知，点A与点C、E重合，点H与点P、F重合． 12．用同样的小正方体搭成一个立体图形，从上面看和从前面看到的图形如图所示．那么搭成这个立体图形，最少要用( )个小正方体，最多要用( )个小正方体． 【答案】 【分析】由上面看确定底面小正方体的位置分布，由正面看确定每一列的最大高度，结合两者分析最少和最多的小正方体数量． 【详解】解：从上面看，该立体图形最底层有个小正方体，分别位于左列的前、后位置和右列的后位置， 从正面看，该立体图形左侧一列最高层数为，右侧一列最高层数为， ∵右侧一列在上面看中只有一个位置 ， ∴右侧位置的小正方体个数固定为， ∵左侧一列在上面看中有前、后两个位置，且从正面看显示最高为层， ∴左侧前、后两个位置中至少有一个位置的高度为层， 当左侧两个位置中一个高度为，另一个高度为时，小正方体数量最少，总数为个， 当左侧两个位置高度均为时，小正方体数量最多，总数为个． 13．在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 【答案】城 【详解】解：根据正方体表面展开图的特点， “全”与“明”是相对面， “国”与“市”是相对面， “文”与“城”是相对面． 14．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 15．下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？ 【答案】（1）1对4，2对6，3对5； （2）1对5，2对4，3对6； （3）1对6，2对4，3对5； （4）1对6，2对4，3对5． 【分析】先选定一个底面，再将其余各个面不重叠地折叠，使其形成一个正方体，此时6个数字两两相对，即可找出与“1”“2”“3”面相对的面． 【详解】（1）解：选定数字3为底面，再将各个面进行折叠，则数字1为左侧面，数字4为右侧面；数字2为背面，数字6为正面；数字5为顶面，可得到对应关系：1对4，2对6，3对5； （2）解：选定数字4为底面，再将各个面进行折叠，则数字6为左侧面，数字3为右侧面；数字5为背面，数字1为正面；数字2为顶面，可得到对应关系：1对5，2对4，3对6； （3）解：选定数字4为底面，再将各个面进行折叠，则数字3为左侧面，数字5为右侧面；数字1为背面，数字6为正面；数字2为顶面，可得到对应关系：1对6，2对4，3对5； （4）解：选定数字1为底面，再将各个面进行折叠，则数字3为左侧面，数字5为右侧面；数字2为背面，数字4为正面；数字6为顶面，可得到对应关系：1对6，2对4，3对5； 16．下列图形中有三棱柱的表面展开图吗？ （1）（2）（3） 【答案】（1）（2）（3）都是三棱柱的表面展开图 【分析】三棱柱有5个面，上下两底面是三角形，侧面是三个平行四边形． 【详解】解：（1）（2）（3）都是三棱柱的表面展开图． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第02讲 从立体图形到平面图形 （新教材北师大版） 知识点一、展开与折叠 2 知识点二、截一个几何体 3 知识点三、从三个方向看物体的形状 3 【题型1 从不同方向看几何体】 4 【题型2 几何体展开图的认识】 5 【题型3 由展开图计算几何体的表面积】 6 【题型4 正方体几种展开图的认识】 7 【题型5 正方体相对两面上的字】 7 【题型6 含图案的正方体的展开图】 8 【题型7 求展开图上两点折叠后的距离】 9 【题型8 补一个面使图形围成正方体】 10 【题型9 截一个几何体】 11 【题型10 平面图形形状的识别】 12 【题型11 用七巧板拼图形】 12 【题型12 由展开图计算几何体的体积】 13 【探究式学习】 15 【课后检测】 17 【复盘笔记】 21 知识点一、展开与折叠 1.正方体的展开图 口诀： 六个面儿七刀裁，十一类图记分明；中间四个成一行，两边各一无规律； 二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐； 对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”. 2.棱柱的展开图 两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面) 3.圆柱的展开图 两个圆(底面)和一个长方形(侧面) 4.圆锥的展开图 一个圆(底面)和一个扇形(侧面) 知识点二、截一个几何体 1.截面的概念 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 截面的形状是_平面图形 2.常见几何体截面 知识点三、从三个方向看物体的形状 1.从三个方向看简单几何体得到的图形 2.从三个方向看组合体得到的图形 (1)画由小正方体组成的几何体从正面和左面看所得图形的方法：先确定看到的面左右共有几列,每一列共有几层. (2)画从上面看所得图形，则看几何体的最上面的小正方形前后共有几行,左右共有几列以及每个面的位置关系 3.由从三个方向看到的形状描述几何体 【题型1 从不同方向看几何体】 【例1】在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【变式1-1】下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【题型2 几何体展开图的认识】 【例2】把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 【变式2-1】如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】本场考试中，王老师送给大家一个正方体礼品盒，它的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，则与“你”相对的字是（    ） A．考 B．试 C．顺 D．利 【题型3 由展开图计算几何体的表面积】 【例3】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 【题型4 正方体几种展开图的认识】 【例4】下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式4-2】如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【变式4-3】下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 正方体相对两面上的字】 【例5】如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 【变式5-1】“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【变式5-2】南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”出自王维《田园乐》组诗，反映其山水田园诗风及隐逸情趣．将“柳、绿、更、带、朝、烟”六个字书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“柳”字所在面相对的面上的字是（   ） A．更 B．带 C．朝 D．烟 【题型6 含图案的正方体的展开图】 【例6】如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-1】把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】图（1）表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图（2）是这个正方体的表面展开图，则在图（2）中面“”是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型7 求展开图上两点折叠后的距离】 【例7】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式7-1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式7-3】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【题型8 补一个面使图形围成正方体】 【例8】如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式8-1】形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式8-2】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式8-3】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型9 截一个几何体】 【例9】用一个平面去截一个正方体，截面形状可能是下列图形中的几种：①正方形；②长方形；③三角形；④五边形；⑤六边形；⑥七边形；⑦八边形（     ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式9-1】如图为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方体的八个角，则新几方体的棱有（     ） A．26条 B．30条 C．36条 D．42条 【变式9-2】下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-3】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【题型10 平面图形形状的识别】 【例10】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【变式10-1】 下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【变式10-3】如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【题型11 用七巧板拼图形】 【例11】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【变式11-3】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型12 由展开图计算几何体的体积】 【例12】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式12-1】某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【变式12-2】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【变式12-3】如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【探究式学习】 1．综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 2．综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 【课后检测】 1．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 2．下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 3．桌上放着两个长方体，是从前面看到的形状，则是从（     ）面看到的形状． A．左 B．右 C．上 D．后 4．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 5．下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 6．如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 7．新情境  河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（   ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 8．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 9．将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 11．在正方体展开图上标有，，，，，，，，，，的字样，如图当将它折叠成正方体时，点与点_____重合，点与点_____重合． 12．用同样的小正方体搭成一个立体图形，从上面看和从前面看到的图形如图所示．那么搭成这个立体图形，最少要用( )个小正方体，最多要用( )个小正方体． 13．在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 14．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 15．下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？ 16．下列图形中有三棱柱的表面展开图吗？ （1）（2）（3） 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 38 页 第 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